山东省枣庄市中考数学试卷及详细答案

山东省枣庄市中考数学试卷及详细答案

‎2017年山东省枣庄市中考数学试卷 ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）‎ ‎1．下列计算，正确的是（　　）‎ A．﹣= B．|﹣2|=﹣ C．=2 D．（）﹣1=2‎ ‎2．将数字“6”旋转180°，得到数字“9”，将数字“9”旋转180°，得到数字“6”，现将数字“69”旋转180°，得到的数字是（　　）‎ A．96 B．69 C．66 D．99‎ ‎3．如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是（　　）‎ A．15° B．22.5° C．30° D．45°‎ ‎4．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|+的结果是（　　）‎ A．﹣2a+b B．2a﹣b C．﹣b D．b ‎5．如表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差：‎ 甲 乙 丙 丁 平均数（cm）‎ ‎185‎ ‎180‎ ‎185‎ ‎180‎ 方差 ‎3.6‎ ‎3.6‎ ‎7.4‎ ‎8.1‎ 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（　　）‎ A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 ‎6．如图，在△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．如图，把正方形纸片ABCD沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN，再过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处，折痕为BE．若AB的长为2，则FM的长为（　　）‎ A．2 B． C． D．1‎ ‎8．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是（　　）‎ A．15 B．30 C．45 D．60‎ ‎9．如图，O是坐标原点，菱形OABC的顶点A的坐标为（﹣3，4），顶点C在x轴的负半轴上，函数y=（x＜0）的图象经过顶点B，则k的值为（　　）‎ A．﹣12 B．﹣27 C．﹣32 D．﹣36‎ ‎10．如图，在网格（每个小正方形的边长均为1）中选取9个格点（格线的交点称为格点），如果以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内，则r的取值范围为（　　）‎ A．2＜r＜ B．＜r＜3 C．＜r＜5 D．5＜r＜‎ ‎11．如图，直线y=x+4与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C、D分别为线段AB、OB的中点，点P为OA上一动点，PC+PD值最小时点P的坐标为（　　）‎ A．（﹣3，0） B．（﹣6，0） C．（﹣，0） D．（﹣，0）‎ ‎12．已知函数y=ax2﹣2ax﹣1（a是常数，a≠0），下列结论正确的是（　　）‎ A．当a=1时，函数图象经过点（﹣1，1）‎ B．当a=﹣2时，函数图象与x轴没有交点 C．若a＜0，函数图象的顶点始终在x轴的下方 D．若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而增大 ‎　‎ 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）‎ ‎13．化简：÷=　 　．‎ ‎14．已知关于x的一元二次方程ax2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是　 　．‎ ‎15．已知是方程组的解，则a2﹣b2=　 　．‎ ‎16．如图，在▱ABCD中，AB为⊙O的直径，⊙O与DC相切于点E，与AD相交于点F，已知AB=12，∠C=60°，则的长为　 　．‎ ‎17．如图，反比例函数y=的图象经过矩形OABC的边AB的中点D，则矩形OABC的面积为　 　．‎ ‎18．在矩形ABCD中，∠B的角平分线BE与AD交于点E，∠BED的角平分线EF与DC交于点F，若AB=9，DF=2FC，则BC=　 　．（结果保留根号）‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共7小题，共60分）‎ ‎19．（8分）x取哪些整数值时，不等式5x+2＞3（x﹣1）与x≤2﹣都成立？‎ ‎20．（8分）为发展学生的核心素养，培养学生的综合能力，某学校计划开设四门选修课：乐器、舞蹈、绘画、书法，学校采取随机抽样的方法进行问卷调查（每个被调查的学生必须选择而且只能选择其中一门）．对调查结果进行整理，绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息解答下列问题：‎ ‎（1）本次调查的学生共有　 　人，在扇形统计图中，m的值是　 　；‎ ‎（2）将条形统计图补充完整；‎ ‎（3）在被调查的学生中，选修书法的有2名女同学，其余为男同学，现要从中随机抽取2名同学代表学校参加某社区组织的书法活动，请写出所抽取的2名同学恰好是1名男同学和1名女同学的概率．‎ ‎21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A（2，2），B（4，0），C（4，﹣4）．‎ ‎（1）请在图中，画出△ABC向左平移6个单位长度后得到的△A1B1C1； ‎ ‎（2）以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的，得到△A2B2C2，请在图中y轴右侧，画出△A2B2C2，并求出∠A2C2B2的正弦值．‎ ‎22．（8分）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC，AB于点E，F．‎ ‎（1）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；‎ ‎（2）若BD=2，BF=2，求阴影部分的面积（结果保留π）．‎ ‎23．（8分）我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n=p×q（p，q是正整数，且p≤q），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解．并规定：F（n）=．‎ 例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所以3×4是12的最佳分解，所以F（12）=．‎ ‎（1）如果一个正整数m是另外一个正整数n的平方，我们称正整数m是完全平方数．‎ 求证：对任意一个完全平方数m，总有F（m）=1；‎ ‎（2）如果一个两位正整数t，t=10x+y（1≤x≤y≤9，x，y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为36，那么我们称这个数t为“吉祥数”，求所有“吉祥数”；‎ ‎（3）在（2）所得“吉祥数”中，求F（t）的最大值．‎ ‎24．（10分）已知正方形ABCD，P为射线AB上的一点，以BP为边作正方形BPEF，使点F在线段CB的延长线上，连接EA，EC．‎ ‎（1）如图1，若点P在线段AB的延长线上，求证：EA=EC；‎ ‎（2）如图2，若点P在线段AB的中点，连接AC，判断△ACE的形状，并说明理由；‎ ‎（3）如图3，若点P在线段AB上，连接AC，当EP平分∠AEC时，设AB=a，BP=b，求a：b及∠AEC的度数．‎ ‎25．（10分）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，点B坐标为（6，0），点C坐标为（0，6），点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为E，连接BD．‎ ‎（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；‎ ‎（2）点F是抛物线上的动点，当∠FBA=∠BDE时，求点F的坐标；‎ ‎（3）若点M是抛物线上的动点，过点M作MN∥x轴与抛物线交于点N，点P在x轴上，点Q在坐标平面内，以线段MN为对角线作正方形MPNQ，请写出点Q的坐标．‎ ‎　‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）‎ ‎1．下列计算，正确的是（　　）‎ A．﹣= B．|﹣2|=﹣ C．=2 D．（）﹣1=2‎ ‎【解答】解：﹣=2﹣=，A错误；‎ ‎|﹣2|=，B错误；‎ ‎=2，C错误；‎ ‎（）﹣1=2，D正确，‎ 故选：D．　‎ ‎2．将数字“6”旋转180°，得到数字“9”，将数字“9”旋转180°，得到数字“6”，现将数字“69”旋转180°，得到的数字是（　　）‎ A．96 B．69 C．66 D．99‎ ‎【解答】解：现将数字“69”旋转180°，得到的数字是：69．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎3．如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是（　　）‎ A．15° B．22.5° C．30° D．45°‎ ‎【解答】解：如图，过A点作AB∥a，‎ ‎∴∠1=∠2，‎ ‎∵a∥b，‎ ‎∴AB∥b，‎ ‎∴∠3=∠4=30°，‎ 而∠2+∠3=45°，‎ ‎∴∠2=15°，‎ ‎∴∠1=15°．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎4．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|+的结果是（　　）‎ A．﹣2a+b B．2a﹣b C．﹣b D．b ‎【解答】解：由图可知：a＜0，a﹣b＜0，‎ 则|a|+‎ ‎=﹣a﹣（a﹣b）‎ ‎=﹣2a+b．‎ 故选：A．‎ ‎5．如表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差：‎ 甲 乙 丙 丁 平均数（cm）‎ ‎185‎ ‎180‎ ‎185‎ ‎180‎ 方差 ‎3.6‎ ‎3.6‎ ‎7.4‎ ‎8.1‎ 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（　　）‎ A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 ‎【解答】解：∵=＞=，‎ ‎∴从甲和丙中选择一人参加比赛，‎ ‎∵=＜＜，‎ ‎∴选择甲参赛，故选：A．‎ ‎6．如图，在△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；‎ B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，两三角形相似，故本选项错误；‎ C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确．‎ D、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误；‎ 故选C．‎ ‎7．如图，把正方形纸片ABCD沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN，再过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处，折痕为BE．若AB的长为2，则FM的长为（　　）‎ A．2 B． C． D．1‎ ‎【解答】解：∵‎ 四边形ABCD为正方形，AB=2，过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处，‎ ‎∴FB=AB=2，BM=1，‎ 则在Rt△BMF中，‎ FM=，‎ 故选：B．‎ ‎8．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是（　　）‎ A．15 B．30 C．45 D．60‎ ‎【解答】解：由题意得AP是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB于E，‎ 又∵∠C=90°，∴DE=CD，‎ ‎∴△ABD的面积=AB•DE=×15×4=30．故选B．‎ ‎9．如图，O是坐标原点，菱形OABC的顶点A的坐标为（﹣3，4），顶点C在x轴的负半轴上，函数y=（x＜0）的图象经过顶点B，则k的值为（　　）‎ A．﹣12 B．﹣27 C．﹣32 D．﹣36‎ ‎【解答】解：∵A（﹣3，4），‎ ‎∴OA==5，‎ ‎∵四边形OABC是菱形，‎ ‎∴AO=CB=OC=AB=5，‎ 则点B的横坐标为﹣3﹣5=﹣8，‎ 故B的坐标为：（﹣8，4），‎ 将点B的坐标代入y=得，4=，‎ 解得：k=﹣32．‎ 故选C．　‎ ‎10．如图，在网格（每个小正方形的边长均为1）中选取9个格点（格线的交点称为格点），如果以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内，则r的取值范围为（　　）‎ A．2＜r＜ B．＜r＜3 C．＜r＜5 D．5＜r＜‎ ‎【解答】解：给各点标上字母，如图所示．‎ AB==2，AC=AD==，AE==3，AF==，AG=AM=AN==5，‎ ‎∴＜r＜3时，以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内．‎ 故选B．‎ ‎11．如图，直线y=x+4与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C、D分别为线段AB、OB的中点，点P为OA上一动点，PC+PD值最小时点P的坐标为（　　）‎ A．（﹣3，0） B．（﹣6，0） C．（﹣，0） D．（﹣，0）‎ ‎【解答】解：（方法一）作点D关于x轴的对称点D′，连接CD′交x轴于点P，此时PC+PD值最小，如图所示．‎ 令y=x+4中x=0，则y=4，‎ ‎∴点B的坐标为（0，4）；‎ 令y=x+4中y=0，则x+4=0，解得：x=﹣6，‎ ‎∴点A的坐标为（﹣6，0）．‎ ‎∵点C、D分别为线段AB、OB的中点，‎ ‎∴点C（﹣3，2），点D（0，2）．‎ ‎∵点D′和点D关于x轴对称，‎ ‎∴点D′的坐标为（0，﹣2）．‎ 设直线CD′的解析式为y=kx+b，‎ ‎∵直线CD′过点C（﹣3，2），D′（0，﹣2），‎ ‎∴有，解得：，‎ ‎∴直线CD′的解析式为y=﹣x﹣2．‎ 令y=﹣x﹣2中y=0，则0=﹣x﹣2，解得：x=﹣，‎ ‎∴点P的坐标为（﹣，0）．‎ 故选C．‎ ‎（方法二）连接CD，作点D关于x轴的对称点D′，连接CD′交x轴于点P，此时PC+PD值最小，如图所示．‎ 令y=x+4中x=0，则y=4，‎ ‎∴点B的坐标为（0，4）；‎ 令y=x+4中y=0，则x+4=0，解得：x=﹣6，‎ ‎∴点A的坐标为（﹣6，0）．‎ ‎∵点C、D分别为线段AB、OB的中点，‎ ‎∴点C（﹣3，2），点D（0，2），CD∥x轴，‎ ‎∵点D′和点D关于x轴对称，‎ ‎∴点D′的坐标为（0，﹣2），点O为线段DD′的中点．‎ 又∵OP∥CD，‎ ‎∴点P为线段CD′的中点，‎ ‎∴点P的坐标为（﹣，0）．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎12．已知函数y=ax2﹣2ax﹣1（a是常数，a≠0），下列结论正确的是（　　）‎ A．当a=1时，函数图象经过点（﹣1，1）‎ B．当a=﹣2时，函数图象与x轴没有交点 C．若a＜0，函数图象的顶点始终在x轴的下方 D．若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而增大 ‎【解答】解：A、当a=1时，函数解析式为y=x2﹣2x﹣1，‎ 当x=﹣1时，y=1+2﹣1=2，‎ ‎∴当a=1时，函数图象经过点（﹣1，2），‎ ‎∴A选项不符合题意；‎ B、当a=﹣2时，函数解析式为y=﹣2x2+4x﹣1，‎ 令y=﹣2x2+4x﹣1=0，则△=42﹣4×（﹣2）×（﹣1）=8＞0，‎ ‎∴当a=﹣2时，函数图象与x轴有两个不同的交点，‎ ‎∴B选项不符合题意；‎ C、∵y=ax2﹣2ax﹣1=a（x﹣1）2﹣1﹣a，‎ ‎∴二次函数图象的顶点坐标为（1，﹣1﹣a），‎ 当﹣1﹣a＜0时，有a＞﹣1，‎ ‎∴C选项不符合题意；‎ D、∵y=ax2﹣2ax﹣1=a（x﹣1）2﹣1﹣a，‎ ‎∴二次函数图象的对称轴为x=1．‎ 若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而增大，‎ ‎∴D选项符合题意．‎ 故选D．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）‎ ‎13．化简：÷=　　．‎ ‎【解答】解：÷=•=，‎ 故答案为：．　‎ ‎14．已知关于x的一元二次方程ax2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是　a＞﹣1且a≠0　．‎ ‎【解答】解：根据题意得a≠0且△=（﹣2）2﹣4a（﹣1）＞0，‎ 解得a＞﹣1且a≠0．‎ 故答案为a＞﹣1且a≠0．‎ ‎15．已知是方程组的解，则a2﹣b2=　1　．‎ ‎【解答】解：∵是方程组的解，‎ ‎∴，‎ 解得，①﹣②，得 a﹣b=，‎ ‎①+②，得 a+b=﹣5，‎ ‎∴a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）=（﹣5）×（﹣）=1，‎ 故答案为：1．‎ ‎　‎ ‎16．如图，在▱ABCD中，AB为⊙O的直径，⊙O与DC相切于点E，与AD相交于点F，已知AB=12，∠C=60°，则的长为　π　．‎ ‎【解答】解：如图连接OE、OF，‎ ‎∵CD是⊙O的切线，‎ ‎∴OE⊥CD，‎ ‎∴∠OED=90°，‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形，∠C=60°，‎ ‎∴∠A=∠C=60°，∠D=120°，‎ ‎∵OA=OF，‎ ‎∴∠A=∠OFA=60°，‎ ‎∴∠DFO=120°，‎ ‎∴∠EOF=360°﹣∠D﹣∠DFO﹣∠DEO=30°，‎ 的长==π．‎ 故答案为：π．‎ ‎17．如图，反比例函数y=的图象经过矩形OABC的边AB的中点D，则矩形OABC的面积为　4　．‎ ‎【解答】解：‎ 设D（x，y），‎ ‎∵反比例函数y=的图象经过点D，‎ ‎∴xy=2，‎ ‎∵D为AB的中点，‎ ‎∴B（x，2y），‎ ‎∴OA=x，OC=2y，‎ ‎∴S矩形OABC=OA•OC=x•2y=2xy=2×2=4，‎ 故答案为：4．‎ ‎　‎ ‎18．在矩形ABCD中，∠B的角平分线BE与AD交于点E，∠BED的角平分线EF与DC交于点F，若AB=9，DF=2FC，则BC=　　．（结果保留根号）‎ ‎【解答】解：延长EF和BC，交于点G ‎∵矩形ABCD中，∠B的角平分线BE与AD交于点E，‎ ‎∴∠ABE=∠AEB=45°，‎ ‎∴AB=AE=9，‎ ‎∴直角三角形ABE中，BE==，‎ 又∵∠BED的角平分线EF与DC交于点F，‎ ‎∴∠BEG=∠DEF ‎∵AD∥BC ‎∴∠G=∠DEF ‎∴∠BEG=∠G ‎∴BG=BE=‎ 由∠G=∠DEF，∠EFD=∠GFC，可得△EFD∽△GFC ‎∴‎ 设CG=x，DE=2x，则AD=9+2x=BC ‎∵BG=BC+CG ‎∴=9+2x+x 解得x=‎ ‎∴BC=9+2（﹣3）=‎ 故答案为：‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共7小题，共60分）‎ ‎19．（8分）x取哪些整数值时，不等式5x+2＞3（x﹣1）与x≤2﹣都成立？‎ ‎【解答】解：根据题意解不等式组，‎ 解不等式①，得：x＞﹣，‎ 解不等式②，得：x≤1，‎ ‎∴﹣＜x≤1，‎ 故满足条件的整数有﹣2、﹣1、0、1．‎ ‎　‎ ‎20．（8分）为发展学生的核心素养，培养学生的综合能力，某学校计划开设四门选修课：乐器、舞蹈、绘画、书法，学校采取随机抽样的方法进行问卷调查（每个被调查的学生必须选择而且只能选择其中一门）．对调查结果进行整理，绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息解答下列问题：‎ ‎（1）本次调查的学生共有　50　人，在扇形统计图中，m的值是　30%　；‎ ‎（2）将条形统计图补充完整；‎ ‎（3）在被调查的学生中，选修书法的有2名女同学，其余为男同学，现要从中随机抽取2名同学代表学校参加某社区组织的书法活动，请写出所抽取的2名同学恰好是1名男同学和1名女同学的概率．‎ ‎【解答】解：（1）20÷40%=50（人），15÷50=30%；‎ 故答案为：50；30%；‎ ‎（2）50×20%=10（人），50×10%=5（人），如图所示：‎ ‎（3）∵5﹣2=3（名），‎ ‎∴选修书法的5名同学中，有3名男同学，2名女同学，‎ ‎ ‎ 男1‎ 男2‎ 男3‎ 女1‎ 女2‎ 男1‎ ‎﹣﹣﹣‎ 男2男1‎ 男3男1‎ 女1男1‎ 女2男1‎ 男2‎ ‎（男1男2）‎ ‎﹣﹣﹣‎ 男3男2‎ 女1男2‎ 女2男2‎ 男3‎ ‎（男1男3）‎ 男2男3‎ ‎﹣﹣﹣‎ 女1男3‎ 女2男3‎ 女1‎ ‎（男1，女1）‎ 男2女1‎ 男3女1‎ ‎﹣﹣﹣‎ 女2女1‎ 女2‎ ‎（男1女2）‎ 男2女2‎ 男3女2‎ 女1女2‎ ‎﹣﹣﹣‎ 所有等可能的情况有20种，其中抽取的2名同学恰好是1名男同学和1名女同学的情况有12种，‎ 则P（一男一女）==．‎ ‎21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A（2，2），B（4，0），C（4，﹣4）．‎ ‎（1）请在图中，画出△ABC向左平移6个单位长度后得到的△A1B1C1； ‎ ‎（2）以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的，得到△A2B2C2，请在图中y轴右侧，画出△A2B2C2，并求出∠A2C2B2的正弦值．‎ ‎【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；‎ ‎（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求，‎ 由图形可知，∠A2C2B2=∠ACB，‎ 过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D，‎ 由A（2，2），C（4，﹣4），B（4，0），易得D（4，2），‎ 故AD=2，CD=6，AC==2，‎ ‎∴sin∠ACB===，‎ 即sin∠A2C2B2=．‎ ‎22．（8分）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC，AB于点E，F．‎ ‎（1）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；‎ ‎（2）若BD=2，BF=2，求阴影部分的面积（结果保留π）．‎ ‎【解答】解：（1）BC与⊙O相切．‎ 证明：连接OD．‎ ‎∵AD是∠BAC的平分线，‎ ‎∴∠BAD=∠CAD．‎ 又∵OD=OA，‎ ‎∴∠OAD=∠ODA．‎ ‎∴∠CAD=∠ODA．‎ ‎∴OD∥AC．‎ ‎∴∠ODB=∠C=90°，即OD⊥BC．‎ 又∵BC过半径OD的外端点D，‎ ‎∴BC与⊙O相切．‎ ‎（2）设OF=OD=x，则OB=OF+BF=x+2，‎ 根据勾股定理得：OB2=OD2+BD2，即（x+2）2=x2+12，‎ 解得：x=2，即OD=OF=2，‎ ‎∴OB=2+2=4，‎ ‎∵Rt△ODB中，OD=OB，‎ ‎∴∠B=30°，‎ ‎∴∠DOB=60°，‎ ‎∴S扇形AOB==，‎ 则阴影部分的面积为S△ODB﹣S扇形DOF=×2×2﹣=2﹣．‎ 故阴影部分的面积为2﹣．‎ ‎　‎ ‎23．（8分）我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n=p×q（p，q是正整数，且p≤q），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解．并规定：F（n）=．‎ 例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所以3×4是12的最佳分解，所以F（12）=．‎ ‎（1）如果一个正整数m是另外一个正整数n的平方，我们称正整数m是完全平方数．‎ 求证：对任意一个完全平方数m，总有F（m）=1；‎ ‎（2）如果一个两位正整数t，t=10x+y（1≤x≤y≤9，x，y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为36，那么我们称这个数t为“吉祥数”，求所有“吉祥数”；‎ ‎（3）在（2）所得“吉祥数”中，求F（t）的最大值．‎ ‎【解答】解：（1）证明：对任意一个完全平方数m，设m=n2（n为正整数），‎ ‎∵|n﹣n|=0，‎ ‎∴n×n是m的最佳分解，‎ ‎∴对任意一个完全平方数m，总有F（m）==1；‎ ‎（2）设交换t的个位上数与十位上的数得到的新数为t′，则t′=10y+x，‎ ‎∵t是“吉祥数”，‎ ‎∴t′﹣t=（10y+x）﹣（10x+y）=9（y﹣x）=36，‎ ‎∴y=x+4，‎ ‎∵1≤x≤y≤9，x，y为自然数，‎ ‎∴满足“吉祥数”的有：15，26，37，48，59；‎ ‎（3）F（15）=，F（26）=，F（37）=，F（48）==，F（59）=，‎ ‎∵＞＞＞＞，‎ ‎∴所有“吉祥数”中，F（t）的最大值为．‎ ‎24．（10分）已知正方形ABCD，P为射线AB上的一点，以BP为边作正方形BPEF，使点F在线段CB的延长线上，连接EA，EC．‎ ‎（1）如图1，若点P在线段AB的延长线上，求证：EA=EC；‎ ‎（2）如图2，若点P在线段AB的中点，连接AC，判断△ACE的形状，并说明理由；‎ ‎（3）如图3，若点P在线段AB上，连接AC，当EP平分∠AEC时，设AB=a，BP=b，求a：b及∠AEC的度数．‎ ‎【解答】证明：（1）∵四边形ABCD和四边形BPEF是正方形，‎ ‎∴AB=BC，BP=BF，‎ ‎∴AP=CF，‎ 在△APE和△CFE中，‎ ‎∵，‎ ‎∴△APE≌△CFE，‎ ‎∴EA=EC；‎ ‎（2）△ACE是直角三角形，理由是：‎ 如图2，∵P为AB的中点，‎ ‎∴PA=PB，‎ ‎∵PB=PE，‎ ‎∴PA=PE，‎ ‎∴∠PAE=45°，‎ 又∵∠BAC=45°，‎ ‎∴∠CAE=90°，即△ACE是直角三角形；‎ ‎（3）解法一：如图3，设CE交AB于G，‎ ‎∵EP平分∠AEC，EP⊥AG，‎ ‎∴AP=PG=a﹣b，BG=a﹣（2a﹣2b）=2b﹣a，‎ ‎∵PE∥CF，‎ ‎∴，即，‎ 解得：a=b，‎ ‎∴a：b=：1，‎ 作GH⊥AC于H，‎ ‎∵∠CAB=45°，‎ ‎∴HG=AG=（2b﹣2b）=（2﹣）b，‎ 又∵BG=2b﹣a=（2﹣）b，‎ ‎∴GH=GB，GH⊥AC，GB⊥BC，‎ ‎∴∠HCG=∠BCG，‎ ‎∵PE∥CF，‎ ‎∴∠PEG=∠BCG，‎ ‎∴∠AEC=∠ACB=45°．‎ 解法二：如图4，连接BE，‎ 易得a=b，‎ ‎∴a：b=：1，‎ ‎∵BE=BF=a，‎ ‎∴BE=a=BC，‎ ‎∴∠BCE=∠BEC，‎ ‎∵∠FBE=∠BCE+∠BEC=45°，‎ ‎∴∠BCE=22.5°，‎ ‎∴∠AEC=2∠PEC=2∠BCE=45°．‎ ‎　‎ ‎25．（10分）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，点B坐标为（6，0），点C坐标为（0，6），点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为E，连接BD．‎ ‎（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；‎ ‎（2）点F是抛物线上的动点，当∠FBA=∠BDE时，求点F的坐标；‎ ‎（3）若点M是抛物线上的动点，过点M作MN∥x轴与抛物线交于点N，点P在x轴上，点Q在坐标平面内，以线段MN为对角线作正方形MPNQ，请写出点Q的坐标．‎ ‎【解答】解：‎ ‎（1）把B、C两点坐标代入抛物线解析式可得，解得，‎ ‎∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+6，‎ ‎∵y=﹣x2+2x+6=﹣（x﹣2）2+8，‎ ‎∴D（2，8）；‎ ‎（2）如图1，过F作FG⊥x轴于点G，‎ 设F（x，﹣x2+2x+6），则FG=|﹣x2+2x+6|，‎ ‎∵∠FBA=∠BDE，∠FGB=∠BED=90°，‎ ‎∴△FBG∽△BDE，‎ ‎∴=，‎ ‎∵B（6，0），D（2，8），‎ ‎∴E（2，0），BE=4，DE=8，OB=6，‎ ‎∴BG=6﹣x，‎ ‎∴=，‎ 当点F在x轴上方时，有=，解得x=﹣1或x=6（舍去），此时F点的坐标为（﹣1，）；‎ 当点F在x轴下方时，有=﹣，解得x=﹣3或x=6（舍去），此时F点的坐标为（﹣3，﹣）；‎ 综上可知F点的坐标为（﹣1，）或（﹣3，﹣）；‎ ‎（3）如图2，设对角线MN、PQ交于点O′，‎ ‎∵点M、N关于抛物线对称轴对称，且四边形MPNQ为正方形，‎ ‎∴点P为抛物线对称轴与x轴的交点，点Q在抛物线的对称轴上，‎ 设Q（2，2n），则M坐标为（2﹣n，n），‎ ‎∵点M在抛物线y=﹣x2+2x+6的图象上，‎ ‎∴n=﹣（2﹣n）2+2（2﹣n）+6，解得n=﹣1+或n=﹣1﹣，‎ ‎∴满足条件的点Q有两个，其坐标分别为（2，﹣2+2）或（2，﹣2﹣2）．‎