重庆中考数学题几何证明

重庆中考数学题几何证明

‎2017年12月04日月之恒的初中数学组卷 一．解答题（共23小题）‎ ‎1．（2017•贵港）已知：△ABC是等腰直角三角形，动点P在斜边AB所在的直线上，以PC为直角边作等腰直角三角形PCQ，其中∠PCQ=90°，探究并解决下列问题：‎ ‎（1）如图①，若点P在线段AB上，且AC=1+，PA=，则：‎ ‎①线段PB=　　　　　　，PC=　　　　　　；‎ ‎②猜想：PA2，PB2，PQ2三者之间的数量关系为　　　　　　；‎ ‎（2）如图②，若点P在AB的延长线上，在（1）中所猜想的结论仍然成立，请你利用图②给出证明过程；‎ ‎（3）若动点P满足=，求的值．（提示：请利用备用图进行探求） ‎ ‎　‎ ‎2．（2017•保亭县模拟）如图1，在△ABC和△EDC中，AC=CE=CB=CD，∠ACB=∠ECD=90°，AB与CE交于F，ED与AB、BC分别交于M、H．‎ ‎（1）试说明CF=CH；‎ ‎（2）如图2，△ABC不动，将△EDC从△ABC的位置绕点C顺时针旋转，当旋转角∠BCD为多少度时，四边形ACDM是平行四边形，请说明理由；‎ ‎（3）当AC=时，在（2）的条件下，求四边形ACDM的面积．‎ ‎　‎ ‎3．（2017春•嘉兴期末）如图，菱形ABCD中，∠ABC=60°，有一度数为60°的∠MAN绕点A旋转．‎ ‎（1）如图①，若∠MAN的两边AM，AN分别交BC，CD于点E，F，则线段CE，DF的大小关系如何？请证明你的结论；‎ ‎（2）如图②，若∠MAN的两边AM，AN分别交BC，CD的延长线于点E，F，则线段CE，DF还有（1）中的结论吗？请说明你的理由．‎ ‎　‎ ‎4．（2017•营口）【问题探究】‎ ‎（1）如图1，锐角△ABC中分别以AB、AC为边向外作等腰△ABE和等腰△ACD，使AE=AB，AD=AC，∠BAE=∠CAD，连接BD，CE，试猜想BD与CE的大小关系，并说明理由．‎ ‎【深入探究】‎ ‎（2）如图2，四边形ABCD中，AB=7cm，BC=3cm，∠ABC=∠ACD=∠ADC=45°，求BD的长．‎ ‎（3）如图3，在（2）的条件下，当△ACD在线段AC的左侧时，求BD的长．‎ ‎　‎ ‎5．（2017•菏泽）如图，已知∠ABC=90°，D是直线AB上的点，AD=BC．‎ ‎（1）如图1，过点A作AF⊥AB，并截取AF=BD，连接DC、DF、CF，判断△CDF的形状并证明；‎ ‎（2）如图2，E是直线BC上一点，且CE=BD，直线AE、CD相交于点P，∠APD的度数是一个固定的值吗？若是，请求出它的度数；若不是，请说明理由．‎ ‎　‎ ‎6．（2017春•重庆校级期末）如图1，△ABC中，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，连接DE．‎ ‎（1）若AB=BC，DE=1，BE=3，求△ABC的周长；‎ ‎（2）如图2，若AB=BC，AD=BD，∠ADB的角平分线DF交BE于点F，求证：BF=DE；‎ ‎（3）如图3，若AB≠BC，AD=BD，将△ADC沿着AC翻折得到△AGC，连接DG、EG，请猜想线段AE、BE、DG之间的数量关系，并证明你的结论．‎ ‎　‎ ‎7．（2017•于洪区一模）如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．‎ ‎（1）如果AB=AC，∠BAC=90°，‎ ‎①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，线段CF、BD所在直线的位置关系为　　　　　　，线段CF、BD的数量关系为　　　　　　；‎ ‎②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，并说明理由；‎ ‎（2）如果AB≠AC，∠BAC是锐角，点D在线段BC上，当∠ACB满足什么条件时，CF⊥BC（点C、F不重合），并说明理由．‎ ‎　‎ ‎8．（2017•绍兴）（1）如图1，正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=45°，延长CD到点G，使DG=BE，连结EF，AG．求证：EF=FG．‎ ‎（2）如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点M，N在边BC上，且∠MAN=45°，若BM=1，CN=3，求MN的长．‎ ‎　‎ ‎9．（2017•东营）（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．‎ 证明：DE=BD+CE．‎ ‎（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．‎ ‎（3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF的形状．‎ ‎　‎ ‎10．（2017•昭通）已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作菱形ADEF（A、D、E、F按逆时针排列），使∠DAF=60°，连接CF．‎ ‎（1）如图1，当点D在边BC上时，求证：①BD=CF；②AC=CF+CD；‎ ‎（2）如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CF+CD是否成立？若不成立，请写出AC、CF、CD之间存在的数量关系，并说明理由；‎ ‎（3）如图3，当点D在边CB的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC、CF、CD之间存在的数量关系．‎ ‎　‎ ‎11．（2017•常德）已知两个共一个顶点的等腰Rt△ABC，Rt△CEF，∠ABC=∠CEF=90°，连接AF，M是AF的中点，连接MB、ME．‎ ‎（1）如图1，当CB与CE在同一直线上时，求证：MB∥CF；‎ ‎（2）如图1，若CB=a，CE=2a，求BM，ME的长；‎ ‎（3）如图2，当∠BCE=45°时，求证：BM=ME．‎ ‎　‎ ‎12．（2017•庐阳区校级模拟）如图，将两个全等的直角三角形△ABD、△ACE拼在一起（图1）．△ABD不动，‎ ‎（1）若将△ACE绕点A逆时针旋转，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC（图2），证明：MB=MC．‎ ‎（2）若将图1中的CE向上平移，∠CAE不变，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC（图3），判断并直接写出MB、MC的数量关系．‎ ‎（3）在（2）中，若∠CAE的大小改变（图4），其他条件不变，则（2）中的MB、MC的数量关系还成立吗？说明理由．‎ ‎　‎ ‎13．（2017•武汉模拟）已知△ABC中，AB=AC．‎ ‎（1）如图1，在△ADE中，若AD=AE，且∠DAE=∠BAC，求证：CD=BE；‎ ‎（2）如图2，在△ADE中，若∠DAE=∠BAC=60°，且CD垂直平分AE，AD=3，CD=4，求BD的长；‎ ‎（3）如图3，在△ADE中，当BD垂直平分AE于H，且∠BAC=2∠ADB时，试探究CD2，BD2，AH2之间的数量关系，并证明．‎ ‎　‎ ‎14．（2017•长春）感知：如图①，点E在正方形ABCD的边BC上，BF⊥AE于点F，DG⊥AE于点G，可知△ADG≌△BAF．（不要求证明）‎ 拓展：如图②，点B、C分别在∠MAN的边AM、AN上，点E、F在∠MAN内部的射线AD上，∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角．已知AB=AC，∠1=∠2=∠BAC，求证：△ABE≌△CAF．‎ 应用：如图③，在等腰三角形ABC中，AB=AC，AB＞BC．点D在边BC上，CD=2BD，点E、F在线段AD上，∠1=∠2=∠BAC．若△ABC的面积为9，则△ABE与△CDF的面积之和为　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎15．（2017•昌平区模拟）（1）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD．‎ 求证：EF=BE+FD；‎ ‎（2）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？‎ ‎（3）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF=∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．‎ ‎　‎ ‎16．（2017•哈尔滨模拟）已知△ABC是等腰三角形，AB=AC，D为边BC上任意一点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且E，F分别在边AB，AC上．‎ ‎（1）如图a，当△ABC是等边三角形时，证明：AE+AF=BC．‎ ‎（2）如图b，若△ABC中，∠BAC=120°，探究线段AE，AF，AB之间的数量关系，并对你的猜想加以证明．‎ ‎（3）如图c，若△ABC中，AB=10，BC=16，EF=6，利用你对（1），（2）两题的解题思路计算出线段CD（BD＞CD）的长．‎ ‎　‎ ‎17．（2017•绍兴）数学课上，李老师出示了如下框中的题目．‎ 小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：‎ ‎（1）特殊情况•探索结论 当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与的DB大小关系．请你直接写出结论：AE　　　　　　DB（填“＞”，“＜”或“=”）．‎ ‎（2）特例启发，解答题目 解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE　　　　　　DB（填“＞”，“＜”或“=”）．理由如下：‎ 如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F，（请你完成以下解答过程）‎ ‎（3）拓展结论，设计新题 在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC．若△ABC的边长为1，AE=2，求CD的长（请你直接写出结果）．‎ ‎　‎ ‎18．（2017•沈阳）已知，△ABC为等边三角形，点D为直线BC上一动点（点D不与B、C重合）．以AD为边作菱形ADEF，使∠DAF=60°，连接CF．‎ ‎（1）如图1，当点D在边BC上时，‎ ‎①求证：∠ADB=∠AFC；②请直接判断结论∠AFC=∠ACB+∠DAC是否成立；‎ ‎（2）如图2，当点D在边BC的延长线上时，其他条件不变，结论∠AFC=∠ACB+∠DAC是否成立？请写出∠AFC、∠ACB、∠DAC之间存在的数量关系，并写出证明过程；‎ ‎（3）如图3，当点D在边CB的延长线上时，且点A、F分别在直线BC的异侧，其他条件不变，请补全图形，并直接写出∠AFC、∠ACB、∠DAC之间存在的等量关系．‎ ‎　‎ ‎19．（2017•梅州）如图1，已知线段AB的长为2a，点P是AB上的动点（P不与A，B重合），分别以AP、PB为边向线段AB的同一侧作正△APC和正△PBD．‎ ‎（1）当△APC与△PBD的面积之和取最小值时，AP=　　　　　　；（直接写结果）‎ ‎（2）连接AD、BC，相交于点Q，设∠AQC=α，那么α的大小是否会随点P的移动面变化？请说明理由；‎ ‎（3）如图2，若点P固定，将△PBD绕点P按顺时针方向旋转（旋转角小于180°），此时α的大小是否发生变化？（只需直接写出你的猜想，不必证明）‎ ‎　‎ ‎20．（2017•抚顺）如图1，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，BD为斜边AC上的中线，将△ABD绕点D顺时针旋转α（0°＜α＜180°），得到△EFD，点A的对应点为点E，点B的对应点为点F，连接BE、CF．‎ ‎（1）判断BE与CF的位置、数量关系，并说明理由；‎ ‎（2）若连接BF、CE，请直接写出在旋转过程中四边形BCEF能形成哪些特殊四边形；‎ ‎（3）如图2，将△ABC中AB=BC改成AB≠BC时，其他条件不变，直接写出α为多少度时（1）中的两个结论同时成立．‎ ‎　‎ ‎21．（2017•安徽模拟）如图，在△ABC中，AB=AC=a，BC=b，且2a＞b，BG⊥AC于G，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．‎ ‎（1）在图（1）中，D是BC边上的中点，计算DE+DF和BG的长（用a，b表示），并判断DE+DF与BG的关系．‎ ‎（2）在图（2）中，D是线段BC上的任意一点，DE+DF与BG的关系是否仍然成立？如果成立，证明你的结论；如果不成立，请说明理由．‎ ‎（3）在图（3）中，D是线段BC延长线上的点，探究DE、DF与BG的关系．（不要求证明）‎ ‎　‎ ‎22．（2017•丹东）如图，已知等边三角形ABC中，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，M为直线BC上一动点，△DMN为等边三角形（点M的位置改变时，△DMN也随之整体移动）．‎ ‎（1）如图1，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？点F是否在直线NE上？都请直接写出结论，不必证明或说明理由；‎ ‎（2）如图2，当点M在BC上时，其它条件不变，（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由；‎ ‎（3）若点M在点C右侧时，请你在图3中画出相应的图形，并判断（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请直接写出结论，不必证明或说明理由．‎ ‎　‎ ‎23．（2017•铁岭）△ABC是等边三角形，点D是射线BC上的一个动点（点D不与点B、C重合），△ADE是以AD为边的等边三角形，过点E作BC的平行线，分别交射线AB、AC于点F、G，连接BE．‎ ‎（1）如图（a）所示，当点D在线段BC上时．‎ ‎①求证：△AEB≌△ADC；‎ ‎②探究四边形BCGE是怎样特殊的四边形？并说明理由；‎ ‎（2）如图（b）所示，当点D在BC的延长线上时，直接写出（1）中的两个结论是否成立；‎ ‎（3）在（2）的情况下，当点D运动到什么位置时，四边形BCGE是菱形？并说明理由．‎ ‎　‎ ‎　‎