中考数学特训之特殊的平行四边形

中考数学特训之特殊的平行四边形

特殊的平行四边形 A级　基础题 ‎1．(2013年四川宜宾)矩形具有而菱形不具有的性质是(　　)‎ A．两组对边分别平行 B．对角线相等 C．对角线互相平分 D．两组对角分别相等 ‎2．(2013年四川巴中)如图4335，菱形ABCD的两条对角线相交于点O，若AC＝6，BD＝4，则菱形ABCD的周长是(　　)‎ 图4335‎ A．24 B．‎16 C．4 D．2 ‎3．(2013年海南)如图4336，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件中能够判定四边形ACED为菱形的是(　　)‎ A．AB＝BC B．AC＝BC C．∠B＝60° D．∠ACB＝60°‎ ‎ ‎ ‎ 图4336　　　　 图4337　　　 图4338　　　　图4339‎ ‎4．(2013年内蒙古赤峰)如图4337,4×4的方格中每个小正方形的边长都是1，则S四边形ABDC与S四边形ECDF的大小关系是(　　)‎ A．S四边形ABDC＝S四边形ECDF B．S四边形ABDC < S四边形ECDF C．S四边形ABDC＝S四边形ECDF＋1 D．S四边形ABDC＝S四边形ECDF＋2‎ ‎5．(2013年四川凉山州)如图4338，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为(　　)‎ A．14 B．‎15 C．16 D．17‎ ‎6．(2013年湖南邵阳)如图4339，将△ABC绕AC的中点O按顺时针旋转180°得到△CDA，添加一个条件____________，使四边形ABCD为矩形．‎ ‎7．(2013年宁夏)如图4340，在矩形ABCD中，点E是BC上一点，AE＝AD，DF⊥AE，垂足为F.‎ 求证：DF＝DC.‎ 图4340‎ ‎8．如图4341，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝‎6 cm，BC＝‎8 cm.将△ABC沿射线BC方向平移‎10 cm，得到△DEF，A，B，C的对应点分别是D，E，F，连接AD.求证：四边形ACFD是菱形．‎ 图4341‎ ‎9．(2013年辽宁铁岭)如图4342，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE＝OD，连接AE，BE.‎ ‎(1)求证：四边形AEBD是矩形；‎ ‎(2)当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由．‎ 图4342‎ B级　中等题 ‎10．(2013年四川南充)如图4343，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE＝2，DE＝6，∠EFB＝60°，则矩形ABCD的面积是(　　)‎ A．12 B. ‎24 C. 12 D. 16 ‎ ‎ 图4343　　　　　图4344　　　　　图4345‎ ‎11．(2013年内蒙古呼和浩特)如图4344，在四边形ABCD中，对角线 AC⊥BD，垂足为O，点E，F，G，H分别为边AD，AB，BC，CD的中点．若AC＝8，BD＝6，则四边形EFGH 的面积为________．‎ ‎12．(2013年福建莆田)如图4345，正方形ABCD的边长为4，点P在DC边上，且DP＝1，点Q是 AC上一动点，则DQ＋PQ的最小值为____________．‎ ‎13．(2013年山东青岛)已知：如图4346，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD，BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点．‎ ‎(1)求证：△ABM≌△DCM；‎ ‎(2)判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论；‎ ‎(3)当AD∶AB＝__________时，四边形MENF是正方形(只写结论，不需证明)．‎ 图4346‎ C级　拔尖题 ‎14．(2013年内蒙古赤峰)如图4347，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝‎60 cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以‎4 cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以‎2 cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是t s(0 < t ≤ 15)．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF.‎ ‎(1)求证：AE＝DF；‎ ‎(2)四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；‎ ‎(3)当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．‎ 图4347‎ 特殊的平行四边形 ‎1．B　2.C　3.B　4.A　5.C ‎6．∠B＝90°或∠BAC＋∠BCA＝90°‎ ‎7．证明：∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴AB＝CD，AD∥BC，∠B＝90°.‎ ‎∵DF⊥AE，∴∠AFD＝∠B＝90°.‎ ‎∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB.‎ 又∵AD＝AE，∴△ADF≌△EAB.‎ ‎∴DF＝AB.∴DF＝DC.‎ ‎8．证明：由平移变换的性质，得 CF＝AD＝‎10 cm，DF＝AC，‎ ‎∵∠B＝90°，AB＝‎6 cm，BC＝‎8 cm，‎ ‎∴AC2＝AB2＋CB2，即AC＝‎10 cm.‎ ‎∴AC＝DF＝AD＝CF＝‎10 cm.‎ ‎∴四边形ACFD是菱形．‎ ‎9．(1)证明：∵点O为AB的中点，OE＝OD，‎ ‎∴四边形AEBD是平行四边形．‎ ‎∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，‎ ‎∴AD⊥BC.即∠ADB＝90°.‎ ‎∴四边形AEBD是矩形．‎ ‎(2)解：当△ABC是等腰直角三角形时，‎ 矩形AEBD是正方形．‎ ‎∵△ABC是等腰直角三角形，‎ ‎∴∠BAD＝∠CAD＝∠DBA＝45°.∴BD＝AD.‎ 由(1)知四边形AEBD是矩形，‎ ‎∴四边形AEBD是正方形．‎ ‎10．D　11.12‎ ‎12．5　解析：连接BP，交AC于点Q，连接QD.∵点B与点D关于AC对称，∴BP的长即为PQ＋DQ的最小值，‎ ‎∵CB＝4，DP＝1.∴CP＝3，在Rt△BCP中，‎ BP＝＝＝5.‎ ‎13．(1)证明：在矩形ABCD中，‎ AB＝CD，∠A＝∠D＝90°，‎ 又∵M是AD的中点，∴AM＝DM.‎ ‎∴△ABM≌△DCM(SAS)．‎ ‎(2)解：四边形MENF是菱形．证明如下：‎ E，F，N分别是BM，CM，CB的中点，‎ ‎∴NE∥MF，NE＝MF.‎ ‎∴四边形MENF是平行四边形．‎ 由(1)，得BM＝CM，∴ME＝MF.‎ ‎∴四边形MENF是菱形．‎ ‎(3)2∶1　解析：当AD∶AB＝2∶1时，四边形MENF是正方形．理由：‎ ‎∵M为AD中点，∴AD＝2AM.‎ ‎∵AD∶AB＝2∶1，∴AM＝AB.‎ ‎∵∠A＝90，∴∠ABM＝∠AMB＝45°.‎ 同理∠DMC＝45°，∴∠EMF＝180°－45°－45°＝90°.‎ ‎∵四边形MENF是菱形，∴菱形MENF是正方形．‎ ‎14．解：(1)在△DFC中，∠DFC＝90°，∠C＝30°，DC＝4t，‎ ‎∴DF＝2t，又∵AE＝2t，∴AE＝DF.‎ ‎(2)能．理由如下：‎ ‎∵AB⊥BC，DF⊥BC，∴AE∥DF.‎ 又∵AE＝DF，∴四边形AEFD为平行四边形．‎ 当AE＝AD时，四边形AEFD是菱形，即60－4t＝2t.‎ 解得t＝10 s，‎ ‎∴当t＝10 s时，四边形AEFD为菱形．‎ ‎(3)①当∠DEF＝90°时，由(2)知EF∥AD，‎ ‎∴∠ADE＝∠DEF＝90°.‎ ‎∵∠A＝60°，∴AD＝AE·cos60°＝t.‎ 又AD＝60－4t，即60－4t＝t，解得t＝12 s.‎ ‎②当∠EDF＝90°时，四边形EBFD为矩形．‎ 在Rt△AED中，∠A＝60°，则∠ADE＝30°.‎ ‎∴AD＝2AE，即60－4t＝4t，解得t＝ s.‎ ‎③若∠EFD＝90°，则E与B重合，D与A重合，此种情况不存在．‎ 综上所述，当t＝ s或t＝12 s时，△DEF为直角三角形．‎