长沙市中考数学试题详细解答

长沙市中考数学试题详细解答

‎2018年长沙市初中学业水平考试 数学详细解答 一、选择题(在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的。共12小题，每小题3分，共36分)‎ ‎1、-2的相反数是( C )‎ A、-2 B、 C、2 D、‎ 相反数，绝对值等概念考点 ‎2、据统计，2017年长沙市地区生产总值为10200亿元，经济问题迈入“万亿俱乐部”，数据10200用科学记数法表示为( )‎ A、 B、 C、 D、‎ 科学记数法考点：六个字点点，数数，模样 正确答案选C ‎3、下列计算正确的是( )‎ A、 B、 C、 D、‎ 合并同类二次根式（项），幂的运算等：‎ 正确答案选D，（同底数幂相除，底数不变，指数相减）‎ ‎4、下列长度的三条线段，能组成三角形的是( )‎ A、 B、 C、 D、‎ 三角形三边的关系，另两边之差＜一边＜另两边之和。‎ 正确答案选B ‎5、下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )‎ ‎ ‎ 轴对称图形与中心对称图形的概念。‎ 正确答案选A ‎6、不等式组的解集在数轴上表示正确的是 一元一次不等式组的解法及在数轴上的表示方法。‎ 正确答案选C ‎7、将下面左侧的平面图形绕轴旋转一周，可得到的立体图形是( )‎ 旋转可得的立体图形。‎ 正确答案选D ‎8、下列说法正确的是( )‎ A、任意掷一枚质地均匀的硬币10次，一定有5次正面朝上 B、天气预报说“明天降水概率为40%”，表示明天有40%的时间在下雨 C、“篮球在罚球线上投筐一次，投中”为随机事件 D、“是实数，”是不可能事件 统计知识点 正确答案选C ‎9、估计的值 A、在2和3之间 B、在3和4之间 C、在4和5之间 D、在5和6之间 找到中哪两个整数之间，就可以解决问题了。，即 正确答案选C ‎10、小明家、食堂、图书馆在同一条直线上，小明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆读报，然后回家。下图反映了这个过程，小明离家距离与时间的对应关系。根据图像下列说法正确的是( )‎ A、小明吃早餐用了25min B、小明读报用了30min C、食堂到图书馆的距离为 D、小明从图书馆回家的速度为 条形统计图上找到需要的信息：小明吃早餐用了25－8＝17分钟，小明读报用了58－28＝30分钟；食堂到图书馆的距离为0.8－0.6＝0.2千米，小明从图书馆回家的距离为0.8千米，时间为68－58＝10分钟，故速度为 正确答案选B ‎11、我国南宋茂名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题目上：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形的沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中的“里”是我国市制单位，1里=500米，则该沙田的面积为( )‎ A、7.5平方千米 B、15平方千米 C、75平方千米 D、750平方千米 ‎∵5,12,13为勾股数∴这是一个直角三角形，直角边的长分别为：5里=2500米=2.5千米；12里=6000米=6千米。∴面积=2.5×6÷2=7.5平方千米 正确答案选A ‎12、若对于任意非零实数,抛物线总不经过点，则符合条件的点P A、有且只有1个 B、有且只有2个 C、至少有3个 D、有无穷多个 ‎∵∴‎ ‎∵总不经过点 ‎∴一定成立。‎ ‎∴一定成立。‎ ‎∴时，一定不成立；当、时一定成立。‎ ‎∴当时，不一定成立。‎ 故只有两个点：、‎ 答案选择B 二、填空题(本大题6个小题，每小题3分，共18分)‎ ‎13、化简＝ 1 ‎ 同分母分式的加减法，以及要注意到最后的约分。‎ ‎14、某校九年级准备开展春季研学活动，对全年级学生各自最想去的活动地点进行了调查，把调查结果制成如下扇形统计图，则“世界之窗”对应的扇形圆心角为　90　　度。‎ 找到“世界之窗”所占的百分比×360°‎ ‎15、在平面直角坐标系中，将点A（－2,3）向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，那么平移后对应的点的坐标为　　(1,1)　‎ 坐标平移的横坐标与纵坐标的变换规律：横坐标左减右加；纵坐标上加下减 ‎16、掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别有1到6的点数，掷得面朝上的点数为偶数的的概率为　　　　　列举法求概率。‎ ‎17、已知关于的方程有一个根为1，则方程的另一个根为　2　‎ 两种方法，方法一：直接代入，求出，再求两根。‎ 方法二：利用根与系数的关系。‎ ‎18、如图，点A、B、D在⊙O上，∠A＝20°，BC是⊙O的切线，B为切点，OD的延长线交BC于点C，则∠OCB= 度。 ‎ 三、解答题(本大题共8个小题，19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第23、24题每小题9分，第25、26题每小题10分，共计66分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎19、计算：‎ ‎20、先化简，再求值：，其中。‎ ‎21、为了了解居民的环保意识，社区工作人员在光明小区随机抽取了若干名居民开展主题为“打赢蓝天保卫战”的环保知识有奖问答活动，并用得到的数据绘制了如下条形统计图(得分为整数，满分为10分，最低分6分)。请根据图吉信息，解答下列问题：‎ ‎(1)本次调查一共抽取了 名居民；‎ ‎(2)求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；‎ ‎(3)社区决定对该小区500名居民开展这项有奖问活动，得10分者设为“一等奖”，请你根据调查活动，帮社区工作人员估计需准备多少份“一等奖”奖品？‎ 解：（1）4＋10＋15＋11＋10＝50‎ ‎（2）众数为地：8，中位数为11，‎ ‎ （3）份 ‎22、为加快城乡对接，建设全域美丽乡村，某地区对A，B两地间的公路进行改建。如图 ，A，B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地需途经C地沿折线ACB行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB行驶，已知BC=50千米，∠A=45°，∠B=30°。(结果精确到0.1千米，参考数据：)‎ ‎(1)开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走多少千米？‎ ‎(2)开通隧道后，汽车从A地到B地大约可以少走多少千米。‎ ‎ ‎ 解：过C作CD⊥AB于点D ‎∵Rt△BCD中，∠CDB=90°‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∵Rt△ACD中，∠ACD=90°‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎(1)∴‎ ‎（2）‎ ‎23 、随着中国传统节日“端午节”的临近，东方红商场决定开展“欢度端午，回馈顾客”的让利促销活动对干部份品牌的粽子进行打折销售，其中甲品牌粽子打八折，乙品牌粽子打七五折，已知打折前，买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需660元，打折后，买50盒甲品牌的粽子和40盒乙品牌的粽子需5200元 ‎(1)打折前甲、乙两品牌粽子每盒分别多少元？‎ ‎(2)阳光敬才院需购买甲品牌粽子80盒，乙品牌粽子100盒，问打折后购买这批粽子比不打折节省了多少钱？‎ 解：设打折前甲粽子元每盒，打折前乙粽子元每盒，依题意得：‎ 解之得：‎ ‎13600－10480＝3120‎ 答略 ‎（2）80×70＋100×80＝13600‎ ‎80×70×0.8＋100×80×0.75＝10480‎ ‎24、如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，∠BAD＝∠CAD，CE∥AD，CE交BA的延长线于点E，BC=8，AD=3‎ ‎(1)求CE的长 ‎(2)求证△ABC是等腰三角形 ‎(3)求△ABC的外接圆圆心P与内切圆圆心Q之间的距离。‎ 解：（1）∵AD是中线，AD∥CE ‎∴AD是△BCE的中位线 ‎∴CE＝2AD＝6‎ ‎（2）∵AD是△BCE的中位线 ‎∴AB＝AE ‎∵AD∥CE ‎∴∠E＝∠BAD，∠DAC＝∠ACE ‎∵∠BAD＝∠DAC ‎∴∠E＝∠ACE ‎∴AC＝AE ‎∵AB＝AE ‎∴AB＝AC ‎∴△ABC是等腰三角形 ‎∵AD是△ABC的中线，AB＝AC ‎∴BD=4, ∠ADB＝90°‎ ‎∴AB＝5‎ ‎∴AC＝AB＝5‎ ‎（3）这问主要考点，内切圆圆心与外接圆圆心在什么位置上。‎ ‎（等腰△ABC，故BC的垂直平分线与∠BAC的平分线重合中）故内切圆的圆心Q在AD上，外接圆的圆心在射线AD上。‎ 内、外接圆的半径与什么有关，怎么求？‎ 内切圆的半径与等面积法来求。‎ 作出两个圆（考试时可以不作出圆）及外接圆心P和内切圆圆心Q 先求内切圆半径DQ 再求，外接圆半径 设AP=BP=‎ ‎∴PD=PA-AD==‎ ‎∴PQ=PD+DQ==‎ ‎25． 如图，在平面直角坐标系中，函数（为常数，）的图象经过点和，直线PQ与轴，轴分别交于点C，D两点，该图象上一动点，过点M分别作轴和轴的垂线，垂足分别为A、B。‎ ‎(1)求∠OCD的度数；‎ ‎(2)当时，存在点M使得△OPM∽△OCP，‎ 求此时点M的坐标；‎ ‎(3)当时，矩形OAMB与△OPQ的重叠部分的 面积能否等于4.1？请你说明理由。‎ 解：（1）∵和 设 ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴∠OCD=45°‎ ‎（2）∵‎ ‎∴，，‎ ‎∴‎ 不妨设，则 ‎∵△OPM∽△OCP ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∵当时，‎ ‎∴‎ ‎∴△OPM三边长分别为：‎ ‎△OCP三边长分别为 ‎∴对应边不成比例。‎ ‎∴‎ ‎∵当时，故不能找到这样的点M。‎ ‎∴△OPM三边长分别为：‎ ‎△OCP三边长分别为 ‎∴三边对应成比例 ‎∴△OPM∽△OCP ‎∴‎ ‎∴‎ ‎（3）∵‎ ‎∴， ‎ ‎∴‎ ① 当时，如下图 重合的面积＝‎ ② ‎②当时，如下图 重合的面积＝‎ ‎③②当时，如下图 重合的面积＝‎ 不妨设 ‎∴代入 ‎∴‎ ‎∴‎ 代入 ‎∴‎ ‎∴‎ 整理得：‎ 此方程无解。‎ ‎26、我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”。‎ ‎(1)①在“平行四边形，矩形，菱形、正方形”中，一定是“十字形”的有 ‎ ‎②在凸四边形ABCD中，AB=AD，CB≠CD，则该四边形 “十字形”(填“是”或“不是”)‎ ‎(2)如图1，A，B，C，D是半径为1的⊙O上按逆时针方向排列的四个动点，AC与BD交于点E，∠ADB－∠CDB＝∠＝∠ABD－∠CBD，当时，求OE的取值范围；‎ ‎(3)如图2，在平面直角坐标系中，抛物线(为常数，且)与轴交于点A，C两点(点A在点C的左侧)，B是抛物线与轴的交点，点D的坐标为。记“十字形”ABCD的面积为S，记△AOB，△COD，△AOD，△BOC的面积分别为：，求同时满足下列三个条件的抛物线解析式：‎ ‎① ② ③“十字形”ABCD的周长为 解第（1）的两问都容易 菱形、正方形 不是 ‎（2）要找到 ‎∠ADB－∠CDB＝∠ABD－∠CBD的作用。‎ ‎∵⊙O ‎∴∠CDB＝∠CAB，∠CBD＝∠CAD ‎∴∠ADB＋∠CAD＝∠ABD＋∠CAB ‎∴∠AEB＝∠AED＝90°‎ 过O分别作ON⊥AC于N，OM⊥BD于M ‎∵∠AED＝90°‎ ‎∴四边形OMEN为矩形 ‎∴ON＝ME ‎∵Rt△AON中，ON⊥AC于N ‎∴,‎ ‎∵Rt△MOE中，OM⊥BD于M ‎,‎ 解：设的两根分别为：‎ 则：‎ 则： ‎ ‎，‎ ‎∵Rt△COD中，‎