宁波市2015年中考数学卷

宁波市2015年中考数学卷

‎2015年浙江省宁波市中考数学试卷解析 ‎（全卷满分150分，考试时间120分钟，不得使用计算器）‎ 参考公式：抛物线的顶点坐标为.‎ 一、选择题（每小题4分，共48分）‎ ‎1. （2015年浙江宁波4分）的绝对值是【 】‎ A. B. 3 C. D. -3‎ ‎【答案】A．‎ ‎【考点】绝对值．‎ ‎【分析】根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值的定义，在数轴上，点到原点的距离是，所以，的绝对值是，故选A．‎ ‎2. （2015年浙江宁波4分）下列计算正确的是【 】‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D．‎ ‎【考点】幂的乘方和积的乘方；合并同类项；同底幂乘法.‎ ‎【分析】根据幂的乘方和积的乘方，合并同类项，同底幂乘法运算法则逐一计算作出判断：‎ A. ，选项错误； ‎ B. ，选项错误； ‎ C. ，选项错误； ‎ D. ，选项正确.‎ 故选D．‎ ‎3. （2015年浙江宁波4分）2015年中国高端装备制造业收入将超过6万亿元，其中6万亿元用科学计数法可表示为【 】‎ A. 0.6×1013元 B. 60×1011元 C. 6×1012元 D. 6×1013元 ‎【答案】C.‎ ‎【考点】科学记数法.‎ ‎【分析】根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值. 在确定n的值时，看该数是大于或等于1还是小于1. 当该数大于或等于1时，n为它的整数位数减1；当该数小于1时，－n为它第一个有效数字前0的个数（含小数点前的1个0）. 因此，‎ ‎∵6万亿=6 000 000 000 000一共13位，∴16万亿=6 000 000 000 000=6×1012.‎ 故选C.‎ ‎4. （2015年浙江宁波4分） 在端午节道来之前，学校食堂推荐了A，B，C三家粽子专卖店，对全校师生爱吃哪家店的粽子作调查，以决定最终向哪家店采购. 下面的统计量中，最值得关注的是【 】‎ A. 方差 B. 平均数 C. 中位数 D. 众数 ‎【答案】D.‎ ‎【考点】统计量的选择，众数。‎ ‎【分析】学校食堂最值得关注的应该是哪家粽子专卖店爱吃的人数最多，由于众数是数据中出现次数最多的数，故学校食堂最值得关注的应该是统计调查数据的众数. 故选D.‎ ‎5. （2015年浙江宁波4分）如图是由五个相同的小立方块搭成的几何体，则它的俯视图是【 】‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A．‎ ‎【考点】简单组合体的三视图．.‎ ‎【分析】根据俯视图的定义，找出从上往下看到的图形，从上往下看，俯视图有两排，前排中间有一个正方形后排三个正方形. 故选A．‎ ‎6. （2015年浙江宁波4分）如图，直线∥，直线分别与，相交，∠1=50°，则∠2的度数为【 】‎ A. 150° B. 130° C. 100° D. 50°‎ ‎【答案】 B. ‎ ‎【考点】平行线的性质；补角的定义.‎ ‎【分析】如答图，∵∥，∴∠1=∠3.‎ ‎∵∠1=50°，∴∠3=50°.∴∠2=130°.‎ 故选B.‎ ‎7. （2015年浙江宁波4分） 如图，□ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，如果添加一个条件，使△ABE≌△CDF，则添加的条件不能为【 】‎ A. BE=DF B. BF=DE C. AE=CF D. ∠1=∠2‎ ‎【答案】C.‎ ‎【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定. ‎ ‎【分析】根据平行四边形的性质和全等三角形的判定对各选项进行分析，作出判断：‎ ‎∵四边形是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD.∴∠ABE=∠CDF.‎ 若添加BE=DF，则根据SAS可判定△ABE≌△CDF；‎ 若添加BF=DE，由等量减等量差相等得BE=DF，则根据SAS可判定△ABE≌△CDF；‎ 若添加AE=CF，是AAS不可判定△ABE≌△CDF；‎ 若添加∠1=∠2，则根据ASA可判定△ABE≌△CDF.‎ 故选C.‎ ‎8. （2015年浙江宁波4分） 如图，⊙O为△ABC的外接圆，∠A=72°，则∠BCO的度数为【 】‎ A. 15° B. 18° C. 20° D. 28°‎ ‎【答案】B.‎ ‎【考点】圆周角定理；等腰三角形的性质；三角形内角和定理.‎ ‎【分析】如答图，连接OB，‎ ‎∵∠A和∠BOC是同圆中同弧所对的圆周角和圆心角，‎ ‎∴.‎ ‎∵∠A=72°，∴∠BOC=144°.‎ ‎∵OB=OC，∴.∴.‎ 故选B.‎ ‎9. （2015年浙江宁波4分）如图，用一个半径为30cm，面积为cm2的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥（不计损耗），则圆锥的底面半径为【 】‎ A. 5cm B. 10cm C. 20cm D. cm ‎【答案】B.‎ ‎【考点】圆锥的计算．‎ ‎【分析】∵扇形的半径为30cm，面积为cm2，∴扇形的圆心角为.‎ ‎∴扇形的弧长为.‎ ‎∵圆锥的底面周长等于它的侧面展开图的弧长，‎ ‎∴根据圆的周长公式，得，解得．‎ ‎∴圆锥的底面半径为．‎ 故选B.‎ ‎10. （2015年浙江宁波4分）如图，将△ABC沿着过AB中点D的直线折叠，使点A落在BC边上的A1处，称为第1次操作，折痕DE到BC的距离记为；还原纸片后，再将△ADE沿着过AD中点D1的直线折叠，使点A落在DE边上的A2处，称为第2次操作，折痕D1E1到BC的距离记为；按上述方法不断操作下去，经过第2015次操作后得到的折痕D2014E2014到BC的距离记为，若=1，则的值为【 】‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D.‎ ‎【考点】探索规律题（图形的变化类）；折叠对称的性质；三角形中位线定理. ‎ ‎【分析】根据题意和折叠对称的性质，DE是△ABC的中位线，D1E1是△A D1E1的中位线，D2E2是△A2D2E1的中位线，…‎ ‎∴，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎…‎ ‎.‎ 故选D.‎ ‎11. （2015年浙江宁波4分）二次函数的图象在2<<3这一段位于轴的下方，在6<<7这一段位于轴的上方，则的值为【 】‎ A. 1 B. -1 C. 2 D. -2‎ ‎【答案】A.‎ ‎【考点】二次函数的性质；解一元一次不等式组；特殊元素法的应用.‎ ‎【分析】∵二次函数的图象在2<<3这一段位于轴的下方，在6<<7这一段位于轴的上方，‎ ‎∴当时，二次函数的图象位于轴的下方；当时，二次函数的图象位于轴的上方.‎ ‎∴.‎ ‎∴的值为1.‎ 故选A.‎ ‎12. （2015年浙江宁波4分） 如图，小明家的住房平面图呈长方形，‎ 被分割成3个正方形和2个长方形后仍是中心对称图形. 若只知道原住房平面图长方形的周长，则分割后不用测量就能知道周长的图形标号为【 】‎ A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③‎ ‎【答案】A.‎ ‎【考点】多元方程组的应用（几何问题）.‎ ‎【分析】如答图，设原住房平面图长方形的周长为，①的长和宽分别为，②③的边长分别为.‎ 根据题意，得，‎ ‎，得，‎ 将代入③，得（定值），‎ 将代入，得（定值），‎ 而由已列方程组得不到.‎ ‎∴分割后不用测量就能知道周长的图形标号为①②.‎ 故选A.‎ 二、填空题（每小题4分，共24分）‎ ‎13. （2015年浙江宁波4分）实数8的立方根是 ▲ ‎ ‎【答案】2.‎ ‎【考点】立方根.‎ ‎【分析】根据立方根的定义，求数a的立方根，也就是求一个数x，使得x3=a，则x就是a的一个立方根：‎ ‎∵23=8，∴8的立方根是2.‎ ‎14. （2015年浙江宁波4分）分解因式：= ▲ ‎ ‎【答案】.‎ ‎【考点】应用公式法因式分解.‎ ‎【分析】因为，所以直接应用平方差公式即可：.‎ ‎15. （2015年浙江宁波4分）命题“对角线相等的四边形是矩形”是 ▲ 命题（填“真”或“假”）‎ ‎【答案】假.‎ ‎【考点】命题的真假判定；矩形的判定. ‎ ‎【分析】根据矩形的判定，对角线相等的平行四边形才是矩形，而对角线相等的四边形也可能是等腰梯形等，故命题“对角线相等的四边形是矩形”是假命题.‎ ‎16. （2015年浙江宁波4分）如图，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆AB的高度，站在教学楼的C处测得旗杆底端B的俯角为45°，测得旗杆顶端A的仰角为30°，若旗杆与教学楼的距离为9m，则旗杆AB的高度是 ▲ m（结果保留根号）‎ ‎【答案】+9.‎ ‎【考点】解直角三角形的应用（仰角俯角问题）；锐角三角函数定义；特殊角的三角函数值.‎ ‎【分析】根据在Rt△ACD中，，求出AD的值，再根据在Rt△BCD中，，求出BD的值，最后根据AB=AD+BD，即可求出答案：‎ 在Rt△ACD中，∵，∴.‎ 在Rt△BCD中，∵，∴.‎ ‎∴AB=AD+BD=+9（m）.‎ ‎17. （2015年浙江宁波4分）如图，在矩形ABCD中，AB=8，AD=12，过点A，D两点的⊙O与BC边相切于点E，则⊙O的半径为 ▲ ‎ ‎【答案】.‎ ‎【考点】矩形的性质；垂径定理；勾股定理；方程思想的应用.‎ ‎【分析】如答图，连接EO并延长交AD于点H，连接AO，‎ ‎∵四边形ABCD是矩形，⊙O与BC边相切于点E， ‎ ‎∴EH⊥BC，即EH⊥AD. ∴根据垂径定理，AH=DH.‎ ‎∵AB=8，AD=12，∴AH=6，HE=8.‎ 设⊙O的半径为，则AO=，.‎ 在中，由勾股定理得，解得.‎ ‎∴⊙O的半径为.‎ ‎18. （2015年浙江宁波4分）如图，已知点A，C在反比例函数的图象上，点B，D在反比例函数的图象上，AB∥CD∥轴，AB，CD在轴的两侧，AB=3，CD=2，AB与CD的距离为5，则的值是 ▲ ‎ ‎【答案】6.‎ ‎【考点】反比例函数综合题；曲线上点的坐标与方程的关系；特殊元素法和方程思想的的应用 ‎【分析】不妨取点C的横坐标为1，‎ ‎∵点C在反比例函数的图象上，∴点C的坐标为.‎ ‎∵CD∥轴，CD在轴的两侧，CD=2，∴点D的横坐标为.‎ ‎∵点D在反比例函数的图象上，∴点D的坐标为.‎ ‎∵AB∥CD∥轴，AB与CD的距离为5，∴点A的纵坐标为.‎ ‎∵点A在反比例函数的图象上，∴点A的坐标为.‎ ‎∵AB∥轴，AB在轴的两侧，AB=3，∴点B的横坐标为.‎ ‎∵点B在反比例函数的图象上，∴点B的坐标为.‎ ‎∴.‎ ‎∵，∴. ∴.‎ ‎∴.‎ 三、解答题（本大题有8小题，共78分）‎ ‎19. （2015年浙江宁波6分）解一元一次不等式组，并把解在数轴上表示出来.‎ ‎【答案】解：由得， ‎ 由得，‎ ‎∴不等式组的解集为.‎ 解集在数轴上表示如下：‎ ‎【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式组的解集.‎ ‎【分析】解一元一次不等式组，先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解）.‎ 不等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个. 在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示.‎ ‎20. （2015年浙江宁波8分）一个不透明的布袋里装有2个白球，1个黑球和若干个红球，它们除颜色外其余都相同，从中任意摸出1个球，是白球的概率为.‎ ‎（1）布袋里红球有多少个？‎ ‎（2）先从布袋中摸出1个球后不放回，再摸出1个球，请用列表或画树状图等方法求出两次摸到的球都是白球的概率.‎ ‎【答案】解：（1）设红球的个数为个，‎ 则根据题意，得，解得（检验合适）.‎ ‎∴布袋里红球有2个.‎ ‎（2）画树状图如下：‎ ‎∵两次摸球共有12种等可能结果，两次摸到的球都是白球的情况有2种，‎ ‎∴两次摸到的球都是白球的概率为.‎ ‎【考点】列表法或画树状图法；概率；方程思想的应用.‎ ‎【分析】（1）设红球的个数为个，根据从中任意摸出1个球，是白球的概率为列方程求解即可.‎ ‎（2）根据概率的求法，找准两点：①全部等可能情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率.‎ ‎21. （2015年浙江宁波8分）某校积极开展“阳光体育”活动，共开设了跳绳、足球、篮球、跑步四种运动项目. 为了解学生最喜爱哪一种项目，随机抽取了部分学生进行调查，并绘制了如下的条形统计图和扇形统计图（部分信息未给出）‎ ‎（1）求本次被调查的学生人数；‎ ‎（2）补全条形统计图；‎ ‎（3）该校共有1200名学生，请估计全校最喜爱篮球的人数比最喜爱足球的人数多多少？‎ ‎【答案】解：（1）∵，‎ ‎∴本次被调查的学生人数为40人.‎ ‎（2）∵最喜爱足球的人数为；最喜爱跑步的人数为，‎ ‎∴补全条形统计图如下：‎ ‎（3）∵，‎ ‎∴估计全校最喜爱篮球的人数比最喜爱足球的人数多90人.‎ ‎【考点】条形统计图和扇形统计图；频数、频率和总量的关系；用样本估计总体.‎ ‎【分析】（1）用最喜爱跳绳的人数除以其所占百分比即可得本次被调查的学生人数.‎ ‎（2）求出最喜爱足球的人数和最喜爱跑步的人数即可补全条形统计图.‎ ‎（3）用总人数乘以样本中最喜爱篮球的人数所占比例与最喜爱足球的人数所占比例的差即可.‎ ‎22. （2015年浙江宁波10分）宁波火车站北广场将于2015年底投入使用，计划在广场内种植A、B两种花木共6600棵，若A花木数量是B花木数量的2倍少600棵.‎ ‎（1）A、B两种花木的数量分别是多少棵？‎ ‎（2）如果园林处安排26人同时种植这两种花木，每人每天能种植A花木60棵或B花木40棵，应分别安排多少人种植A花木和B花木，才能确保同时完成各自的任务？‎ ‎【答案】解：（1）设B种花木的数量是棵，则A种花木的数量是棵.‎ 根据题意，得，‎ 解得.‎ 答： A种花木的数量是4200棵，B种花木的数量是2400棵.‎ ‎（2）设安排人种植A种花木，则安排人种植B种花木.‎ 根据题意，得，解得.‎ 经检验，是原方程的根，且符合题意.‎ ‎.‎ 答：安排14人种植A种花木，安排12人种植B种花木，才能确保同时完成各自的任务.‎ ‎【考点】一元一次方程和分式方程的应用.‎ ‎【分析】（1）方程的应用解题关键是找出等量关系，列出方程求解. 本题设B种花木的数量是棵，则A种花木的数量是棵，等量关系为：“广场内种植A、B两种花木共6600棵”.‎ ‎（2）方程的应用解题关键是找出等量关系，列出方程求解. 本题设安排人种植A种花木，则安排人种植B种花木，等量关系为：“每人每天能种植A花木60棵或B花木40棵”.‎ ‎23. （2015年浙江宁波10分）已知抛物线，其中是常数 ‎（1）求证：不论为何值，该抛物线与轴一定有两个公共点；‎ ‎（2）若该抛物线的对称轴为直线，‎ ‎①求该抛物线的函数解析式；‎ ‎②把该抛物线沿轴向上平移多少个单位长度后，得到的抛物线与轴只有一个公共点？‎ ‎【答案】解：（1）证明：∵，‎ ‎∴由得.‎ ‎∵，∴不论为何值，该抛物线与轴一定有两个公共点.‎ ‎（2）①∵，‎ ‎∴抛物线的对称轴为直线，解得.‎ ‎∴抛物线的函数解析式为.‎ ‎②∵.‎ ‎∴该抛物线沿轴向上平移个单位长度后，得到的抛物线与轴只有一个公共点.‎ ‎【考点】抛物线与轴交点问题；二次函数的性质；二次函数的平移性质.‎ ‎【分析】（1）证明总有两个不等的实数根即可.‎ ‎（2）①根据对称轴为直线列方程求解即可.‎ ‎②把化为顶点式即可求解.‎ ‎24. （2015年浙江宁波10分）在边长为1的小正方形组成的方格纸中，若多边形的各顶点都在方格纸的格点（横竖格子线的交错点）上，这样的多边形称为格点多边形。记格点多边形内的格点数为，边界上的格点数为，则格点多边形的面积可表示为，其中，为常数.‎ ‎（1）在下面的方格纸中各画出一个面积为6的格点多边形，依次为三角形、平行四边形（非菱形）、菱形；‎ ‎（2）利用（1）中的格点多边形确定，的值.‎ ‎【答案】解：（1）作图如下：‎ ‎（2）三角形：，‎ 平行四边形（非菱形）：，‎ 菱形：.‎ 任选两组代入，如：‎ ‎，解得.‎ ‎【考点】开放型；网格问题；图形的设计；待定系数法、方程思想和数形结合思想的应用. ‎ ‎【分析】（1）根据三角形、平行四边形（非菱形）、菱形的面积公式设计图形.‎ ‎（2）应用待定系数法，根据三角形、平行四边形（非菱形）、菱形的值代入列方程组求解即可.‎ ‎25. （2015年浙江宁波12分）如图1，点P为∠MON的平分线上一点，以P为顶点的角的两边分别与射线OM，ON交于A，B两点，如果∠APB绕点P旋转时始终满足，我们就把∠APB叫做∠MON的智慧角.‎ ‎（1）如图2，已知∠MON=90°，点P为∠MON的平分线上一点，以点P为顶点的角的两边分别与射线OM，ON交于A，B两点，且∠APB=135°. 求证：∠APB是∠MON的智慧角；‎ ‎（2）如图1，已知∠MON=（0°<<90°），OP=2，若∠APB是∠MON的智慧角，连结AB，用含的式子分别表示∠APB的度数和△AOB的面积；‎ ‎（3）如图3，C是函数图象上的一个动点，过点C的直线CD分别交轴和轴于点A，B两点，且满足BC=2CA，请求出∠AOB的智慧角∠APB的顶点P的坐标.‎ ‎【答案】解：（1）证明：∵∠MON=90°，点P为∠MON的平分线上一点，‎ ‎∴.‎ ‎∵，∴.‎ ‎∵，∴.∴.‎ ‎∴.∴，即.‎ ‎∴∠APB是∠MON的智慧角.‎ ‎（2）∵∠APB是∠MON的智慧角，‎ ‎∴，即.‎ ‎∵点P为∠MON的平分线上一点，‎ ‎∴.‎ ‎∴.∴.‎ ‎∴.‎ 如答图1，过点A作AH⊥OB于点H，‎ ‎∴.‎ ‎∵，∴.‎ ‎（3）设点，则.如答图，过C点作CH⊥OA于点H.‎ i）当点B在轴的正半轴时，‎ 如答图2，当点A在轴的负半轴时，不可能.‎ 如答图3，当点A在轴的正半轴时，‎ ‎∵，∴.‎ ‎∵∥，∴.∴.∴.‎ ‎∴.‎ ‎∵∠APB是∠AOB的智慧角，∴.‎ ‎∵∠AOB=90°，OP平分∠AOB，∴点P的坐标为.‎ ii）当点B在轴的负半轴时，如答图4‎ ‎∵，∴.‎ ‎∵∠AOB=∠AHC=90°，∠BAO=∠CAH，∴.‎ ‎∴.∴.‎ ‎∵∠APB是∠AOB的智慧角，∴.‎ ‎∵∠AOB=90°，OP平分∠AOB，∴点P的坐标为.‎ 综上所述，点P的坐标为或.‎ ‎【考点】新定义和阅读理解型问题；单动点和旋转问题；相似三角形的判定和性质；锐角三角函数定义；反比例函数的性质；曲线上点的坐标与方程的关系；分类思想的应用.‎ ‎【分析】（1）通过证明，即可得到，从而证得∠APB是∠MON的智慧角.‎ ‎（2）根据得出结果.‎ ‎（3）分点B在轴的正半轴，点B在轴的负半轴两种情况讨论.‎ ‎26. （2015年浙江宁波14分）如图，在平面直角坐标系中，点M是第一象限内一点，过M的直线分别交轴，轴的正半轴于A，B两点，且M是AB的中点. 以OM为直径的⊙P分别交轴，轴于C，D两点，交直线AB于点E（位于点M右下方），连结DE交OM于点K.‎ ‎（1）若点M的坐标为（3，4），①求A，B两点的坐标； ②求ME的长；‎ ‎（2）若，求∠OBA的度数；‎ ‎（3）设（0<<1），，直接写出关于的函数解析式.‎ ‎【答案】解：（1）①如答图，连接，‎ ‎∵是⊙P的直径，∴.‎ ‎∵，∴∥，∥.‎ ‎∵点M是AB的中点，‎ ‎∴点D是AB的中点，点C是OA的中点.‎ ‎∵点M的坐标为（3，4），‎ ‎∴.‎ ‎∴点B的坐标为（0，8），点A的坐标为（6，0）.‎ ‎②在中，∵，‎ ‎∴由勾股定理，得.‎ ‎∵点M是AB的中点，∴.‎ ‎∵，，∴.∴.‎ ‎∴.∴.‎ ‎（2）如答图，连接，‎ ‎∵，∴.∴.‎ ‎∵，∴是的中位线. ∴∥.∴‎ 又∵.∴.∴.‎ ‎∵是⊙P的直径，∴. ∴.‎ ‎∵，∴.∴.‎ ‎∵在中，点M是AB的中点，∴. ∴.‎ ‎（3）关于的函数解析式为.‎ ‎【考点】圆的综合题；圆周角定理；平行的性质；点的坐标；勾股定理；相似三角形的判定和性质；三角形中位线定理；全等三角形的判定和性质；锐角三角函数定义；特殊角的三角函数值；等腰三角形的性质；由实际问题列函数关系式；方程思想的应用.‎ ‎【分析】（1）①连接，由三角形中位线定理求得A，B两点的坐标.‎ ‎②要求ME的长，由知只要求出和的长即可，的长可由长的一半求得，而长可由勾股定理求得；的长可由的对应边成比例列式求得.‎ ‎（2）连接，求得得到，由得到，即因此求得.‎ ‎（3）如答图，连接，‎ ‎∵是⊙P的直径，∴.‎ ‎∵（0<<1），不妨设，‎ ‎∴在中，.‎ 设，则.‎ ‎∵在中，，∴.‎ ‎∴.‎ ‎∵，∴.‎ ‎∴.‎ ‎∵点P是MO的中点，∴.‎ ‎∴.‎ ‎∴关于的函数解析式为.‎