中考数学试卷分类汇编解析圆与相似综合题

中考数学试卷分类汇编解析圆与相似综合题

‎2016年全国中考数学试题分类汇编 圆与相似综合题 ‎1. （2016·四川达州） 如图，AB是半圆O的直径，点P是BA延长线上一点，PC是⊙O的切线，切点为C. 过点B作BD⊥PC交PC的延长线于点D，连接BC. 求证：‎ ‎（1）∠PBC =∠CBD; ‎ ‎（2）BC2=AB·BD ‎ ‎　‎ ‎2．（2016·湖北十堰）如图1，AB为半圆O的直径，D为BA的延长线上一点，DC为半圆O的切线，切点为C．‎ ‎（1）求证：∠ACD=∠B；‎ ‎（2）如图2，∠BDC的平分线分别交AC，BC于点E，F；‎ ‎①求tan∠CFE的值；‎ ‎②若AC=3，BC=4，求CE的长．‎ ‎3. （2016·四川达州·8分）如图，已知AB为半圆O的直径，C为半圆O上一点，连接AC，BC，过点O作OD⊥AC于点D，过点A作半圆O的切线交OD的延长线于点E，连接BD并延长交AE于点F．‎ ‎（1）求证：AE•BC=AD•AB；‎ ‎（2）若半圆O的直径为10，，求AF的长．‎ ‎4．（2016•呼和浩特）如图，已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连接FB，FC．‎ ‎（1）求证：∠FBC=∠FCB；‎ ‎（2）已知FA•FD=12，若AB是△ABC外接圆的直径，FA=2，求CD的长．‎ ‎ ‎ ‎2016年全国中考数学试题分类汇编 圆与相似综合题 ‎1. （满分8分） 如图，AB是半圆O的直径，点P是BA延长线上一点，PC是⊙O的切线，切点为C. 过点B作BD⊥PC交PC的延长线于点D，连接BC. 求证： ‎ ‎（1）∠PBC =∠CBD; ‎ ‎（2）BC2=AB·BD D ‎ C ‎ P A O B ‎ （第19题）‎ ‎【考点】切线的性质，相似三角形的判定和性质.‎ ‎【分析】（1）连接OC，运用切线的性质，可得出∠OCD=90°，从而证明OC∥BD，得到∠CBD=∠OCB，再根据半径相等得出∠OCB=∠PBC，等量代换得到∠PBC =∠CBD.‎ ‎（2）连接AC. 要得到BC2=AB·BD，需证明△ABC∽△CBD，故从证明∠ACB=∠BDC，∠PBC=∠CBD入手.‎ ‎【解答】证明：（1）连接OC，‎ ‎ ∵PC是⊙O的切线，‎ ‎ ∴∠OCD=90°. ……………………………………………1分 ‎ 又∵BD⊥PC ‎∴∠BDP=90°‎ ‎∴OC∥BD.‎ ‎∴∠CBD=∠OCB.‎ ‎∴OB=OC .‎ ‎∴∠OCB=∠PBC.‎ ‎∴∠PBC=∠CBD. ………………………………………..4分 D ‎ C ‎ P A O B ‎（2）连接AC.‎ ‎ ∵AB是直径，‎ ‎∴∠BDP=90°.‎ 又∵∠BDC=90°，‎ ‎∴∠ACB=∠BDC.‎ ‎∵∠PBC=∠CBD,‎ ‎∴△ABC∽△CBD. ……………………………………6分 ‎∴=.‎ ‎∴BC2=AB·BD. ………………………….……………8分 D ‎ C ‎ P A O B ‎2．（2016·湖北十堰）如图1，AB为半圆O的直径，D为BA的延长线上一点，DC为半圆O的切线，切点为C．‎ ‎（1）求证：∠ACD=∠B；‎ ‎（2）如图2，∠BDC的平分线分别交AC，BC于点E，F；‎ ‎①求tan∠CFE的值；‎ ‎②若AC=3，BC=4，求CE的长．‎ ‎【考点】切线的性质．‎ ‎【分析】（1）利用等角的余角相等即可证明．‎ ‎（2）①只要证明∠CEF=∠CFE即可．‎ ‎②由△DCA∽△DBC，得===，设DC=3k，DB=4k，由CD2=DA•DB，得9k2=（4k﹣5）•4k，由此求出DC，DB，再由△DCE∽△DBF，得=，设EC=CF=x，列出方程即可解决问题．‎ ‎【解答】（1）证明：如图1中，连接OC．‎ ‎∵OA=OC，‎ ‎∴∠1=∠2，‎ ‎∵CD是⊙O切线，‎ ‎∴OC⊥CD，‎ ‎∴∠DCO=90°，‎ ‎∴∠3+∠2=90°，‎ ‎∵AB是直径，‎ ‎∴∠1+∠B=90°，‎ ‎∴∠3=∠B．‎ ‎（2）解：①∵∠CEF=∠ECD+∠CDE，∠CFE=∠B+∠FDB，‎ ‎∵∠CDE=∠FDB，∠ECD=∠B，‎ ‎∴∠CEF=∠CFE，∵∠ECF=90°，‎ ‎∴∠CEF=∠CFE=45°，‎ ‎∴tan∠CFE=tan45°=1．‎ ‎②在RT△ABC中，∵AC=3，BC=4，‎ ‎∴AB==5，‎ ‎∵∠CDA=∠BDC，∠DCA=∠B，‎ ‎∴△DCA∽△DBC，‎ ‎∴===，设DC=3k，DB=4k，‎ ‎∵CD2=DA•DB，‎ ‎∴9k2=（4k﹣5）•4k，‎ ‎∴k=，‎ ‎∴CD=，DB=，‎ ‎∵∠CDE=∠BDF，∠DCE=∠B，‎ ‎∴△DCE∽△DBF，‎ ‎∴=，设EC=CF=x，‎ ‎∴=，‎ ‎∴x=．‎ ‎∴CE=．‎ ‎【点评】本题考查切线的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形，利用相似三角形的性质解决问题，学会用方程的思想思考问题，属于中考常考题型．‎ ‎3. （2016·四川达州·8分）如图，已知AB为半圆O的直径，C为半圆O上一点，连接AC，BC，过点O作OD⊥AC于点D，过点A作半圆O的切线交OD的延长线于点E，连接BD并延长交AE于点F．‎ ‎（1）求证：AE•BC=AD•AB；‎ ‎（2）若半圆O的直径为10，sin∠BAC=，求AF的长．‎ ‎【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理；切线的性质；锐角三角函数的定义．‎ ‎【分析】（1）只要证明△EAD∽△ABC即可解决问题．‎ ‎（2）作DM⊥AB于M，利用DM∥AE，得=，求出DM、BM即可解决问题．‎ ‎【解答】（1）证明：∵AB为半圆O的直径，‎ ‎∴∠C=90°，‎ ‎∵OD⊥AC，‎ ‎∴∠CAB+∠AOE=90°，∠ADE=∠C=90°，‎ ‎∵AE是切线，‎ ‎∴OA⊥AE，‎ ‎∴∠E+∠AOE=90°，‎ ‎∴∠E=∠CAB，‎ ‎∴△EAD∽△ABC，‎ ‎∴AE：AB=AD：BC，‎ ‎∴AE•BC=AD•AB．‎ ‎（2）解：作DM⊥AB于M，‎ ‎∵半圆O的直径为10，sin∠BAC=，‎ ‎∴BC=AB•sin∠BAC=6，‎ ‎∴AC==8，‎ ‎∵OE⊥AC，‎ ‎∴AD=AC=4，OD=BC=3，‎ ‎∵sin∠MAD==，‎ ‎∴DM=，AM===，BM=AB﹣AM=，‎ ‎∵DM∥AE，‎ ‎∴=，‎ ‎∴AF=．‎ ‎　‎ ‎4．（2016•呼和浩特）如图，已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连接FB，FC．‎ ‎（1）求证：∠FBC=∠FCB；‎ ‎（2）已知FA•FD=12，若AB是△ABC外接圆的直径，FA=2，求CD的长．‎ ‎【考点】相似三角形的判定与性质；三角形的外接圆与外心．‎ ‎【分析】（1）由圆内接四边形的性质和邻补角关系证出∠FBC=∠CAD，再由角平分线和对顶角相等得出∠FAB=∠CAD，由圆周角定理得出∠FAB=∠FCB，即可得出结论；‎ ‎（2）由（1）得：∠FBC=∠FCB，由圆周角定理得出∠FAB=∠FBC，由公共角∠BFA=∠BFD，证出△AFB∽△BFD，得出对应边成比例求出BF，得出FD、AD 的长，由圆周角定理得出∠BFA=∠BCA=90°，由三角函数求出∠FBA=30°，再由三角函数求出CD的长即可．‎ ‎【解答】（1）证明：∵四边形AFBC内接于圆，‎ ‎∴∠FBC+∠FAC=180°，‎ ‎∵∠CAD+∠FAC=180°，‎ ‎∴∠FBC=∠CAD，‎ ‎∵AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，‎ ‎∴∠EAD=∠CAD，‎ ‎∵∠EAD=∠FAB，‎ ‎∴∠FAB=∠CAD，‎ 又∵∠FAB=∠FCB，‎ ‎∴∠FBC=∠FCB；‎ ‎（2）解：由（1）得：∠FBC=∠FCB，‎ 又∵∠FCB=∠FAB，‎ ‎∴∠FAB=∠FBC，‎ ‎∵∠BFA=∠BFD，‎ ‎∴△AFB∽△BFD，‎ ‎∴，‎ ‎∴BF2=FA•FD=12，‎ ‎∴BF=2，‎ ‎∵FA=2，‎ ‎∴FD=6，AD=4，‎ ‎∵AB为圆的直径，‎ ‎∴∠BFA=∠BCA=90°，‎ ‎∴tan∠FBA===，‎ ‎∴∠FBA=30°，‎ 又∵∠FDB=∠FBA=30°， ∴CD=AD•cos30°=4×=2． ‎