2013年河南省中考数学试题（含答案）

2013年河南省中考数学试题（含答案）

‎2013年河南省初中学业水平暨高级中等学校招生考试试卷 数 学 注意事项：‎ 1. 本试卷共8页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟，请用蓝、黑色水笔或圆珠笔直接答在试卷上。‎ 2. 答卷前将密封线内的项目填写清楚。‎ 题号 一 二 三 总分 ‎1~8‎ ‎9~15‎ ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ ‎21‎ ‎22‎ ‎23‎ ‎ 参考公式：二次函数图像的顶点坐标为 一、 选择题（每小题3分，共24分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的，将正确答案的代号字母填在题后括号内。‎ ‎ 1、-2的相反数是【】‎ ‎ （A）2 (B) (C) (D)‎ ‎【解析】根据相反数的定义可知：-2的相反数为2‎ ‎【答案】A ‎ 2、下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是【】‎ ‎ 【解析】轴对称是指在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形。‎ 中心对称图形是指平面内，如果把一个图形绕某个点旋转180°后，能与自身重合，那么就说这两个图形关于这个点成中心对称。‎ 结合定义可知，答案是D ‎ 【答案】D ‎ 3、方程的解是【】‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【解析】由题可知：或者，可以得到：‎ ‎【答案】D ‎ 4、在一次体育测试中，小芳所在小组8个人的成绩分别是：46，47，48，48，49，49，49，50.则这8个人体育成绩的中位数是【】‎ ‎（A） 47 （B）48 （C）48.5 （D）49‎ ‎【解析】中位数是将数据按照从小到大的顺序排列，其中间的一个数或中间两个数的平均数就是这组数的中位数。本题的8个数据已经按照从小到大的顺序排列了，其中间的两个数是48和49，它们的平均数是48.5。因此中位数是48.5‎ ‎【答案】C ‎ 5、如图是正方形的一种张开图，其中每个面上都标有一个数字。那么在原正方形中，与数字“2”相对的面上的数字是【】‎ ‎（A）1 （B）4 （C）5 （D）6‎ ‎【解析】将正方形重新还原后可知：“2”与“4”对应，“3”与“5”对应，“1”与“6”对应。‎ ‎【答案】B ‎ 6、不等式组的最小整数解为【】‎ ‎ （A） -1 （B） 0 （C）1 （D）2‎ ‎【解析】不等式组的解集为，其中整数有0,1,2。最小的是0‎ ‎【答案】B ‎ 7、如图，CD是的直径，弦于点G，直线与相切与点D，则下列结论中不一定正确的是【】‎ ‎（A） （B）∥ ‎ ‎（C）AD∥BC （D）‎ ‎【解析】由垂径定理可知：（A）一定正确。由题可知：，又因为，所以∥，即（B）一定正确。因为所对的弧是劣弧，根据同弧所对的圆周角相等可知（D）一定正确。‎ ‎【答案】C ‎ 8、在二次函数的图像中，若随的增大而增大，则的取值范围是【】‎ ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎【解析】二次函数的开口向下，所以在对称轴的左侧随的增大而增大，二次函数的对称轴是，所以，‎ ‎【答案】A 二、填空题（每小题3分，共21分）‎ ‎ 9、计算： ‎ ‎【解析】原式=‎ ‎【答案】1‎ ‎10、将一副直角三角板和如图放置（其中），使点落在边上，且，则的度数为 ‎ ‎【解析】有图形可知：。因为，‎ 所以,∴‎ ‎【答案】15‎ ‎11、化简： ‎ ‎【解析】原式=‎ ‎【答案】‎ ‎12、已知扇形的半径为4㎝，圆心角为120°，则此扇形的弧长是 ㎝ ‎【解析】有扇形的弧长公式可得：弧长 ‎【答案】‎ ‎13、现有四张完全相同的卡片，上面分别标有数字-1，-2，3，4。把卡片背面朝上洗匀，然后从中随机抽取两张，则这两张卡片上的数字之积为负数的概率是 ‎ ‎【解析】任意抽取两张，数字之积一共有2，-3，-4，-6，-8，12六种情况，其中积为负数的有-3，-4，-6，-8四种情况，所以概率为，即 ‎【答案】‎ ‎14、如图，抛物线的顶点为与轴交于点，若平移该抛物线使其顶点沿直线移动到点，点的对应点为，则抛物线上段扫过的区域（阴影部分）的面积为 ‎ ‎【解析】阴影部分可认为是一个平行四边形，‎ 过作,则 ‎∴阴影部分的面积为 ‎【答案】12‎ ‎15、如图，矩形中，,点是边上一点，连接，把沿折叠，使点落在点处，当△为直角三角形时，的长为 ‎ ‎【解析】‎ ‎①当时，由题可知：,即：在同一直线上，落在对角线上，此时，设，则，，在中，解得 ‎②当时，即落在上，，此时在中，‎ 斜边大于直角边，因此这种情况不成立。‎ ‎③当时，即落在上，此时四边形是正方形，所以 ‎【答案】‎ 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）‎ ‎ 16、（8分）先化简，再求值：‎ ‎ ，其中 ‎ 【解答】原式 ‎ 当时，原式=‎ ‎17、从2013年1月7日起，中国中东部大部分地区持续出现雾霾天气。某市记者为了了解“雾霾天气的主要成因”‎ ‎，随机调查了该市部分市民，并对调查结果进行整理，绘制了如下尚不完整的统计图表 组别 观点 频数（人数）‎ A 大气气压低，空气不流动 ‎80‎ B 地面灰尘大，空气湿度低 C 汽车尾气排放 D 工厂造成的污染 ‎120‎ E 其他 ‎60‎ 请根据图表中提供的信息解答下列问题：‎ ‎（1）填空： ， ，扇形统计图中组所占的百分比为 %。‎ ‎（2）若该市人口约有100万人，请你估计其中持D组“观点”的市民人数 ‎（3）若在这次接受调查的市民中，随机抽查一人，则此人持C组“观点”的概率是多少？‎ ‎【解析】（1）由A组的频数和A组在扇形图中所占的百分比可以得出调查的总人数：‎ ‎ ‎ ‎ ∴，‎ ‎ 组所占百分比是 ‎ （2）由题可知：D组“观点”的人数在调查人数中所占的百分比为 ‎ ∴（万人）‎ ‎ （3）持C组“观点”的概率为 ‎【答案】（1）40；100；15% （2）30万人 （3）‎ ‎18、（9分）如图，在等边三角形中，,射线，点从点出发沿射线以的速度运动，同时点从点出发沿射线以的速度运动，设运动时间为 ‎（1）连接，当经过边的中点时，求证：‎ ‎ 证明：∵‎ ‎ ∴‎ ‎ ∵是边的中点 ‎ ∴‎ 又∵‎ ‎ ∴‎ ‎（2）填空：‎ ‎ ①当为 s时，四边形是菱形；‎ ‎ ②当为 s时，以为顶点的四边形是直角梯形。‎ ‎【解析】①∵当四边形是菱形时，∴‎ ‎ 由题意可知：，∴‎ ‎ ②若四边形是直角梯形，此时 ‎ 过作于M，，可以得到，‎ ‎ 即，∴，‎ ‎ 此时，重合，不符合题意，舍去。‎ ‎ 若四边形若四边形是直角梯形，此时，‎ ‎ ∵△ABC是等边三角形，F是BC中点，‎ ‎ ∴，得到 ‎ 经检验，符合题意。‎ ‎【答案】① ②‎ ‎19、（9分）我国南水北调中线工程的起点是丹江口水库，按照工程计划，需对原水库大坝进行混凝土培厚加高，使坝高由原来的162米增加到176.6米，以抬高蓄水位，如图是某一段坝体加高工程的截面示意图，其中原坝体的高为，背水坡坡角，新坝体的高为，背水坡坡角。求工程完工后背水坡底端水平方向增加的宽度.‎ ‎(结果精确到0.1米，参考数据：）‎ ‎【解答】‎ 在Rt△BAE中，，BE=162米 ‎∴（米）‎ 在Rt△DEC中，，DE=176.6米 ‎∴（米）‎ ‎∴（米）‎ 即工程完工后背水坡底端水平方向增加的宽度约为37.3米 ‎20、（9分）如图，矩形的顶点分别在轴和轴上，点的坐标为。双曲线的图像经过的中点，且与交于点，连接。‎ ‎（1）求的值及点的坐标；‎ ‎（2）若点是边上一点，且，求直线的解析式 ‎【解答】（1）在矩形中，‎ ‎ ∵B点坐标为，∴边中点的坐标为（1,3）‎ ‎ 又∵双曲线的图像经过点 ‎∴，∴‎ ‎ ∵点在上，∴点的横坐标为2.‎ 又∵经过点,‎ ‎ ∴点纵坐标为，∴点纵坐标为 ‎（2）由（1）得，,‎ ‎ ∵△FBC∽△DEB，∴，即。‎ ‎∴，∴，即点的坐标为 设直线的解析式为，而直线经过 ‎∴，解得 ‎∴直线的解析式为 ‎21、（10分）某文具商店销售功能相同的两种品牌的计算器，购买2个A品牌和3个B品牌的计算器共需156元；购买3个A品牌和1个B品牌的计算器共需122元。‎ ‎（1）求这两种品牌计算器的单价；‎ ‎（2）学校开学前夕，该商店对这两种计算器开展了促销活动，具体办法如下：A品牌计算器按原价的八折销售，B品牌计算器5个以上超出部分按原价的七折销售。设购买个A品牌的计算器需要元，购买个B品牌的计算器需要元，分别求出关于的函数关系式‘‎ ‎（3）小明准备联系一部分同学集体购买同一品牌的计算器，若购买计算器的数量超过5个，购买哪种品牌的计算器更合算？请说明理由。‎ ‎【解答】（1）设品牌计算机的单价为元，品牌计算机的单价为元，则由题意可知：‎ 即，两种品牌计算机的单价为30元，32元 ‎（2）由题意可知：，即 ‎ 当时，‎ ‎ 当时，，即 ‎（3）当购买数量超过5个时，。‎ ‎ ①当时，‎ ‎ 即当购买数量超过5个而不足30个时，购买品牌的计算机更合算 ‎ ②当时，‎ ‎ 即当购买数量为30个时，购买两种品牌的计算机花费相同。‎ ‎ ③当时，‎ ‎ 即当购买数量超过30个时，购买品牌的计算机更合算 ‎22、（10分）如图1，将两个完全相同的三角形纸片和重合放置，其中.‎ ‎（1）操作发现 如图2，固定，使绕点旋转。当点恰好落在边上时，填空：‎ ① 线段与的位置关系是 ；‎ ② 设的面积为，的面积为。则与的数量关系是 。‎ ‎【解析】①由旋转可知：AC=DC，‎ ‎∵，∴‎ ‎∴△ADC是等边三角形，∴,又∵‎ ‎∴∥‎ ‎ ②过D作DN⊥AC交AC于点N，过E作EM⊥AC交AC延长线于M，过C作CF⊥AB交AB于点F。‎ ‎ 由①可知：△ADC是等边三角形,∥，∴DN=CF,DN=EM ‎ ∴CF=EM ‎ ∵，∴,又∵‎ ‎ ∴‎ ‎ ∵ ∴=‎ ‎（2）猜想论证 ‎ 当绕点旋转到图3所示的位置时，小明猜想（1）中与的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了和中 边上的高，请你证明小明的猜想。‎ ‎【证明】∵‎ ‎ 又∵‎ ‎ 又∵‎ ‎ ∴△ANC≌△DMC ‎ ∴AN=DM ‎ 又∵CE=CB,∴‎ ‎（3）拓展探究 ‎ 已知，点是其角平分线上一点，，交于点（如图4），若在射线上存在点，使,请直接写出相应的的长 ‎【解析】如图所示，作∥交于点,作交于点。‎ 按照（1）（2）求解的方法可以计算出 ‎ ‎ ‎23、（11分）如图，抛物线与直线交于两点，其中点在轴上，点的坐标为。点是轴右侧的抛物线上一动点，过点作轴于点，交于点.‎ ‎ （1）求抛物线的解析式；‎ ‎ （2）若点的横坐标为，当为何值时，以为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由。‎ ‎ （3）若存在点，使，请直接写出相应的点的坐标 ‎【解答】（1）∵直线经过点,∴‎ ‎ ∵抛物线经过点，‎ ‎ ∴‎ ‎ ∴抛物线的解析式为 ‎（2）∵点的横坐标为且在抛物线上 ‎ ∴‎ ‎ ∵∥，∴当时，以为顶点的四边形是平行四边形 ① 当时，‎ ‎∴，解得：‎ 即当或时，四边形是平行四边形 ② 当时，‎ ‎，解得：（舍去）‎ 即当时，四边形是平行四边形 ‎（3）如图，当点在上方且时，‎ 作,则 ‎ △PMF∽△CNF，∴‎ ‎ ∴‎ ‎ ∴‎ ‎ 又∵ ∴‎ ‎ 解得：，（舍去） ∴。‎ 同理可以求得：另外一点为