小学数学精讲教案4_5_2 长方体与正方体（二） 教师版

小学数学精讲教案4_5_2 长方体与正方体（二） 教师版

长方体与正方体（二）‎ 对于小学几何而言，立体图形的表面积和体积计算，既可以很好地考查学生的空间想象能力，又可以具体考查学生在公式应用中处理相关数据的能力，所以，很多重要考试都很重视对立体图形的考查．‎ 例题精讲 如右图，长方体共有六个面(每个面都是长方形)，八个顶点，十二条棱．‎ ‎①在六个面中，两个对面是全等的，即三组对面两两全等．‎ ‎(叠放在一起能够完全重合的两个图形称为全等图形．)‎ ‎②长方体的表面积和体积的计算公式是：‎ 长方体的表面积：；‎ 长方体的体积：．‎ ‎③正方体是各棱相等的长方体，它是长方体的特例，它的六个面都是正方形．‎ 如果它的棱长为，那么：，．‎ 长方体与正方体的体积 立体图形的体积计算常用公式：‎ ‎ 立体图形 示例 体积公式 相关要素 长方体 三要素：、、‎ 二要素：、‎ 正方体 一要素：‎ 二要素：、‎ 不规则形体的体积常用方法：‎ ‎①化虚为实法 ‎②切片转化法 ‎③先补后去法 ‎④实际操作法 ‎⑤画图建模法 【例 1】 一个长方体的棱长之和是‎28厘米，而长方体的长宽高的长度各不相同，并且都是整厘米数，则长方体的体积等于 立方厘米。‎ ‎【考点】长方体与正方体 【难度】2星 【题型】填空 ‎【关键词】希望杯， 6年级，第16题，6分 【解析】 由题意知长、宽、高的和为，又根据题意长、宽、高各不相同，且是整数，所以只能是1、2、4，所以体积为8立方厘米 ‎【答案】8‎ 【例 1】 将几个大小相同的正方体木块放成一堆，从正面看到的视图是图（a），从左向右看到的视图是图（b），从上向下看到的视图是图（c），则这堆木块最多共有___________块。‎ ‎【考点】长方体与正方体 【难度】2星 【题型】填空 ‎【关键词】希望杯，4年级，初赛，8题 【解析】 对于图c来说，每个小方块都摞了2层，最多有6块。‎ ‎【答案】6‎ 【例 2】 一根长方体木料，体积是立方米．已知这根木料长米．宽为3分米，高该是多少分米?孙健同学把高错算为3分米．这样，这根木料的体积要比立方米多多少?‎ ‎【考点】长方体与正方体 【难度】2星 【题型】解答 ‎【关键词】小数报，决赛 【解析】 ‎(米)．‎ 米2分米．‎ ‎(立方米)．‎ 所以这根木料的高是2分米；算错后，这根木料的体积比立方米多立方米．‎ ‎【答案】0.039‎ 【例 3】 如图，两个同样的铁环连在一起长‎28厘米，每个铁环长‎16厘米。8个这样的铁环依此连在一起长 厘米。‎ ‎【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】填空 ‎【关键词】希望杯，四年级，复赛，第10题，4分 【解析】 两个铁环连在一起，重叠的部分长16×2-28＝‎4厘米，8个这样的铁环依此连在一起长16×8-4×7＝‎100厘米。‎ ‎【答案】100‎ 【例 4】 某工人用薄木板钉成一个长方体的邮件包装箱，并用尼龙编织条(如图所示)在三个方向上的加固．所用尼龙编织条分别为‎365厘米，‎405厘米，‎485厘米．若每个尼龙加固时接头重叠都是‎5厘米．问这个长方体包装箱的体积是多少立方米?‎ ‎【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】解答 ‎【关键词】华杯赛，决赛，口试 【解析】 长方体中 高宽， ⑴‎ 高长， ⑵‎ 长宽， ⑶‎ ⑵⑴：长宽， ⑷‎ ⑷⑶：长，从而宽，‎ 代入⑴得高．‎ 所以长方体体积为 ‎(立方厘米)(立方米)‎ ‎【答案】1.001 ‎ 【例 1】 某工人用木板钉成一个长方体邮件包装箱，并用三根长度分别为‎235厘米、‎445厘米、‎515厘米的尼龙带进行加固（如下图），若每根尼龙带加固时截头重叠都是‎5厘米，那么这个长方体包装箱的体积是立方 米。‎ ‎【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】填空 ‎【关键词】迎春杯，高年级，初赛，9题 【解析】 长方形的长为：（厘米）；‎ 长方形的宽为:（厘米）；‎ 长方形的高为：（厘米）；‎ 长方形的体积为:（立方米）。‎ ‎【答案】0.54‎ 【例 2】 一个长方体的表面积是平方分米，其中一个面的长是分米，宽是分米，它的体积是_____立方分米.‎ ‎【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】填空 ‎【关键词】迎春杯 【解析】 长方体的高是(分米).‎ 长方体的体积是(立方分米)．‎ ‎【答案】‎ 【例 3】 把一根长米的长方体木料锯成5段(如图)，表面积比原来增加了96平方厘米．这根木料原来的体积是_____立方厘米．‎ ‎【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】填空 ‎【关键词】迎春杯，决赛 【解析】 ‎ (平方厘米)，‎ ‎(立方厘米)．‎ 所以这根木料原来的体积为2880立方厘米．‎ ‎【答案】2880‎ 【例 1】 一个长方体的宽和高相等，并且都等于长的一半(如图)．将这个长方体切成12个小长方体，这些小长方体的表面之和为600平方分米．求这个大长方体的体积．‎ ‎【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】解答 ‎【关键词】小数报，决赛 【解析】 设大长方体的宽(高)为分米，则长为，右(左)面积为，其余面的面积为，根据题意，‎ ‎ 所以，．‎ ‎ 大长方体的体积(立方分米)．‎ ‎【答案】250‎ 【例 2】 有三个大小一样的正方体，将接触的面用胶粘接在一起成图示的形状，表面积比原来减少了16平方厘米.求所成形体的体积.‎ ‎【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 三个小正方体拼接成图中的样子，减少了小正方体的4个侧面正方形的面积，表面积减少了16平方厘米，每个正方形侧面为平方厘米，每个正方体棱长为厘米，三个小正方体体积(即所成形体的体积)是立方厘米. ‎ ‎【答案】24‎ 【例 3】 小明在桌面上摆了一些大小一样的正方体木块，摆完后从正面看如左下图，从侧面看如右下图，那么他最多用了_____块木块，最少用了____ __块木块。‎ ‎ ‎ ‎【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】填空 ‎【关键词】走美杯，五年级，决赛，第8题，10分 【解析】 从上往下看，分别如左下图和右下图所示(图中数字为每一格的木块数)。‎ ‎ ‎ ‎【答案】最多25，最少9‎ 【例 4】 边长为的正方形，被分割成的小方格。每个小方格上堆放边长为的正方体积木，个数如图所示。在每个积木外露的面上贴一张红纸，其它面（与其它积木块或方格纸相接的面）不贴。共贴 张红纸。恰贴张红纸的有 块积木。‎ ‎【考点】长方体与正方体 【难度】4星 【题型】填空 ‎【关键词】走美杯，4年级，决赛，第11题，12分 【解析】 从正面看，需要贴（张）；‎ 从左边看，需要贴（张）；‎ 从右边看，需要贴（张）；‎ 从前面看，需要（张）；‎ 从后面看，需要（张）；‎ 再看中间凹进去的部分，需要贴（张），‎ 所以一共需要贴（张）；‎ 先看四条边上，有块积木贴张红纸；‎ 非边上的积木，有块积木恰好贴张，‎ 所以一共有（块）积木。‎ ‎【答案】共贴26张，共有15块 【例 1】 有一个长方体，长是宽的2倍，宽是高的3倍；长的与高的之和比宽多‎1厘米．这个长方体的体积是 立方厘米．‎ ‎【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】填空 ‎【关键词】迎春杯 【解析】 长的即宽，所以高的就是‎1厘米，高是‎3厘米，宽是厘米，长是厘米，体积是(立方厘米)．‎ ‎【答案】486‎ ‎【巩固】一个长方体的各条棱长的和是‎48厘米，并且它的长是宽的2倍，高与宽相等，那么这个长方体的体积是______ 立方厘米．‎ ‎【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】填空 ‎【关键词】迎春杯，决赛 【解析】 依题意，这个长方体的长、宽、高之和是(厘米)，‎ 于是它的宽与高都等于(厘米)，‎ 它的长是厘米．‎ 所以这个长方体的体积是(立方厘米)．‎ ‎【答案】54‎ 【例 2】 把11块相同的长方体的砖拼成如图所示的大长方体，已知每块砖的体积是，则大长方体的表面积为多少？‎ ‎【考点】长方体与正方体 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 如果知道每块砖的长、宽、高即可求出所有的量，但我们只知道它们的乘积，但可以从图中发现隐含的数量关系．‎ 由图可知每块砖的长、宽、高的比值，两个长等于三个宽，所以长、宽之比为 ‎，四个高等于一个长，所以长、高之比为，长、宽、高之比为，设砖的长为12单位，那么体积应该为个立方单位，所以一个单位长度就是‎1厘米，所以大长方体的长、宽、高分别为：‎24厘米，‎12厘米，‎11厘米，所以大长方体的表面积为：平方厘米．‎ ‎【答案】1368‎ 【例 1】 有大、中、小三个正方形水池，它们的内边长分别是‎6米、‎3米、‎2米．把两堆碎石分别沉没在中、小水池的水里，两个水池的水面分别升高了‎6厘米和‎4厘米．如果将这两堆碎石都沉没在大水池的水里，大水池的水面升高了多少厘米？‎ ‎【考点】长方体与正方体 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 把碎石沉没在水中，水面升高所增加的体积，就等于所沉入的碎石的体积．‎ 因此，沉入水池中的碎石的体积是 ‎(米3)，‎ 而沉入小水池中的碎石的体积是(米3)．‎ 这两堆碎石的体积一共是(米3)．‎ 把它们都沉入大水池里，大水池的水面升高所增加的体积也就是‎0.7米3．而大水池的底面积是(米3)．所以水面升高了 ‎(米)(厘米)(厘米)．‎ 故大水池的水面升高了厘米．‎ ‎【答案】‎ 【例 2】 一个正方体容器，容器内部边长为‎24厘米，存有若干水，水深厘米，现将一些碎铁块放入容器中，铁块沉入水底，水面上升厘米，如果将这些铁块铸成一个和容器等高的实心圆柱，重新放入池中，则水面升高几厘米？‎ ‎【考点】长方体与正方体 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 设铁块铸成和容器等高的实心圆柱放入池中水面升高厘米，则有水面升高后水的总体积原来水的体积铁块浸入水中的体积，，‎ 其中，得到，解得，‎ 所以水面升高了(厘米)．‎ ‎【答案】2‎ 【例 3】 如图，有一个棱长为‎10厘米的正方体铁块，现已在每两个对面的中央钻一个边长为‎4厘米的正方形孔（边平行于正方体的棱），且穿透．另有一长方体容器，从内部量，长、宽、高分别为‎15厘米、‎12厘米、‎9厘米，内部有水，水深‎3厘米．若将正方体铁块平放入长方体容器中，则铁块在水下部分的体积为 立方厘米．‎ ‎【考点】长方体与正方体 【难度】4星 【题型】填空 ‎【关键词】迎春杯，初赛，6年级 【解析】 可以把正方体铁块看作三层：最下面一层为中央穿孔的长方体，高为厘米；中间一层为个长方体立柱，高为厘米；最上面一层也是高为厘米的中央穿孔的长方体.‎ 由于长方体容器内原有水深厘米，所以正方体铁块放入水中后，铁块最下面一层肯定全部在水中，而水也不可能上升到最上面一层，即恰在中间一层.设水面上升了厘米，则中间一层在水中的部分恰好为厘米.‎ 由于水面上升是由于铁块放入水中导致，水面上升的体积即等于铁块在水下部分的体积，即：‎ ‎，解得，‎ 故铁块在水下部分的体积为(立方厘米).‎ ‎【答案】315‎ 【例 1】 把1个棱长是3厘米的正方体分割成若干个小的正方体，这些小正方体的棱长必须是整厘米数．如果这些小正方体的体积不要求都相等，那么最少可分割成 个小正方体．‎ ‎【考点】长方体与正方体 【难度】4星 【题型】填空 ‎【关键词】迎春杯，决赛 【解析】 因为小正方体的棱长只可能是‎2厘米或‎1厘米．必须分割出棱长是‎2厘米的小正方体才能使数量减少．显然，棱长是‎3厘米的正方体只能切割出一个棱长为‎2厘米的小正方体，剩余部分再切割出个棱长是‎1厘米的小正方体，这样总共可以分割成(个)小正方体．‎ ‎【答案】20‎ ‎【巩固】有一个长方体的盒子，从里面量长‎40厘米，宽‎12厘米，高‎7厘米，在这个盒子里放长‎5厘米，宽‎4厘米，高‎3厘米的长方体木块．最多可放 块．‎ ‎【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】填空 ‎【关键词】祖冲之杯 【解析】 上图表明的长方形可以填满的长方形．‎ 于是的长方体可以填满的长方体，即盒子中最多可放这种长方体 ‎(个)．‎ ‎【答案】56‎ 【例 2】 有甲、乙、丙3种大小的正方体木块，棱长比是．如果用这三种正方体拼成尽量小的一个正方体，且每种都至少用一个，则最少需要这三种正方体共多少？‎ ‎【考点】长方体与正方体 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 设甲的棱长是1，则乙的棱长是2，丙的棱长是3．一个甲种木块的体积是1，一个乙种木块的体积是，一个丙种木块的体积是．‎ 由于每种正方体都要用到，那么所拼成的正方体的棱长最小应为．‎ 当这三种木块拼成的正方体的棱长是5时，体积是．‎ 要想使三种正方体的总数最小，则体积较大的木块应尽可能多．由于棱长为5，所以其中丙种木块只能有1个．‎ 有了1个丙种木块后，乙种木块最多可以有块．‎ 丙种木块的体积是27，乙种木块的体积是，余下的体积为．所以还需要甲种木块块．‎ 所以共需要至少块．‎ ‎【答案】50‎ 【例 3】 用、、三种小木块拼成的正方体．现有足够多的 的小木块，还有14块的小木块，如果要拼成10个的正方体，则最少需要的小木块________块．‎ ‎【考点】长方体与正方体 【难度】4星 【题型】填空 【解析】 ‎、、三种木块的体积分别为2，3，4，其中只有3为奇数，2，4都是偶数．‎ 因为，体积为奇数，所以每个的正方体中，的木块要有奇数块．‎ 当只用1块时，剩下的体积为24，但无法完全用完成，还需要的小木块，由于24和4都是4的倍数，所以的小木块的体积和也是4的倍数，至少要用2块的小木块．检验可知用1块的小木块、2块的小木块和5块的小木块可以拼成的正方体．‎ 当用3块的小木块时，体积剩下18，可以再用4块的小木块和1块的小木块拼成．‎ 当用5块的小木块时，体积剩下12，此时可以再用3块的小木块拼成，即此时不需要用的小木块拼成．‎ 为了尽量少用的木块，所以要尽量多用其他木块．而一共只有14块的木块，所以可以在8个的正方体中各用1块的木块，另2个的正方体各用3块的木块；也可以在9个的正方体中各用1块的木块，另1个的正方体用5块的木块．前者需要个，后者需要个，数量相同，所以最少需要的木块18块．‎ ‎【答案】18‎ 【例 1】 把一个长方体形状的木料分割成3小块，使这3小块的体积相等．已知这长方体的长为‎15厘米，宽为‎12厘米，高为‎9厘米．分割时要求只能锯两次，如图1就是一种分割线的图．除这种分割的方法外，还可有其他不同的分割方法，请把分割线分别画在图2的各图中．‎ 图1‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 图2‎ ‎【考点】长方体与正方体 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 分割方法很多，如图3，给出以下9种分割方法：‎ 图4‎ ‎【答案】答案不唯一，给出以下9种分割方法：‎ 图4‎ 【例 1】 如图，把正方体用两个与它的底面平行的平面切开，分成三个长方体.这三个长方体的表面积比是时，用最简单的整数比表示这三个长方体的体积比： ： ： ‎ ‎【考点】长方体与正方体 【难度】4星 【题型】填空 ‎【关键词】走美杯，六年级，初赛 【解析】 由于分出的三个长方体的底面积相同，所以体积之比等于三个长方体的高之比，设正方体的棱长为，三个长方体的高分别为，，，所以，根据“分成三个长方体.这三个长方体的表面积比是”得，‎ 而，所以有，解得，同理得，，所以，即体积比为。‎ ‎【答案】‎ 【例 2】 如图从长为‎13厘米，宽为‎9厘米的长方形硬纸板的四角去掉边长2厘米的正方形，然后，沿虚线折叠成长方体容器．这个容器的体积是多少立方厘米？‎ ‎【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】解答 ‎【关键词】华杯赛，复赛 【解析】 容器的底面积是 ‎ (平方厘米)，‎ 高为‎2厘米，所以容器的体积是，‎ ‎ (立方厘米)．‎ ‎【答案】90‎ ‎【巩固】现有一张长‎40厘米、宽‎20厘米的长方形铁皮，请你用它做一只深是‎5厘米的长方体无盖铁皮盒(焊接处及铁皮厚度不计，容积越大越好)，你做出的铁皮盒容积是多少立方厘米?‎ ‎ ‎ ‎【考点】长方体与正方体 【难度】4星 【题型】解答 ‎【关键词】祖冲之杯 【解析】 如图，在的长方形铁皮的四角截去边长‎5厘米的正方形铁皮，然后焊接成长方形无盖铁皮盒．这个铁皮盒的长(厘米)．‎ 宽(厘米)，高(厘米)．‎ 体积(立方厘米)．‎ 如图，在长方形铁皮的左侧两角上割下边长‎5厘米的正方形(二块)，紧密焊接 到右侧的中间部分，这样做成的无盖铁皮盒的长(厘米)，‎ 宽(厘米)，‎ 高(厘米)，‎ 体积(立方厘米)．‎ 如图，在的长方形铁皮的左右两侧各割下一条宽为‎5厘米的长方形铁皮(共二块)，分别焊到上、下的中间部分，这样做成的无盖铁皮盒的 长(厘米)，‎ 宽(厘米)，‎ 高(厘米)，‎ 体积(立方厘米)．‎ 因此，最后一种容积最大．‎ ‎【答案】2000‎ 【例 1】 一个长、宽、高分别为厘米、厘米、厘米的长方形.现从它的上面尽可能大的切下一个正方体，然后从剩余的部分再尽可能大的切下一个正方体，最后再从第二次剩余的部分尽可能大的切下一个正方体，剩下的体积是多少立方厘米？‎ ‎【考点】长方体与正方体 【难度】5星 【题型】解答 【解析】 本题的关键是确定三次切下的正方体的棱长.由于，为了方便起见.我们先考虑长、宽、高分别为厘米、厘米、厘米的长方体.‎ 因为，容易知道第一次切下的正方体棱长应该是厘米，第二次切时，切下棱长为厘米的正方体符合要求.第三次切时，切下棱长为厘米的正方体符合要求．‎ 那么对于原长方体来说，三次切下的正方体的棱长分别是‎12厘米、‎9厘米和‎6厘米，所以剩下的体积应是：（立方厘米）.‎ ‎【答案】1107‎ 【例 1】 小明用若干个大小相同的正方体木块堆成一个几何体，这个几何体从正面看如下图左,从上面看如下图右．那么这个几何体至少用了 块木块．‎ ‎ ‎ ‎【考点】长方体与正方体 【难度】4星 【题型】填空 【解析】 这道题很多同学认为答案是26块．这是受思维定势的影响，认为右图中每一格都要至少放一块．其实，有些格不放，看起来也是这样的．‎ 如右图，带阴影的3块不放时，小正方体块数最少，为23块．‎ ‎【答案】23‎ ‎【巩固】右图是由22个小正方体组成的立体图形，其中共有多少个大大小小的正方体？由两个小正方体组成的长方体有多少个？‎ ‎【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 正方体只可能有两种：‎ 由1个小正方体构成的正方体，有22个；‎ 由8个小正方体构成的的正方体，有4个．‎ 所以共有正方体(个)．‎ 由两个小正方体组成的长方体，根据摆放的方向可分为下图所示的上下位、左右位、前后位三种，其中上下位有13个，左右位有13个，前后位有14个，共有(个)．‎ ‎【答案】40‎ 【例 2】 有黑白两种颜色的正方体积木，把它摆成右图所示的形状，已知相邻(有公共面)的积木颜色不同，标的为黑色，图中共有黑色积木多少块？‎ ‎【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 分层来看，如下图(切面平行于纸面)共有黑色积木17块.‎ ‎ ‎ ‎【答案】17‎ ‎【巩固】这个图形，是否能够由的长方体搭构而成？‎ ‎【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 每一个的长方体无论怎么放，都包含了一个黑色正方体和一个白色正方体，而黑色积木有17块，白色积木有15块，所以该图形不能够由的长方体搭构而成.‎ ‎【答案】17‎ ‎【巩固】有许多相同的立方体，每个立方体的六个面上都写着同一个数字(不同的立方体可以写相同的数字)先将写着2的立方体与写着1的立方体的三个面相邻，再将写着3的立方体写着2的立方体相邻(见左下图)．依这样构成右下图所示的立方体，它的六个面上的所有数字之和是多少?‎ ‎【考点】长方体与正方体 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 第一层如下图，第二层、第三层依次比上面一层每格都多1(见下图)．‎ 上面的9个数之和是27，由对称性知，上面、前面、右面的所有数之和都是27．同理，下面的9个数之和是45，下面、左面、后面的所有数之和都是45．所以六个面上所有数之和是．‎ ‎【答案】216‎ 【例 1】 如下图，用若干块单位正方体积木堆成一个立体，小明正确地画出了这个立体的正视图、俯视图和侧视图，问：所堆的立体的体积至少是多少？‎ ‎ ‎ ‎【考点】长方体与正方体 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 本题还原的技巧在于反用“切片法”，根据俯视图，最底层必有这么11个，这是不能再少的；‎ 第二步，不妨先根据正视图，再在一侧加上7块；‎ 第三步，通过第二层以上的积木的调整使得图形符合侧视图的要求：‎ 所堆的立体的体积至少是．‎ 当然，这里的形状不唯一，如下面两图都符合条件．‎ ‎　　　　‎ ‎【答案】18‎ 【例 1】 用一些棱长是1的小正方体码放成一个立体图形，从上向下看这个立体图形，如下图，从正面看这个立体图形，如下图，则这个立体图形的表面积最多是________．‎ ‎ ‎ ‎【考点】长方体与正方体 【难度】4星 【题型】填空 ‎【关键词】华杯赛 【解析】 根据题意，这个立体应当有2层，由于这个立体图形是码成的而不是粘成的，这就意味着，这个立体图形的每一个小正方体的下端必然有其他正方体支撑，所以这个立体图形的俯视图实际上可以看作该图形的“地基”．我们在此基础上构造立体图形，结合图，构筑“地基”以上的第二层的建筑，由视角分析，、、3个位置上都至少有一个正方体(如左下图)，在“地基”的基础上构筑第二层时，随着第二层小正方体数目的增多，由于每个小正方体与其他小正方体贴合的面最多有3个，那么裸露在外面的面至少也有3个，所以每增加一个小正方体，其表面积不会减少．那么当第二层的小正方体最多时，其表面积也最大．而小正方体最多的情况如右下图所示，‎ ‎ ‎ 根据“三视图法”，该图形上、下面积为(平方厘米)，前、后面积为(平方厘米)，左、右面积为(平方厘米)(注意，左、右方向的面中，有4个从该图形以外的左、右方向无法观察到)，所以此立体的表面积为平方厘米．‎ ‎【答案】48‎ 【例 1】 ‎ 用棱长为1的小立方体粘合而成的立体，从正面、侧面、上面看到的视图均如下图所示，那么粘成这个立体最多需要 块小立方体．‎ ‎ ‎ ‎【考点】长方体与正方体 【难度】4星 【题型】填空 ‎【关键词】希望杯，六年级 【解析】 根据视图可以画出原立体图形，如右图所示，其中灰色部分和黑色部分都可以有小立方体，白色部分则不可以有小立方体．‎ 这些小立方体可以分为角上的和棱上的两种，其中角上的有个，棱上的有12个（每条棱上1个），所以总共最多有个．‎ ‎【答案】76‎ 【例 2】 ‎ 第9届华罗庚金杯少年数学邀请赛总决赛于‎2004年5月10日在潮州举行，北京的选手们用个大小相同的小正方体木块粘贴成了一个从正面看是2004，从左面看是9的模型(如图)．问：最大为多少？最小为多少? ‎ ‎【考点】长方体与正方体 【难度】4星 【题型】解答 ‎【关键词】华杯赛 【解析】 可以将2004这个模型分为5行，第一行有11个方块，第二行有7个方块，第三行有10个方块，第四行有6个方块，第五行有10个方块．‎ 因为从左边看是9的模型，所以第一行的宽度为3个方块，第二行的宽度为2个方块，第三行的宽度为3个方块，第四行的宽度为1个方块，第五行的宽度为3个方块，‎ ‎，所以最大为113．‎ ‎，所以至少是44块．但是，仅用44块显然不能满足从左边看是9的模型．所以必须再加上一些木块以满足从左边看是9的模型．‎ 模型“9”有3列，右面一列5个方块已经满足，中间一列有3个方块，所以得加上3个；由于模型是粘贴出来而不是摆出来的，所以加上中间一列的3块并不能减少右边一列的方块．而左边一列有4个方块，这4个也得加上，加上左边一列的4块后，由于其中的上面3块是连续的，所以可以在右面一列去掉2块，仍然不会改变从正面看是2004的效果．，所以最小为49．‎ ‎【答案】49‎ 【例 3】 ‎ 有很多白色或黑色的棱长是的小正方体．取其中的27个，拼成一个棱长是的大正方体，每一面都各用2个黑色的小正方体拼成了相同的图案。见例图．例图中正方体的每一面的图案都相同，因此，用8个或9个黑色小正方体就可拼成这样的大正方体．除例图的图案之外，还可以拼成每面的图案都相同的大正方体．‎ 问⑴：在下图的①~⑦中找出可以拼成每面都相同的图案．‎ 问⑵：在问⑴中，可以按要求拼成的大正方体各用几个黑色小正方体？最多的用几个？最少的用几个？‎ 例图 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦‎ ‎【考点】长方体与正方体 【难度】4星 【题型】解答 ‎【关键词】日本算术奥林匹克 【解析】 本题主要考查学生的空间想象能力．在原来的棱长为的小正方体中，由于每一个的6个面的颜色都是相同的，要么是白色，要么是黑色，所以，在拼成的棱长为的大正方体中，如果出现有某一面上有黑色的小正方形，那么就要注意与这个小正方形同属一个小正方体的其他面也应当是黑色的．‎ ‎⑴：图中的③④⑤⑥可以；‎ ‎⑵：最多用10个，最少用4个．‎ 图①必然有黑色立方体出现角上，在选定了某一个顶点为黑色立方体后，相邻的正面出现了图①所示的图案，则在上面必定是出现与选定的这个顶点相邻部分有一面是黑的，然而此时左面的情况就是至少三块成黑色了，与图①所示的图案不可能相同．所以图①不可以；‎ 图②的正面如图所示，则上面也必定在某一个角上，如果是在相邻的角，则某一面上有3块黑色的；如果是在对角，而对角的情况与图①所示的图案不同．所以图②不可以；‎ 图③可以，如下左图所示．通过“切片法”，可以知道最少块，而最多可用6块（有一块在大立方体的中间，从表面看不到的那块）；‎ ‎ ‎ 图④可以，如下左图所示．可以看出最少有块，最多有5块；‎ ‎ ‎ 图⑤中，最少有块黑块，最多有10块．‎ 请注意这里从最多角度考虑，所以把最中心的一块算在内，其实这一块从六个方向都看不到；‎ ‎ ‎ 图⑥中，最少有块，最多有块；‎ ‎ ‎ 图⑦中，当把上下前后四个面染好后，左右两个面是无法染成相同图案的．所以图⑦不可以．‎ ‎【答案】图中的③④⑤⑥可以；最多用10个，最少用4个 【例 1】 一个长、宽、高分别为12、9、7厘米的长方体，在它的每组两两相对的面的正中央都打一个底面为4平方厘米的正方形的贯穿洞．那么这个长方体剩下部分的体积是 立方厘米．‎ ‎【考点】长方体与正方体 【难度】5星 【题型】填空 ‎【关键词】三帆中学 【解析】 如图，将长方体剩下的部分分割成六块，其中两块都是中间有一个长方体贯穿孔的长方体，另外四块是相同大小的长方体．前面两块的体积之和为立方厘米，后面四个长方体的体积之和为立方厘米，所以原长方体剩下部分的体积为立方厘米．‎ ‎【答案】660‎ 【例 1】 ‎ 如图所示，一个的立方体，在一个方向上开有的孔，在另一个方向上开有的孔，在第三个方向上开有的孔，剩余部分的体积是多少？表面积为多少？‎ ‎【考点】长方体与正方体 【难度】4星 【题型】解答 ‎【关键词】武汉明心杯 【解析】 求体积：‎ 开了的孔，挖去，开了的孔，‎ 挖去；开了的孔，‎ 挖去，‎ 剩余部分的体积是：．‎ ‎(另解)将整个图形切片，如果切面平行于纸面，那么五个切片分别如图：‎ 得到总体积为：．‎ 求表面积：‎ ‎　　　　表面积可以看成外部和内部两部分．外部的表面积为，内部的面积可以分为前 ‎　　　　后、左右、上下三个方向，面积分别为、‎ ‎　　　　、，所以总的表面积为 ‎　　　　．‎ ‎　　　　(另解)运用类似于三视图的方法，记录每一方向上的不同位置上的裸露正方形个数：‎ ‎　　　　前后方向：　　‎ 上下方向：　　左右方向：‎ ‎　　　　‎ ‎　　　　总表面积为．‎ ‎【总结】“切片法”：全面打洞(例如本题，五层一样)‎ ‎ 挖块成线(例如本题，在前一层的基础上，一条线一条线地挖)‎ ‎ 这里体现的思想方法是：化整为零，有序思考！‎ ‎【答案】204‎ ‎【巩固】 如图，原来的大正方体是由个小正方体所构成的．‎ 其中有些小正方体已经被挖除，图中涂黑色的部分就是贯穿整个大正方体的挖除部分．请问剩下的部分共有多少个小正方体？‎ ‎【考点】长方体与正方体 【难度】4星 【题型】解答 ‎【关键词】香港保良局，小学数学世界邀请赛 【解析】 对于这一类从立体图形中间挖掉一部分后再求体积（或小正方体数目）的题目一般可以采用“切片法”来做，所谓“切片法”，就是把整个立体图形切成一片一片的（或一层一层的），然后分别计算每一片或每一层的体积或小正方体数目，最后再把它们相加．‎ 采用切片法，俯视第一层到第五层的图形依次如下，其中黑色部分表示挖除掉的部分．‎ ‎ ‎ 从图中可以看出，第1、2、3、4、5层剩下的小正方体分别有22个、11个、11个、6个、22个，所以总共还剩下（个）小正方体．‎ ‎【答案】72‎ ‎【巩固】一个由125个同样的小正方体组成的大正方体，从这个大正方体中抽出若干个小正方体，把大正方体中相对的两面打通，右图就是抽空的状态．右图中剩下的小正方体有多少个？‎ ‎【考点】长方体与正方体 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 解法一：(用“容斥原理”来解)由正面图形抽出的小正方体有个，由侧面图形抽出的小正方体有个，由底面图形抽出的小正方体有个，正面图形和侧面图形重合抽出的小正方体有个，正面图形和底面图形重合抽出的小正方体有个，底面图形和侧面图形重合抽出的小正方体有个，三个面的图形共同重合抽出的小正方体有4个．根据容斥原理，，所以共抽出了52个小正方体．，所以右图中剩下的小正方体有73个．‎ 注意这里的三者共同抽出的小正方体是4个，必须知道是哪4块，这是最让人头疼的事．‎ 但你可以先构造空的两个方向上共同部分的模型，再由第三个方向来穿过“花墙”．‎ 这里，化虚为实的思想方法很重要．‎ 解法二：(用“切片法”来解)‎ 可以从上到下切五层，得：‎ ‎⑴从上到下五层，如图：‎ ‎⑵或者，从右到左五片，如图：‎ ‎ 请注意这里的挖空的技巧是：先认一种方向．‎ ‎ 比如：从上到下的每一层，首先都应该有第一层的空四块的情况，即——‎ ‎ 如果挖第二层：第(1)步，把中间这些位置的四块挖走如图：‎ ‎ ‎ ‎ 第(2)步，把从右向左的两块成线地挖走．(请注意挖通的效果就是成线挖去)，如图：‎ 第(3)步，把从前向后的一块(请注意跟第二层有关的只是一块！)挖成线！如图：‎ ‎【答案】73‎ 【例 1】 ‎ 用大小相等的无色透明玻璃小正方体和红色玻璃小正方体拼成一个大正方体(如图)，大正方体内的对角线，，，所穿的小正方体都是红色玻璃小正方体，其它部分都是无色透明玻璃小正方体，小红正方体共用了401个，问：无色透明小正方体用了多少个?‎ ‎【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】解答 ‎【关键词】华杯赛，决赛 【解析】 ‎、，，，四条对角线都穿过在正中央的那个小正方体．除此而外，每条对角线穿过相同的小正方体，所以每条对角线穿过个小正方体 ‎ 这就表明大正方体的每条边由101个小正方体组成．因此大正方体由个小正方体组成，其中无色透明的小正方体有．‎ 即用了1029900个无色透明的小正方体．‎ ‎【答案】1029900‎ 【例 1】 ‎ 连接正方体各面的中心构成一个正八面体（如图所示）。已知正方体之边长为，请问正八面体之体积为多少立方厘米？‎ ‎ ‎ ‎【考点】长方体与正方体 【难度】4星 【题型】解答 ‎【关键词】台湾小学数学竞赛，决赛 【解析】 正八面体的体积实际上是上、下两个对称锥体的体积之和．容易看出锥体的底面是依次连接一个正方形的各边中点而成的（如右上图），所以也是正方形，且面积是正方体的一个面的一半，即（平方厘米），高是正方体棱长的一半，为‎6厘米，所以八面体的体积是：‎ ‎（立方厘米）．‎ ‎【答案】288‎ 【例 2】 如图,已知、、分别是相邻的三条棱的中点．沿三个中点连成一个正三角形，把原来的立方体切掉一角．如果原来的立方体棱长为8，求：‎ ‎⑴切掉的小部分的体积是多少？‎ ‎⑵剩下的大部分的体积是多少？‎ ‎【考点】长方体与正方体 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 本题应用相关体积公式．‎ ‎⑴ ‎ ‎⑵ ‎ ‎【答案】‎ 【例 3】 ‎ 如图，正方体的棱长为，连接正方体其中六条棱的中点形成一个正六边形，而连接其中三个顶点形成一个正三角形．正方体夹在六边形与三角形之间的立体图形有 个面，它的体积是 ．‎ ‎【考点】长方体与正方体 【难度】4星 【题型】填空 ‎【关键词】走美杯，六年级，决赛 【解析】 从图中可以看出，夹在六边形与三角形之间的立体图形有2个底面和6个侧面（六边形的每一条边对应一个侧面），所以共有个面，‎ 由于正方体是关于它的中心成中心对称的，而根据正六边形和正三角形的连法，如果从正方体中去掉以这个正三角形为底面的三棱锥以及与它相对的三棱锥后，剩下的部分正好被六边形分成2个同样的立体图形，这就是所要求的立体图形．所以所要求的立体图形的体积是：‎ ‎．‎ ‎【答案】有个面，72‎ ‎【巩固】如图，原正方体的棱长为‎12厘米，沿图中的线将正方体切掉正面的部分，求剩下不规则立体图形的体积．‎ ‎【考点】长方体与正方体 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 倾斜于上下底面的切面，把正方体一分为二．被切掉的部分的图形和剩下的部分图形关于正方形的中心是对称的．‎ ‎【答案】864‎ 【例 1】 如图，是一个正方体，将正方体的、、、四个顶点两两连接就构成一个正四面体，已知正方体的边长为3，求正四面体的体积.‎ ‎【考点】长方体与正方体 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 这个正四面体可以看作由正方体切掉、、、四个角后得到的，如图所示：‎ ‎ 所以正四面体的体积.‎ ‎【答案】9‎ 【例 2】 ‎ 一个正方体的每个顶点都有三条棱以其为端点，沿这三条棱的三个中点，从这个正方体切下一个角，这样一共切下八个角，则余下部分的体积(如下图所示)和正方体体积的比是多少？‎ ‎【考点】长方体与正方体 【难度】4星 【题型】解答 ‎【关键词】华杯赛，决赛 【解析】 假设正方体的边长为1，那么每个切去的角(三棱锥)的体积为，所以八个角一共切去的体积，所以余下的体积是正方体体积的，即余下部分的体积与正方体体积的比为．‎ ‎【答案】5:6‎ 【例 1】 选项中有4个立方体，其中是用左边图形折成的是( )．‎ ‎【考点】长方体与正方体 【难度】2星 【题型】选择 ‎【关键词】清华附中，入学测试 【解析】 图中、、项展开后的图形均为下图，只有项展开后的图形与题中左边图形相符，所以答案为．‎ ‎【答案】B 【例 2】 图1是下面 的表面展开图 ‎①甲正方体；‎ ‎②乙正方体；‎ ‎③丙正方体；‎ ‎④甲正方体或丙正方体．‎ ‎ ‎ ‎ 甲 乙 丙 ‎【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】选择 【解析】 从展开图可以看出，每个面上至少有一块阴影，从而排除丙；又每个面上没有相邻的两块阴影，从而排除乙．故选甲答案为①．‎ ‎【答案】①‎ 【例 1】 图中是一个直三棱柱的表面展开图，其中，黄色和绿色的部分都是边长等于1的正方形．问这个直三棱柱的体积是多少？‎ ‎ ‎ ‎【考点】长方体与正方体 【难度】2星 【题型】解答 ‎【关键词】华杯赛，初赛 【解析】 这个展开图折成直三棱柱形状，如右图所示，可见这个三棱柱是单位正方体的一半，其体积为．‎ ‎【答案】0.5‎ 【例 2】 如图是一个四棱锥的展开图，该展开图由正三角形和正方形构成，其中正方形的面积为8平方厘米，那么该四棱锥的体积为多少？‎ ‎ ‎ ‎【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 知道四棱锥的底面面积，只要知道四棱锥的高就能求得四棱锥的体积．将四棱锥沿对角线和顶点构成的平面剖开，剖面是一个三角形.该三角形的斜边等于正方形的对角线，直角边等于正方形和等边三角形的边长，所以三角形是一个等腰直角三角形，它的高等于对角线的一半，根据对称性，这条高也等于四棱锥的高.‎ ‎ 　　　　本题，我们要想知道四棱锥的高，如果仅仅通过操作法，可能无法准确得知．‎ 我们隆重推出“画图建模法”，比如：‎ 请注意在一个正方体中如何作等边三角形，这一经验，会让我们“类比联想”到，如何让四个等边三角形围绕一个正方形，得到四棱锥．‎ 另外，这个四棱锥的高正好等于原正方体棱长的一半．‎ 根据小正方形面积是8推得，大正方形面积是小正方形的2倍，‎ 所以大正方形面积是16，所以大正方体的边长是4．‎ 所以小正方体的棱长为2．‎ 即四棱锥的高度为2．‎ 四棱锥的体积为立方厘米．‎ ‎【答案】‎ 【例 1】 如图，剪一块硬纸片可以做成一个多面体的纸模型(沿虚线折，沿实线粘)．这个多面体的面数、顶点数和棱数的总和是多少？‎ ‎ ‎ ‎【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 多面体的面数，可以直接从侧面展开图中数出来，12个正方形加8个三角形，共20面．‎ 右上图是多面体上部的示意图共有9个顶点；同样，下部也是9个顶点，共18个顶点．‎ 棱数要分成三层来数，上层．从示意图数，有15条；下层也是15条；中间部分为6条．一共15×2+6=36(条)．‎ 总和为：20+18+36=74(个)．‎ ‎【答案】74‎ 【例 2】 ‎ 右图是个有底无盖的容器的平面展开图，其中①是边长为‎18厘米的正方形，②③④⑤是同样大的等腰直角三角形，⑥⑦⑧⑨是同样大的等边三角形．那么，这个容器的容积是 毫升．‎ ‎【考点】长方体与正方体 【难度】4星 【题型】填空 ‎【关键词】迎春杯，六年级，初赛 【解析】 该容器是一个棱长为18的立方体割去八个角后(从每条棱的中点)剩下部分的一半．‎ 即：(毫升)．‎ ‎【答案】2430‎ 【例 3】 如图左边为某个容器的展开图，右边的正六边形是该容器的盖子，该容器所有表面都是正多边形(正方形、正三角形、正六边形)，其中正方形的面积为18，那么该容器的容积为多少？‎ ‎【考点】长方体与正方体 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 一般的经验，这种由展开图围成立体图形的题，一种最简单的找到思路的方法是按这样的比例，先描画出平面图，剪一剪，再手工折一折，试一试．这种方法可以简称为：实际操作法．‎ 另外，也可以采用“画图建模法”，这种方法的关键是联系正方体，比如，如何在一个正方体中出现正六边形．在此基础上，如何出现正三角形？‎ 本题中，该容器可以由一个正方体通过切割雕成，首先连接正方体的六条边的中点，以这六条线段围成的六边形能将正方体切割成相等的两份，再在其中一份上割去4个三棱锥，即可得到展开图符合条件的立体图形，因为展开图中正方形的面积为18，所以被切割的大正方体的表面的正方形的面积为，所以大正方体的边长为6，体积为216．‎ 该容器的体积为．‎ ‎【答案】90‎ 【例 1】 ‎ 右图中的⑴⑵⑶⑷是同样的小等边三角形，⑸⑹也是等边三角形且边长为⑴的2倍，⑺⑻⑼⑽是同样的等腰直角三角形，⑾是正方形．那么，以⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾为平面展开图的立体图形的体积是以⑴⑵⑶⑷为平面展开图的立体图形体积的 倍．‎ ‎ ‎ ‎【考点】长方体与正方体 【难度】5星 【题型】填空 ‎【关键词】迎春杯，高年级，复赛 【解析】 本题中的两个图都是立体图形的平面展开图，将它们还原成立体图形，可得到如下两图：‎ ‎ ‎ 其中左图是以⑴⑵⑶⑷为平面展开图的立体图形，是一个四个面都是正三角形的正四面体，右图以⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾为平面展开图的立体图形，是一个不规则图形，底面是⑾，四个侧面是⑺⑻⑼⑽，两个斜面是⑸⑹．‎ 对于这两个立体图形的体积，可以采用套模法来求，也就是对于这种我们不熟悉的立体图形，用一些我们熟悉的基本立体图形来套，看看它们与基本立体图形相比，缺少了哪些部分．‎ 由于左图四个面都是正三角形，右图底面是正方形，侧面是等腰直角三角形，想到都用正方体来套．‎ 对于左图来说，相当于由一个正方体切去4个角后得到(如下左图，切去、、、)；而对于右图来说，相当于由一个正方体切去2个角后得到(如下右图，切去、)．‎ ‎ ‎ 假设左图中的立方体的棱长为，右图中的立方体的棱长为，则以⑴⑵⑶⑷为平面展开图的立体图形的体积为：，‎ 以⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾为平面展开图的立体图形的体积为．‎ 由于右图中的立方体的棱长即是题中正方形⑾的边长，而左图中的立方体的每一个面的对角线恰好是正三角形⑴的边长，通过将等腰直角三角形⑺分成4个相同的小等腰直角三角形可以得到右图中的立方体的棱长是左图中的立方体的棱长的2倍，即．‎ 那么以⑴⑵⑶⑷为平面展开图的立体图形的体积与以⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾为平面展开图的立体图形的体积的比为：，也就是说以⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾为平面展开图的立体图形的体积是以⑴⑵⑶⑷为平面展开图的立体图形体积的16倍．‎ ‎【答案】16‎ 【例 1】 图⑴和图⑵是以正方形和等边三角形为面的立体图形的展开图，图中所有的边长都相同．请问：图⑴能围起来的立体图形的体积是图⑵能围起来的立体图形的体积的几倍？‎ ‎ ‎ ‎ 图⑴ 图⑵‎ ‎【考点】长方体与正方体 【难度】5星 【题型】解答 【解析】 首先，我们把展开图折成立体图形，见下列示意图：‎ ‎ ‎ 图⑴ 图⑵‎ 对于这类题目，一般采用“套模法”，即用一个我们熟悉的基本立体图形来套，这样做基于两点考虑，一是如果有类似的模型，可以直接应用其计算公式；二是如果可以补上一块或者放到某个模型里面，那么可以从这个模型入手．‎ 我们把图⑴中的立体图形切成两半，再转一转，正好放进去！我们看到图⑴与图⑶的图形位置的微妙关系：‎ ‎ ‎ ‎ 图⑶ 图⑷‎ 由图⑷可见，图⑴这个立体的体积与图⑶这个被切去了8个角后的立体图形的体积相等．‎ 假设立方体的1条边的长度是1，那么一个角的体积是，所以切掉8个角后的体积是．‎ 再看图⑵中的正四面体，这个正四面体的棱长与图⑶中的每一条实线线段相等，所以应该用边长为的立方体来套．如果把图⑵的立体图形放入边长为的立方体里的话是可以放进去的．‎ 这是切去了四个角后的图形，从上面的分析可知一个角的体积为，所以图⑵的体积是：，那么前者的体积是后者的倍．‎ ‎【总结】在竞赛实战中，有一种方法尤其重要，就是实际操作法．本题不妨按图索骥“做”相关模型，就能相对轻松地想到与正方体的关联．‎ ‎【答案】20‎ 【例 1】 有甲、乙、丙3种大小不同的正方体木块，其中甲的棱长是乙的棱长的，乙的棱长是丙的棱长的．如果用甲、乙、丙3种木块拼成一个体积尽可能小的大正体，每种至少用一块，那么最少需要这3种木块一共多少块?‎ ‎【关键词】迎春杯，决赛，第二题，第5题 ‎【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 设甲的棱长为1，则乙的棱长为2，丙的棱长为3．显然，大正方体棱长不可能是4，否则无法放下乙和丙各一个．于是，大正方体的棱长至少是5．事实上，用甲、乙、丙三种木块可以拼成棱长为5的大正方体，其中丙种木块只能用1块；乙种木块至多用7块(使总的块数尽可能少)；甲种木块需用：5×5×5-1×3×3×3-7×2×2×2=42(块)．因此，用甲、乙、丙三种木块拼成体积最小的大正方体，至少需要这三种木块一共1+7+42=50(块)．‎ ‎【答案】50‎ 【例 2】 将一个长‎28cm，宽‎18cm的长方形铁片的四个角各截去一个边长为‎4cm的正方形。再将此铁片折成一个无盖的长方形容器。容器的容积为 cm3。‎ ‎【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】填空 ‎【关键词】走美杯，6年级，决赛，第2题，8分 【解析】 四个角各截去一个边长为‎4cm的正方形，再折成一个无盖的长方形容器，则长方形容器的底面的长和宽分别比铁片的长和宽短‎8cm，即‎20cm和‎10cm，高为‎4cm。所以，容积为20×10×4=800(cm3)。‎ ‎【答案】800‎ 【例 3】 如图，正方体的棱长为，连接正方体其中六条棱的中点形成一个正六边形，而连接其中三个顶点形成一个三角形。正方体夹在六边形与三角形之间的立方体图形有 个面，它的体积是 。‎ ‎【考点】长方体与正方体 【难度】4星 【题型】填空 ‎【关键词】走美杯，6年级，决赛，第9题，10分 【解析】 个面，体积是（）。‎ ‎【答案】72‎ 【例 4】 如图，一个有底无盖圆柱体容器，从里面量直径为‎10厘米，高为‎15厘米．在侧面距离底面‎9厘米的地方有个洞．这个容器最多能装 毫升水（π取3.14）．‎ ‎ ‎ ‎【考点】长方体与正方体 【难度】4星 【题型】填空 ‎【关键词】走美杯，6年级，决赛，第10题，10分 【解析】 现在要求这个容器尽可能的多装一些水，则将圆柱适当的倾斜，可得新的圆柱的体积为：毫升水。‎ ‎【答案】942‎ 【例 1】 威力集团生产的某种洗衣机的外形是长方体，装衣物部分是圆柱形的桶，直径‎40厘米，深‎36厘米，已知该洗衣机装衣物的空间占洗衣机体积的25％，长方体外形的长为‎52厘米，宽‎50厘米。问：高是多少厘米?‎ ‎【考点】长方体与正方体 【难度】4星 【题型】解答 ‎【关键词】华杯赛，初赛，第13题 【解析】 装洗衣物的圆桶体积为：π××36，洗衣机的体积为：π××36÷25％ 所以，洗衣机的高为：π××36÷25％÷(52×50) ＝3.14×400×36×4×× ＝3.14×≈69.56，即高是‎70厘米.‎ ‎【答案】70‎ 【例 2】 有一种饮料的瓶身如下图所示，容积是‎3升。现在它里面装了一些饮料，正放时饮料高度为20厘米，倒放时空于部分的高度为5厘米。那么瓶内现有饮料 升。‎ ‎ ‎ ‎【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】填空 ‎【关键词】华杯赛，五年级，初赛，第7题 【解析】 ‎2.4‎ ‎【答案】2.4‎ 【例 3】 世界上最早的灯塔于公元270年，塔分三层，每层都高‎27米，底座呈正四棱柱，中间呈正八棱柱，上部呈正圆锥。上部的体积是底座的体积的____.‎ ‎(A) 　　(B) 　　(C) ‎ ‎【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】选择 ‎【关键词】华杯赛，初赛，第8题 【解析】 由图可以看出，塔的上部底面圆的直径与底座的一边等长.设底座的一边长为‎2a，则塔的上部的体积为，底座的体积为，所以，塔的上部的体积是底座的体积的，答案为B.‎ ‎【答案】B 【例 1】 一个圆锥形容器甲与一个半球形容器乙，它们圆形口的直径与容器的高的尺寸如图所示。若用甲容器取水来注满乙容器，问：至少要注水多少次？‎ ‎【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】解答 ‎【关键词】华杯赛，初赛，第7题 【解析】 球的体积为，圆锥的体积为，从图可知，此题中，而圆锥的底面半径为半球半径的，所以半球的体积是圆锥体积的（倍），即需要注水8次。‎ ‎【答案】8次 【例 2】 一个拧紧瓶盖的瓶子里面装着一些水（如图1），由图中的数据可推知瓶子的容积是________立方厘米。（π取3.14）‎ ‎【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】填空 ‎【关键词】希望杯，五年级，复赛，第5题，5分 【解析】 由于瓶子倒立过来后其中水的体积不变，所以空气部分的体积也不变，从图中可以看出，瓶中的水构成高为厘米的圆柱，空气部分构成高为厘米的圆柱，瓶子的容积为这两部分之和，所以瓶子的容积为：（立方厘米）。 ‎ ‎【答案】100.48‎ 【例 1】 输液100毫升，每分钟输2.5毫升。请你观察第12分钟时吊瓶图像中的数据，回答整个吊瓶的容积是多少毫升？‎ ‎【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】解答 ‎【关键词】华杯赛，初赛，第11题 【解析】 从图中可知，12分钟时，吊瓶的无液部分是80毫升，12分钟共输液2.5×12＝30毫升，即装100毫升溶液时吊瓶的空余部分是50毫升，整个吊瓶的容积是100＋50＝150毫升。‎ ‎【答案】150‎ 【例 2】 下图是一个直圆柱形状的玻璃杯，一个长为12厘米的直棒状细吸管(不考虑吸管粗细)放在玻璃杯内。当吸管一端接触圆柱下底面时，另一端沿吸管最少可露出上底面边缘2厘米，最多能露出4厘米。则这个玻璃杯的容积为____立方厘米。(取π=3 14)(提示：直角三角形中“勾6、股8、弦‎10”‎)‎ ‎【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】填空 ‎【关键词】华杯赛，初赛，第9题 【解析】 如图，一个长为‎12厘米的直棒状细吸管放在玻璃杯内，另一端沿吸管最多能露出‎4厘米，表明直圆柱的高CB=12-4=8（厘米）；另一端沿吸管最少可露出‎2厘米，表明直圆柱的轴截面矩形的对角线长为AC=12-2=10（厘米）。由直角三角形中“勾6、股8、弦‎10”‎的常识，可知圆柱底面圆的直径是‎6厘米，半径为‎3厘米。因此，这个玻璃杯的容积为（立方厘米）。‎ ‎【答案】226.08‎ 【例 3】 一个长方体的长、宽、高恰好是3个连续的自然数，并且它的体积的数值等于它的所有棱长之和的数值的2倍，那么这个长方体的表面积是（　）‎ ‎　 A. 74　　B. 148　　C. 150　　D. 154‎ ‎【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】选择 ‎【关键词】华杯赛，六年级，初赛，第5题 【解析】 设长方体的三条棱长分别为a－1，a，a＋1，则它的体积为 它的所有棱长之和为[(a－1)＋a＋(a＋1)]×4＝‎12a 于是有＝‎12a×2，即＝‎25a，＝25，a＝5 即这个长方体的棱长分别为4，5，6 所以，它的表面积为（4×5＋4×6＋5×6）×2＝148 答案：B ‎【答案】B 【例 4】 用棱长是‎1厘米的立方块拼成如右图所示的立体图形，求该图形的表面积。‎ ‎【考点】长方体与正方体 【难度】4星 【题型】解答 ‎【关键词】华杯赛，初赛，第12题 【解析】 这立体的上(顶)表面积之和就等于底层的底面积，各层的侧面积为： 第l层4， 第2层4＋8＝12， 第3层(3＋4)×2＝14， 所以，这立体图形的表面积是 4＋12＋14＋12×2＝54(平方厘米)‎ ‎【答案】54‎ 【例 1】 ‎ （如右图）将高都是‎1米，底面半径分别为‎1.5米、‎1米和‎0.5米的三个圆柱组成一个物体．求这个物体的表面积（取π＝3）．‎ ‎【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】解答 ‎【关键词】华杯赛，初赛，第5题 【解析】 物体的表面积恰好等于一个大圆柱的表面积加上中、小圆柱的侧面积．即 2×π×＋2×π×1.5×1＋2×π×1×1＋2×π×0.5×1 ＝4.5π＋3π＋2π＋π ＝10.5π(平方米) 取π值为3，上式等于31.5(平方米) 　答：这个物体的表面积是‎31.5平方米 ‎【答案】31.5‎ 【例 2】 这里有一个圆柱和一个圆锥（如右图），它们的高和底面直径都标在图上，单位是厘米。请回答：圆锥体积与圆柱体积的比是多少？‎ ‎【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】解答 ‎【关键词】华杯赛，初赛，第3题 【解析】 ‎。‎ ‎【答案】‎ 【例 3】 两个同样材料做成的球A和B，一个实心，一个空心。A的直径为7、重量为22，B的直径为10.6、重量为33.3。问：哪个球是实心球?‎ ‎【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】解答 ‎【关键词】华杯赛，初赛，第4题 【解析】 显然比重较大的一个是实心球.A的比重为22÷（）， B的比重为33.3÷（），两式均含， 所以只需比较与的大小，＞1000，＝147， 可知A的比重较大，即A是实心球.‎ ‎【答案】A是实心球 【例 1】 铁路油罐车由两个半球面和一个圆柱面钢板焊接而成，尺寸如下图所示。问：该油罐车的容积是多少立方米?(π=3.1416)‎ ‎【考点】长方体与正方体 【难度】4星 【题型】解答 ‎【关键词】华杯赛，初赛，第5题 【解析】 两个半球合成一个球，体积为，圆柱部分的高为14－2＝12，‎ 所以罐的容积为：＋π×12×12＝（12＋）×π≈13.3333×3.1416≈41.888（立方米）‎ ‎【答案】41.888‎ 【例 2】 某工厂原用长‎4米，宽l米的铁皮围成无底无顶的的正方体形状的产品存放处，恰好够放—周的产品。现在产量增加了27％，问：能否还用原来的铁皮围成存放处，装下现在一周的产品?‎ ‎【考点】长方体与正方体 【难度】4星 【题型】解答 ‎【关键词】华杯赛，初赛，第10题 【解析】 将此铁皮沿长‎4米的边卷起成圆柱面圆柱底面的圆周长为‎4米，因而半径为，由于高为‎1米，　圆柱体积为：V＝≈1.274(立方米) 现在(圆柱)的体积和原来(正方体)的体积之比是：≈1.274＝127.4％ 即体积增加了127.4％－100％＝27.4％ 所以，现在产量增加了27％，仍能装下.‎ ‎【答案】能装下 【例 3】 有甲、乙两只圆柱形玻璃杯，其内直径依次是‎10厘米、‎20厘米，杯中盛有适量的水．甲杯中沉没着一铁块，当取出此铁块后，甲杯中的水位下降了‎2厘米；然后将铁块沉没于乙杯，且乙杯中的水未外溢．问：这时乙杯中的水位上升了多少厘米?‎ ‎【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】解答 ‎【关键词】华杯赛，初赛，第8题 【解析】 两个圆柱直径的比是1∶2，所以底面面积的比是1∶4，铁块在两个杯中排开的水的体积相同，所以乙杯中水升高的高度应当是甲杯中下降的高度的，即2×＝0.5(厘米)‎ ‎【答案】0.5‎ 【例 1】 边长l米的正方体2100个，堆成了一个实心的长方体。它的高是‎10米，长、宽都大于高。问长方体的长与宽的和是几米?‎ ‎【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】解答 ‎【关键词】华杯赛，初赛，第7题 【解析】 因为正方体的边长是‎1米，2100个正方体堆成实心长方体的体积就是‎2100立方米。已经知道，高为‎10米，于是长×宽＝‎210平方米.把210分解为质因数：210＝2×3×5×7.由于长和宽必须大于高(‎10米)，长和宽只能是：3×5和2×7。也就是‎15米和‎14米。‎14米＋‎15米＝‎29米。 答：长与宽的和是‎29米。‎ ‎【答案】29‎ 【例 2】 下图a是一个密封水瓶的切面图，上半部为圆锥状，下半部为圆柱状，底面直径都是‎10厘米，水瓶高度是‎26厘米，瓶中液面的高度为‎12厘米，将水瓶倒置后，如下图b，瓶中液面的高度是‎16厘米，则水瓶的容积等于________立方厘米.（π＝3.14，水瓶壁厚不计）‎ ‎【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】填空 ‎【关键词】华杯赛，六年级，决赛，第5题 【解析】 由图a可知，溶液的体积为：， 由图b可知，空隙部分的体积为：。 所以水瓶的体积为：（平方厘米）。‎ ‎【答案】1727‎ 【例 3】 一块长方形玻璃，长截去5分米，宽截去3分米，剩下的部分是正方形。已知截去的面积是71平方分米，那么剩下的正方形的面积是         平方分米。‎ ‎【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】填空 ‎【关键词】希望杯，4年级，初赛，20题 【解析】 ‎3a‎+‎5a+3×5=71，解得a=7，所以剩下的正方形面积为7×7=49平方分米 ‎【答案】49‎ 【例 4】 如图7，阴影部分是一个长方形，它的四周是四个正方形，如果这四个正方形的周长是的和是‎240厘米，面积的和是1000平方厘米，那么阴影部分的面积是          平方厘米。‎ ‎【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】填空 ‎【关键词】希望杯，4年级，初赛， 22题 【解析】 ‎8a‎+8b=240,‎2a×a+2b×b=1000，得到a+b=30，a×b=200平方厘米 ‎【答案】200‎ 【例 1】 用若干个棱长为1的小正方体铁块焊接成的几何体，从正面，侧面，上面看到的视图均如图所示，那么这个几何体至少由 个小正方体铁块焊接而成。‎ ‎【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】填空 ‎【关键词】希望杯，五年级，初赛，第14题，6分 【解析】 结构如下图：‎ ‎【答案】5个 【例 2】 若长方体的三个侧面的面积分别是6，8，12，则长方体的体积是 。‎ ‎【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】填空 ‎【关键词】希望杯，五年级，初赛，第15题，6分 【解析】 设长方体的长宽高分别为、、，则有、、的值分别为6，8，12。可得长方体的体积的平方=，所以此长方体的体积为24。‎ ‎【答案】24‎ 【例 3】 如果一个边长为2厘米的正方体的体积增加208立方厘米后仍是正方形，则边长增加______厘米。‎ ‎【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】填空 ‎【关键词】希望杯，五年级，初赛，第18题，5分 【解析】 原来体积2×2×2=8，后来体积8+208=216立方厘米，216=6×6×6，边长增加6-2=‎4厘米。‎ ‎【答案】4‎ 【例 4】 ‎ 用125个边长为1厘米的正方体可以拼成一个边长为5厘米的正方体，要使拼成的立方体的边长变为6厘米，则需要增加边长为1厘米的正方体______个。‎ ‎【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】填空 ‎【关键词】希望杯，五年级，初赛，第17题，5分 【解析】 ‎6×6×6=216，216-125=91个 ‎【答案】91‎ 【例 5】 ‎ 沿图4的虚线折叠，可以围成一个长方体，它的体积是       立方厘米。‎ ‎【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】填空 ‎【关键词】希望杯，五年级，初赛，第15题，5分 【解析】 宽+高=7，，长=5，长+高=8，所以长=5，高=3，宽=4，体积为3×4×5=60立方厘米 ‎【答案】60‎ 【例 6】 ‎ 将1，2，3，4，5，6分别填在右图中的每个方格内，使折叠成的正方形中对面数字的和相等。‎ ‎【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】解答 ‎【关键词】希望杯，五年级，初赛，2题，4分 【解析】 ‎1+6=7，2+5=7，3+4=7，如下图 ‎【答案】‎ 【例 1】 ‎ 把2、4、6、8、10、12这六个数字依次写在一个立方体的正面、背面、两个侧面以及两个底面上，然后把立方体展开，如图1，最左边的正方形上的数字是12，则最右边的正方形上的数字是 。‎ ‎【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】填空 ‎【关键词】希望杯，四年级，复赛，第4题，6分 ‎ 【解析】 最右边的正方形是在2的对面，也就是背面，为4‎ ‎【答案】4‎ 【例 2】 图xx0402_05表示正方体的展开图，将它折叠成正方体，可能的图形是A、B、C、D中的________ 。(填A、B、C、D之一) ‎ ‎【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】填空 ‎【关键词】希望杯，四年级，复赛，第13题，4分 【解析】 B ‎【答案】B 【例 3】 如下图，一个正方体木块放在桌面上，每个面内都 画有若干个点，相对的两个面内的点数和都是13，京京看见上、左、前三个面内的点数的和诗16，庆庆看见上、右、后三个面内的点数和是24。那么贴着桌面的那个面的点数是___.‎ ‎【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】填空 ‎【关键词】希望杯，5年级，复赛，第11题 【解析】 上+左+前=16 上+右+后=24‎ ‎ 因此：上+上+（左+右）+（前+后）=40，‎ ‎ 又因为左+右=前+后=13，因此 ‎ ，则下=13-7=6.‎ ‎【答案】6‎ 【例 1】 下列图形经过折叠不能围成正方体的是________.‎ ‎【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】填空 ‎【关键词】希望杯，四年级，复赛，第11题，6分 【解析】 C ‎【答案】C 【例 2】 如图， 圆锥形容器中装有水‎50升，水面高度是圆锥高度的一半。这个容器最多能装水 升。‎ ‎【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】填空 ‎【关键词】希望杯，六年级，初赛，第15题，6分 【解析】 圆锥容器的底面积是现在装水时底面积的4倍，圆锥容器的高是现在装水时圆锥高的2倍，所以容器容积式水的体积的8倍，即升 ‎【答案】400‎ 【例 3】 ‎ 将长为5，宽为3，高为1的长方体木块的表面涂上漆，再切成15块棱长为l的小正方体。则三个面涂漆的小正方体有________块。‎ ‎【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】填空 ‎【关键词】希望杯，六年级，初赛，第12题，5分 【解析】 因为只有1层，故有三个面涂漆的小正方体位于棱上，共有8块。‎ ‎【答案】8块 【例 4】 用若干个棱长为1的小正方体铁框架焊接成的几何体，从正面、侧面、上面看到的视图均如图5所示。那么这个几何体至少是 个小正方体铁框架焊接而成。‎ ‎【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】填空 ‎【关键词】希望杯，五年级，复赛，第10题，5分 【解析】 注意，此题是焊接而成，而不是堆砌，则中间可以空，所以用9个小正方体铁框架即可焊接而成。‎ ‎【答案】9块 【例 1】 两个完全相同的长方体的长、宽、高分别为5厘米、4厘米、3厘米，把它们拼在一起可组成一个新长方体，在这些长方体中，表面积最小的是________平方厘米。‎ ‎【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】填空 ‎【关键词】希望杯，五年级，复赛，第12题，5分 【解析】 由于拼在一起可组成一个新长方体，所以拼接的两个面是完全相同的两个面，拼接成的长方体的面积，即等于原来的两个长方体的面积之和减去拼接在一起的两个面的面积，所以，在拼成的长方体中，表面积最小的为拼接的两个面的面积最大的情况，而原来的长方体中最大的面为这个面，所以，在拼成的这些长方体中，表面积最小的为：（平方厘米）。‎ ‎【答案】148‎ 【例 2】 下图中的（A）、（B）、（C）是三块形状不同的铁皮，将每块铁皮沿虚线弯折后焊接成一个无盖的长方体铁桶。其中，装水最多的铁桶是由 铁皮焊接的。‎ ‎120cm ‎80‎ cm ‎140cm ‎75cm ‎160cm ‎70cm ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】解答 ‎【关键词】希望杯，五年级，复赛，第13题，6分 【解析】 分别求的体积为：30×30×50=45000平方厘米；35×35×35=42875平方厘米以及40×40×30=48000平方厘米所以铁皮装水最多。‎ ‎【答案】C 【例 3】 一个深‎30厘米的圆柱形容器，外圆直径‎22厘米，壁厚‎1厘米，已装有深‎27.5厘米的水。现放入一个地面直径‎10厘米，高‎30厘米的圆锥形铁块，则将有 立方厘米的水溢出。‎ ‎【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 容器底面积为平方厘米，剩余容积为立方厘米；圆锥形铁块的体积为立方厘米，将铁块放入后正好完全浸没，没有水溢出 ‎【答案】‎ 【例 4】 如图，底面积为50平方厘米的圆柱形容器中装有水，水面上漂浮着一块棱长为5厘米的正方体术块，木块浮出水面的高度是2厘米。若将木块从容器中取出，水面将下降________厘米。‎ ‎【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】填空 ‎【关键词】希望杯，六年级，复赛，第11题，4分 【解析】 木块浸入水中的体积为3×5×5=75立方厘米，如果把木块拿出，那么四周的水要补充一部分来填充这部分体积，需要下降75÷50=‎1.5厘米。‎ ‎【答案】1.5‎