小学数学精讲教案8_5 抽屉原理 学生版

小学数学精讲教案8_5 抽屉原理 学生版

抽屉原理是一种特殊的思维方法，不但可以根据它来做出许多有趣的推理和判断，同时能够帮助同学 证明很多看似复杂的问题。本讲的主要教学目标是： 1．理解抽屉原理的基本概念、基本用法； 2．掌握用抽屉原理解题的基本过程； 3. 能够构造抽屉进行解题； 4. 利用最不利原则进行解题； 5.利用抽屉原理与最不利原则解释并证明一些结论及生活中的一些问题。 一、知识点介绍 抽屉原理有时也被称为鸽笼原理，它由德国数学家狄利克雷首先明确提出来并用来证明一些数论中 的问题，因此，也被称为狄利克雷原则．抽屉原理是组合数学中一个重要而又基本的数学原理，利用它可 以解决很多有趣的问题，并且常常能够起到令人惊奇的作用．许多看起来相当复杂，甚至无从下手的问题， 在利用抽屉原则后，能很快使问题得到解决． 二、抽屉原理的定义 （1）举例 桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，有的抽屉可以放一个，有的可以放 两个，有的可以放五个，但最终我们会发现至少我们可以找到一个抽屉里面至少放两个苹果。 （2）定义 一般情况下，把 n＋1 或多于 n＋1 个苹果放到 n 个抽屉里，其中必定至少有一个抽屉里至少有两个苹 果。我们称这种现象为抽屉原理。 三、抽屉原理的解题方案 （一）、利用公式进行解题 苹果÷抽屉＝商……余数 余数：（1）余数＝1， 结论：至少有（商＋1）个苹果在同一个抽屉里 （2）余数＝ ， 结论：至少有（商＋1）个苹果在同一个抽屉里 （3）余数＝0， 结论：至少有“商”个苹果在同一个抽屉里 （二）、利用最值原理解题 将题目中没有阐明的量进行极限讨论，将复杂的题目变得非常简单，也就是常说的极限思想“任我意” 方法、特殊值方法． （一）、直接利用公式进行解题 （1）求结论 【例 1】 只鸽子要飞进 个笼子，每个笼子里都必须有 只，一定有一个笼子里有 只鸽子．对吗？ 【考点】抽屉原理 【难度】1 星 【题型】解答 【解析】 只鸽子要飞进 个笼子，如果每个笼子装 只，这样还剩下 只鸽子．这只鸽子可以任意飞进其 抽屉原理 教学目标 学 目 标 知识点拨 x ( )( )1 1x n −  知识精讲 6 5 1 2 6 5 1 1 中的一个笼子，这样至少有一个笼子里有 只鸽子．所以这句话是正确的． 利用刚刚学习过的抽屉原理来解释这个问题，把鸽笼看作“抽屉”，把鸽子看作“苹果”， ， （只）把 个苹果放到 个抽屉中，每个抽屉中都要有 个苹果，那么肯定有一个抽屉中 有两个苹果，也就是一定有一个笼子里有 只鸽子． 【答案】对 【巩固】 把 9 条金鱼任意放在 8 个鱼缸里面，请你说明至少有一个鱼缸放有两条或两条以上金鱼． 【考点】抽屉原理 【难度】1 星 【题型】解答 【解析】略． 【答案】在 个鱼缸里面，每个鱼缸放一条，就是 条金鱼；还剩下的一条，任意放在这 个鱼缸其中的任 意一个中，这样至少有一个鱼缸里面会放有两条金鱼． 【巩固】 教室里有 5 名学生正在做作业，现在只有数学、英语、语文、地理四科作业 试说明：这 5 名学 生中，至少有两个人在做同一科作业． 【考点】抽屉原理 【难度】1 星 【题型】解答 【解析】略． 【答案】将 5 名学生看作 5 个苹果 将数学、英语、语文、地理作业各看成一个抽屉，共 4 个抽屉 由抽屉 原理，一定存在一个抽屉，在这个抽屉里至少有 2 个苹果．即至少有两名学生在做同一科的作业 【巩固】 年级一班学雷锋小组有 人．教数学的张老师说：“你们这个小组至少有 个人在同一月过生 日．”你知道张老师为什么这样说吗？ 【考点】抽屉原理 【难度】1 星 【题型】解答 【解析】略． 【总结】题目中并没有说明什么是“抽屉”，什么是“物品”，解题的关键是制造“抽屉”，确定假设的“物品”， 根据“抽屉少，物品多”转化为抽屉原理来解． 【答案】从题目可以看出，这道题显然与月份有关．我们知道，一年有 个月，把这 个月看成 个抽 屉，这道题就相当于把 个苹果放入 个抽屉中．根据抽屉原理，至少有一个抽屉放了两个苹 果．因此至少有两个同学在同一个月过生日． 【巩固】 数学兴趣小组有 13 个学生，请你说明：在这 13 个同学中，至少有两个同学属相一样． 【考点】抽屉原理 【难度】1 星 【题型】解答 【解析】略． 【答案】属相共 个，把 个属相作为 个“抽屉”， 个同学按照自己的属相选择相应的“抽屉”，根据 抽屉原理，一定有一个“抽屉”中有两个或两个以上同学，也就是说至少有两个同学属相一样 【巩固】 光明小学有 名 年出生的学生，请问是否有生日相同的学生？ 【考点】抽屉原理 【难度】1 星 【题型】解答 【解析】略． 【答案】一年最多有 天，把 天看作 个“抽屉”，将 名学生看作 个“苹果”．这样，把 个苹果放进 个抽屉里，至少有一个抽屉里不止放一个苹果．这就说明，至少有 名同学的生 日相同 【巩固】 用五种颜色给正方体各面涂色(每面只涂一种色)，请你说明：至少会有两个面涂色相同． 【考点】抽屉原理 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】略． 【答案】五种颜色最多只能涂 个不同颜色的面，因为正方体有 个面，还有一个面要选择这五种颜色中 的任意一种来涂，不管这个面涂成哪种颜色，都会和前面有一个面颜色相同，这样就有两个面会 被涂上相同的颜色． 也可以把五种颜色作为 个“抽屉”，六个面作为六个物品，当把六个面随意 放入五个抽屉时，根据抽屉原理，一定有一个抽屉中有两个或两个以上的面，也就是至少会有两 个面涂色相同 【巩固】 三个小朋友在一起玩，其中必有两个小朋友都是男孩或者都是女孩． 2 6 5 1 1÷ =  1 1 2+ = 6 5 1 2 8 8 8 13 2 12 12 12 13 12 12 12 12 13 367 2000 366 366 366 367 367 367 366 2 5 6 5 【考点】抽屉原理 【难度】1 星 【题型】解答 【解析】略． 【答案】方法一：情况一：这三个小朋友，可能全部是男，那么必有两个小朋友都是男孩的说法是正确的；　　　　　　　　　　　　　　 情况二：这三个小朋友，可能全部是女，那么必有两个小朋友都是女孩的说法是正确的； 情况三：这三个小朋友，可能其中 男 女那么必有两个小朋友都是女孩说法是正确的； 情况四：这三个小朋友，可能其中 男 女，那么必有两个小朋友都是男孩的说法是正 确的．所以，三个小朋友在一起玩，其中必有两个小朋友都是男孩或者都是女 孩的说法是正确的； 方法二：三个小朋友只有两种性别，所以至少有两个人的性别是相同的，所以必有两个小朋友都 是男孩或者都是女孩 【巩固】 试说明 400 人中至少有两个人的生日相同. 【考点】抽屉原理 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】略. 【答案】将一年中的 366 天或 天视为 366 个或 个抽屉，400 个人看作 400 个苹果，从最极端的情况 考虑，即每个抽屉都放一个苹果，还有 个或 个苹果必然要放到有一个苹果的抽屉里，所以 至少有一个抽屉有至少两个苹果，即至少有两人的生日相同 【例 2】 向阳小学有 730 个学生，问：至少有几个学生的生日是同一天？ 【考点】抽屉原理 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】略． 【答案】一年最多有 366 天，可看做 366 个抽屉，730 个学生看做 730 个苹果．因为 ， 所以，至少有 1＋1＝2（个）学生的生日是同一天 【巩固】 人的头发平均有 12 万根，如果最多不超过 20 万根，那么 13 亿中国人中至少有 人的头发的 根数相同。 图 8 【考点】抽屉原理 【难度】2 星 【题型】填空 【关键词】希望杯，4 年级，1 试 【解析】这是一道抽屉原理的题目，所以要先分清楚什么是抽屉，什么是苹果。此题中的抽屉是人的头发： 有 20 万个，中国的人数是苹果：13 亿人，所以至少应有： （人）。 【答案】 人 【例 3】 “六一”儿童节，很多小朋友到公园游玩，在公园里他们各自遇到了许多熟人．试说明：在游园 的小朋友中，至少有两个小朋友遇到的熟人数目相等． 【考点】抽屉原理 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】略． 【答案】假设共有 个小朋友到公园游玩，我们把他们看作 个“苹果”，再把每个小朋友遇到的熟人数目 看作“抽屉”，那么， 个小朋友每人遇到的熟人数目共有以下 种可能：0，1，2，……， ．其中 0 的意思是指这位小朋友没有遇到熟人；而每位小朋友最多遇见 个熟人，所以共 有 个“抽屉”．下面分两种情况来讨论： ⑴如果在这 个小朋友中，有一些小朋友没有遇到任何熟人，这时其他小朋友最多只能遇上 个熟人，这样熟人数目只有 种可能：0，1，2，……， ．这样，“苹果”数( 个小朋友)超 过“抽屉”数( 种熟人数目)，根据抽屉原理，至少有两个小朋友，他们遇到的熟人数目相等． ⑵如果在这 个小朋友中，每位小朋友都至少遇到一个熟人，这样熟人数目只有 种可能：1， 2，3，……， ．这时，“苹果”数( 个小朋友)仍然超过“抽屉”数( 种熟人数目)，根据抽屉 原理，至少有两个小朋友，他们遇到的熟人数目相等． 1 2 2 1 365 365 35 34 730 366 1 364÷ =  1300000000 200000 6500÷ = 650 n n n n 1n − 1n − n n 2n − 1n − 2n − n 1n − n 1n − 1n − n 1n − 总之，不管这 个小朋友各遇到多少熟人(包括没遇到熟人)，必有两个小朋友遇到的熟人数目相等 【巩固】 五年级数学小组共有 20 名同学，他们在数学小组中都有一些朋友，请你说明：至少有两名同学， 他们的朋友人数一样多． 【考点】抽屉原理 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】略． 【答案】数学小组共有 20 名同学，因此每个同学最多有 19 个朋友；又由于他们都有朋友，所以每个同学 至少有 1 个朋友．因此，这 20 名同学中，每个同学的朋友数只有 19 种可能：1，2，3，……， 19．把这 20 名同学看作 20 个“苹果”，又把同学的朋友数目看作 19 个“抽屉”，根据抽屉原理，至 少有 2 名同学，他们的朋友人数一样多 【例 4】 四个连续的自然数分别被 除后，必有两个余数相同，请说明理由． 【考点】抽屉原理 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】略． 【答案】想一想，不同的自然数被 除的余数有几类？在这道题中，把什么当作抽屉呢？ 把这四个连续的自然数分别除以 ，其余数不外乎是 ， ， ，把这 个不同的余数当作 个“抽 屉”，把这 个连续的自然数按照被 除的余数，分别放入对应的 个“抽屉”中，根据抽屉原理， 至少有两个自然数在同一个抽屉里，也就是说，至少有两个自然数除以 的余数相同 【例 5】 在任意的四个自然数中，是否其中必有两个数，它们的差能被 整除？ 【考点】抽屉原理 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】略． 【答案】因为任何整数除以 ，其余数只可能是 ， ， 三种情形．我们将余数的这三种情形看成是三个 “抽屉”．一个整数除以 的余数属于哪种情形，就将此整数放在那个“抽屉”里．将四个自然数放入 三个抽屉，至少有一个抽屉里放了不止一个数，也就是说至少有两个数除以 的余数相同（需要对 学生利用余数性质进行解释：为什么余数相同，则差就能被整除）．这两个数的差必能被 整除 【巩固】 证明：任取 8 个自然数，必有两个数的差是 7 的倍数． 【考点】抽屉原理 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】略． 【答案】在与整除有关的问题中有这样的性质，如果两个整数 a、b，它们除以自然数 m 的余数相同，那 么它们的差 是 m 的倍数.根据这个性质，本题只需证明这 8 个自然数中有 2 个自然数，它们 除以 7 的余数相同.我们可以把所有自然数按被 7 除所得的 7 种不同的余数 0、1、2、3、4、5、6 分成七类.也就是 7 个抽屉.任取 8 个自然数，根据抽屉原理，必有两个数在同一个抽屉中，也就 是它们除以 7 的余数相同，因此这两个数的差一定是 7 的倍数 【巩固】 证明：任取 6 个自然数，必有两个数的差是 5 的倍数。 【考点】抽屉原理 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】略。 【答案】把自然数按照除以 5 的余数分成 5 个剩余类，即 5 个抽屉.任取 6 个自然数，根据抽屉原理，至少 有两个数属于同一剩余类，即这两个数除以 5 的余数相同，因此它们的差是 5 的倍数 【巩固】 （第八届《小数报》数学竞赛决赛）将全体自然数按照它们个位数字可分为 10 类：个位数字是 1 的为第 1 类，个位数字是 2 的为第 2 类，…，个位数字是 9 的为第 9 类，个位数字是 0 的为第 10 类．（1）任意取出 6 个互不同类的自然数，其中一定有 2 个数的和是 10 的倍数吗？（2）任 意取出 7 个互不同类的自然数，其中一定有 2 个数的和是 10 的倍数吗？如果一定，请煎药说明 理由；如果不一定，请举出一个反例． 【考点】抽屉原理 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】略． 【答案】（1）不一定有．例如 1、2、3、4、5、10 这 6 个数中，任意两个数的和都不是 10 的倍数． （2）一定有．将第 1 类与第 9 类合并，第 2 类与第 8 类合并，第 3 类与第 7 类合并，第 4 类与第 6 类合并，制造出 4 个抽屉；把第 5 类、第 10 类分别看作 1 个抽屉，共 6 个抽屉．任意 7 个 n 3 3 3 0 1 2 3 3 4 3 3 3 3 3 0 1 2 3 3 3 a b− 互不同类的自然数，放到这 6 个抽屉中，至少有 1 个抽屉里放 2 个数．因为 7 个数互不同类， 所以后两个抽屉中每个都不可能放两个数．当两个互不同类的数放到前 4 个抽屉的任何一个 里面时，它们的和一定是 10 的倍数 【巩固】 证明：任给 12 个不同的两位数，其中一定存在着这样的两个数，它们的差是个位与十位数字相 同的两位数． 【考点】抽屉原理 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】略． 【答案】两位数除以 11 的余数有 11 种：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，按余数情况把所有两位数 分成 11 种．12 个不同的两位数放入 11 个抽屉，必定有至少 2 个数在同一个抽屉里，这 2 个数除 以 11 的余数相同，两者的差一定能整除 11．两个不同的两位数，差能被 11 整除，这个差也一定 是两位数（如 11，22……），并且个位与十位相同． 所以，任给 12 个不同的两位数，其中一定 存在着这样的两个数，它们的差是个位与十位数字相同的两位数 【例 6】 任给 11 个数，其中必有 6 个数，它们的和是 6 的倍数． 【考点】抽屉原理 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】略． 【答案】设这 11 个数为 ， ， ，……， ，由 5 个数的结论可知，在 ， ， ， ， 中必有 3 个数，其和为 3 的倍数，不妨设 ；在 ， ， ， ， 中必有 3 个数，其和 为 3 的倍数，不妨设 ；在 ， ， ， ， 中必有 3 个数，其和为 3 的倍数， 不妨设 ．又在 ， ， 中必有两个数的奇偶性相同，不妨设 ， 的奇偶性 相同，那么 是 6 的倍数，即 ， ， ， ， ， 的和是 6 的倍数 【巩固】 在任意的五个自然数中，是否其中必有三个数的和是 的倍数？ 【考点】抽屉原理 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】略． 【答案】至多有两个数在同一个抽屉里，那么每个抽屉里都有数，在每个抽屉里各取一个数，这三个数被 除的余数分别为 ， ， ．因此这三个数之和能被 整除．综上所述，在任意的五个自然数中， 其中必有三个数的和是 的倍数 【巩固】 从 2、4、6、…、30 这 15 个偶数中，任取 9 个数，证明其中一定有两个数之和是 34． 【考点】抽屉原理 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】略． 【答案】我们用题目中的 15 个偶数制造 8 个抽屉， , ， ，…， ,凡是抽屉中的有两 个数，都具有一个共同的特点：这两个数的和是 34． 　　 现从题目中的 15 个偶数中任取 9 个数，由抽屉原理（因为抽屉只有 8 个），必有两个数在同一 个抽屉中.由制造的抽屉的特点，这两个数的和是 34 【例 7】 任意给定 2008 个自然数，证明：其中必有若干个自然数，和是 2008 的倍数(单独一个数也当做 和)． 【考点】抽屉原理 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】略． 【答案】把这 2008 个数先排成一行： ， ， ，……， ， 第 1 个数为 ； 前 2 个数的和为 ； 前 3 个数的和为 ； …… 前 2008 个数的和为 ． 如果这 2008 个和中有一个是 2008 的倍数，那么问题已经解决；如果这 2008 个和中没有 2008 的 倍数，那么它们除以 2008 的余数只能为 1，2，……，2007 之一，根据抽屉原理，必有两个和除 以 2008 的余数相同，那么它们的差(仍然是 ， ， ，……， 中若干个数的和)是 2008 的 倍数．所以结论成立 1a 2a 3a 11a 1a 2a 3a 4a 5a 1 2 3 13a a a k+ + = 4a 5a 6a 7a 8a 4 5 6 23a a a k+ + = 7a 8a 9a 10a 11a 7 8 9 33a a a k+ + = 1k 2k 3k 1k 2k 1 23 3k k+ 1a 2a 3a 4a 5a 6a 3 3 0 1 2 3 3 (2) (4,30) (6,28) (16,18) 1a 2a 3a 2008a 1a 1 2a a+ 1 2 3a a a+ + 1 2 2008a a a+ + + 1a 2a 3a 2008a 【巩固】 20 道复习题，小明在两周内做完，每天至少做一道题．证明：小明一定在连续的若干天内恰好 做了 7 道题目． 【考点】抽屉原理 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】略． 【答案】设小明第 1 天做了 道题，前 2 天共做了 道题，前 3 天共做了 道题，……，前 14 天共做了 道题．显然 ，而 ～ 都小于 20．考虑 ， ， ，……， 及 ， ， ，……， 这 28 个数，它们都不超过 27． 根据抽屉原理，这 28 个数中必有两个数相等．由于 ， ， ，……， 互不相等， ， ， ，……， 也互不相等，因而这两个相等的数只能一个在前一组，另一个在 后一组中，即有： ，所以 ．这表明从第 天到第 天，小明恰好做了 7 道 题． 【例 8】 求证：可以找到一个各位数字都是 4 的自然数，它是 1996 的倍数． 【考点】抽屉原理 【难度】4 星 【题型】解答 【解析】略． 【答案】 ，下面证明可以找到 1 个各位数字都是 1 的自然数，它是 499 的倍数． 取 500 个数：1，11，111，……，111……1（500 个 1）．用 499 去除这 500 个数，得到 500 个余 数 ， ， ，…， ．由于余数只能取 0，1，2，…，498 这 499 个值，所以根据抽屉原则， 必有 2 个余数是相同的，这 2 个数的差就是 499 的倍数，差的前若干位是 1，后若干位是 0： 11…100…0．又 499 和 10 是互质的，所以它的前若干位由 1 组成的自然数是 499 的倍数，将它 乘以 4，就得到一个各位数字都是 4 的自然数，这是 1996 的倍数 【巩固】 任意给定一个正整数 ，一定可以将它乘以适当的整数，使得乘积是完全由 0 和 7 组成的数. 【考点】抽屉原理 【难度】4 星 【题型】解答 【解析】略． 【答案】考虑如下 个数：7，77，777，……， ， ，这 个数除以 的余数只能为 0， 1，2，……， 中之一，共 种情况，根据抽屉原理，其中必有两个数除以 的余数相同，不 妨设为 和 ( )，那么 是 的倍数，所以 乘以适当 的整数，可以得到形式为 的数，即由 0 和 7 组成的数 【例 9】 求证：对于任意的 8 个自然数，一定能从中找到 6 个数 a，b，c，d，e，f，使得 是 105 的倍数． 【考点】抽屉原理 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】略． 【答案】 ．对于任意的 8 个自然数，必可选出 2 个数，使它们的差是 7 的倍数；在剩下的 6 个数中，又可选出 2 个数，使它们的差是 5 的倍数；在剩下的 4 个数中，又可选出 2 个数，使它 们的差是 3 的倍数 【巩固】 任给六个数字，一定可以通过加、减、乘、除、括号，将这六个数组成一个算式，使其得数为 105 的倍数． 【考点】抽屉原理 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】略． 【答案】根据上一题的提示我们可以写出下列数字谜 使其结果为 105 的倍数，那么我们的 思路是使第一个括号里是 7 的倍数，第二个括号里是 5 的倍数，第三个括号里是 3 的倍数，那 么对于如果六个数字里有 7 的倍数，那么第一个括号里直接做乘法即可，如果没有 7 的倍数， 那么我们做如下抽屉： {除以 7 的余数是 1 或者是 6} 1a 2a 3a 14a 14 20a = 1a 13a 1a 2a 3a 14a 1 7a + 2 7a + 3 7a + 14 7a + 1a 2a 3a 14a 1 7a + 2 7a + 3 7a + 14 7a + 7j ia a= + 7j ia a− = 1i + j 1996 4 499÷ = 1a 2a 3a 500a n 1n + 77 7 n 位 1 77 7 n+ 位 1n + n 1n − n n 77 7 p 位 77 7 q 位 p q> ( ) 77 7 77 7 77 700 0 p q p q q− − =      位 位 位 位 n n ( ) 77 700 0 p q q−   位 位 ( )( )( )a b c d e f− − − 105 3 5 7= × × ( )( )( )a b c d e f   {除以 7 的余数是 2 或者是 5} {除以 7 的余数是 3 或者是 4}那么六个数字肯定有两个数字在同一个抽屉里，那么着两个数如果 余数相同，做减法就可以得到 7 的倍数，如果余数不同，做加法就可以得到 7 的倍数． 这样剩下的 4 个数中，同理可得后面的括号里也可以组合出 5 和 3 的倍数．于是本题可以证明 【巩固】 在 张卡片上不重复地编上 ~ ，至少要随意抽出几张卡片才能保证所抽出的卡片上的数之 乘积可被 整除？ 【考点】抽屉原理 【难度】2 星 【题型】解答 【关键词】 年，中国台湾小学数学竞赛决赛 【解析】略。 【答案】 ，因为 的倍数有 个，所以不是 的倍数的数一共有 （个），抽 取这 个数无法保证乘积是 的倍数，但是如果抽取 个数，则必定存在一个数是 的倍数，又 因为奇数只有 个，所以抽取的偶数至少有 个，可以保证乘积是 的倍数，从而可以保证乘 积是 的倍数。于是最少要抽取 个数（即： 张卡片）才可以保证结果 【例 10】把 1、2、3、…、10 这十个数按任意顺序排成一圈，求证在这一圈数中一定有相邻的三个数之 和不小于 17． 【考点】抽屉原理 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】略． 【答案】(法 1)把这一圈从某一个数开始按顺时针方向分别记为 、 、 、…、 ．相邻的三个数为一 组，有 、 、 、…、 、 共 10 组． 这十组三个数之和的总和为： ， ，根据抽屉原理，这十组数中至少有一组数的和不小于 17． (法 2)在 10 个数中一定有一个数是 1，不妨设 ，除去 之外，把 、 、 、…、 这 9 个数按顺序分为三组 、 、 ．因为这三组数之和的总和为： ，根据抽屉原理，这三组数中 至少有一组数之和不小于 17 【巩固】 圆周上有 个点，在其上任意地标上 （每一点只标一个数，不同的点标上不同 的数）．证明必然存在一点，与它紧相邻的两个点和这点上所标的三个数之和不小于 【考点】抽屉原理 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】略． 【答案】把这一圈从某一个数开始按顺时针方向分别记为 、 、 、…、 ．相邻的三个数为一组， 有 、 、 、…、 、 共 组． 这 组三个数之和的总和为： ，根据抽屉原理，这两千组数中至少有一组数的和不小于 2999 【例 11】证明：在任意的 6 个人中必有 3 个人，他们或者相互认识，或者相互不认识． 【考点】抽屉原理 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】略． 【答案】把这 6 个人看作 6 个点，每两点之间连一条线段，两人相互认识的话将线段涂红色，两人不认识 的话将线段涂上蓝色，那么只需证明其中有一个同色三角形即可．从这 6 个点中随意选取一点 ，从 点引出的 5 条线段，根据抽屉原理，必有 3 条的颜色相同，不妨设有 3 条线段为红色， 它们另外一个端点分别为 、 、 ，那么这三点中只要有两点比如说 、 之间的线段是红色， 那么 、 、 3 点组成红色三角形；如果 、 、 三点之间的线段都不是红色，那么都是蓝 色，这样 、 、 3 点组成蓝色三角形，也符合条件．所以结论成立 100 1 100 12 2008 212 2 3= × 3 100 333   =   3 100 33 67− = 67 3 68 3 50 18 4 12 68 68 1a 2a 3a 10a 1 2 3a a a 2 3 4a a a 3 4 5a a a 9 10 1a a a 10 1 2a a a ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 2 3 4 10 1 2 1 2 10+ + + 3 3 55 165a a a a a a a a a a a a+ + + + + + = + + + = × =  165 16 10 5= × + 10 1a = 10a 1a 2a 3a 9a 1 2 3a a a 4 5 6a a a 7 8 9a a a ( ) ( ) ( )1 2 3 4 5 6 7 8 9+ + 2 3 10 54a a a a a a a a a+ + + + + + = + + + = 2000 0,1,2, ,1999 2999 1a 2a 3a 2000a 1 2 3a a a 2 3 4a a a 3 4 5a a a 1999 2000 1a a a 2000 1 2a a a 2000 2000 ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 2 3 4 2000 1 2 1 2 2000+ + + 3 3 (1 2 3 1999) 5997000a a a a a a a a a a a a+ + + + + + = + + + = × + + + =   5997000 2998 2000 1000= × + A A B C D B C A B C B C D B C D 【巩固】 平面上给定 6 个点，没有 3 个点在一条直线上．证明：用这些点做顶点所组成的一切三角形中， 一定有一个三角形，它的最大边同时是另外一个三角形的最小边． 【考点】抽屉原理 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】略． 【答案】我们先把题目解释一下．一般情况下三角形的三条边的长度是互不相等的，因此必有最大边和最 小边．在等腰三角形(或等边三角形中)，会出现两条边，甚至三条边都是最大边(或最小边)． 我们用染色的办法来解决这个问题．分两步染色： 第一步：先将每一个三角形中的最大边涂上同一种颜色，比如红色；第二步，将其它的未涂色的 线段都涂上另外一种颜色，比如蓝色． 这样，我们就将所有三角形的边都用红、蓝两色涂好．根据上题题的结论可知，这些三角形中至 少有一个同色三角形．由于这个同色三角形有自己的最大边，而最大边涂成红色，所以这个同色 三角形必然是红色三角形．由于这个同色三角形有自己的最小边，而这条最小边也是红色的，说 明这条最小边必定是某个三角形的最大边．结论得证 【巩固】 假设在一个平面上有任意六个点，无三点共线，每两点用红色或蓝色的线段连起来，都连好后， 问你能不能找到一个由这些线构成的三角形，使三角形的三边同色？ 【考点】抽屉原理 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】略． 【答案】从这 6 个点中随意选取一点 ，从 点引出的 5 条线段，根据抽屉原理，必有 3 条的颜色相同， 不妨设有 3 条线段为红色，它们另外一个端点分别为 、 、 ，那么这三点中只要有两点比如 说 、 之间的线段是红色，那么 、 、 3 点组成红色三角形；如果 、 、 三点之间的 线段都不是红色，那么都是蓝色，这样 、 、 3 点组成蓝色三角形，也符合条件．所以结论 成立．(可以拓展玩转数学) 【巩固】 平面上有 17 个点，两两连线，每条线段染红、黄、蓝三种颜色中的一种，这些线段能构成若干 个三角形．证明：一定有一个三角形三边的颜色相同． 【考点】抽屉原理 【难度】4 星 【题型】解答 【解析】略． 【答案】从这 17 个点钟任取一个点 ，把 点与其它 16 个点相连可以得到 16 条线段，根据抽屉原理， 其中同色的线段至少有 6 条，不妨设为红色．考虑这 6 条线段的除 点外的 6 个端点： ⑴如果 6 个点两两之间有 1 条红色线段，那么就有 1 个红色三角形符合条件； ⑵如果 6 个点之间没有红色线段，也就是全为黄色和蓝色，由上面的 2 题可知，这 6 个点中必有 3 个点，它们之间的线段的颜色相同，那么这样的三角形就符合条件． 综上所述，一定存在一个三角形满足题目要求 【例 12】上体育课时，21 名男、女学生排成 3 行 7 列的队形做操．老师是否总能从队形中划出一个长方 形，使得站在这个长方形 4 个角上的学生或者都是男生，或者都是女生?如果能，请说明理由； 如果不能，请举出实例． 【考点】抽屉原理 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】略． 【答案】因为只有男生或女生两种情况，所以第 1 行的 7 个位置中至少有 4 个位置同性别．为了确定起见， 不妨设前 4 个位置同是男生，如果第二行的前 4 个位置有 2 名男生，那么 4 个角同是男生的情况 已经存在，所以我们假定第二行的前 4 个位置中至少有 3 名女生，不妨假定前 3 个是女生．又第 三行的前 3 个位置中至少有 2 个位置是同性别学生，当是 2 名男生时与第一行构成一个四角同性 别的矩形，当有 2 名女生时与第二行构成四角同性别的矩形．所以，不论如何，总能从队形中划 出一个长方形，使得站在这个长方形 4 个角上的学生同性别．问题得证 【例 13】8 个学生解 8 道题目．(1)若每道题至少被 5 人解出，请说明可以找到两个学生，每道题至少被 过两个学生中的一个解出．(2)如果每道题只有 4 个学生解出，那么(1)的结论一般不成立．试构 造一个例子说明这点. 【考点】抽屉原理 【难度】4 星 【题型】解答 【解析】略 A A B C D B C A B C B C D B C D A A A 【答案】（1）先设每道题被一人解出称为一次，那么 8 道题目至少共解出 5 8=40 次，分到 8 个学生身上， 至少有一个学生解出了 5 次或 5 次以上题目，即这个学生至少解出 5 道题，称这个学生为 A， 我们讨论以下 4 种可能： 第一种可能：若 A 只解出 5 道题，则另 3 道题应由其他 7 个人解出，而 3 道题至少共被解出 3 5=15 次，分到 7 个学生身上，至少有一名同学解出了 3 次或 3 次以上的题目(15=2 7+1，由抽 屉原则便知)由于只有 3 道题，那么这 3 道题被一名学生全部解出，记这名同学为 B．那么，每 道题至少被 A、B 两名同学中某人解出． 第二种可能：若 A 解出 6 道题，则另 2 道题应由另 7 人解出，而 2 道题至少共被解出 2×5=10 次， 分到 7 个同学身上，至少有一名同学解出 2 次或 2 次以上的题目(10=1 7+3，由抽屉原则便 知)．与 l 第一种可能 I 同理，这两道题必被一名学生全部解出，记这名同学为 C．那么，每道题 目至少被 A、C 学生中一人解出． 第三种可能：若 A 解出 7 道题目，则另一题必由另一人解出，记此人为 D．那么，每道题目至 少被 A、D 两名学生中一人解出． 第四种可能：若 A 解出 8 道题目，则随意找一名学生，记为 E，那么，每道题目至少被 A、E 两名学生中一人解出，所以问题(1)得证． (2)类似问题(1)中的想法，题目共被解出 8 4=32 次，可以使每名学生都解出 4 次，那么每人解 出 4 道题．随便找一名学生，必有 4 道未被他解出，这 4 道题共被 7 名同学解出 4 4=16 次，由 于 16=2×7+2，可以使每名同学解出题目不超过 3 道，这样就无法找到两名学生，使每道题目至 少被其中一人解出． 具体构造如下表，其中汉字代表题号，数字代表学生，打√代表该位置对应的题目被该位置对应 的学生解出． 【巩固】 试卷上共有 4 道选择题，每题有 3 个可供选择的答案．一群学生参加考试，结果是对于其 中任何 3 人，都有一个题目的答案互不相同．问参加考试的学生最多有多少人? 【考点】抽屉原理 【难度】4 星 【题型】解答 【解析】略 【答案】设总人数为 A，再由分析可设第一题筛选取出的人数为 ，第二题筛选的人数为 ，第三题筛 选取的人数为 ，第四题筛选的人数为 ．如果不能满足题目要求，则： 至少是 3，即 3 个 人只有两种答案．由于 是 人做第四题后筛选取出的人数，则由抽屉原则知， (两种答案)中至少放有 个苹果(即 ). = =3，则 A3 至少为 4，即 4 人只有 两种答案．由于 是 人做第三题后筛选的人数，则由抽屉原则知，将 个苹果放久三个抽屉 (三种答案)，那么必然有两个抽屉(两种答案)中至少放有 个苹果(即 )． = × × × × × × 1A 2A 3A 4A 4A 4A 3A 3 3 3 AA  −    4A 3 3 3 AA  −    4A 3A 2A 2A 2 2 3 AA  −    3A 2 2 3 AA  −    =4，则 至少为 5，即 5 人只有两种答案．同理，有 = =5 则 至少为 7，即做 完第一道题必然有 7 个人只有两种答案；则有 = =7．则 至少为 10，即当有 10 人 参加考试时无法满足题目的要求．考虑 9 名学生参加考试，令每人答题情况如下表所示(汉字表示 题号，数字表示学生)．故参加考试的学生最多有 9 人． （2）求抽屉 【例 14】把十只小兔放进至多几个笼子里，才能保证至少有一个笼里有两只或两只以上的小兔？ 【考点】抽屉原理 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】要想保证至少有一个笼里有两只或两只以上的小兔，把小兔子当作“物品”，把“笼子”当作“抽屉”， 根据抽屉原理，要把 只小兔放进 个笼里，才能保证至少有一个笼里有两只或两只以上 的小兔． 【答案】 【巩固】 袋中有外形安全一样的红、黄、蓝三种颜色的小球各 10 个，每个小朋友只能从中摸出 1 个小球， 至少有______个小朋友摸球，才能保证一定有两个人摸的球颜色一样． 【考点】抽屉原理 【难度】2 星 【题型】填空 【关键词】走美杯，3 年级，初赛 【解析】本题属于抽屉原理中构造抽屉解决问题，每个小朋友从中摸一个小球，小球的颜色可能为红、黄、 蓝三种情况，故为三个抽屉，若想保证一定有两个人摸的球颜色一样，必须有 （个）小朋友。 【答案】 【例 15】把 125 本书分给五⑵班的学生，如果其中至少有一个人分到至少 4 本书，那么，这个班最多有 多少人？ 【考点】抽屉原理 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】本题需要求抽屉的数量，需要反用抽屉原理和最“坏”情况的结合，最坏的情况是只有 1 个人分到 4 本书，而其他同学都只分到 3 本书，则 ，因此这个班最多有： (人)(处理余数很关键，如果有 42 人则不能保证至少有一个人分到 4 本书)． 【答案】 【巩固】 某次选拔考试，共有 1123 名同学参加，小明说：“至少有 10 名同学来自同一个学校．”如果他 的说法是正确的，那么最多有多少个学校参加了这次入学考试？ 【考点】抽屉原理 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】本题需要求抽屉的数量，反用抽屉原理和最“坏”情况的结合，最坏的情况是只有 10 个同学来自 同一个学校，而其他学校都只有 9 名同学参加，则 ，因此最多有： 个学校(处理余数很关键，如果有 125 个学校则不能保证至少有 10 名同学来自同一个 学校) 【答案】 【巩固】 100 个苹果最多分给多少个学生，能保证至少有一个学生所拥有的苹果数不少于 12 个. 3A 2A 1 1 3 AA  −    2A 1A 0 0 3 AA  −    1A 0A 10 10 1 9− = 9 ( )2 1 3 1 4− × + = 4 ( )125 4 3 40 1− ÷ =  40 1 41+ = 41 ( )1123 10 9 123 6− ÷ =  123 1 124+ = 124 【考点】抽屉原理 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】从不利的方向考虑：当分苹果的学生多余某一个数时，有可能使每个学生分得的学生少于 12 个， 求这个数. 100 个按每个学生分苹果不多于 11 个（即少于 12 个）苹果，最少也要分 10 人（9 人 11 个苹果，还有一人一个苹果），否则 9×11＜100，所以只要分苹果的学生不多余 9 人就能使保证至 少有一个学生所拥有的苹果数不少于 12 个（即多于 11 个）. 【答案】 【例 16】某班有 16 名学生，每个月教师把学生分成两个小组．问最少要经过几个月，才能使该班的任意 两个学生总有某个月份是分在不同的小组里? 【考点】抽屉原理 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】经过第一个月，将 16 个学生分成两组，至少有 8 个学生分在同一组，下面只考虑这 8 个学生． 经过第二个月，将这 8 个学生分成两组，至少有 4 个学生是分在同一组，下面只考虑这 4 个学 生． 经过第三个月，将这 4 个学生分成两组，至少有 2 个学生仍分在同一组，这说明只经过 3 个月是 无法满足题目要求的．如果经过四个月，将每个月都一直保持同组的学生一分为二，放人两个组， 那么第一个月保持同组的人数为 16÷2=8 人，第二个月保持同组的人数为 8÷2=4 人，第三个月保 持同组人数为 4÷2=2 人，这说明照此分法，不会有 2 个人一直保持在同一组内，即满足题目要求， 故最少要经过 4 个月． 【答案】4 个月 （3）求苹果 【例 17】班上有 名小朋友，老师至少拿几本书，随意分给小朋友，才能保证至少有一个小朋友能得到 不少于两本书？ 【考点】抽屉原理 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】把 名小朋友当作 个“抽屉”，书作为物品．把书放在 个抽屉中，要想保证至少有一个抽屉 中有两本书，根据抽屉原理，书的数目必须大于 ，而大于 的最小整数是 ，所以至 少要拿 本书． 【答案】 本书 【巩固】 班上有 名小朋友，老师至少拿几本书，随意分给小朋友，才能保证至少有一个小朋友能得到 不少于两本书？ 【考点】抽屉原理 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】老师至少拿 本书，随意分给小朋友，才能保证至少有一个小朋友能得到不少于两本书． 【答案】 本书 【巩固】 有 只鸽笼，为保证至少有 只鸽笼中住有 只或 只以上的鸽子．请问：至少需要有几只鸽子？ 【考点】抽屉原理 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】有 只鸽笼，每个笼子住 只鸽子，一共就是 只．要保证至少有 只鸽笼中住有 只或 只以 上的鸽子．那么至少需要 只鸽子，这多出的 只鸽子会住在这 个任意一个笼子里．这样就有 个笼子里住着 只鸽子．所以至少需要 只鸽子． 【答案】 只鸽子 【巩固】 三年级二班有 名同学，班上的“图书角”至少要准备多少本课外书，才能保证有的同学可以同 时借两本书？ 【考点】抽屉原理 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】把 名同学看作 个抽屉，根据抽屉原理，要使至少有一个抽屉里有两个苹果，那么就要使苹 果的个数大于抽屉的数量．因此，“图书角”至少要准备 本课外书． 【答案】 本课外书 【例 18】海天小学五年级学生身高的厘米数都是整数，并且在 厘米到 厘米之间（包括 厘米到 厘米），那么，至少从多少个学生中保证能找到 个人的身高相同？ 【考点】抽屉原理 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】陷阱：以前的题基本全是 个人的，而这里出现 个人，那么，就“从倍数关系选”。认真思考， 此题中应把什么看作抽屉？有几个抽屉？ 9 50 50 50 50 50 50 50 1 51+ = 51 51 28 29 29 10 1 2 2 10 1 10 1 2 2 11 1 10 1 2 11 11 43 43 43 44 44 140 150 140 150 4 2 4 在 厘米至 厘米之间（包括 厘米到 厘米）共有 个整厘米数，把这 个整厘米数看 作 个抽屉，每个抽屉中放 个整厘米数，就要 个整厘米数，如果再取出一个整厘米数， 放入相应的抽屉中，那么这个抽屉中便有 个整厘米数，也就是至少找出 个学生，才能 找到 个人的身高相同． 【答案】 个学生 【例 19】一次数学竞赛出了 10 道选择题，评分标准为：基础分 10 分，每道题答对得 3 分，答错扣 1 分， 不答不得分。问：要保证至少有 4 人得分相同，至少需要多少人参加竞赛？ 【考点】抽屉原理 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】由题目条件这次数学竞赛的得分可以从 10-10=0 分到 10+3×10=40 分，但注意到 39、38、35 这 3 个分数是不可能得到的，要保证至少有 4 人得分相同，至少需要 3×（41-3）+1=115 人. 【答案】115 人 【巩固】 一次测验共有 10 道问答题，每题的评分标准是：回答完全正确，得 5 分；回答不完全正确，得 3 分，回答完全错误或不回答，得 0 分．至少____人参加这次测验，才能保证至少有 3 人得得分 相同． 【考点】抽屉原理 【难度】2 星 【题型】填空 【关键词】（《小数报》数学竞赛决赛） 【解析】根据评分标准可知，最高得分为 50 分，最低得分为 0 分，在 0～50 分之间，1 分，2 分，4 分，7 分，47 分，49 分不可能出现．共有 （种）不同得分．根据抽屉原理，至少有 （人）参赛，才能保证至少有 3 人得分相同． 【答案】3 【例 20】一副扑克牌有 54 张，最少要抽取几张牌，方能使其中至少有 2 张牌有相同的点数？ 【考点】抽屉原理 【难度】2 星 【题型】填空 【关键词】华杯赛，初赛，第 8 题 【解析】如果不算大、小王，每个花色 13 张牌，只需 14 张便一定有两张相同点数的牌，加上大、小王， 则需要 16 张牌. 【答案】 张 【例 21】自制的一幅玩具牌共计 52 张(含 4 种牌：红桃、红方、黑桃、黑梅。每种牌都有 1 点、2 点、……、13 点牌各一张)。洗好后背面朝上放好。一次至少抽取____张牌，才能保证其中必定 有 2 张牌的点数和颜色都相同。如果要求一次抽出的牌中必定有 3 张牌的点数是相邻的(不计颜 色)。那么至少要取___张牌。 【考点】抽屉原理 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】华杯赛，初赛，第 13 题 【解析】①对前一种情况，可取红、黑色的 1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13 点各 1 张， 共 13×2=26（张），那么再取一张牌，必定和其中某一张牌点数相同，于是就有 2 张牌点数和颜 色都相同。这是最杯的情况，因此，至少要取 27 张牌，必能保证有 2 张牌点数、颜色都相同。 ②对后一种情况，有以下的搭配： （1，2，3）、（4，5，6）、（7，8，9）、（10，11，12），13。 因而对涂阴影的 9 个数，四种花色的牌都取，这样可以取到（4×2+1）×4=36（张）牌，其中没有 3 张牌的点数是相邻的。 现在考虑取 37 张牌，极端情况下，这 37 张牌，有 4 张是 13，则至少要有 33 张牌取自（1，2， 3）、（4，5，6）、（7，8，9）、（10，11，12）四个抽屉，根据抽屉原则，必有 9 个数来自其中一 个抽屉，这个抽屉中就一定有 3 张牌的点数相邻的。因此，至少要取 37 张牌。 【答案】27 张牌， 张牌 （二）、构造抽屉利用公式进行解题 【例 22】在一只口袋中有红色、黄色、蓝色球若干个，小聪明和其他六个小朋友一起做游戏，每人可以 从口袋中随意取出 个球，那么不管怎样挑选，总有两个小朋友取出的两个球的颜色完全一 样．你能说明这是为什么吗？ 【考点】抽屉原理 【难度】2 星 【题型】解答 140 150 140 150 11 11 11 3 11 3 33× = 4 33 1 34+ = 4 34 51 6 45− = 45 2 1 91× + = 16 37 2 【解析】略． 【答案】从三种颜色的球中挑选两个球，可能情况只有下面 种： 红、红；黄、黄；蓝、蓝；红、黄；红、蓝；黄、蓝， 我们把 种搭配方式当作 个“抽屉”，把 个小朋友当作 个“苹果”，根据抽屉原理，至少有两个 “苹果”要放进一个“抽屉”中，也就是说，至少有两个人挑选的颜色完全一样 【巩固】 在一只口袋中有红色与黄色球各 4 只，现有 4 个小朋友，每人从口袋中任意取出 2 个小球，请 你证明：必有两个小朋友，他们取出的两个球的颜色完全一样． 【考点】抽屉原理 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】略． 【答案】小朋友从口袋中取出的两个球的颜色的组成只有以下 3 种可能：红红、黄黄、红黄，把这 3 种情 况看作 3 个“抽屉”，把 4 位小朋友看作 4 只“苹果”，根据抽屉原理，必有两个小朋友取出的两个 球的颜色完全一样 【巩固】 篮子里有苹果、梨、桃和桔子，现有若干个小朋友，如果每个小朋友都从中任意拿两个水果， 那么至少有多少个小朋友才能保证有两个小朋友拿的水果是相同的？ 【考点】抽屉原理 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】略 【答案】首先应弄清不同的水果搭配有多少种．两个水果是相同的有 4 种，两个水果不同有 6 种：苹果和 梨、苹果和桃、苹果和桔子、梨和桃、梨和桔子、桃和桔子．所以不同的水果搭配共有 （种）．将这 10 种搭配作为 10 个“抽屉”．由抽屉原理知至少需 个小朋友才能保证有两个小朋 友拿的水果是相同的 【巩固】 学校里买来数学、英语两类课外读物若干本，规定每位同学可以借阅其中两本，现有 位小朋友 前来借阅，每人都借了 本．请问，你能保证，他们之中至少有两人借阅的图书属于同一种吗？ 【考点】抽屉原理 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】略． 【答案】每个小朋友都借 本有三种可能：数数，英英，数英．第 个小朋友无论借什么书，都可能是这 三种情况中的一种，这样就有两个同学借的是同一类书，所以可以保证，至少有 位小朋友，他 们所借阅的两本书属于同类． 总结：此题如用简单乘法原理的话，有难度，因为涉及到简单加法原理，所以推荐使用列表法。 与之前不同的是，本题借阅的书只说了两本并没说其他要求，所以可以拿 本同样的书 【巩固】 11 名学生到老师家借书，老师的书房中有文学、科技、天文、历史四类书，每名学生最多可借 两本不同类的书，最少借一本．试说明：必有两个学生所借的书的类型相同 【考点】抽屉原理 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】略． 【答案】设不同的类型书为Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四种，若学生只借一本书，则不同的类型有Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四 种；若学生借两本不同类型的书，则不同的类型有 AB、AC、AD、BC、BD、CD 六种．共有 10 种类型，把这 10 种类型看作 10 个“抽屉”，把 11 个学生看作 11 个“苹果”．如果谁借哪种类型的 书，就进入哪个抽屉，由抽屉原理，至少有两个学生，他们所借的书的类型相同 【巩固】 幼儿园买来许多牛、马、羊、狗塑料玩具，每个小朋友任意选择两件，但不能是同样的，问： 至少有多少个小朋友去拿，才能保证有两人所拿玩具相同？ 【考点】抽屉原理 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】从四种玩具中挑选不同的两件，所有的搭配有以下 组：牛、马；牛、羊；牛、狗；马、羊；马、 狗；羊、狗．把每一组搭配看作一个“抽屉”，共 个抽屉．根据抽屉原理，至少要有 个小朋友 去拿，才能保证有两人所拿玩具相同． 【答案】 个 【巩固】 体育用品的仓库里有许多足球、排球和篮球，有 66 个同学来仓库拿球，要求每个人至少拿一个， 最多拿两个球，问至少有多少名同学所拿的球的种类是完全一样的？ 【考点】抽屉原理 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】以拿球配组的方式为抽屉，每人拿一个或两个球，所以抽屉有：足、排、篮、足足、排排、篮篮、 足排、足篮、排篮共 9 种情况，即有 9 个抽屉，则： ， ，即至少有 8 名同 学所拿球的种类是一样的． 6 6 6 7 7 4 6 10+ = 11 4 2 2 4 2 2 6 6 7 7 66 9 7 3÷ =  7 1 8+ = 【答案】8 名 【巩固】 幼儿园买来很多玩具小汽车、小火车、小飞机，每个小朋友任意选择两件不同的，那么至少要 有几个小朋友才能保证有两人选的玩具是相同的？ 【考点】抽屉原理 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】根据题意列下表： 有 个小朋友就有三种不同的选择方法，当第四个小朋友准备拿时，不管他怎么选择都可以跟前 面三个同学其中的一个选法相同．所以至少要有 个小朋友才能保证有两人选的玩具是相同的． 【总结】： 本题是抽屉原理应用的典型例题，作为重点讲解．学生们可能会这么认为：铺垫： 件 种 件， 件 个 人，要保证有相同的所以至少要有 人；对于例题中的题目同样 件 种 件， 件 个 人，要保证有相同的所以至少要有 人．因为铺垫是正好配上 数了，而例题中的问题在于 种东西任选两种的选择有几种．可以简单跟学生讲一下简单乘法原 理的思想，但建议还是运用枚举法列表进行分析，按顺序列表可以做到不遗漏，不重复． 【答案】 个 【巩固】 篮子里有苹果、梨、桃和桔子，现有若干个小朋友，如果每个小朋友都从中任意拿两个水果， 那么至少有多少个小朋友才能保证有两个小朋友拿的水果是相同的？ 【考点】抽屉原理 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】首先应弄清不同的水果搭配有多少种．两个水果是相同的有 4 种，两个水果不同有 6 种：苹果和 梨、苹果和桃、苹果和桔子、梨和桃、梨和桔子、桃和桔子．所以不同的水果搭配共有 （种）．将这 10 种搭配作为 10 个“抽屉”．由抽屉原理知至少需 个小朋友才能保证有两个小朋 友拿的水果是相同的 【答案】至少需 个小朋友 【例 23】红、蓝两种颜色将一个 方格图中的小方格随意涂色（见下图），每个小方格涂一种颜色．是 否存在两列，它们的小方格中涂的颜色完全相同？ 【考点】抽屉原理 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】用红、蓝两种颜色给每列中两个小方格随意涂色，只有下面四种情形： 将上面的四种情形看成四个“抽屉”，把五列方格看成五个“苹果”，根据抽屉原理，将五个苹果放 入四个抽屉，至少有一个抽屉中有不少于两个苹果，也就是至少有一种情形占据两列方格，即这 两列的小方格中涂的颜色完全相同． 【答案】是 【例 24】将每一个小方格涂上红色、黄色或蓝色．（每一列的三小格涂的颜色不相同），不论如何涂色， 其中至少有两列，它们的涂色方式相同，你同意吗？ 第二行 第一行 第 五 列 第 四 列 第 三 列 第 二 列 第 一 列 蓝 蓝 红 蓝 蓝 红红 红 3 4 2 × 3 6= 6 ÷ 2 3= 3 1 4+ = 2 × 4 8= 8 ÷ 2 4= 4 1 5+ = 4 5 4 6 10+ = 11 11 2 5× 【考点】抽屉原理 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】这道题是例题的拓展提高，通过列举我们发现给这些方格涂色，要使每列的颜色不同，最多有 种不同的涂法， 涂到第六列以后，就会跟前面的重复．所以不论如何涂色，其中至少有两列它们的涂色方式相 同． 【答案】同意 【例 25】从 、 、 、 、 、 这 个偶数中至少任意取出多少个数，才能保证有 个数的和是 ？ 【考点】抽屉原理 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】构造抽屉： ， ， ， ， ， ， ，共 种搭配，即 个抽屉， 所以任意取出 个数，无论怎样取，有两个数必同在一个抽屉里，这两数和为 ，所以应取出 个数．或者从小数入手考虑， 、 、 、 、 ，当再取 时，与其中的一个去陪，总能找 到一个数使这两个数之和为 ． 【答案】 【巩固】 证明：在从 1 开始的前 10 个奇数中任取 6 个，一定有 2 个数的和是 20. 【考点】抽屉原理 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】略. 【答案】将 10 个奇数分为五组(1、19)，(3、17)，(5、15)，(7、13)，(9、11)，任取 6 个必有两个奇数在同 一组中，这两个数的和为 20 【巩固】 从 1，4，7，10，…，37，40 这 14 个数中任取 8 个数，试证：其中至少有 2 个数的和是 41. 【考点】抽屉原理 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】略. 【答案】构造和为 的抽屉： ， ， ， ， ， ， ，现在取 个数，一定有两个数取在同一个抽屉，所以至少有 2 个数的和是 41 【巩固】 从 ， ， ， ， 这 个数中任意挑出 个数来，证明在这 个数中，一定有两个数的 差为 。 【考点】抽屉原理 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】略． 【答案】将 个数分成 组： ， ， ， ， ，将其看作 个抽屉，在选出的 个数中，必有两个属于一组，这一组的差为 ．这道题也同样可以从小数入手考虑 【巩固】 请证明：在 1，4，7，10，…，100 中任选 20 个数，其中至少有不同的两组数其和都等于 104. 【考点】抽屉原理 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】略． 【答案】1，4，7，10，…，100 共有 34 个数，将其分为(4，100)，(7，97)，…，(49，55)，(1)，(52)，共 有 18 个抽屉．从这 18 个抽屉里面任意抽取 20 个数，则至少有 18 个数取自前 16 个抽屉，所以 至少有 4 个数取自某两个抽屉中，而属于同一“抽屉”的两个数，其和是 104 【巩固】 从 1、2、3、4、…、19、20 这 20 个自然数中，至少任选几个数，就可以保证其中一定包括两 个数，它们的差是 12． 【考点】抽屉原理 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】略． 蓝 黄 红蓝 黄 红 蓝 黄 红 蓝 黄 红 蓝 黄 红红 黄 蓝 6 2 4 6 8  50 25 2 52 {2,50} {4,48} {6,46} {8,44}  {24,28} {26} 13 13 14 52 14 2 4 6  26 28 52 14 41 (1,40) (4,37) (7,34) (10,31) (13,28) (16,25) (19,22) 8 1 2 3  100 100 51 51 50 100 50 {1,51} {2,52} {3,53}  {50,100} 50 51 50 【答案】在这 20 个自然数中，差是 12 的有以下 8 对：｛20，8｝，｛19，7｝，｛18，6｝，｛17，5｝，｛16， 4｝，｛15，3｝，｛14，2｝，｛13，1｝．另外还有 4 个不能配对的数｛9｝，｛10｝，｛11｝，｛12｝，共制成 12 个抽屉（每个括号看成一个抽屉）.只要有两个数取自同一个抽屉，那么它们的差就等于 12，根据 抽屉原理至少任选 13 个数，即可办到（取 12 个数：从 12 个抽屉中各取一个数（例如取 1，2， 3，…，12），那么这 12 个数中任意两个数的差必不等于 12） 【巩固】 从 1，2，3，4，…，1988，1989 这些自然数中，最多可以取____个数，其中每两个数的差不等 于 4． 【考点】抽屉原理 【难度】2 星 【题型】填空 【关键词】小学数学奥林匹克决赛 【解析】将 1～1989 排成四个数列： 1，5，9，…，1985，1989 2，6，10，…，1986 3，7，11，…，1987 4，8，12，…，1988 每个数列相邻两项的差是 4，因此，要使取出的数中，每两个的差不等于 4，每个数列中不能取相 邻的项．因此，第一个数列只能取出一半，因为有 项，所以最多取出 249 项， 例如 1，9，17，…，1985．同样，后三个数列每个最多可取 249 项．因而最多取出 个数，其中每两个的差不等于 4． 【答案】 【例 26】从 1，2，3，4，…，1994 这些自然数中，最多可以取 个数，能使这些数中任意两个数的差 都不等于 9． 【考点】抽屉原理 【难度】3 星 【题型】解答 【关键词】北京市，迎春杯刊赛 【解析】方法一：把 1994 个数一次每 18 个分成一组，最后 14 个数也成一组，共分成 111 组．即 1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，17，18； 19，20，21，22，23，24，25，26，27，28，29，30，31，32，33，34，35，36； ………………… 1963，1964，…，1979，1980；1981，1982，…，1994．每一组中取前 9 个数， 共取出 （个）数，这些数中任两个的差都不等于 9．因此，最多可以取 999 个数． 方法二：构造公差为 的 个数列（除以 的余数） ，共计 个数 ，共计 个数 ，共计 个数 ，共计 个数 ，共计 个数 ，共计 个数 ，共计 个数 ，共计 个数 ，共计 个数 每个数列相邻两项的差是 9，因此，要使取出的数中，每两个的差不等于 9，每个数列中不能取相 邻的项．因此，前五个数列只能取出一半，后四个数列最多能取出一半多一个数，所以最多取 个数 【答案】 个数 【巩固】 从 1 至 36 个数中，最多可以取出___个数，使得这些数种没有两数的差是 5 的倍数． 【考点】抽屉原理 【难度】2 星 【题型】填空 【关键词】南京市，兴趣杯，少年数学邀请赛 【解析】构造公差为 的数列，如图，有五条链，看成 个抽屉，每条链上取 1 个数，最多取 5 个数． (1989 1) 4 1 498− ÷ + = 249 4 996× = 4 9 111 999× = 9 9 9 { }1,10,19,28, ,1990 222 { }2,11,20,29, ,1991 222 { }3,12,21,30, ,1992 222 { }4,13,22,31, ,1993 222 { }5,14,23,32, ,1994 222 { }6,15,24,33, ,1986 221 { }7,16,25,34, ,1987 221 { }8,17,26,35, ,1988 221 { }9,18,27,36, ,1989 221 111 9 999× = 999 5 5 1－6－11－16－21－26－31－36 2－7－12－17－22－27－32 3－8－13－18－23－28－33 4－9－14－19－24－29－34 5－10－15－20－25－30－35 【答案】5 个数 【例 27】从 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 和 中至多选出 个数，使得在选出的 数中，每一个数都不是另一个数的 倍． 【考点】抽屉原理 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】春蕾杯，小学数学邀请赛，决赛 【解析】把这 12 个数分成 6 个组： 第 1 组：1，2，4，8 第 2 组：3，6，12 第 3 组：5，10 第 4 组：7 第 5 组：9 第 6 组：11 每组中相邻两数都是 2 倍关系，不同组中没有 2 倍关系． 选没有 2 倍关系的数，第 1 组最多 2 个（1，4 或 2，8 或 ， ），第 2 组最多 2 个（3，12），第 3 组只有 1 个，第 4，5，6 组都可以取，一共 个． 如果任意取 9 个数，因为第 3，4，5，6 组一共 5 个数中，最多能取 4 个数，剩下 个数在 2 个组中，根据抽屉原理，至少有 3 个数是同一组的，必有 2 个数是同组相邻的数，是 2 倍关 系． 【答案】 个数 【巩固】 从 1 到 20 这 20 个数中，任取 11 个不同的数，必有两个数其中一个是另一个数的倍数． 【考点】抽屉原理 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】略． 【答案】把这 20 个数分成以下 10 组，看成 10 个抽屉：(1，2，4，8，16)，(3，6，12)，(5，10，20)，(7， 14)，(9，18)，(11)，(13)，(15)，(17)，(19)，前 5 个抽屉中，任意两个数都有倍数关系．从这 10 个抽屉中任选 11 个数，必有一个抽屉中要取 2 个数，它们只能从前 5 个抽屉中取出，这两个数 就满足题目要求 【例 28】从 1，3，5，7，…，97，99 中最多可以选出多少个数，使得选出的数中，每一个数都不是另一 个数的倍数? 【考点】抽屉原理 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】方法一：因为均是奇数，所以如果存在倍数关系，那么也一定是 3、5、7 等奇数倍.3×33：99，于 是从 35 开始，1～99 的奇数中没有一个是 35～99 的奇数倍(不包括 1 倍)，所以选出 35，37， 39，…，99 这些奇数即可．共可选出 33 个数，使得选出的数中，每一个数都不是另一个数的倍 数． 方法二：利用 3 的若干次幂与质数的乘积对这 50 个奇数分组．(1，3，9，27，81)，(5，15， 45)，(7，21，63)，(11，33)，(13，39)，(17，51)，(19，57)，(23，69)，(25，75)，(29，87)， (31，93)，(35)，(37)，(41)，(43)，…，(97)共 33 组．前 11 组，每组内任意两个数都存在倍数关 系，所以每组内最多只能选择一个数．即最多可以选出 33 个数，使得选出的数中，每一个数都 不是另一个数的倍数． 评注：1～2n 个自然数中，任意取出 n+1 个数，则其中必定有两个数，它们一个是另一个的整数 倍；从 2，3．……，2n+1 中任取 n+2 个数，必有两个数，它们一个是另一个的整数倍；从 1， 2，3．……3n 中任取 2n+1 个数，则其中必有两个数，它们中一个是另一个的整数倍，且至少是 3 倍；从 1，2，3，……， mn 中任取(m-1)n+1 个数，则其中必有两个数，它们中一个是另一个的 整数倍，且至少是 m 倍(m、n 为正整数). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2 1 8 2 2 1 1 1 1 8+ + + + + = 9 4 5− = 8 【答案】33 个数 【例 29】从整数 1、2、3、…、199、200 中任选 101 个数，求证在选出的这些自然数中至少有两个数， 其中的一个是另一个的倍数. 【考点】抽屉原理 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】略. 【答案】把这 个数分类如下： 1， ， ， ，…， ， 3， ， ， ，…， ， 5， ， ， ，…， ， 　　… 99， ， 101， 103， 　　… 199， 以上共分为 100 类，即 100 个抽屉，显然在同一类中的数若不少于两个，那么这类中的任意两个 数都有倍数关系.从中任取 101 个数，根据抽屉原理，一定至少有两个数取自同一类，因此其中一 个数是另一个数的倍数 【例 30】从 1，2，3，……49，50 这 50 个数中取出若干个数，使其中任意两个数的和都不能被 7 整除， 则最多能取出多少个数？ 【考点】抽屉原理 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】将 至 这 个数，按除以 的余数分为 类： ， ， ， ， ， ， ，所含的数 的个数分别为 ， ， ， ， ， ， .被 7 除余 1 与余 6 的两个数之和是 7 的倍数，所以取出 的数只能是这两种之一； 同样的，被 7 除余 2 与余 5 的两个数之和是 7 的倍数，所以取出的数 只能是这两种之一； 被 7 除余 3 与余 4 的两个数之和是 7 的倍数，所以取出的数只能是这两种 之一； 两个数都是 7 的倍数，它们的和也是 7 的倍数，所以 7 的倍数中只能取 1 个． 所以最多 可以取出 个 【答案】 个 【例 31】从 1，2，3，…，99，100 这 100 个数中任意选出 51 个数．证明：(1)在这 51 个数中，一定有两 个数互质；(2)在这 51 个数中，一定有两个数的差等于 50；(3)在这 51 个数中，一定存在 9 个数， 它们的最大公约数大于 1． 【考点】抽屉原理 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】略 【答案】(1)我们将 1～100 分成(1，2)，(3，4)，(5，6)，(7，8)，…，(99，100)这 50 组，每组内的数相 邻．而相邻的两个自然数互质．将这 50 组数作为 50 个抽屉，同一个抽屉内的两个数互质．而 现在 51 个数，放进 50 个抽屉，则必定有两个数在同一抽屉，于是这两个数互质．问题得 证． (2)我们将 1—100 分成(1，51)，(2，52)，(3，53)，…，(40，90)，…(50，100)这 50 组，每组内 的数相差 50．将这 50 组数视为抽屉，则现在有 51 个数放进 50 个抽屉内，则必定有 2 个数在 同一抽屉，那么这两个数的差为 50．问题得证． (3)我们将 1—100 按 2 的倍数、3 的奇数倍、既不是 2 又不是 3 的倍数的情况分组，有(2，4，6， 8，…，98，100)，(3，9，15，21，27，…，93，99)，(5，7，11，13，17，19，23，…，95， 97)这三组．第一、二、三组分别有 50、17、33 个元素． 最不利的情况下，51 个数中有 33 个元素在第三组，那么剩下的 18 个数分到第一、二两组内， 那么至少有 9 个数在同一组．所以这 9 个数的最大公约数为 2 或 3 或它们的倍数，显然大于 1．问题得证 【例 32】有 49 个小孩，每人胸前有一个号码，号码从 1 到 49 各不相同．现在请你挑选若干个小孩，排 成一个圆圈，使任何相邻两个小孩的号码数的乘积小于 100，那么你最多能挑选出多少个孩子? 【考点】抽屉原理 【难度】4 星 【题型】解答 200 (1) 1 2× 21 2× 31 2× 71 2× (2) 3 2× 23 2× 33 2× 63 2× (3) 5 2× 25 2× 35 2× 55 2× (50) 99 2× (51) (52) (100) 1 50 50 7 7 [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] 7 8 7 7 7 7 7 8 7 7 1 23+ + + = 23 【解析】将 1 至 49 中相乘小于 100 的两个数，按被乘数分成 9 组，如下： (1×2)、(1×3)、(1×4)、…、(1×49)； (2×3)、(2×4)、(2×5)、…、(2×49)； (8×9)、(8×10)、(8 ×11)、(8×12)； (9×10)、(9×11). 因为每个数只能与左右两个数相乘，也就是每个数作为被乘数或乘数最多两次，所以每一组中最 多会有两对数出现在圆圈中，最多可以取出 18 个数对，共 18 ×2=36 次，但是每个数都出现两次， 故出现了 18 个数． 例如：(10×9)、(9×11)、(1×8)、(8×12)、(12×7)、(7×13)、(13×6)、(6×14)、(14×5)、(5×15)、 (15×4)、(4 ×16)、(16 X 3)、(3×17)、(17×2)、(2×18)、(18 ×1)、(1×10)．共出现 l～18 号，共 18 个 孩子． 若随意选取出 19 个孩子，那么共有 19 个号码，由于每个号码数要与旁边两数分别相乘，则会形 成 19 个相乘的数对． 那么在 9 组中取出 19 个数时，有 19=9×2+1，由抽屉原则知，必有三个数对落入同一组中，这样 某个数字会在数对中出现三次(或三次以上)，由分析知，这是不允许的．故最多挑出 18 个孩 子． 【答案】18 个孩子 【例 33】要把 61 个乒乓球分装在若干个乒乓球盒中，每个盒子最多可以装 5 个乒乓球，问：至少有多少 个盒子中的乒乓球数目相同？ 【考点】抽屉原理 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】每个盒子不超过 5 个球，最“坏”的情况是每个盒子的球数尽量不相同，为 1、2、3、4、5 这 5 种 各不相同的个数，共有： ， ，最不利的分法是：装 1、2、3、4、 5 个球的各 4 个，还剩 1 个球，要使每个盒子不超过 5 个球，无论放入哪个盒子，都会使至少有 5 个盒子的球数相同． 【答案】5 个盒子 【巩固】 将 400 本书随意分给若干同学，但是每个人不许超过 11 本，问：至少有多少个同学分到的书的 本数相同？ 【考点】抽屉原理 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】每人不许超过 11 本，最“坏”的情况是每人得到的本数尽量不相同，为：1、2、3、4、5、6、7、 8、9、10、11 这 11 种各不相同的本数，共有： 本， ，最不利的 分法是：得 1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11 本数+的各 6 人，还剩 4 本书，要使每个人不 超过 11 本，无论发给谁，都会使至少有 7 人得到书的本书相同． 【答案】7 人 【例 34】有苹果和桔子若干个，任意分成 堆，能否找到这样两堆，使苹果的总数与桔子的总数都是偶 数？ 【考点】抽屉原理 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】需先跟学生介绍奇偶性：奇数 奇数 偶数；奇数 偶数 奇数；偶数 偶数 偶数。 先用列表法进行搭配。由于题目只要求判断两堆水果的个数关系，因此可以从水果个数的奇、偶 性上来考虑抽屉的设计．对于每堆水果中的苹果、桔子的个数分别都有奇数与偶数两种可能，所 以每堆水果中苹果、桔子个数的搭配就有 种情形：（奇，奇），（奇，偶），（偶，奇），（偶， 偶），其中括号中的第一个字表示苹果数的奇偶性，第二个字表示桔子数的奇偶性．将这 种情 形看成 个抽屉，现有 堆水果，根据抽屉原理可知，这 堆水果里至少有 堆属于上述 种情形 的同一种情形．由于奇数加奇数为偶数，偶数加偶数仍为偶数，所以在同一个抽屉中的两堆水果， 其苹果的总数与桔子的总数都是偶数． 【答案】能 【例 35】在长度是 厘米的线段上任意取 个点，是否至少有两个点，它们之间的距离不大于 厘米？ 【考点】抽屉原理 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】把长度 厘米的线段 等分，那么每段线段的长度是 厘米（见下图）．        1 2 3 4 5 15+ + + + = 61 15 4 1÷ =  1+2+3+ +11=66 400 66 6 4÷ =  5 + = + = + = 4 4 4 5 5 2 4 10 11 1 10 10 1 将每段线段看成是一个“抽屉”，一共有 个抽屉．现在将这 个点放到这 个抽屉中去．根据 抽屉原理，至少有一个抽屉里有两个或两个以上的点（包括这些线段的端点）．由于这两个点在 同一个抽屉里，它们之间的距离当然不会大于 厘米．所以，在长度是 厘米的线段上任意取 个点，至少存在两个点，它们之间的距离不大于 厘米． 【答案】是 【巩固】 在 米长的直尺上任意点五个点，请你说明这五个点中至少有两个点的距离不大于 厘米． 【考点】抽屉原理 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】略． 【答案】 个点最多把 米长的直尺分成 段，要想使每一段都尽量长，应采取平均分的办法．把 米长的 直尺平均划分成四段，每一段 厘米，把这四段看成四个抽屉．当把五个点随意放入四个抽屉时， 根据抽屉原理，一定有一个抽屉里面有两个或两个以上的点，落在同一段上的这两点间的距离一 定不大于 厘米，所以结论成立 【巩固】 试说明在一条长 100 米的小路一旁植树 101 棵，不管怎样种，总有两棵树的距离不超过 1 米． 【考点】抽屉原理 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】略. 【答案】把这条小路分成每段 1 米长，共 100 段每段看作是一个抽屉，共 100 个抽屉，把 101 棵树看作是 101 个苹果，于是 101 个苹果放入 100 个抽屉中，至少有一个抽屉中有两个苹果，即至少有一段 有两棵或两棵以上的树 【巩固】 在 米长的水泥阳台上放 盆花，随便怎样摆放，至少有几盆花之间的距离不超过 米． 【考点】抽屉原理 【难度】2 星 【题型】解答 【关键词】小数报，初赛 【解析】略． 【答案】如果每两盆之间的距离都超过 米，那么总距离超过 (米)．另一方面，可以使开始 的 盆每两盆之间距离略大于 2 米，而最后两盆之间小于 2 米．所以，至少有两盆之间的距离不 超过 2 米 【巩固】 在 米长的水泥阳台上放 盆花，随便怎样摆放，请你说明至少有两盆花它们之间的距离小于 米． 【考点】抽屉原理 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】略． 【答案】第 盆花放在一个端点上，第 盆花放在距第 盆花恰为 米处（这是两盆花之间最近的距离了， 再近就说明题目已经正确了——两盆花之间距离小于 米）．第 盆花放在距离第 盆花的距离 米处，这样每隔 米放 盆花，直到阳台的另一个尽头，恰好放第 盆花．至此，阳台上的 盆 花中任意两盆花之间的距离都按你的设想不小于 米放好了．现在考虑最后 盆花，它只能放在 已放好的 盆花所留出的 个空档内了，这已说明必有两盆花之间的距离小于 米．题目的结论 是正确的 【例 36】在边长为 3 的正三角形内，任意放入 10 个点，求证：必有两个点的距离不大于 1． 【考点】抽屉原理 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】略． 【答案】将边长为 3 的正三角形等分为 9 个小正三角形，根据抽屉原理，10 个点中必有两个点落入同一个 小正三角形的内部或边上，那么这两个点之间的距离不会超过小正三角形的边长，故必有两个点 的距离不大于 1 【巩固】 边长为 1 的等边三角形内有 5 个点，那么这 5 个点中一定有距离小于 0.5 的两点. 【考点】抽屉原理 【难度】3 星 【题型】解答 10 11 10 1 10 11 1 1 25 5 1 4 1 25 25 20 11 2 2 2 11 1 20× − =（ ） 10 20 12 2 1 2 1 2 2 3 2 2 2 1 11 11 2 1 11 10 2 【解析】略. 【答案】5 个点的分布是任意的。如果要证明“在边长为 1 的等边三角形内（包括边界）有 5 个点，那么这 5 个点中一定有距离不大于的两点”，则顺次连接三角形三边中点，即三角形的三条中位线，可以 分原等边三角形为 4 个全等的边长为的小等边三角形，则 5 个点中必有 2 点位于同一个小等边三 角形中（包括边界），其距离便不大于 0.5。可以继续拓展：边长为 1 的等边三角形内，若有 个点，则至少存在 2 点距离小于 【巩固】 在边长为 的正方形内任意放入九个点，求证：存在三个点，以这三个点为顶点的三角形的面 积不超过 【考点】抽屉原理 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】略. 【答案】如图，用 个点四等分正方形，得到四个面积都为 的正方形，我们把四个面积为 的正方 形看成 个抽屉， 个点看成苹果，因此必有三个点在一个面积为 的正方形内，如果这三点 恰好是正方形的顶点，则三角形的面积为 ，如果这三点在正方形内部，则三角形的面积小 于 ，因此存在三个点，以这三个点为顶点的三角形的面积不超过 【巩固】 在边长为 3 米的正方形中，任意放入 28 个点，求证：必定有四个点，以它们为顶点的四边形的 面积不超过 1 平方米． 【考点】抽屉原理 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】略． 【答案】将大正方形分成 9 个边长为 1 米的小正方形，则 9 个小正方形为“抽屉”，有： ，则 必有一个小正方形里(上)至少有 (个)点，若这四个点恰好落在这个小正方形的四个顶点， 那么以这 4 个点为顶点的四边形的面积为 1 平方米；若有一个点落在正方形的内部或边上，则面 积将小于 1 平方米．综上所述，不论怎么放，必定有四个点，以它们为顶点的四边形的面积不超 过 1 平方米 【巩固】 在一个矩形内任意放五点，其中任意三点不在一条直线上。证明：在以这五点为顶点的三角形 中，至少有一个的面积小于矩形面积的四分之一。 【考点】抽屉原理 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】略。 【答案】如下图，将长方形按中线分为两部分，则由抽屉原理知必然有 3 个点在同一个区域，那么由这 3 个点所构成的三角形的面积必然小于该区域的一半，即长方形面的四分之一。 【例 37】在一个直径为 厘米的圆内放入七个点，请证明一定有两个点的距离不大于 厘米 【考点】抽屉原理 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】略 【答案】将圆分成六个面积相等的扇形，这六个扇形可以看成六个抽屉，七个点看成七个苹果，这样必有 一个抽屉有两个苹果，即一定有两个点的距离不大于 厘米 【巩固】 平面上给定 17 个点，如果任意三个点中总有两个点之间的距离小于 1，证明：在这 17 个点中必 有 9 个点可以落在同一半径为 1 的圆内。 2 1n + 1 n 1 0.125 9 0.25 0.25 4 9 0.25 0.125 0.125 0.125 28 9 3 1÷ =  3 1 4+ = 2 1 1 【考点】抽屉原理 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】略。 【答案】如果 17 个点中，任意两点之间的距离都小于 1，那么，以这 17 个点中任意一点为圆心，以 1 为 半径作一个圆，这 17 个点必然全落在这个圆内。如果这 17 点中，有两点之间距离不小于 1(即大 于或等于 1)，设这两点为 、 ，分别以 、 为圆心，1 为半径作两个圆(如图)。把这两个 圆看作两个抽屉，由于任意三点中总有两个点之间的距离小于 1，因此其他 15 个点中每一点，到 、 的距离必有一个小于 1。也就是说这些点必落在某一个圆中。根据抽屉原理必有一个圆至 少包含这 15 个点中的 8 个点。由于圆心是 17 个点中的一点，因此这个圆至少包含 17 个点中的 9 个点 【例 38】9 条直线的每一条都把一个正方形分成两个梯形，而且它们的面积之比为 2∶3。证明：这 9 条直 线中至少有 3 条通过同一个点。 【考点】抽屉原理 【难度】4 星 【题型】解答 【解析】略。 【答案】设正方形为 ， 、 分别是 ， 的中点。设直线 把正方形 分成两个长方 形 和 ，并且与 相交于 （如图）,长方形 的面积 长方形 的面积 ，如果把直线 绕 点旋转一定角度后，原来的两个长方形就变成两个梯形，根据割补 法两个梯形的面积比也为 ，所以只要直线 绕 点旋转，得到的两个梯形的面积比为 ， 所以将长方形分成 的两个梯形必定经过 点，同样根据对称经过 点的直线也是满足条件的 直线，同理我们还可以找到把长方形分成上下两个梯形的两个点这样，在正方形内就有 4 个固定 的点，凡是把正方形面积分成两个面积为 2∶3 的梯形的直线，一定通过这 4 点中的某一个。我们 把这 4 个点看作 4 个抽屉，9 条直线看作 9 个苹果，由抽屉原理可知， ，所以，必有 一个抽屉内至少放有 3 个苹果，也就是，必有三条直线要通过一个点 【例 39】如图，能否在 行 列的方格表的每一个空格中分别填上 ， ， 这三个数，使得各行各列及 对角线上 个数的和互不相同？并说明理由． 【考点】抽屉原理 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】从问题入手：因为问的是和，所以就从和的种类入手。由 ， ， 组成的和中最小为 ， 最大的为 ， 中共有 种结果，而 行 列加上对角线共有 个和，根据抽屉原理， 必有两和是相同的，所以此题不能满足要求． 【答案】能 N M QP H G FE D CB A O1 O2 1O 2O 1O 2O 1O 2O ABCD E F AB CD MN ABCD ABMN CDNM EF P ABMN : CDNM 2:3= MN P 2:3 MN P 2:3 2:3 P Q 9 4 2 1= × + 8 8 1 2 3 8 1 2 3 8 1 8× = 8 3 24× = 8 ~ 24 17 8 8 18 【巩固】 在 的方格纸中，每个方格纸内可以填上 四个自然数中的任意一个，填满后对每个 “田”字形内的四个数字求和，在这些和中，相同的和至少有几个？ 【考点】抽屉原理 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】先计算出在 的方格中，共有 “田”字形： (个)，在 中任取 4 个数(可以重复) 的和可以是 中之一，共 13 种可能，根据抽屉原理: ，至少有 个“田” 字形内的数字和是相同的． 【答案】 个 【巩固】 用数字 1，2，3，4，5，6 填满一个 的方格表，如右图所示，每个小方格只填其中一个数字， 将每个 正方格内的四个数字的和称为这个 正方格的“标示数”．问：能否给出一种填法， 使得任意两个“标示数”均不相同？如果能，请举出一例；如果不能，请说明理由． 【考点】抽屉原理 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】先计算出每个 正方格内的四个数字的和最小为 4，最大为 24，从 4 到 24 共有 21 个不同的值， 即有 21 个“抽屉”；再找出在 的方格表最多有： (个) 正方格的“标示数”，即有 25 个“苹果”． ,根据抽屉原理，必有两个“标示数”相同． 【答案】不能 【巩固】 能否在 10 行 10 列的方格表的每个空格中分别填上 1，2，3 这三个数之一，使得大正方形的每 行、每列及对角线上的 10 个数字之和互不相同？对你的结论加以说明． 【考点】抽屉原理 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】大正方形的每行、每列及对角线上的 10 个数字之和最小是 10，最大是 30．因为从 10 到 30 之间 只有 21 个互不相同的整数值，把这 21 个互不相同的数值看作 21 个“抽屉”，而 10 行、10 列及两 条对角线上的数字和共有 22 个整数值，这样元素的个数比抽屉的个数多 1 个，根据抽屉原理可 知，至少有两个和同属于一个抽屉，故要使大正方形的每行、每列及对角线上的 10 个数字之和 互不相同是不可能的． 【答案】不可能 【例 40】如下图① ， 、 、 、 四只小盘拼成一个环形，每只小盘中放若干糖果，每次可取出 1 只、或 3 只、或 4 只盘中的全部糖果，也可取出 2 只相邻盘中的全部糖果.要使 1 至 13 粒糖果 全能取到，四只盘中应各有 粒糖果.把各只盘中糖果的粒数填在下图②中. 图① 图② 【考点】抽屉原理 【难度】2 星 【题型】解答 【关键词】南京市，兴趣杯，少年数学邀请赛，决赛，C 卷 【解析】略 【答案】有两种方法（填出一种即可），如下图 D C BA 8 8× 1 4 2 2× 8 8× 2 2× 7 7 49× = 1 4 4 16 49 13 3 10÷ =  3 1 4+ = 4 6 6× 2 2× 2 2× 2 2× 6 6× 5 5 25× = 2 2× 25 21 1 4÷ =  A B C D 【巩固】 如右图 、 、 、 四只小盘拼成一个环形，每只小盘中放若干糖果.每次可取出 1 只、或 3 只、或 4 只盘中的全部糖果，也可取出 2 只相邻盘中的全部糖果.这样取出的糖果数最多有几种？ 请说明理由. 【考点】抽屉原理 【难度】2 星 【题型】解答 【关键词】南京市，兴趣杯，少年数学邀请赛，决赛，D 卷 【解析】最多为 种.因为取 只盘子有 种取法；取 只盘子（即有 1 种盘子不取），也有四种取法；取 4 只盘子只有 1 只取法；取两只相邻的盘子，在第 1 只取定后，（依顺时针方向），第 2 只也就确定 了，所以也有 4 种取法.共有 种取法.满足 13 种取法的糖果放法可以有无数多种.例题 的解表明糖果数可以为 1～13 这 13 种. 【答案】13 种. 【例 41】如右图，分别标有数字 的滚珠两组，放在内外两个圆环上，开始时相对的滚珠所标的数 字都不相同．当两个圆环按不同方向转动时，必有某一时刻，内外两环中至少有两对数字相同 的滚珠相对． 【考点】抽屉原理 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】略． 【答案】内外两个圆环对转可以看成一个静止，只有一个环转动，一个环转动一周后，每个滚珠都会有一 次与标有相同数字的滚珠相对的局面出现，那么这种局面共要出现 次.将这 次局面看成 个苹 果，注意到一环每转动 角就有一次滚珠相对的局面出现，转动一周共有 次滚珠相对的局面， 而最初相对滚珠所标数字都不相同，所以相对的滚珠所标的数字相同的情况只出现在以后的 次 转动中，将 次转动看做 个抽屉，根据抽屉原理至少有 次数字相对的局面出现在同一次转动 中即必有某一时刻，内外两环中至少有两对数字相同的滚珠相对 【巩固】 8 位小朋友围着一张圆桌坐下，在每位小朋友面前都放着一张纸条，上面分别写着这 8 位小朋友 的名字．开始时，每位小朋友发现自己面前所对的纸条上写的都不是自己的名字，请证明：经 过适当转动圆桌，一定能使至少两位小朋友恰好对准自己的名字． 【考点】抽屉原理 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】略． 【答案】沿顺时针方向转动圆桌，每次转动一格，使每位小朋友恰好对准桌面上的字条，经过 8 次转动后， 桌面又回到原来的位置．在这个转动的过程中，每位小朋友恰好对准桌面上写有自己名字的字条 一次，我们把每位小朋友与自己名字相对的情况看作“苹果”，共有 8 只“苹果”．另一方面，由于开 始时每个小朋友都不与自己名字相对，所以小朋友与自己名字相对的情况只发生在 7 次转动中， 这样 7 次转动(即 7 个“抽屉”)将产生 8 位小朋友对准自己名字的情况，由抽屉原理可知，至少在某 64 21 7 3 2 1 D C BA A B C D 13 1 4 3 3 4 1 13× + = 1,2, ,8 8 8 8 45 8 7 7 7 2 一次转动后，有两个或两个以上的小朋友对准自己的名字 【例 42】时钟的表盘上按标准的方式标着 1，2，3，…，11，12 这 12 个数，在其上任意做 n 个 120°的扇 形，每一个都恰好覆盖 4 个数，每两个覆盖的数不全相同．如果从这任做的 n 个扇形中总能恰 好取出 3 个覆盖整个钟面的全部 12 个数，求 n 的最小值． 【考点】抽屉原理 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】（1）当 时，有可能不能覆盖 12 个数，比如每块扇形错开 1 个数摆放，盖住的数分别是： （12，1，2，3）；（1，2，3，4）；（2，3，4，5）；（3，4，5，6）；（4，5，6，7）；（5，6， 7，8）；（6，7，8，9）；（7，8，9，10），都没盖住 11，其中的 3 个扇形当然也不可能盖住全部 12 个数． （2）每个扇形覆盖 4 个数的情况可能是： （1，2，3，4）（5，6，7，8）（9，10，11，12）覆盖全部 12 个数 （2，3，4，5）（6，7，8，9）（10，11，12，1）覆盖全部 12 个数 （3，4，5，6）（7，8，9，10）（11，12，1，2）覆盖全部 12 个数 （4，5，6，7）（8，9，10，11）（12，1，2，3）覆盖全部 12 个数 当 时，至少有 3 个扇形在上面 4 个组中的一组里，恰好覆盖整个钟面的全部 12 个数． 所 以 n 的最小值是 9． 【答案】9 【巩固】 如图，在时钟的表盘上任意作 个 的扇形，使得每一个扇形都恰好覆盖 个数，且每两个扇 形覆盖的数不全相同，求证：一定可以找到 个扇形，恰好覆盖整个表盘上的数．并举一个反例 说明，作 个扇形将不能保证上述结论成立． 【考点】抽屉原理 【难度】3 星 【题型】解答 【关键词】清华附中，入学测试 【解析】略． 【答案】在表盘上共可作出 12 个不同的扇形，且 1～12 中的每个数恰好被 4 个扇形覆盖．将这 12 个扇形 分为 4 组，使得每一组的 3 个扇形恰好盖住整个表盘．那么，根据抽屉原理，从中选择 9 个扇形， 必有 个扇形属于同一组，那么这一组的 3 个扇形可以覆盖整个表盘．另一方面，作 8 个扇形相当于从全部的 12 个扇形中去掉 4 个，则可以去掉盖住同一个数的 4 个扇形，这样这个 数就没有被剩下的 8 个扇形盖住，那么这 8 个扇形不能盖住整个表盘 （三）、最不利原则 【例 43】“走美”主试委员会为三～八年级准备决赛试题．每个年级 道题，并且至少有 道题与其他各 年 级 都不 同 ． 如 果每 道 题 出 现 在不 同 年 级 ，最 多 只 能 出现 次 ． 本 届活 动 至 少 要准 备 道决赛试题． 【考点】抽屉原理 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】走美杯，决赛 【解析】每个年级都有自己 道题目，然后可以三至五年级共用 道题目，六到八年级共用 道题目，总 8n = 9n = 9 120° 4 3 8 9 1 34   + =   12 8 3 8 4 4 共有 （道）题目． 【答案】 【例 44】有一个布袋中有 40 个相同的小球，其中编上号码 1、2、3、4 的各有 10 个，问：一次至少要取 出多少个小球，才能保证其中至少有 3 个小球的号码相同？ 【考点】抽屉原理 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】将 1、2、3、4 四种号码看作 4 个抽屉，要保证一个抽屉中至少有 3 个苹果，最“坏”的情况是每 个抽屉里有 2 个“苹果”，共有： (个)，再取 1 个就能满足要求，所以一次至少要取出 9 个 小球，才能保证其中至少有 3 个小球的号码相同． 【答案】9 个小球 【巩固】 有一个布袋中有 5 种不同颜色的球，每种都有 20 个，问：一次至少要取出多少个小球，才能保 证其中至少有 3 个小球的颜色相同？ 【考点】抽屉原理 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】5 种颜色看作 5 个抽屉，要保证一个抽屉中至少有 3 个苹果，最“坏”的情况是每个抽屉里有 2 个 “苹果”，共有： 个，再取 1 个就能满足要求，所以一次至少要取出 11 个小球，才能保 证其中至少有 3 个小球的颜色相同 【答案】11 个小球 【巩固】 有红、黄、白三种颜色的小球各 个，混合放在一个布袋中，一次至少摸出 个，才能 保证有 个小球是同色的？ 【考点】抽屉原理 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】春蕾杯，小学数学邀请赛，初赛 【解析】根据最不利原则，至少需要摸出 （个）． 【答案】 个 【巩固】 黑、白、黄三种颜色的筷子各有很多根，在黑暗处至少拿出几根筷子就能保证有一双是相同颜 色的筷子？ 【考点】抽屉原理 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】问题问的是要有一双相同颜色的筷子．把黑、白、黄三种颜色的筷子当作 个抽屉，根据抽屉原 理，至少有 根筷子，才能使其中一个抽屉里至少有两根筷子．所以，至少拿 根筷子，才能保 证有一双是相同颜色的筷子．最“倒霉”原则：它们每样各取一根，都凑不成双．教师可以拿其他 东西做类似练习． 【答案】至少拿 根筷子 【巩固】 一个口袋中装有 500 粒珠子，共有 5 种颜色，每种颜色各 100 粒。如果你闭上眼睛，至少取出 多少粒珠子才能保证其中有 5 粒颜色相同？ 【考点】抽屉原理 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】至少要取 （粒） 【答案】 粒 【例 45】黑色、白色、黄色的筷子各有 8 根，混杂地放在一起，黑暗中想从这些筷子中取出颜色不同的 两双筷子。问至少要取多少根才能保证达到要求？ 【考点】抽屉原理 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】根据最不利原则，至少取 根筷子就能保证有一双颜色不同，我们把颜色不同那双筷子取出，再 补 只筷子，就能又保证一双颜色不同筷子，所以取出 根筷子就得到颜色不同的两双筷子. 【答案】取出 根筷子就得到颜色不同的两双筷子 【巩固】 有形状、长短都完全一样的红筷子、黑筷子、白筷子、黄筷子、紫筷子和花筷子各 25 根。在黑 暗中至少应摸出_____根筷子，才能保证摸出的筷子至少有 8 双（每两根花筷子或两根同色的筷 子为一双）。 【考点】抽屉原理 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】小数报，数学竞赛，初赛 【解析】因为筷子只有 6 种，所以 7 根中必有一双颜色相同。我们取出其中一双，这样剩下 根筷子，为 了再能取一双颜色相同的筷子，根据最不利原则，需再加两只筷子才能保证再摸出一双颜色相同 的筷子，以此类推，所以要 双颜色相同的筷子需 根筷子。 8 6 4 2 56× + × = 56 4 2 8× = 5 2 10× = 10 5 4 3 1 13× + = 13 3 4 4 4 (5 1) 5 1 21− × + = 21 9 2 11 11 5 8 7 2 (8 1) 21+ × − = 【答案】 【例 46】有红、黄、蓝、白 4 色的小球各 10 个，混合放在一个布袋里．一次摸出小球 8 个，其中至少有 几个小球的颜色是相同的？ 【考点】抽屉原理 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】从最不利的情况考虑，摸出的 8 个小球中有 4 个小球的颜色各不相同，那么余下的 4 个小球无论 各是什么颜色，都必与之前的 4 个小球中的某一个颜色相同．即这 8 个小球中至少有 2 个小球的 颜色是相同的． 【答案】2 个小球 【例 47】两个布袋各有 12 个大小一样的小球，且都是红、白、蓝各 4 个。从第一袋中拿出尽可能少的球， 但至少有两种颜色一样的放入第二袋中；再从第二袋中拿出尽可能少的球放入第一袋中，使第 一袋中每种颜色的球不少于 3 个。这时，两袋中各有多少个球？ 【考点】抽屉原理 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】第一次取完后，只需知道第一袋中有某种颜色的球不足 3 个即可（取了多少个球，怎样取的都可 以不考虑）。第二次取后，要保证第一袋中每种颜色的球不少于 3 个，最不利的情况是两种颜色 的球各有 8 个，另一种颜色的球有 3 个。所以，第一袋中有球 8＋8＋3＝19（个），第二袋中有球 4×3×2－19＝5（个）。 【答案】第一袋中有球 19 个，第二袋中有球 5 个 【例 48】一个玻璃瓶里一共装有 44 个弹珠，其中：白色的 2 个，红色的 3 个，绿色的 4 个，蓝色的 5 个， 黄色的 6 个，棕色的 7 个，黑色的 8 个，紫色的 9 个．如果要求每次从中取出 1 个弹珠，从而 得到 2 个相同颜色的弹珠，请问最多需要取几次？ 【考点】抽屉原理 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】这个玻璃瓶里装有 8 种颜色的弹珠，如果真的算你倒霉的话，最坏的可能性就是前 8 次摸到的都 是不同颜色的弹珠，而第 9 次摸出的任何颜色的弹珠，都可以与已摸出的弹珠构成“同色的两个 弹珠”．所以最多只需要取 9 次． 【答案】9 次 【巩固】 一个口袋里分别有 4 个红球，7 个黄球，8 个黑球，为保证取出的球中有 6 个球颜色相同，则至 少要取多少个小球？ 【考点】抽屉原理 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】考虑最“坏”的情况，先取出 4 个红球，5 个黄球，5 个黑球，这样再取一个(只能是黄球或黑球)， 将有 6 个球颜色相同，所以至少要取出 (个)小球． 【答案】 个球 【例 49】在 张卡片上不重复地编写上 ~ ，请问至少要随意抽出几张卡片才能保证所抽出卡片上的 数相乘后之乘积可被 整除？ 【考点】抽屉原理 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】当抽出 个奇数的时候，乘积还是奇数，最多再抽出 张偶数，乘积即可被 整除，也就是抽出 个数可以保证乘积能被 整除． 【答案】 个数 【例 50】一副扑克牌，共 54 张，问：至少从中摸出多少张牌才能保证：⑴至少有 5 张牌的花色相同；⑵ 四种花色的牌都有；⑶至少有 3 张牌是红桃．(4) 至少有 2 张梅花和 3 张红桃． 【考点】抽屉原理 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】一副扑克牌有四种花色，每种花色各 13 张，另外还有两张王牌，共 54 张． ⑴为了“保证”5 张牌花色相同，我们应从最“坏”的情况去分析，即先摸出了两张王牌，再把四种 花色看作 4 个抽屉，要想有 5 张牌属于同一个抽屉，只需再摸出 (张)，也就是共摸出 19 张牌．即至少摸出 19 张牌，才能保证其中有 5 张牌的花色相同． ⑵因为每种花色有 13 张牌，若考虑最“坏”的情况，即摸出了 2 张王牌和三种花色的所有牌共计 (张)，这时，只需再摸一张即一共 42 张牌，就保证四种花色的牌都有了．即至少摸 出 42 张牌才能保证四种花色的牌都有． ⑶最“坏”的情形是先摸出了 2 张王牌和黑桃、梅花、方块三种花色所有牌共计 张， 21 4 5 5 1 15+ + + = 15 100 1 100 4 50 2 4 52 4 52 4 4 1 17× + = 13 3 2 41× + = 13 3 2 41× + = 只剩红桃牌．这时只需再摸 3 张，就保证有 3 张牌是红桃了，即至少摸出 44 张牌，才能保证其中 至少有 3 张红桃牌． ⑷因为每种花色有 13 张牌，若考虑最“坏”的情况，即摸出 2 张王牌、方块和黑桃两种花色的所有 牌共计： ，然后是摸出所有的梅花和 3 张红桃(想想若摸出所有的红桃和 2 张梅花， 是最坏的情况么？)，共计： 张． 【答案】⑴19 张牌 ⑵42 张牌 ⑶44 张牌 ⑷ 张 【巩固】一副扑克牌共 54 张，其中 点各有 4 张，还有两张王牌，至少要取出____张牌，才能保证其 中必有 4 张牌的点数相同。 【考点】抽屉原理 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】南京市，兴趣杯，少年数学邀请赛，决赛 【解析】由于 ，取出 42 张牌，其中必有 4 张点数相同。如果只取 41 张，那么其中可能有 3 张 A,3 张 2,3 张 3，…，3 张 K 及两张王牌，没有 4 张一样的点数相同。所以，至少要取 42 张， 才能保证其中必有 4 张牌的点数相同。 【答案】42 张 【例 51】自制的一副玩具牌共计 张（含四种牌：红桃、红方、黑桃、黑梅．每种牌都有 点， 点，…， 点牌各一张）．洗好后背面向上放好，⑴一次至少抽取 张牌，才能保证其 中必定有 张牌的点数和颜色都相同．（2）如果要求一次抽出的牌中必定有 张牌的点数是相 邻的（不计颜色），那么至少要取 张牌。 【考点】抽屉原理 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】华罗庚金杯,数学邀请赛 【解析】⑴由于点数有 种情况，颜色有黑、红两种情况，根据最不利的原则，我们可以取黑、红颜色的 点各两张，共计 张，那么再取一张必然会出现颜色相同，因此至少取 张牌，才能保证其中必定有 张牌的点数和颜色都相同． ⑵可以构造点数相邻的抽屉如下 ，根据最不利原则，可以取 点数分别为 各四张，共计 张，如果再取一张必然必定有 张牌的点 数是相邻的（不计颜色）. 【答案】⑴ 张牌 ⑵ 张牌 【巩固】 一幅扑克牌有 54 张，最少要抽取几张牌，方能保证其中至少有 2 张牌有相同的点数？ 【考点】抽屉原理 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】点数为 1(A)、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11(J)、12(Q)、13(K)的牌各取 1 张，再取大王、小 王各 1 张，一共 15 张，这 15 张牌中，没有两张的点数相同．这样，如果任意再取 1 张的话，它 的点数必为 1～13 中的一个，于是有 2 张点数相同． 【答案】 张 【例 52】一个口袋里分别有红、黄、黑球 4，7，8 个，为保证取出的球中有 6 个同色，则至少要取小球______ 个。 【考点】抽屉原理 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】希望杯，五年级，一试，第 14 题 【解析】如果要保证取到 6 个同色的球，至少要取 4+5+5+1=15 个 【答案】15 个 13 2 2 28× + = 28 13 3 44+ + = 44 1 13 3 13 2 1 42× + + = 52 1 2 13 2 3 13 1,2,3, ,12,13 13 2 26× = 26 1 27+ = 2 (1,2,3),(4,5,6),(7,8,9),(10,11,12),(13) 1,2,4,5,7,8,10,11,13 9 4 36× = 3 27 37 16