小学六年级奥数教案：浓度问题(讲师版)

小学六年级奥数教案：浓度问题(讲师版)

100% 100%   溶质 溶质 溶液 溶质 溶液 浓度问题 学生姓名 授课日期 教师姓名 授课时长 知识定位 溶液浓度问题的内容与我们实际的生活联系很紧密，就知识点而言它包括 了小学六年级所学的 2 个重点知识：百分数，比例。 在浓度的应用题中要正确理解好溶质，溶剂，溶液，溶质的质量百分数这 几个基本量的关系，一般的处理方法都是通过建立方程来解决问题。 与经济利润问题一样，浓度问题也是小升初考试的一个重点内容。 知识梳理 1：浓度问题中的基本量 溶液浓度问题中，主要我们要明确如下几个量以及它们之间的关系： 溶质：通常为盐水中的“盐”，糖水中的“糖”，酒精溶液中的“酒精”等 溶剂：一般为水，部分题目中也会出现煤油等 溶液：溶质和溶液的混合液体。 浓度：溶质质量与溶液质量的比值 2：几个基本量之间的运算关系 （1）.溶液=溶质+溶剂 （2）.浓度= 3：解浓度问题的一般方法 （1）.寻找溶液配比前后的不变量，依靠不变量建立等量关系列方程 （2）.十字交叉法（又称浓度三角） 4：重点难点解析: （1）. 注意溶液的质量,溶质的质量,溶剂的质量之间的关系 （2）. 会把其它类型的题转化成此类题目 5：竞赛考点挖掘 （1）. 百分数的应用题（经济或浓度）一般是杯赛必考题 （2）. 浓度三角的应用 （3）. 分数计算要准确 例题精讲 【试题来源】 【题目】 浓度为 10％，重量为 80 克的糖水中，加入多少克水就能得到浓度为 8％的糖水？ 【答案】20 【解析】 浓度 10％，含糖 80×10％＝ 8（克），有水 80-8＝72（克）. 如果要变成浓度为 8％，含糖 8 克，糖和水的总重量是 8÷8％＝100（克），其中有水 100-8 ＝92（克）.还要加入水 92- 72＝ 20（克）. 【知识点】浓度问题 【适用场合】当堂例题 【难度系数】1 【试题来源】 【题目】 浓度为 20％的糖水 40 克，要把它变成浓度为 40％的糖水，需加多少克糖？. 【答案】 1 121 8 133 3   【解析】 浓度为 20％，含糖 40×20％＝8（克），有水 40- 8＝ 32（克）. 如果要变成浓度为 40％，32 克水中，有糖 x 克，就有 x∶32＝40％∶（1-40％）， 32 40% 1211 40% 3x   需加糖 1 121 8 133 3   【知识点】浓度问题 【适用场合】当堂例题 【难度系数】1 【试题来源】 【题目】 有浓度为 20％的盐水 300 克，要配制成 40％的盐水，需加入浓度为 70％的盐水多少克？ 【答案】200 【解析】 将两种溶液的浓度分别放在左右两侧，重量放在旁边，配制后溶液的浓度放在正下方， 用直线相连；（见图 1） 直线两侧标着两个浓度的差，并化成简单的整数比。所需溶液的重 量比就是浓度差的反比； 对“比”的理解应上升到“份”，3 份对应的为 300 克，自然知道 2 份为 200 克了。 需加入浓度为 70％的盐水 200 克。 【知识点】浓度问题 【适用场合】当堂例题 【难度系数】2 【试题来源】 【题目】 将 75％的酒精溶液 32 克稀释成浓度为 40％的稀酒精，需加入水多少克？ 【答案】28 【解析】 稀释时加入的水溶液浓度为 0％（如果需要加入干物质，浓度为 100％），标注数值的方法 与例 1 相同。（见图 2） 32÷8×7＝28 答：需加水 28 克。 【知识点】浓度问题 【适用场合】当堂例题 【难度系数】1 【试题来源】 【题目】 买来蘑菇 10 千克，含水量为 99％，晾晒一会儿后，含水量为 98％，问 蒸发掉多少水份？ 【答案】5 千克 【解析】 做蒸发的题目，要改变思考角度，本题就应该考虑成“98％的干蘑菇加水后得到 99％ 的湿蘑菇”，这样求出加入多少水份即为蒸发掉的水份，就又转变成“混合配比”的问 题了。但要注意，10 千克的标注应该是含水量为 99％的重量。将 10 千克按 1∶1 分配， 10÷2=5 答：蒸发掉 5 千克水份。 【知识点】浓度问题 【适用场合】当堂例题 【难度系数】2 【试题来源】 【题目】 甲容器中有纯酒精 11 升，乙容器中有水 15 升，第一次将甲容器中的一部分纯酒精倒入乙 容器，使酒精与水混合。第二次将乙容器中的混合液倒入甲容器。这样甲容器中纯酒精含量 为 62.5％，乙容器中纯酒精的含量为 40％。那么第二次从乙容器中倒入甲容器的混合液是 多少升？ 【答案】 3 2153)1011(  【解析】 乙中酒精含量为 40％，是由若干升纯酒精（100％） 和 15 升水混合而成，可以求出倒入乙多少升纯酒精。 15÷3×2＝10 升 62.5％，是由甲中剩下的纯酒 精（11 －10＝）1 升，与 40％的乙混合而成，可以求出第二 次乙倒入甲 3 2153)1011(  升 【知识点】浓度问题 【适用场合】当堂例题 【难度系数】2 【试题来源】 【题目】 某班有学生 48 人，女生占全班的 37.5％，后来又转来女生若干人，这时人数恰好是占全班 人数的 40％，问转来几名女生？ 【答案】2 【解析】 浓度差之比 1∶24 48÷24×1=2 人 重量之比 24∶1 这是一道变换单位“1”的分数应 用题，需抓住男生人数这个不变量，如果按浓度 问题做，就简单多了。 答：转来 2 名女生。 【知识点】浓度问题 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3 【试题来源】 【题目】 甲种酒精纯酒精含量为 72%，乙种酒精纯酒精含量为 58%，混合后纯酒精含量为 62%。如 果每种酒精取的数量比原来都多取 15 升，混合后纯酒精含量为 63.25%。第一次混合时， 甲乙两种酒精各取了多少升？ 【答案】30 【解析】 甲、乙两种酒精各取 15 升混合后的浓度为（72%+58%）÷2=65%，第二次混合后的浓度为 63.25%，则可知第一次混合后的体积与 30 升的比值为 5:7)6225.63(:)25.6365(  ， 则第一次混合和的体积为 30÷5×7=42 升。又知，第一次混合时甲、乙两种酒精的体积之 比为 5:2)6272(:)5862(  ，则第一次甲酒精取了 1225 242  升，乙酒精取了 3025 542  升。 【知识点】浓度问题 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3 习题演练 【试题来源】 【题目】 某种溶液由 40 克食盐浓度 15%的溶液和 60 克食盐浓度 10%的溶液混合后再蒸发 50 克水 得到，那么这种溶液的食盐浓度为多少？ 【答案】24% 【解析】 两种配置溶液共含食盐 40×15%+60×10%=12 克，而溶液质量为 40+60-50=50 克，所以这种 溶液的浓度为 12÷50=24%. 【知识点】浓度问题 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】2 【题目】 现有浓度为 10％的盐水 20 千克，在该溶液中再加入多少千克浓度为 30％的盐水，可以得 到浓度为 22％的盐水？ 【答案】30 【解析】 10%与 30%的盐水重量之比为（30%-22%）：（22%-10%）=2：3，因此需要 30%的盐水 20 ÷2×3=30 克。 【知识点】浓度问题 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】2 【试题来源】 【题目】 甲种酒精溶液中有酒精 6 千克，水 9 千克；乙种酒精溶液中有酒精 9 千克，水 3 千克；要 配制成 50％的酒精溶液 7 千克，问两种酒精溶液各需多少升？ 【答案】5,2 【解析】 甲种酒精浓度为 40%，乙种酒精浓度为 75%，因此两种酒精的质量之比为 2:5%)40%50(:%)50%75(  ，因此需要甲种酒精 5 升、乙种酒精 2 升. 【知识点】浓度问题 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】2 【试题来源】 【题目】 有两种溶液，甲溶液的酒精浓度为 10%，盐浓度为 30%，乙溶液中的酒精浓度为 40%，盐 浓度为 0。现在有甲溶液 1 千克，那么需要多少千克乙溶液，将它与甲溶液混和后所得的溶 液的酒精浓度和盐浓度相等? 【答案】0.5 【解析】 一千克甲溶液中含有酒精 0.1 千克，含有盐 0.3 千克，盐比酒精多 0.2 千克，所以还应该 加入 0.2 千克的酒精，而这部分酒精由浓度为 40%的乙溶液提供，每千克乙溶液含有酒精 0.4 千克，所以添入 0.5 千克乙溶液就能使混合溶液中两种浓度相等. 【知识点】浓度问题 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】3 【试题来源】 【题目】 小明到商店买红、黑两种笔共 66 支。红笔每支定价 5 元，黑笔每支定价 9 元。由于买的数 量较多，商店就给予优惠，红笔按定价 85％付钱，黑笔按定价 80％付钱，如果他付的钱比 按定价少付了 18％，那么他买了红笔多少支？ 【答案】36 【解析】 红笔按 85％优惠，黑笔按 80％优惠，结果少付 18％，相当于按 82％ 优惠，可按浓度问题进行配比。与其他题不同的地方在于红、黑两种 笔的单价不同，要把这个因素考虑进去。然后就可以按比例分配这 66 支笔了。 答：他买了 36 支红笔。 通过以上例题，我们可以看出，只要我们在解题时善于抓住事物间的联系，进行适当 转化，就能发现其中的规律，找到解决问题的巧妙方法。 【知识点】浓度问题 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】3 【试题来源】 【题目】 甲容器有浓度为 2％的盐水 180 克，乙容器中有浓度为 9％的盐水若干克，从乙取出 240 克盐水倒入甲.再往乙倒入水，使两个容器中有一样多同样浓度的盐水.问： （1）现在甲容器中食盐水浓度是多少？ （2）再往乙容器倒入水多少克？ 【答案】（1）6％（2）140 【解析】 （1）现在甲容器中盐水含盐量是 180×2％＋ 240×9％＝ 25.2（克）. 浓度是 25.2÷（180 ＋ 240）× 100％= 6％. （2）“两个容器中有一样多同样浓度的盐水”，也就是两个容器中含盐量一样多.在乙 中也含有 25.2 克盐.因为后来倒入的是水，所以盐只在原有的盐水中.在倒出盐水 240 克后，乙的浓度仍是 9％，要含有 25.2 克盐，乙容器还剩下盐水 25.2÷9％＝280（克）， 还要倒入水 420-280＝140（克）. 答：（1）甲容器中盐水浓度是 6％； （2）乙容器再要倒入 140 克水. 【知识点】浓度问题 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】3 【试题来源】 【题目】 有 A、B、C 三种盐水，按 A 与 B 数量之比为 2：1 混合，得到浓度为 13%的盐水；按 A 与 B 数量之比为 1：2 混合，得到浓度为 14%的盐水。如果 A、B、C 数量之比为 1：1：3， 混合成的盐水浓度为 10.2%，问盐水 C 的浓度是多少？ 【答案】8％ 【解析】 A 与 B 按数量之比为 2：4 混合时，浓度仍为 14%，而这样的混合溶液也相当于 A 与 B 按 数 量 之 比 为 2 ： 1 混 合 后 再 混 入 三 份 盐 水 ， 则 B 盐 水 浓 度 为 )3%136%14(  %15)14(  ，A 盐水的浓度为 %122%153%14  ，再 根据 A、B、C 三种溶液混合的情况那么 C 盐水的浓度为 %83]1%151%12)311(%2.10[(  。 【知识点】浓度问题 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】3 【试题来源】 【题目】 有两包糖，第一包糖由奶糖和水果糖组成，其中 4 1 为奶糖；第二包糖由酥糖和水果糖组成， 其中 5 1 为酥糖。将两包糖混合后，水果糖占 78％，那么奶糖与酥糖的比例是____________。 【答案】5:6 【解析】 第一包水果糖占 4 3 ，第二包水果糖占 5 4 。由浓度三角知：即第一包糖与第二包糖的比 为 2:3。所以，奶糖与酥糖的比为 6:5)5 13(:)4 12(  【知识点】浓度问题 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】3 【试题来源】 【题目】 使用甲种农药每千克要兑水 20 千克，使用乙种农药每千克要兑水 40 千克。根据农科院专 家的意见，把两种农药混合使用能提高药效。现有两种农药共 5 千克，要配药水 140 千克， 其中甲种农药需药______千克。 【答案】3.25 【解析】 设甲种农药 x 千克，则乙种农药（5-x）千克。列方程： (1 20) (5 )(1 40) 140x x     21 205 41 140x x   20 65x  3.25x  【知识点】浓度问题 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】3 【试题来源】 【题目】 甲种酒精 4 千克，乙种酒精 6 千克，混合成的酒精含纯酒精 62%。如果甲种酒精和乙种酒 精一样多，混合成的酒精含纯酒精 61%。甲、乙两种酒精中含纯酒精的百分比各是多少？ 【答案】56% 【解析】 不妨设甲、乙两种酒精各取 4 千克，则混合后的浓度为 61%，含纯酒精 4×2×61%=4.88 千 克；又知，4 千克甲酒精与 6 千克乙酒精，混合后的浓度为 62%，含纯酒精（4+6）×62%=6.2 千克。相差 6.2-4.88=1.32 千克，说明 6-4=2 千克甲酒精中含纯酒精 1.32 千克，则甲酒精 中纯酒精的百分比为 %66%100232.1  ，那么乙酒精中纯酒精百分比为 61%× 2-66%=56%. 【知识点】浓度问题 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】4 【试题来源】 【题目】 有两种溶液，甲溶液的酒精浓度为 15%，盐浓度为 10%，乙溶液中的酒精浓度为 45%，盐 浓度为 5%。现在有甲溶液 1 千克，那么需要多少千克乙溶液，将它与甲溶液混和后所得的 溶液的酒精浓度是盐浓度的 3 倍？ 【答案】1:1 【解析】 可以这样来看，将溶液中的水剔出或者说蒸发掉（事实上这种情况不符合物理规律，但只 是假设），那么所得到的溶液就是盐溶在酒精中（事实上不可能）这时的处理后甲溶液盐浓 度为 10%÷（15%+10%）=0.4，处理后乙溶液的盐浓度为 5%÷（45%+5%）=0.1，需要配置的 溶液的盐浓度为 1÷（1+3）=0.25，由这些得出的条件使用十字交叉法得到两种处理后溶液 的质量比应该为（0.25-0.1）：（0.4-0.25）=1：1， 一千克原甲溶液中有 10%+15%=25%的处理后甲溶液，即 0.25 千克，所以另需要 0.25 千克的 处理后乙溶液，而每千克原乙溶液中含有 5%+45%=50%的处理后乙溶液，即 0.5 千克，所以 只需要 0.5 千克的乙溶液就能构成 0.25 千克的处理后乙溶液.所以需要 0.5 千克的乙溶液. 【知识点】浓度问题 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】4 【试题来源】 【题目】 有两种溶液，甲溶液的酒精浓度为 10%，盐浓度为 30%，乙溶液中的酒精浓度为 50%，盐 浓度为 10%。现在有甲溶液 1 千克，那么需要多少千克乙溶液，将它与甲溶液混和后所得 的溶液的酒精浓度和盐浓度相等? 【答案】0.5 【解析】 一千克甲种溶液中含有酒精 0.1 千克，盐 0.3 千克，盐比酒精多 0.2 千克； 而一千克乙种溶液中含有酒精 0.5 千克，盐 0.1 千克，盐比酒精少 0.4 千克。 所以只需要 0.5 千克的乙种酒精将其与甲溶液混合后所得溶液中两种物质含量相等， 即浓度相等. 【知识点】浓度问题 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】4 课后作业 【试题来源】 【题目】一容器内有浓度为 25％的糖水，若再加入 20 千克水，则糖水的浓度变为 15％， 问这个容器内原来含有糖多少千克？ 【答案】容器内原含糖 7.5 千克。 【解析】容器内原含糖 7.5 千克。 【知识点】浓度问题 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】2 【试题来源】 【题目】甲、乙两只装满硫酸溶液的容器，甲容器中装有浓度为 8％的硫酸溶液 600 千克， 乙容器中装有浓度为 40％的硫酸溶液 400 千克.各取多少千克分别放入对方容器中，才能使 这两个容器中的硫酸溶液的浓度一样？ 【答案】应从两容器中各取出 240 千克放入对方容器中，才能使两容器中硫酸溶液的浓度 一样。 【解析】应从两容器中各取出 240 千克放入对方容器中，才能使两容器中硫酸溶液的浓度 一样。 【知识点】浓度问题 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】2 【试题来源】 【题目】现有浓度为 10％的盐水 20 千克，再加入多少千克浓度为 30％的盐水，可以得到 浓度为 22％的盐水？ 【答案】需加入浓度为 30％的盐水 30 千克。 【解析】需加入浓度为 30％的盐水 30 千克。 【知识点】浓度问题 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】2 【试题来源】 【题目】现有浓度为 10％的盐水 8 千克，要得到浓度为 20％的盐水，用什么方法可以得到， 具体如何操作？ 【答案】需蒸发掉 4 千克水，溶液的浓度变为 20％。 【解析】需蒸发掉 4 千克水，溶液的浓度变为 20％。 【知识点】浓度问题 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】3 【试题来源】 【题目】在浓度为 40％的酒精溶液中加入 5 千克水，浓度变为 30％，再加入多少千克酒精， 浓度变为 50％？ 【答案】再加入 8 千克酒精，溶液浓度变为 50％。 【解析】再加入 8 千克酒精，溶液浓度变为 50％ 【知识点】浓度问题 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】3 【试题来源】 【题目】一瓶黑墨水，一瓶红墨水，一样多。从黑墨水瓶中取一滴黑墨水滴入红墨水 瓶中，混合均匀，再从红墨水瓶中取同样多的一滴滴入黑墨水瓶中。问，黑墨水瓶中 的红墨水多，还是红墨水瓶中的黑墨水多？ 【答案】一样多 【解析】一样多 【知识点】浓度问题 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】3