2020小学奥数总复习（行程、工程、追击）

2020小学奥数总复习（行程、工程、追击）

知识点梳理 基本步骤：1、确定单位“1”， 2、准确找出“量”与“率”之间的对应关系， 3、确定乘除法， 4、统一单位“1”。 在题目中常常出现几个不同的单位“1”，这时需要将它们转化 为统一的单位“1”，以便于比较和发现数量关系。 典型例题精讲 例1. 妈妈买来一桶油，第一次倒出全部的 ，第二次倒出余 下的 ，还剩下6千克，求这桶油原来共有多少千克？ 3 1 4 1 解 析 整体对应式：6千克+第一次倒的 + 余下的 → “1” 第一次倒出 ，单位“1”是这桶油 第二次倒出余下的 ，单位“1”是(1- )= 的 即是全部的 × = 解：6÷[1－ －（1－ ）× ]=12（千克） 答：这桶油原来12千克。 3 1 4 1 3 1 3 2 6 1 3 1 4 1 3 2 4 1 3 1 3 1 4 1 4 1 例2. 甲校人数是乙校人数的 ，乙校人数是丙校人数的 ，甲 校比丙校少450人，求三校各有多少人？ 5 4 7 5 解 析 统一单位“1”，抓住中间量“乙”。 甲校人数是乙校人数的 ，单位“1”是“乙”， 乙校人数是丙校人数的 ，单位“1”是“丙”， 可以转化为，丙是乙的 。 乙：450÷（ － ）=750（人） 甲：750× =600（人） 丙：750× =1050（人） 5 4 7 5 5 7 5 7 5 4 5 4 5 7 例3. 商店运来白菜和土豆共630千克，运来白菜的 与土豆的 一样多，商店运来白菜、土豆各多少千克？ 11 4 5 2 解 析 方法一：按比分配解决 白菜× =土豆× 白菜× × =土豆× × 白菜 : 土豆=11 : 10 白菜：630÷（11+10)×11= 330（千克） 土豆：630-330=300（千克） 11 4 5 2 11 4 4 11 4 11 5 2 方法二：统一单位“1” 以白菜为单位“1”，土豆是白菜的 ÷ = 630÷（1+ ）=330（千克） 630 -330=300（千克） 答：运来白菜330千克，土豆300千克。 11 4 5 2 11 10 11 10 例6. 兄弟四人合修一条路，结果老大修了另外三人总数的一半，老 二修了另外三人总数的 ，老三修了另外三人总数的 ，老四 修了91米，问这条路长多少米？ 3 1 4 1 解 析 统一单位：以总路程为单位“1” 老大修了总路程的 老二修了总路程的 老三修了总路程的 =420（千米） 答：这条路长420米。 3 1 21 1  4 1 31 1  5 1 41 1  ）（ 5 1-4 1-3 1-191 例7. 哥哥和弟弟共有人民币 10．8元，哥哥用去自己 钱数的75％，弟弟用去自 己钱数的80％，两人所剩 的钱正好相等，哥哥原来 有多少钱？ 解 析 哥哥的钱×（1-75%）=弟弟的钱×（1-80%） 哥哥的钱×25%=弟弟的钱×20% 哥哥的钱：弟弟的钱=4:5 哥哥：10.8÷（4+5）×4=4.8（元） 弟弟：10.8-4.8=6（元） 答：哥哥原来有4.8元钱。 解决分数百分数应用题的基本步骤 1.要找准单位“1” 2.是要看所给“量” 3.要决定乘除法 4.是乘法知道“1” 5.要除法求出“1” 6.是“量”“率”要对应 特别提示：画线段图是解题的关键，画图时，要先画单位“1” 典型例题精讲 例1 .小强和小明各有图书若干本。已知小强的图书本数占两人图书总 数的60%，当小强借给小明20本后，小强和小明图书本数的比是2： 3。两人一共有图书多少本？ 解析 小强借给小明20本之前； 小强和两人图书的本数比是: 60%=3:5 小强借给小明20本之后； 小强和两人图书的本数比是: 2+3=5 2:5 20÷（3-2）=20（本） 共有书：20×5=100（本） 例2. 一批葡萄运进仓库时的质量是100千克，测得 含水量为99%，过一段时间，测得含水量为 98%， 这时葡萄的质量是多少千克？ 解析 刚进来时，100千克葡萄含水量99% ，葡萄干的含量是 1-99%=1%， 100×1%=1（千克） 过一段时间后，测得含水量为 98%，葡萄干的含量是 1-98%=2%，葡萄干的质量不变，1÷2%=50（千克） 答：这时葡萄的质量是50千克。 例3. 某校六年级上学期男生占总人数的54％，本学 期转进3名女生，转走3名男生，这时女生占总人 数的48％。现在有男生多少人？ 解析 方法一：男生人数和女生人数都在变，只有六年级的总人 数不变， 本学期转进3名女生，转走3名男生之前，男生占总人数 的54%， 转走之后男生占总人数的1-48%=52% 总人数： 3÷（54%-52%）=150（人） 现在男生：150×52%=78（人） 解析 方法二：用比例解决 解设：六年级有学生X人，男生54%X,女生46%X. (54%X-3）：（46%X+3）=52%：48% 200X=30000 X=150 现在有男生：150×52%=78（人） 解答行程问题的基础，在于正确理解并掌握速度、时间、路程三种量 之间的如下关系： 路程 = 速度×时间 S= VT 时间 = 路程÷速度 T=S÷V 速度 = 路程÷时间 V=S÷T 相遇问题是行程问题中的一种类型，解答相遇问题要紧紧抓住“速度 和”这个关键条件。相遇问题的基本关系是： 　　　 速度和×相遇时间 = 路程 路程÷ 速度和 = 相遇时间 　　　 路程÷ 相遇时间 =速度和 速度和一甲速度 =乙速度 例1. 甲、乙两列火车从相距824千米的两城相向出发，6小时以 后还相差200千米没相遇，甲车每小时行48千米，求乙车每 小时行多少千米？ 解： 824-200=624（千米） 624÷6 = 104（千米） 104-48 = 56（千米） 答：乙车每小时行56千米。 例2.甲、乙两辆汽车同时从A、B两地相向开出，甲车每小时行56 千米，乙车每小时行48千米，两车在距中点32千米处相遇,求A、 B两地间的距离是多少千米？ 甲、乙两车的速度差：56-48=8（千米） 甲、乙两车的路程差：32×2=64（千米） 甲、乙两车的相遇时间：64÷8=8（小时） A、B两地间的距离：（56+48）×8=832（千米） 答：A、B两地间的距离是832千米。 例5. A、B是圆的直径的两端点，甲在A 点，乙在B点同时出发反向而行，他 们在C点第一次相遇，C点离A点有 80米，在D点第二次相遇，D点离B 点有60米，求这个圆的周长? 甲、乙二人走半个圆时，第一次相遇，甲走80 米，相遇后，又走一个圆，二次相遇，共走 3个半圆，甲走80×3=240米，走了一个半 圆多60米，所以半圆长240-60=180米，圆 周长180×2=360米 例7. 甲、乙、丙三人步行的速度分别是：每分钟甲走90米，乙走 75米，丙走60米。甲、丙从某长街的西头、乙从该长街的东 头同时出发相向而行，甲、乙相遇后恰好4分钟乙、丙相遇， 那麽这条长街的长度是多少米？ 甲、丙的路程差： （60+75）×4=540米 甲、丙速度差： 90-60=30米 甲乙相遇时间： 540÷30=18分 全长：（90+75）×18=2970米 知识点梳理 运动的物体或人同向而不同时出发，或不同地点出发，后出发的 速度快，经过一段时间追上先出发者。这样的问题叫做追及问题。 追及问题的三要素：“追及路程”、“速度差”和追及时间。　　　　　　　　　　　　　 追及问题的基本关系是： 追及路程÷速度差＝追及时间 　　　　　　 速度差×追及时间＝追及路程 　　　　　　 追及路程÷追及时间＝速度差 典型例题精讲 例1. 妹妹以每分钟40米的速度从家步行去学校，哥哥比她 晚8分钟骑自行车从家出发去追妹妹，哥哥每分钟骑行 200米，哥哥几分钟可以追上妹妹？ 解析 路程差：40×8＝320（米） 速度差： 200-40=160（米/分钟） 解：320÷（200-40）＝2（分钟） 　 答：哥哥2分钟可以追上妹妹。 例2. A、B两地相距1200米。甲、乙两个人分别从两地同时出发。 若相向而行，8分钟相遇；若同向行走，60分钟甲可以追上 乙。甲从A地走到B地要用多长时间？ 解 析 例5. 从时针指向4点开始，在经过多 少分钟时针正好与分针重合？ 看图分析 行程问题--流水行船 （一）基本概念 船在江河里航行时，除了本身的前进速度外，还受到流水的推送或顶 逆，在这种情况下计算船只的航行速度、时间和所行的路程，叫做流水行 船问题。古语：“逆水行舟不进则退” 船速：是指船本身的速度，也就是在静水中单位时间里所走过的路程 。 水速：是指水在单位时间里流过的路程 。 顺水速度和逆水速度：分别指顺流航行时和逆流航行时船在单位时间里所 行的路程。 流水行船问题，是行程问题中的一种 。三个量（速度、时间、路程） 流水行船问题还有以下两个基本公式：顺水速度=船速+水速（1） 逆水速度=船速-水速.（2） 由公式（1）得：水速=顺水速度-船速，船速=顺水速度-水速 由公式（2）可以得到：水速=船速-逆水速度，船速=逆水速度+水速。 已知船的逆水速度和顺水速度，根据公式（1）和公式（2） 得到： 船速=（顺水速度+逆水速度）÷2，水速=（顺水速度-逆水速度）÷2。 例1. 甲、乙两港间的水路长208千米，一只船从甲港开往乙港， 顺水8小时到达，从乙港返回甲港，逆水13小时到达，求船 在静水中的速度和水流速度。 顺水速度：208÷8=26（千米/小时） 逆水速度：208÷13=16（千米/小时） 　船速：（26+16）÷2=21（千米/小时） 水速：（26—16）÷2=5（千米/小时） 答：船在静水中的速度和水流速度。 例2. 某船在静水中的速度是每小时15千米，它从上游甲地开往下游 乙地共花去了8小时，水速每小时3千米，问从乙地返回甲地需要 多少时间？ 解： 从甲地到乙地，顺水速度：15+3=18（千米/时）， 甲乙两地路程：18×8=144（千米）， 从乙地到甲地的逆水速度：15—3=12（千米/小时）， 　 返回时逆行用的时间：144÷12＝12（小时）。 答：从乙地返回甲地需要12小时。 车辆相遇问题：单位时间内路程和等于甲乙两车的速度和。 路程=时间×速度和 在河流中甲、乙两船速度和。 推导：甲船顺水速度+乙船逆水速度=（甲船速+水速）＋（乙船速-水速） =甲船船速+乙船船速。 结论：两船在水中的相遇问题与两车在陆地上的相遇问题一样，与水速没有关系。 车辆同向：路程差=速度差×时间 两船同向：路程差=船速差×时间 推导：甲船顺水速度-乙船顺水速度 　　=（甲船速+水速）-（乙船速+水速） 　　=甲船速-乙船速。 结论：水中追及问题与在静水中追及问题及两车在陆地上追及问题一样。 如果两船逆向追赶时，也有： 甲船逆水速度-乙船逆水速度 =（甲船速-水速）-（乙船速-水速） 　=甲船速-乙船速。 例5.甲、乙两船在静水中速度分别为每 小时24千米和每小时32千米，两船 从某河相距336千米的两港同时出发 相向而行，几小时相遇？如果同向 而行，甲船在前，乙船在后，几小 时后乙船追上甲船？ 解：①相遇时用的时间 　　336÷（24+32） 　　=336÷56 　　=6（小时）。 　　②追及用的时间（不论两船同向逆流而上还是顺流而下）： 　　336÷（32—24）＝42（小时）。 1、计算有关工程的工作总量、工作时间、工作效率的问题叫工程问题。 2、工程问题中有整数应用题和分数应用题，它们讨论同样都是工作总量、工作时间、工作 效率三者之间的关系。 3、分数工程问题的特点：一般没有具体的工作总量，工作总量通常用单位“1”表示。 4、工程问题的基本数量关系式： 工作效率×工作时间=工作总量 工作总量÷工作效率=工作时间 　　　　 工作总量÷工作时间=工作效率 例1. 生产一批零件，甲单独做 需要15天，乙单独做需要12 天，丙单独做需要10天，如 果甲、 乙、丙三人合做，多 少天可以完成？ 把一批零件看成单位“1” 甲工作效率： 乙工作效率： 丙工作效率： 三人合做需要的天数： 答：甲、 乙、丙三人合做4天可以完成。 15 1151  12 1121  10 1101  44 1110 1 12 1 15 11  ）（ 例2. 一件工作，甲做9天可以完 成，乙做6天可以完成。现在 甲先做了3天，余下的工作由 乙继续完成。 乙需要做几天 可以完成全部工作？ 甲工作效率： 乙工作效率： 甲做3天完成的工作量： 余下的由乙做需要的天数： （天） 答：乙需要做4天可以完成全部工作。 9 191  6 161  3 139 1  46 1 3 1-1 ）（ 例3.一房屋由甲乙两个工程队 合盖，需要24天完成，现由 甲队先盖6天，再由乙队盖2 天，共盖了这间房屋的 ， 如果这间房屋由甲队单独盖， 需要多少天完成？ 20 3 工效和： 1÷ 24= 合盖2天： ×2= 甲队的工作效率 ：（ - ）÷（6-2）= 甲队单独盖所用的天数：1÷ =60天 20 3 24 1 12 1 60 1 24 1 12 1 60 1 例4. 某工程先由甲单独做40天， 再由乙做28天就可以完成。 现在甲乙合作35天就完成了， 如果先由甲单独做30天，再 由乙接着做，乙还要工作多 少天才能完成？ 甲乙工作效率和： 甲的工作效率： 乙的工作效率： 甲做30天完成的工作量： 剩下由乙做需要的天数： 答：乙还要工作42天才能完成。 35 1351  60 128-402835 1-1  ）（）（ 84 1 60 1-35 1  2 13060 1  （天））（ 4284 1 2 1-1  例5.一项工程甲单干50天完成， 乙单干75天完成，两人一起 合作，中间乙休息了几天， 这样从开工到完成共用了40 天，求乙休息了几天？ 甲的工作效率： 乙的工作效率： 甲40天完成的工作量： 乙完成的工作量： 乙工作的天数： 乙休息的天数：40-15=25（天） 50 1501  75 1751  5 44050 1  5 1 5 4-1  （天）1575 1 5 1  速算与巧算---分数拆分 ) + ) + a b b a a b c a b c a b b a a b c a b c a b c a c b c                              加法：交换律（ ，结合律：【（ ） （ ）】 运算定律 乘法：交换律（ ，结合律：【（ ） （ ）】 分配律【（ ） ）】 减法：【a-b-c=a-(b+c)】 运算性质 除法：【a b c=a (b c)】 和、差、积、商的变化规律 二、裂项求和的规律： 例1. 87 1 76 1 65 1 54 1 43 1 32 1 21 1  8 7 8 1-1 8 1-7 1 7 1-6 1 6 1-5 1 5 1-4 1 4 1-3 1 3 1-2 1 2 1-1 87 1 76 1 65 1 54 1 43 1 32 1 21 1     例2. 420 120......12 136 122 11  21 20210 )21 11(210 420 1 12 1 6 1 2 1）20+…+3+2+(1 420 120......12 136 122 11     ）（  例3. 10199 1......75 1 53 1 31 1  101 50 2 1 101 1-1 2 1 101 1-99 1 2 1 7 1-5 1 2 1 5 1-3 1 2 1 3 1-1 10199 1......75 1 53 1 31 1     ）（ ）（）（）（）（ 