2010年中考数学压轴题(三)及解答

2010年中考数学压轴题(三)及解答

‎2010年中考数学压轴题（三）及解答 ‎55、（2010年河北省）25．（本小题满分12分）‎ M A D C B P Q E 图16‎ A D C B ‎（备用图）‎ M 如图16，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，，AD = 6，BC = 8，，点M是BC的中点．点P从点M出发沿MB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，到达点B后立刻以原速度沿BM返回；点Q从点M出发以每秒1个单位长的速度在射线MC上匀速运动．在点P，Q的运动过程中，以PQ为边作等边三角形EPQ，使它与梯形ABCD在射线BC的同侧．点P，Q同时出发，当点P返回到点M时停止运动，点Q也随之停止．‎ 设点P，Q运动的时间是t秒(t＞0)．‎ ‎（1）设PQ的长为y，在点P从点M向点B运动的过程中，写出y与t之间的函数关系式（不必写t的取值范围）．‎ ‎（2）当BP = 1时，求△EPQ与梯形ABCD重叠部分的面积．‎ ‎（3）随着时间t的变化，线段AD会有一部分被△EPQ覆盖，被覆盖线段的长度在某个时刻会达到最大值，请回答：该最大值能否持续一个时段？若能，直接写出t的取值范围；若不能，请说明理由．‎ ‎【解答】‎ ‎25．解：（1）y = 2t；（2）当BP = 1时，有两种情形：‎ ‎①如图6，若点P从点M向点B运动，有 MB = = 4，MP = MQ = 3，‎ A D C B P M Q E 图6‎ ‎∴PQ = 6．连接EM，‎ ‎∵△EPQ是等边三角形，∴EM⊥PQ．∴．‎ ‎∵AB = ，∴点E在AD上．‎ ‎∴△EPQ与梯形ABCD重叠部分就是△EPQ，其面 积为． ‎ ‎②若点P从点B向点M运动，由题意得 ．‎ PQ = BM + MQBP = 8，PC = 7．设PE与AD交于点F，QE与AD或AD的 A D C B P M Q E F H G 图7‎ 延长线交于点G，过点P作PH⊥AD于点H，则 HP = ，AH = 1．在Rt△HPF中，∠HPF = 30°， ‎ ‎∴HF = 3，PF = 6．∴FG = FE = 2．又∵FD = 2，‎ ‎∴点G与点D重合，如图7．此时△EPQ与梯形ABCD ‎   的重叠部分就是梯形FPCG，其面积为．‎ ‎（3）能．4≤t≤5．‎ ‎56、（2010年河北省）26．（本小题满分12分）‎ 某公司销售一种新型节能产品，现准备从国内和国外两种销售方案中选择一种进行销售．‎ 若只在国内销售，销售价格y（元/件）与月销量x（件）的函数关系式为y =x＋150，‎ 成本为20元/件，无论销售多少，每月还需支出广告费62500元，设月利润为w内（元）（利润 = 销售额－成本－广告费）．‎ 若只在国外销售，销售价格为150元/件，受各种不确定因素影响，成本为a元/件（a为 常数，10≤a≤40），当月销量为x（件）时，每月还需缴纳x2 元的附加费，设月利润为w外（元）（利润 = 销售额－成本－附加费）．‎ ‎（1）当x = 1000时，y = 元/件，w内 = 元；‎ ‎（2）分别求出w内，w外与x间的函数关系式（不必写x的取值范围）；‎ ‎（3）当x为何值时，在国内销售的月利润最大？若在国外销售月利润的最大值与在国内销售月利润的最大值相同，求a的值；‎ ‎（4）如果某月要将5000件产品全部销售完，请你通过分析帮公司决策，选择在国内还是在国外销售才能使所获月利润较大？‎ 参考公式：抛物线的顶点坐标是．‎ ‎【解答】‎ ‎26．解：（1）140 57500；‎ ‎（2）w内 = x（y -20）- 62500 = x2＋130 x，‎ w外 = x2＋（150）x．‎ ‎（3）当x = = 6500时，w内最大；分 由题意得 ， ‎ 解得a1 = 30，a2 = 270（不合题意，舍去）．所以 a = 30． ‎ ‎（4）当x  = 5000时，w内 = 337500， w外 =．‎ 若w内 ＜ w外，则a＜32.5；‎ 若w内 = w外，则a = 32.5；‎ 若w内 ＞ w外，则a＞32.5．‎ 所以，当10≤ a ＜32.5时，选择在国外销售；‎ 当a = 32.5时，在国外和国内销售都一样；‎ 当32.5＜ a ≤40时，选择在国内销售．‎ ‎57、(2010年河南省)22．（10分）‎ ‎（1）操作发现 如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，且点G在举行ABCD内部．小明将BG延长交DC于点F，认为GF=DF，你同意吗？说明理由．‎ ‎（2）问题解决 保持（1）中的条件不变，若DC=2DF，求的值；‎ ‎（3）类比探求 保持（1）中条件不变，若DC=nDF，求的值．‎ ‎【解答】‎ ‎58、（2010年河南省）23．（11分）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A，B，C三点．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．‎ ‎（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．‎ ‎【解答】‎ ‎59、（2010年黑龙江省哈尔滨市）27．（本题 10分）‎ ‎ 如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形AOCB是梯形，AB∥OC，点A的坐标为（0，8），点C的坐标为（10，0），OB＝OC．‎ ‎ （1）求点B的坐标；‎ ‎ （2）点P从C点出发，沿线段CO以5个单位/秒的速度向终点O匀速运动，过点P作PH⊥OB，垂足为H，设△HBP的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（直接写出自变量t的取值范围）；‎ ‎ （3）在（2）的条件下，过点P作PM∥CB交线段AB于点M，过点M作MR⊥OC，垂足为R，线段MR分别交直线PH、OB于点E、G，点F为线段PM的中点，连接EF，当t为何值时，？‎ ‎ ‎ ‎【解答】‎ ‎60、（2010年黑龙江省哈尔滨市）28．(本题10分）‎ ‎ 已知：在△ABC中AB＝AC，点D为BC边的中点，点F是AB边上一点，点E在线段DF的延长线上，∠BAE＝∠BDF，点M在线段DF上，∠ABE＝∠DBM．‎ ‎ （1）如图1，当∠ABC＝45°时，求证：AE＝MD；‎ ‎ （2）如图2，当∠ABC＝60°时，则线段AE、MD之间的数量关系为： 。‎ ‎（3）在（2）的条件下延长BM到P，使MP＝BM，连接CP，若AB＝7，AE＝，‎ 求tan∠ACP的值．‎ ‎【解答】‎ ‎61、（2010年黑龙江省齐齐哈尔市）27．(本小题满分10分) ．为了抓住世博会商机，某商店决定购进A、B两种世博会纪念品．若购进A种纪念品10件，B种纪念品5件，需要1000元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品3件，需要550元．‎ ‎ （1）求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？‎ ‎ （2）若该商店决定拿出1万元全部用来购进这两种纪念品，考虑市场需求，要求购进A种纪念品的数量不少于B种纪念品数量的6倍，且不超过B种纪念品数量的8倍，那么该商店共有几种进货方案？‎ ‎ （3）若销售每件A种纪念品可获利润20元，每件B种纪念品可获利润30元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？‎ ‎【解答】‎ 解：（1）设该商店购进一件A种纪念品需要a元，购进一件B种纪念品需要b元 ‎ 则 ………………………………………1分 ‎∴解方程组得 ………1分 ‎∴购进一件A种纪念品需要50元，购进一件B种纪念品需要100元 …………1分 ‎（2）设该商店购进A种纪念品x个，购进B种纪念品y个 ‎∴………………………………2分 解得20≤y≤25 ………………………………………………1分 ‎∵y为正整数 ∴共有6种进货方案………………………1分 ‎（3）设总利润为W元 ‎ W ＝20x＋30y＝20(200－2 y)＋30y ‎ ＝－10 y ＋4000 (20≤y≤25) ………………………2分 ‎∵－10＜0∴W随y的增大而减小 ‎∴当y＝20时，W有最大值 …………………………………1分 W最大＝－10×20＋4000＝3800(元)‎ ‎∴当购进A种纪念品160件，B种纪念品20件时，可获最大利润，最大利润是3800元 ……………………………1分 ‎62、(2010年黑龙江省齐齐哈尔市)28．(本小题满分10分) ．如图，在平面直角坐标系中，函数y＝2x＋12的图象分别交x轴、y轴于A、B两点．过点A的直线交y轴正半轴于点M，且点M为线段OB的中点．△ABP△AOB ‎（1）求直线AM的解析式；‎ ‎（2）试在直线AM上找一点P，使得S△ABP＝S△AOB ，请直 接写出点P的坐标；‎ ‎（3）若点H为坐标平面内任意一点，在坐标平面内是否存在这样的点H，使以A、B、M、H为顶点的四边形是等腰梯形？若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【解答】‎ 解：（1）函数的解析式为y＝2x＋12 ∴A(－6,0)，B(0,12) ………………1分 ‎∵点M为线段OB的中点 ∴M(0,6) ……………………………1分 设直线AM的解析式为：y＝kx＋b ‎ ‎∵ …………………………2分 ‎∴k＝1 b＝6 ………………………………………………………1分 ‎∴直线AM的解析式为：y＝x＋6 ………………………………………1分 ‎（2）P1(－18，－12)，P2(6，12) ………………………………………………2分 ‎（3）H1(－6，18)，H2(－12，0)，H3(－，)………………………………3分 ‎63、（2010年湖北省恩施州）‎ ‎23.(10分)(1)计算:如图10①,直径为的三等圆⊙O、⊙O、⊙O两两外切，切点分别为A、B、C ，求OA的长（用含的代数式表示）.‎ ‎（2） 探索:若干个直径为的圆圈分别按如图10②所示的方案一和如图10③所示的方案二的方式排放，探索并求出这两种方案中层圆圈的高度和（用含、的代数式表示）.‎ ‎（3）应用:现有长方体集装箱，其内空长为‎5米，宽为‎3.1米，高为‎3.1米.用这样的集装箱装运长为‎5米，底面直径（横截面的外圆直径）为‎0.1米的圆柱形钢管，你认为采用（2）中的哪种方案在该集装箱中装运钢管数最多？并求出一个这样的集装箱最多能装运多少根钢管？（≈1.73）‎ ‎②‎ ‎ ③‎ ‎①‎ ‎ 图10‎ ‎【解答】‎ ‎23. 解(1)∵⊙O、⊙O、⊙O两两外切，‎ ‎ ∴OO=OO=OO=a ‎ 又∵OA= OA ‎ ∴OA⊥OO ………………………………………………1分 ‎ ∴OA= ‎ ‎= ……………………………………………3分 ‎（2） = ………………………4分 ‎ =， ………………………6分 (3) 方案二装运钢管最多。即：按图10③的方式排放钢管，放置根数最多.‎ 根据题意，第一层排放31根，第二层排放30根，……‎ 设钢管的放置层数为n,可得………………………8分 解得 ‎ ‎∵ 为正整数 ∴=35‎ 钢管放置的最多根数为：31×18+30×17=1068（根）…………………………10分 ‎64、（2010年湖北省恩施市）24.(12分) 如图11，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点， A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，-3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点.‎ ‎（1）求这个二次函数的表达式．‎ ‎（2）连结PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POPC， 那么是否存在点P，使四边形POPC为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎ 图11‎ ‎（3）当点P运动到什么位置时，四边形 ABPC的面积最大并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.‎ ‎【解答】‎ ‎24、 解：（1）将B、C两点的坐标代入得 ……………………2分 解得： ‎ 所以二次函数的表达式为： ……………………………3分 ‎（2）存在点P，使四边形POPC为菱形．设P点坐标为（x，），‎ PP交CO于E 若四边形POPC是菱形，则有PC＝PO．‎ 连结PP 则PE⊥CO于E，‎ ‎∴OE=EC=‎ ‎∴=．……………………………6分 ‎∴= ‎ 解得=，=（不合题意，舍去）‎ ‎∴P点的坐标为（，）…………………………8分 ‎（3）过点P作轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，设P（x，），‎ 易得，直线BC的解析式为 则Q点的坐标为（x，x－3）.‎ ‎= ……………10分 当时，四边形ABPC的面积最大 此时P点的坐标为，四边形ABPC的 面积． ………………12分 ‎65、（2010年湖北省黄冈市）24．（11分）某同学从家里出发，骑自行车上学时，速度v（米/秒）与时间t（秒）的关系如图a，A（10，5），B（130，5），C（135，0）.‎ ‎　　（1）求该同学骑自行车上学途中的速度v与时间t的函数关系式；‎ ‎（2）计算该同学从家到学校的路程（提示：在OA和BC段的运动过程中的平均速度分别等于它们中点时刻的速度，路程＝平均速度×时间）；‎ ‎（3）如图b，直线x＝t（0≤t≤135），与图a的图象相交于P、Q，用字母S表示图中阴影部分面积，试求S与t的函数关系式；‎ ‎（4）由（2）（3），直接猜出在t时刻，该同学离开家所超过的路程与此时S的数量关系.‎ ‎ 图a　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　图b ‎【解答】‎ ‎24．（1） （2）2.5×10+5×120+2×5＝635（米）‎ ‎（3）(4)　相等的关系 ‎66、（2010年湖北省黄冈市）25．（15分）已知抛物线顶点为C（1，1）且过原点O.过抛物线上一点P（x，y）向直线作垂线，垂足为M，连FM（如图）.‎ ‎（1）求字母a，b，c的值；‎ ‎（2）在直线x＝1上有一点，求以PM为底边的等腰三角形PFM的P点的坐标，并证明此时△PFM为正三角形；‎ ‎（3）对抛物线上任意一点P，是否总存在一点N（1，t），使PM＝PN恒成立，若存在请求出t值，若不存在请说明理由.‎ ‎【解答】‎ ‎25．（1）a＝－1，b＝2，c＝0‎ ‎（2）过P作直线x=1的垂线，可求P的纵坐标为，横坐标为.此时，MP＝MF＝PF＝1，故△MPF为正三角形.‎ ‎（3）不存在.因为当t＜，x＜1时，PM与PN不可能相等，同理，当t＞，x＞1时，PM与PN不可能相等.‎ ‎67、（2010年湖北省黄石市）24.（本小题满分9分）在△ABC中，分别以AB、BC为直径⊙O、⊙O，交于另一点D.‎ ⑴ 证明：交点D必在AC上；‎ ⑵ 如图甲，当⊙O与⊙O半径之比为4︰3，且DO与⊙O相切时，判断△ABC的形状，‎ 并求tan∠ODB的值；‎ ⑶ 如图乙，当⊙O经过点O，AB、DO的延长线交于E，且BE＝BD时，求∠A的度数.‎ ‎【解答】‎ ‎68、（2010年湖北省黄石市）25.（本小题满分10分）已知抛物线与直线有两个交点A、B.‎ ⑴ 当AB的中点落在y轴时，求c的取值范围；‎ ⑵ 当AB＝2，求c的最小值，并写出c取最小值时抛物线的解析式；‎ ⑶ 设点P（t ,T ）在AB之间的一段抛物线上运动，S（t ）表示△PAB的面积.‎ ① 当AB＝2，且抛物线与直线的一个交点在y轴时，求S（t ）的最大值，以及此时点P的坐标；‎ ② 当AB＝m（正常数）时，S（t ）是否仍有最大值，若存在，求出S（t ）的最大值以及此时点P的坐标（t ,T ）满足的关系，若不存在说明理由.‎ ‎ ‎ ‎【解答】‎ 第23题图 ‎69、（2010年湖北省荆门市）23．(本题满分10分)如图，圆O的直径为5，在圆O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P，已知BC∶CA＝4∶3，点P在半圆弧AB上运动(不与A、B重合)，过C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点 ‎(1)求证：AC·CD＝PC·BC；‎ ‎(2)当点P运动到AB弧中点时，求CD的长；‎ ‎(3)当点P运动到什么位置时，△PCD的面积最大？并求这个最大面积S．‎ ‎【解答】‎ 第23题图 ‎23．解：(1)∵AB为直径，∴∠ACB＝90°．又∵PC⊥CD，∴∠PCD＝90°．‎ 而∠CAB＝∠CPD，∴△ABC∽△PCD．∴．‎ ‎∴AC·CD＝PC·BC；……………………………………………3分 ‎(2)当点P运动到AB弧中点时，过点B作BE⊥PC于点E．‎ ‎∵P是AB中点，∴∠PCB＝45°，CE＝BE＝BC＝2．‎ 又∠CAB＝∠CPB，∴tan∠CPB＝tan∠CAB＝．∴PE＝＝＝．‎ 从而PC＝PE＋EC＝．由(1)得CD＝PC＝…………………………………7分 ‎(3)当点P在AB上运动时，S△PCD＝PC·CD．由(1)可知，CD＝PC．‎ ‎∴S△PCD＝PC2．故PC最大时，S△PCD取得最大值；‎ 而PC为直径时最大，∴S△PCD的最大值S＝×52＝．………………………………10分 第24题图 ‎70、（2010年湖北省荆门市）24．(本题满分12分)已知：如图一次函数y＝x＋1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B；二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与一次函数y＝x＋1的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点且D点坐标为(1，0)‎ ‎(1) 求二次函数的解析式；‎ ‎(2) 求四边形BDEC的面积S；‎ ‎(3) 在x轴上是否存在点P，使得△PBC是以P为直角顶点的直角 三角形？若存在，求出所有的点P，若不存在，请说明理由．‎ ‎【解答】‎ ‎24．解：(1)将B(0，1)，D(1，0)的坐标代入y＝x2＋bx＋c得 得解析式y＝x2－x＋1……………………………………………………3分 ‎(2)设C(x0，y0)，则有 解得∴C(4，3)．………………………6分 第24题图 由图可知：S＝S△ACE－S△ABD．又由对称轴为x＝可知E(2，0)．‎ ‎∴S＝AE·y0－AD×OB＝×4×3－×3×1＝…………8分 ‎(3)设符合条件的点P存在，令P(a，0)：‎ 当P为直角顶点时，如图：过C作CF⊥x轴于F．‎ ‎∵Rt△BOP∽Rt△PFC，∴．即．‎ 整理得a2－‎4a＋3＝0．解得a＝1或a＝3‎ ‎∴所求的点P的坐标为(1，0)或(3，0)‎ 综上所述：满足条件的点P共有二个………………………………………………………12分 ‎71、（2010年湖北省荆州市）23.（10分）国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，某环保节能设备生产企业的产品供不应求．若该企业的某种环保设备每月的产量保持在一定的范围，每套产品的生产成本不高于50万元，每套产品的售价不低于90万元．已知这种设备的月产量x（套）与每套的售价（万元）之间满足关系式，月产量x（套）与生产总成本（万元）存在如图所示的函数关系.‎ ‎ （1）直接写出与x之间的函数关系式；‎ ‎ （2）求月产量x的范围；‎ ‎ （3）当月产量x（套）为多少时，‎ 这种设备的利润W（万元）最大？最大利润是多少？‎ ‎【解答】‎ ‎23.解：（1） (2分)‎ ‎（2）依题意得： (4分)‎ 解得：25≤x≤40 (6分)‎ ‎（3）∵‎ ‎∴ (8分)‎ 而25<35<40, ∴当x=35时，‎ 即，月产量为35件时，利润最大，最大利润是1950万元．　　　　　　　　　（10分）‎ ‎72、（2010年湖北省荆州市）24.（12分）如图，直角梯形OABC的直角顶点O是坐标原点，边OA，OC分别在x轴、y轴的正半轴上，OA∥BC，D是BC上一点，BD=OA=，AB=3，∠OAB=45°，E、F分别是线段OA、AB上的两动点，且始终保持∠DEF=45°．‎ ‎（1）直接写出D点的坐标；‎ ‎（2）设OE=x，AF=y，试确定y与x之间的函数关系；‎ ‎（3）当△AEF是等腰三角形时，将△AEF沿EF折叠，得到△，求△与五边形OEFBC重叠部分的面积．‎ ‎【解答】‎ ‎24.解：（1）D点的坐标是. （2分）‎ ‎（2）连结OD,如图（1），由结论（1）知：D在∠COA的平分线上，则 ‎∠DOE=∠COD=45°,又在梯形DOAB中，∠BAO=45°,∴OD=AB=3‎ 由三角形外角定理得：∠1=∠DEA-45°,又∠2=∠DEA-45°‎ ‎∴∠1=∠2, ∴△ODE∽△AEF (4分)‎ ‎∴，即：‎ ‎∴y与x的解析式为：‎ ‎ (6分)‎ ‎（3）当△AEF为等腰三角形时，存在EF=AF或EF=AE或AF=AE共3种情况.‎ ‎①当EF=AF时，如图（2）.∠FAE=∠FEA=∠DEF=45°,‎ ‎∴△AEF为等腰直角三角形.D在A’E上（A’E⊥OA）,‎ B在A’F上（A’F⊥EF）‎ ‎∴△A’EF与五边形OEFBC重叠的面积为 四边形EFBD的面积.‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴（也可用） (8分)‎ ‎ ‎ ‎②当EF=AE时，如图（3），此时△A’EF与五边形OEFBC重叠部分面积为△A’EF面积.‎ ‎∠DEF=∠EFA=45°， DE∥AB ， 又DB∥EA ‎∴四边形DEAB是平行四边形 ‎∴AE=DB=‎ ‎∴‎ ‎ (10分)‎ ‎③当AF=AE时，如图（4），四边形AEA’F为菱形且△A’EF在五边形OEFBC内.‎ ‎ ∴此时△A’EF与五边形OEFBC重叠部分面积为△A’EF面积.‎ ‎ 由（2）知△ODE∽△AEF,则OD=OE=3‎ ‎ ∴AE=AF=OA-OE=‎ ‎ 过F作FH⊥AE于H,则 ‎∴‎ 综上所述，△A’EF与五边形OEFBC重叠部分的面积为或1或 （12分）‎ O1‎ O2‎ A B C ‎ 73、(2010年湖北省十堰市) 24．（本小题满分9分）如图，已知⊙O1与⊙O2都过点A，AO1是⊙O2的切线，⊙O1交O1O2于点B，连结AB并延长交⊙O2于点C，连结O‎2C.‎ ‎（1）求证：O‎2C⊥O1O2；‎ ‎（2）证明：AB·BC=2O2B·BO1；‎ ‎（3）如果AB·BC=12，O‎2C=4，求AO1的长.‎ ‎【解答】‎ 解：（1）∵AO1是⊙O2的切线，∴O‎1A⊥AO2 ∴∠O2AB+∠BAO1=90°‎ 又O‎2A=O‎2C，O‎1A=O1B，∴∠O2CB=∠O2AB，∠O2BC=∠ABO1=∠BAO1‎ ‎∴∠O2CB+∠O2BC=∠O2AB+∠BAO1=90°，∴O‎2C⊥O2B，即O‎2C⊥O1O2‎ O1‎ O2‎ A B C D ‎（2）延长O2O1交⊙O1于点D，连结AD.‎ ‎∵BD是⊙O1直径，∴∠BAD=90°‎ 又由（1）可知∠BO‎2C=90°‎ ‎∴∠BAD=∠BO‎2C，又∠ABD=∠O2BC ‎∴△O2BC∽△ABD ‎∴ ， ∴AB·BC=O2B·BD 又BD=2BO1 ， ∴AB·BC=2O2B·BO1‎ ‎（3）由（2）证可知∠D=∠C=∠O2AB，即∠D=∠O2AB，又∠AO2B=∠DO‎2A ‎∴△AO2B∽△DO‎2A， ∴ ， ∴AO22=O2B·O2D ， ∵O‎2C=O‎2A ‎∴O‎2C2=O2B·O2D ① 又由（2）AB·BC=O2B·BD ②‎ 由①－②得，O‎2C2－AB·BC= O2B2 即42－12=O1B2‎ ‎∴O2B=2，又O2B·BD=AB·BC=12 ， ∴BD=6，∴2AO1=BD=6 ∴AO1=3‎ ‎ 74、(2010年湖北省十堰市) 25．（本小题满分10分）已知关于x的方程mx2-(‎3m－1)x+‎2m－2=0‎ ‎（1）求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根.‎ ‎（2）若关于x的二次函数y= mx2-(‎3m－1)x+‎2m－2的图象与x轴两交点间的距离为2时，求抛物线的解析式.‎ ‎（3）在直角坐标系xoy中，画出（2）中的函数图象，结合图象回答问题：当直线y=x+b与（2）中的函数图象只有两个交点时，求b的取值范围.‎ ‎【解答】‎ 解：（1）分两种情况讨论：‎ ‎①当m=0 时，方程为x－2=0，∴x=2 方程有实数根 ‎②当m≠0时，则一元二次方程的根的判别式 ‎△=[－（‎3m－1）]2－‎4m（‎2m－2）=m2+‎2m+1=（m+1）2≥0‎ 不论m为何实数，△≥0成立，∴方程恒有实数根 综合①②，可知m取任何实数，方程mx2-(‎3m－1)x+‎2m－2=0恒有实数根.‎ ‎（2）设x1，x2为抛物线y= mx2-(‎3m－1)x+‎2m－2与x轴交点的横坐标.‎ 则有x1+x2=，x1·x2=‎ 由| x1－x2|====，‎ 由| x1－x2|=2得=2，∴=2或=－2‎ ‎∴m=1或m=‎ ‎∴所求抛物线的解析式为：y1=x2－2x或y2=x2+2x－ 即y1= x（x－2）或y2=（x－2）（x－4）其图象如右图所示.‎ ‎（3）在（2）的条件下，直线y=x+b与抛物线y1，y2组成的图象只有两个交点，结合图象，求b的取值范围.‎ ‎，当y1=y时，得x2－3x－b=0，△=9+4b=0，解得b=－；‎ 同理，可得△=9－4（8+3b）=0，得b=－.‎ 观察函数图象可知当b<－或b>－时，直线y=x+b与（2）中的图象只有两个交点.‎ 由， 当y1=y2时，有x=2或x=1 ‎ 当x=1时，y=－1‎ 所以过两抛物线交点（1，－1），（2，0）的直线y=x－2，‎ 综上所述可知：当b<－或b>－或b=－2时，直线y=x+b与（2）中的图象只有两个交点.‎ ‎75、(2010年湖北省武汉市)24. (本题满分10分) 已知：线段OA^OB，点C为OB中点，D为线段OA上一点。连结AC，BD交于点P。‎ ‎ (1) 如图1，当OA=OB，且D为OA中点时，求的值；‎ ‎ (2) 如图2，当OA=OB，且=时，求tanÐBPC的值；‎ ‎ (3) 如图3，当AD：AO：OB=1：n：2时，直接写出tanÐBPC的值。‎ A B C D P O D C O P A B D C O P A B 圖1‎ 圖2‎ 圖3‎ ‎【解答】‎ A B C D P O E ‎24. 解：(1) 延长AC至点E，使CE=CA，连接BE，∵C为OB中点，‎ ‎ ∴△BCE@△OCA，∴BE=OA，ÐE=ÐOAC，∴BE//OA，‎ ‎ ∴△APD~△EPB，∴=。又∵D为OA中点，‎ ‎ OA=OB，∴==。∴==，∴=2。‎ D C O P H A B ‎ (2) 延长AC至点H，使CH=CA，连结BH，∵C为OB中点，‎ ‎ ∴△BCH@△OCA，∴ÐCBH=ÐO=90°，BH=OA。由=，‎ ‎ 设AD=t，OD=3t，则BH=OA=OB=4t。在Rt△BOD中，‎ ‎ BD==5t，∵OA//BH，∴△HBP~△ADP，‎ ‎ ∴===4。∴BP=4PD=BD=4t，∴BH=BP。‎ ‎ ∴tanÐBPC=tanÐH===。‎ ‎ (3) tanÐBPC=。‎ P M Q A B O y x ‎76、（湖北省武汉市）25. (本题满分12分) 如图，拋物线y1=ax2-2ax+b经过A(-1，0)，‎ ‎ C(2，)两点，与x轴交于另一点B；‎ ‎ (1) 求此拋物线的解析式；‎ ‎ (2) 若拋物线的顶点为M，点P为线段OB上一动点(不与点 ‎ B重合)，点Q在线段MB上移动，且ÐMPQ=45°，设线 ‎ 段OP=x，MQ=y2，求y2与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；‎ ‎ (3) 在同一平面直角坐标系中，两条直线x=m，x=n分别与拋物线交于点E，G，与(2)中的 ‎ 函数图像交于点F，H。问四边形EFHG能否为平行四边形？若能，求m，n之间的数量 ‎ 关系；若不能，请说明理由。‎ ‎【解答】‎ ‎25. 解：(1) ∵拋物线y1=ax2-2ax+b经过A(-1，0)，C(0，)两点，∴，∴a= -，‎ ‎ b=，∴拋物线的解析式为y1= -x2+x+。‎ P M Q A B O y x N ‎ (2) 作MN^AB，垂足为N。由y1= -x2+x+易得M(1，2)，‎ ‎ N(1，0)，A(-1，0)，B(3，0)，∴AB=4，MN=BN=2，MB=2，‎ ‎ ÐMBN=45°。根据勾股定理有BM 2-BN 2=PM 2-PN 2。‎ ‎ ∴(2)2-22=PM2= -(1-x)2…j，又ÐMPQ=45°=ÐMBP，‎ ‎ ∴△MPQ~△MBP，∴PM2=MQ´MB=y2´2…k。‎ ‎ 由j、k得y2=x2-x+。∵0£x<3，∴y2与x的函数关系式为y2=x2-x+(0£x<3)。‎ O E F G H x y ‎ (3) 四边形EFHG可以为平行四边形，m、n之间的数量关系是 ‎ m+n=2(‎0£m£2，且m¹1)。∵点E、G是抛物线y1= -x2+x+ ‎ 分别与直线x=m，x=n的交点，∴点E、G坐标为 ‎ E(m，-m‎2+m+)，G(n，-n2+n+)。同理，点F、H坐标 ‎ 为F(m，m‎2-m+)，H(n，n2-n+)。‎ ‎ ∴EF=m‎2-m+-(-m‎2+m+)=m2-‎2m+1，GH=n2-n+-(-n2+n+)=n2-2n+1。‎ ‎ ∵四边形EFHG是平行四边形，EF=GH。∴m2-‎2m+1=n2-2n+1，∴(m+n-2)(m-n)=0。‎ ‎ 由题意知m¹n，∴m+n=2 (‎0£m£2，且m¹1)。‎ ‎ 因此，四边形EFHG可以为平行四边形，m、n之间的数量关系是m+n=2 (‎0£m£2，且m¹1)。‎ ‎77、（2010年湖北省咸宁市）23．（本题满分10分）‎ O y/km ‎90‎ ‎30‎ a ‎0.5‎ ‎3‎ P ‎（第23题）‎ 甲 乙 x/h 在一条直线上依次有A、B、C三个港口，甲、乙两船同时分别从A、B港口出发，沿直线匀速驶向C港，最终达到C港．设甲、乙两船行驶x（h）后，与B港的距离分别为、（km），、与x的函数关系如图所示．‎ ‎（1）填空：A、C两港口间的距离为 km， ；‎ ‎（2）求图中点P的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义；‎ ‎（3）若两船的距离不超过‎10 km时能够相互望见，求甲、乙两船 可以相互望见时x的取值范围．‎ ‎【解答】‎ ‎23．解：（1）120，；……2分 ‎（2）由点（3，90）求得，．‎ 当＞0.5时，由点（0.5，0），（2，90）求得，．……3分 当时，，解得，．‎ 此时．所以点P的坐标为（1，30）．……5分 该点坐标的意义为：两船出发1 h后，甲船追上乙船，此时两船离B港的距离为‎30 km．…6分 求点P的坐标的另一种方法：‎ 由图可得，甲的速度为（km/h），乙的速度为（km/h）．‎ 则甲追上乙所用的时间为（h）．此时乙船行驶的路程为（km）．‎ 所以点P的坐标为（1，30）．‎ ‎（3）①当≤0.5时，由点（0，30），（0.5，0）求得，．‎ 依题意，≤10． 解得，≥．不合题意．……7分 ‎②当0.5＜≤1时，依题意，≤10．‎ 解得，≥．所以≤≤1．……8分 ‎③当＞1时，依题意，≤10．‎ 解得，≤．所以1＜≤．……9分 综上所述，当≤≤时，甲、乙两船可以相互望见．……10分 ‎78、（2010年湖北省咸宁市）24．（本题满分12分）‎ 如图，直角梯形ABCD中，AB∥DC，，，．动点M以每秒1个单位长的速度，从点A沿线段AB向点B运动；同时点P以相同的速度，从点C沿折线C-D-A向点A运动．当点M到达点B时，两点同时停止运动．过点M作直线l∥AD，与线段CD的交点为E，与折线A-C-B的交点为Q．点M运动的时间为t（秒）．‎ ‎（1）当时，求线段的长；‎ ‎（2）当0＜t＜2时，如果以C、P、Q为顶点的三角形为直角三角形，求t的值；‎ ‎（3）当t＞2时，连接PQ交线段AC于点R．请探究是否为定值，若是，试求这个定值；若不是，请说明理由．‎ A B C D ‎（备用图1）‎ A B C D ‎（备用图2）‎ Q A B C D l M P ‎（第24题）‎ E ‎【解答】‎ ‎24．解：（1）过点C作于F，则四边形AFCD为矩形．‎ Q A B C D l M P ‎（第24题）‎ E F ‎∴，．‎ 此时，Rt△AQM∽Rt△ACF．……2分 ‎∴．‎ 即，∴．……3分 ‎（2）∵为锐角，故有两种情况：‎ ‎①当时，点P与点E重合．‎ 此时，即，∴．……5分 A B C D ‎（备用图1）‎ Q P E l M ‎②当时，如备用图1，‎ 此时Rt△PEQ∽Rt△QMA，∴．‎ 由（1）知，，‎ 而，‎ ‎∴． ∴．‎ 综上所述，或．……8分（说明：未综述，不扣分）‎ ‎（3）为定值．……9分 当＞2时，如备用图2，‎ A B C D ‎（备用图2）‎ M Q R F P ‎．‎ 由（1）得，．‎ ‎∴． ∴．‎ ‎∴． ∴．‎ ‎∴四边形AMQP为矩形． ∴∥．……11分 ‎∴△CRQ∽△CAB．‎ ‎∴．……12分 ‎79、（2010年湖北省宜昌市）23．如图①，P是△ABC边AC上的动点，以P为顶点作矩形PDEF，顶点D,E在边BC上，顶点F在边AB上；△ABC的底边BC及BC上的高的长分别为a , h,且是关于x的一元二次方程的两个实数根，设过D,E,F三点的⊙O的面积为,矩形PDEF的面积为。‎ ‎（1）求证：以a+h为边长的正方形面积与以a、h为边长的矩形面积之比不小于4；‎ ‎（2）求的最小值；‎ ‎（3）当的值最小时，过点A作BC的平行线交直线BP与Q，这时线段AQ的长与m , n , k的取值是否有关？请说明理由。（11分）‎ A C B ‎(第23题)‎ ‎【解答】‎ ‎23．解：解法一：‎ ‎（1）据题意，∵a+h=.‎ ‎∴所求正方形与矩形的面积之比： ‎ ‎ 1分 由知同号, ‎ ‎ 2分 ‎（说明:此处未得出只扣1分, 不再影响下面评分）‎ ‎ 3分 即正方形与矩形的面积之比不小于4.‎ ‎（2）∵∠FED=90º,∴DF为⊙O的直径.‎ ‎⊙‎ ‎∴⊙O的面积为：． 4分 矩形PDEF的面积：．‎ ‎⊙‎ ‎∴面积之比： 设 ‎⊙‎ ‎……………………………………………………………6分 ‎, ‎ ‎⊙‎ ‎，即时（EF=DE）, 的最小值为 7分 ‎⊙‎ ‎（3）当的值最小时，这时矩形PDEF的四边相等为正方形．‎ 过B点过BM⊥AQ，M为垂足，BM交直线PF于N点，设FP＝ e，‎ ‎∵BN∥FE，NF∥BE,∴BN=EF,∴BN =FP =e.‎ 由BC∥MQ,得：BM =AG =h.‎ ‎∵AQ∥BC, PF∥BC, ∴AQ∥FP,‎ ‎∴△FBP∽△ABQ. 8分 M N ‎（说明：此处有多种相似关系可用，要同等分步骤评分）‎ ‎∴,……9分 ‎∴.∴……10分 ‎……11分 ‎∴线段AQ的长与m，n，k的取值有关. ‎ ‎（解题过程叙述基本清楚即可）‎ 解法二：‎ ‎（1）∵a，h为线段长，即a，h都大于0，‎ ‎　∴ah＞０…………1分（说明:此处未得出只扣1分,再不影响下面评分）‎ ‎ ∵（a-h）２≥０，当a＝h时等号成立.‎ ‎　　　　 故，（a-h）２＝（a＋h）２－‎４a h≥０． 2分 ‎　　　　∴（a＋h）２≥‎４a h，‎ ‎　　　　∴≥４．（﹡） 3分 ‎　　　　　　这就证得≥４．（叙述基本明晰即可）‎ ‎（2）设矩形PDEF的边PD=x，DE=y，则⊙O的直径为 .‎ ‎ S⊙O=…………4分, S矩形PDEF=xy ‎⊙‎ ‎= ‎ ‎= 6分 由（1）（*）， .‎ ‎.‎ ‎⊙‎ ‎∴的最小值是 7分 ‎⊙‎ ‎（3）当的值最小时，‎ 这时矩形PDEF的四边相等为正方形. ‎ ‎∴EF=PF．作AG⊥BC，G为垂足.‎ ‎∵△AGB∽△FEB，∴.……8分 ‎∵△AQB∽△FPB, ，……9分 ‎∴=．‎ 而 EF=PF，∴AG=AQ=h, ……………10分 ‎∴AG=h＝,‎ 或者AG=h＝ 11分 ‎∴线段AQ的长与m，n，k的取值有关. ‎ ‎（解题过程叙述基本清楚即可）‎ ‎80、（2010年湖北省宜昌市）24.（12分）如图，直线y=hx+d与x轴和y轴分别相交于点A(-1,0),B(0,1),与双曲线y=在第一象限相交于点C；以AC为斜边、为内角的直角三角形，与以CO为对角线、一边在x轴上的矩形面积相等；点C,P在以B为顶点的抛物线y=上；直线y=hx+d、双曲线y=和抛物线同时经过两个不同的点C，D。‎ ‎（1）确定t的值 ‎（2）确定m , n , k的值 ‎（3）若无论a , b , c取何值，抛物线都不经过点P，请确定P的坐标 ‎ （第24题）‎ ‎【解答】‎ ‎24．解：（1）直线过点A，B，则0=－h+d和1=d,即y=x+1. 1分 双曲线y=经过点C（x1，y1），x1y1=t．‎ ‎ 以AC为斜边，∠CAO为内角的直角三角形的面积为×y1×(1+x1);‎ 以CO为对角线的矩形面积为x1y1，‎ ‎×y1×(1+x1)＝x1y1，因为x1，y1都不等于0，故得x1＝1，所以y1=2.‎ 故有，，即t=2. 2分 ‎（2）∵B是抛物线y＝mx2＋nx＋k的顶点，∴有－ ，‎ 得到n=0，k=1. 3分 ‎∵C是抛物线y＝mx2＋nx＋k上的点，∴有2＝m(1)2+1,得m=1． 4分 ‎（3）设点P的横坐标为p，则纵坐标为p2+1.‎ ‎∵抛物线y=ax2+bx+c经过两个不同的点C，D，‎ 其中求得D点坐标为（－2，－1）． 5分.‎ 解法一：‎ 故 2＝a＋b＋c，‎ ‎－1＝‎4a－2b＋c． ‎ 解之得，b＝a＋1, c＝1－‎2a. 6分 ‎（说明：如用b表示a，c，或用c表示a，b，均可，后续参照得分）‎ ‎∴y=ax2＋( a＋1)x＋（1－‎2a ） ‎ 于是： p2+1≠a p2＋（a＋1）p＋（1－‎2a） 7分 ‎∴无论a取什么值都有p2－p≠（p2＋p－2）a． 8分[来源:学+科+网Z+X+X+K]‎ ‎（或者，令p2-p=(p2+p-2)a 7分 ‎∵抛物线y=ax2+bx+c不经过P点，‎ ‎∴此方程无解，或有解但不合题意 8分） ‎ ‎．‎ 故∵a≠０，∴①‎ 解之p＝0，p＝1，并且p≠1，p≠－2.得p＝0. 9分 ‎∴符合题意的P点为（0，1）. …………10分 ‎②，解之p＝1，p＝－2，并且p≠0，p≠1.‎ 得p＝－2. 11分 符合题意的P点为（－2，5）． 12分 ‎∴符合题意的P点有两个（0，1）和（－2，5）.‎ 解法二：‎ 则有（a－1）p2+(a+1) p－‎2a=0 7分 即〔（a－1）p+2a〕(p－1)=0‎ 有p－1=0时，得p=1，为（1，2）此即C点，在y=ax2+bx+c上. 8分 或（a－1）p+‎2a=0，即（p+2）a=p 当p=0时a=0与a≠0矛盾 9分 得点P（0，1） 10分 或者p=－2时，无解 11分[来源:学科网]‎ 得点P（－2，5） 12分 故对任意a，b，c，抛物线y=ax2+bx+c都不经过（0，1）和（－2，5）‎ 解法三：‎ 如图, 抛物线y=ax2+bx+c不经过直线CD上除C，D外的其他点．‎ ‎(只经过直线CD上的C，D点). 6分 由 7分 解得交点为C（1，2），B（0，1）．‎ 故符合题意的点P为（0，1）. 8分 抛物线y=ax2+bx+c不经过直线x＝－2上除D外的其他点. 9分 y x 由 10分 解得交点P为（－2，5）．……11分 抛物线y=ax2+bx+c不经过直线x＝1上除C外的其他点,‎ 而解得交点为C（1，2）. ……12分 故符合条件的点P为（0，1）或（－2，5）.‎ O ‎（说明：1.仅由图形看出一个点的坐标给1分，二个看 出来给2分. 2.解题过程叙述基本清楚即可）‎