2018年四川省遂宁市中考数学试卷

2018年四川省遂宁市中考数学试卷

‎2018年四川省遂宁市中考数学试卷 ‎　‎ 一、选择题（每题只有一个正确选项，本题共10小题，每题4分，共40分）‎ ‎1．（4分）﹣2×（﹣5）的值是（　　）‎ A．﹣7 B．7 C．﹣10 D．10‎ ‎2．（4分）下列等式成立的是（　　）‎ A．x2+3x2=3x4 B．0.00028=2.8×10﹣3‎ C．（a3b2）3=a9b6 D．（﹣a+b）（﹣a﹣b）=b2﹣a2‎ ‎3．（4分）二元一次方程组的解是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．（4分）下列说法正确的是（　　）‎ A．有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等 B．正方形既是轴对称图形又是中心对称图形 C．矩形的对角线互相垂直平分 D．六边形的内角和是540°‎ ‎5．（4分）如图，5个完全相同的小正方体组成了一个几何体，则这个几何体的主视图是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．（4分）已知圆锥的母线长为6，将其侧面沿着一条母线展开后所得扇形的圆心角为120°，则该扇形的面积是（　　）‎ A．4π B．8π C．12π D．16π ‎7．（4分）已知一次函数y1=kx+b（k≠0）与反比例函数y2=（m≠‎ ‎0）的图象如图所示，则当y1＞y2时，自变量x满足的条件是（　　）‎ A．1＜x＜3 B．1≤x≤3 C．x＞1 D．x＜3‎ ‎8．（4分）如图，在⊙O中，AE是直径，半径OC垂直于弦AB于D，连接BE，若AB=2，CD=1，则BE的长是（　　）‎ A．5 B．6 C．7 D．8‎ ‎9．（4分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则以下结论同时成立的是（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎10．（4分）已知如图，在正方形ABCD中，AD=4，E，F分别是CD，BC上的一点，且∠EAF=45°，EC=1，将△ADE绕点A沿顺时针方向旋转90°后与△ABG重合，连接EF，过点B作BM∥AG，交AF于点M，则以下结论：①DE+BF=EF，②‎ BF=，③AF=，④S△MBF=中正确的是（　　）‎ A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④‎ ‎　‎ 二、细心填一填（本大题共5小题，每小题4分，满分20分，请把答案填在答題卷相应题号的横线上）‎ ‎11．（4分）分解因式3a2﹣3b2=　 　．‎ ‎12．（4分）已知一组数据：12，10，8，15，6，8．则这组数据的中位数是　 　．‎ ‎13．（4分）已知反比例函数y=（k≠0）的图象过点（﹣1，2），则当x＞0时，y随x的增大而　 　．‎ ‎14．（4分）A，B两市相距200千米，甲车从A市到B市，乙车从B市到A市，两车同时出发，已知甲车速度比乙车速度快15千米/小时，且甲车比乙车早半小时到达目的地．若设乙车的速度是x千米/小时，则根据题意，可列方程　 　．‎ ‎15．（4分）如图，已知抛物线y=ax2﹣4x+c（a≠0）与反比例函数y=的图象相交于点B，且B点的横坐标为3，抛物线与y轴交于点C（0，6），A是抛物线y=ax2﹣4x+c的顶点，P点是x轴上一动点，当PA+PB最小时，P点的坐标为　 　．‎ ‎　‎ 三、计算题（本大题共15分，请认真读题）‎ ‎16．（7分）计算：（）﹣1+（﹣1）0+2sin45°+|﹣2|．‎ ‎17．（8分）先化简，再求值•+．（其中x=1，y=2）‎ ‎　‎ 四、解答题（本题共75分，请认真读题）‎ ‎18．（8分）如图，在▱ABCD中，E，F分别是AD，BC上的点，且DE=BF，AC⊥EF．求证：四边形AECF是菱形．‎ ‎19．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+a=0的两实数根x1，x2满足x1x2+x1+x2＞0，求a的取值范围．‎ ‎20．（9分）如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b（k≠0）与反比例函数y=（m≠0）的图象交于第二、四象限A、B两点，过点A作AD⊥x轴于D，AD=4，sin∠AOD=，且点B的坐标为（n，﹣2）．‎ ‎（1）求一次函数与反比例函效的解析式；‎ ‎（2）E是y轴上一点，且△AOE是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的E点坐标．‎ ‎21．（10分）如图，过⊙O外一点P作⊙O的切线PA切⊙O于点A，连接PO并延长，与⊙‎ O交于C、D两点，M是半圆CD的中点，连接AM交CD于点N，连接AC、CM．‎ ‎（1）求证：CM2=MN•MA；‎ ‎（2）若∠P=30°，PC=2，求CM的长．‎ ‎22．（8分）请阅读以下材料：已知向量=（x1，y1），=（x2，y2）满足下列条件：‎ ‎①||=，||=‎ ‎②⊗=||×||cosα（角α的取值范围是0°＜α＜90°）；‎ ‎③⊗=x1x2+y1y2‎ 利用上述所给条件解答问题：‎ 如：已知=（1，），=（﹣，3），求角α的大小；‎ 解：∵||===2，‎ ‎====2‎ ‎∴⊗=||×||cosα=2×2cosα=4cosα 又∵⊗=x1x2+y1y2=l×（﹣）+×3=2‎ ‎∴4cosα=2‎ ‎∴cosα=，∴α=60°‎ ‎∴角α的值为60°．‎ 请仿照以上解答过程，完成下列问题：‎ 已知=（1，0），=（1，﹣1），求角α的大小．‎ ‎23．（10分）学习习近平总书记关于生态文明建设重要井话，牢固树立“绿水青山就是金山银山”的科学观，让环保理念深入到学校，某校张老师为了了解本班学生3月植树成活情况，对本班全体学生进行了调查，并将调查结果分为了三类：A好，B：中，C：差．‎ 请根据图中信息，解答下列问题：‎ ‎（1）求全班学生总人数；‎ ‎（2）将上面的条形统计图与扇形统计图补充完整；‎ ‎（3）张老师在班上随机抽取了4名学生，其中A类1人，B类2人，C类1人，若再从这4人中随加抽取2人，请用画对状图或列表法求出全是B类学生的概率．‎ ‎24．（10分）如图，某测量小组为了测量山BC的高度，在地面A处测得山顶B的仰角45°，然后沿着坡度为i=1：的坡面AD走了200米达到D处，此时在D处测得山顶B的仰角为60°，求山高BC（结果保留根号）．‎ ‎25．（12分）如图，已知抛物线y=ax2+x+4的对称轴是直线x=3，且与x轴相交于A，B两点（B点在A点右侧）与y轴交于C点．‎ ‎（1）求抛物线的解折式和A、B两点的坐标；‎ ‎（2）若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点（不与B、C重合），则是否存在一点P，使△PBC的面积最大．若存在，请求出△PBC的最大面积；若不存在，试说明理由；‎ ‎（3）若M是抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交直线BC于点N，当MN=3时，求M点的坐标．‎ ‎　‎ ‎2018年四川省遂宁市中考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（每题只有一个正确选项，本题共10小题，每题4分，共40分）‎ ‎1．（4分）﹣2×（﹣5）的值是（　　）‎ A．﹣7 B．7 C．﹣10 D．10‎ ‎【分析】根据有理数乘法法则计算可得．‎ ‎【解答】解：（﹣2）×（﹣5）=+2×5=10，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎2．（4分）下列等式成立的是（　　）‎ A．x2+3x2=3x4 B．0.00028=2.8×10﹣3‎ C．（a3b2）3=a9b6 D．（﹣a+b）（﹣a﹣b）=b2﹣a2‎ ‎【分析】直接利用平方差公式以及科学记数法、积的乘方运算法则分别计算得出答案．‎ ‎【解答】解：A、x2+3x2=4x2，故此选项错误；‎ B、0.00028=2.8×10﹣4，故此选项错误；‎ C、（a3b2）3=a9b6，正确；‎ D、（﹣a+b）（﹣a﹣b）=a2﹣b2，故此选项错误；‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎3．（4分）二元一次方程组的解是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．‎ ‎【解答】解：，‎ ‎①+②得：3x=6，‎ 解得：x=2，‎ 把x=2代入①得：y=0，‎ 则方程组的解为，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎4．（4分）下列说法正确的是（　　）‎ A．有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等 B．正方形既是轴对称图形又是中心对称图形 C．矩形的对角线互相垂直平分 D．六边形的内角和是540°‎ ‎【分析】直接利用全等三角形的判定以及矩形、菱形的性质和多边形内角和定理．‎ ‎【解答】解：A、有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等，错误，必须是两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等；‎ B、正方形既是轴对称图形又是中心对称图形，正确；‎ C、矩形的对角线相等且互相平分，故此选项错误；‎ D、六边形的内角和是720°，故此选项错误．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎5．（4分）如图，5个完全相同的小正方体组成了一个几何体，则这个几何体的主视图是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．‎ ‎【解答】解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层中间一个小正方形，．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎6．（4分）已知圆锥的母线长为6，将其侧面沿着一条母线展开后所得扇形的圆心角为120°，则该扇形的面积是（　　）‎ A．4π B．8π C．12π D．16π ‎【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算．‎ ‎【解答】解：该扇形的面积==12π．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎7．（4分）已知一次函数y1=kx+b（k≠0）与反比例函数y2=（m≠0）的图象如图所示，则当y1＞y2时，自变量x满足的条件是（　　）‎ A．1＜x＜3 B．1≤x≤3 C．x＞1 D．x＜3‎ ‎【分析】利用两函数图象，写出一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的自变量的范围即可．‎ ‎【解答】解：当1＜x＜3时，y1＞y2．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎8．（4分）如图，在⊙O中，AE是直径，半径OC垂直于弦AB于D，连接BE，若AB=2，CD=1，则BE的长是（　　）‎ A．5 B．6 C．7 D．8‎ ‎【分析】根据垂径定理求出AD，根据勾股定理列式求出OD，根据三角形中位线定理计算即可．‎ ‎【解答】解：∵半径OC垂直于弦AB，‎ ‎∴AD=DB=AB=，‎ 在Rt△AOD中，OA2=（OC﹣CD）2+AD2，即OA2=（OA﹣1）2+（）2，‎ 解得，OA=4‎ ‎∴OD=OC﹣CD=3，‎ ‎∵AO=OE，AD=DB，‎ ‎∴BE=2OD=6，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎9．（4分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则以下结论同时成立的是（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【分析】利用抛物线开口方向得到a＞0，利用抛物线的对称轴在直线x=1的右侧得到b＜0，b＜﹣2a，即b+2a＜0，利用抛物线与y轴交点在x轴下方得到c＜0，也可判断abc＞0，利用抛物线与x轴有2个交点可判断b2﹣4ac＞0，利用x=1可判断a+b+c＜0，利用上述结论可对各选项进行判断．‎ ‎【解答】解：∵抛物线开口向上，‎ ‎∴a＞0，‎ ‎∵抛物线的对称轴在直线x=1的右侧，‎ ‎∴x=﹣＞1，‎ ‎∴b＜0，b＜﹣2a，即b+2a＜0，‎ ‎∵抛物线与y轴交点在x轴下方，‎ ‎∴c＜0，‎ ‎∴abc＞0，‎ ‎∵抛物线与x轴有2个交点，‎ ‎∴△=b2﹣4ac＞0，‎ ‎∵x=1时，y＜0，‎ ‎∴a+b+c＜0．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎10．（4分）已知如图，在正方形ABCD中，AD=4，E，F分别是CD，BC上的一点，且∠EAF=45°，EC=1，将△ADE绕点A沿顺时针方向旋转90°后与△ABG重合，连接EF，过点B作BM∥AG，交AF于点M，则以下结论：①DE+BF=EF，②BF=，③AF=，④S△MBF=中正确的是（　　）‎ A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④‎ ‎【分析】利用全等三角形的性质条件勾股定理求出BF的长，再利用相似三角形的性质求出△BMF的面积即可．‎ ‎【解答】解：∵AG=AE，∠FAE=∠FAG=45°，AF=AF，‎ ‎∴△AFE≌△AFG，‎ ‎∴EF=FG，‎ ‎∵DE=BG，‎ ‎∴EF=FG=BG+FB=DE+BF，故①正确，‎ ‎∵BC=CD=AD=4，EC=1，‎ ‎∴DE=3，设BF=x，则EF=x+3，CF=4﹣x，‎ 在Rt△ECF中，（x+3）2=（4﹣x）2+12，‎ 解得x=，‎ ‎∴BF=，AF==，故②正确，③错误，‎ ‎∵BM∥AG，‎ ‎∴△FBM∽△FGA，‎ ‎∴=（）2，‎ ‎∴S△FBM=，故④正确，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ 二、细心填一填（本大题共5小题，每小题4分，满分20分，请把答案填在答題卷相应题号的横线上）‎ ‎11．（4分）分解因式3a2﹣3b2=　3（a+b）（a﹣b）　．‎ ‎【分析】提公因式3，再运用平方差公式对括号里的因式分解．‎ ‎【解答】解：3a2﹣3b2‎ ‎=3（a2﹣b2）‎ ‎=3（a+b）（a﹣b）．‎ 故答案是：3（a+b）（a﹣b）．‎ ‎　‎ ‎12．（4分）已知一组数据：12，10，8，15，6，8．则这组数据的中位数是　9　．‎ ‎【分析】根据这组数据是从大到小排列的，求出最中间的两个数的平均数即可．‎ ‎【解答】解：将数据从小到大重新排列为：6、8、8、10、12、15，‎ 所以这组数据的中位数为=9，‎ 故答案为：9．‎ ‎　‎ ‎13．（4分）已知反比例函数y=（k≠0）的图象过点（﹣1，2），则当x＞0时，y随x的增大而　增大　．‎ ‎【分析】把（﹣1，2）代入解析式得出k的值，再利用反比例函数的性质解答即可．‎ ‎【解答】解：把（﹣1，2）代入解析式y=，可得：k=﹣2，‎ 因为k=﹣2＜0，‎ 所以当x＞0时，y随x的增大而增大，‎ 故答案为：增大 ‎　‎ ‎14．（4分）A，B两市相距200千米，甲车从A市到B市，乙车从B市到A市，两车同时出发，已知甲车速度比乙车速度快15千米/小时，且甲车比乙车早半小时到达目的地．若设乙车的速度是x千米/小时，则根据题意，可列方程　﹣=　．‎ ‎【分析】直接利用甲车比乙车早半小时到达目的地得出等式即可．‎ ‎【解答】解：设乙车的速度是x千米/小时，则根据题意，可列方程：‎ ‎﹣=．‎ 故答案为：﹣=．‎ ‎　‎ ‎15．（4分）如图，已知抛物线y=ax2﹣4x+c（a≠0）与反比例函数y=的图象相交于点B，且B点的横坐标为3，抛物线与y轴交于点C（0，6），A是抛物线y=ax2﹣4x+c的顶点，P点是x轴上一动点，当PA+PB最小时，P点的坐标为　（，0）　．‎ ‎【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后求出点B的坐标，从而可以求得二次函数解析式，然后求出点A的坐标，进而求得A′的坐标，从而可以求得直线A′B的函数解析式，进而求得与x轴的交点，从而可以解答本题．‎ ‎【解答】解：作点A关于x轴的对称点A′，连接A′B，则A′B与x轴的交点即为所求，‎ ‎∵抛物线y=ax2﹣4x+c（a≠0）与反比例函数y=的图象相交于点B，且B点的横坐标为3，抛物线与y轴交于点C（0，6），‎ ‎∴点B（3，3），‎ ‎∴，‎ 解得，，‎ ‎∴y=x2﹣4x+6=（x﹣2）2+2，‎ ‎∴点A的坐标为（2，2），‎ ‎∴点A′的坐标为（2，﹣2），‎ 设过点A′（2，﹣2）和点B（3，3）的直线解析式为y=mx+n，‎ ‎，得，‎ ‎∴直线A′B的函数解析式为y=5x﹣12，‎ 令y=0，则0=5x﹣12得x=，‎ 故答案为：（，0）．‎ ‎　‎ 三、计算题（本大题共15分，请认真读题）‎ ‎16．（7分）计算：（）﹣1+（﹣1）0+2sin45°+|﹣2|．‎ ‎【分析】接利用负指数幂的性质以及零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简得出答案．‎ ‎【解答】解：原式=3+1+2×+2﹣‎ ‎=4++2﹣‎ ‎=6．‎ ‎　‎ ‎17．（8分）先化简，再求值•+．（其中x=1，y=2）‎ ‎【分析】根据分式的运算法则即可求出答案，‎ ‎【解答】解：当x=1，y=2时，‎ 原式=•+‎ ‎=+‎ ‎=‎ ‎=﹣3‎ ‎　‎ 四、解答题（本题共75分，请认真读题）‎ ‎18．（8分）如图，在▱ABCD中，E，F分别是AD，BC上的点，且DE=BF，AC⊥EF．求证：四边形AECF是菱形．‎ ‎【分析】根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可证明；‎ ‎【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AD=BC，AD∥BC，‎ ‎∵DE=BF，‎ ‎∴AE=CF，∵AE∥CF，‎ ‎∴四边形AECF是平行四边形，‎ ‎∵AC⊥EF，‎ ‎∴四边形AECF是菱形．‎ ‎　‎ ‎19．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+a=0的两实数根x1，x2满足x1x2+x1+x2＞0，求a的取值范围．‎ ‎【分析】由方程根的个数，利用根的判别式可得到关于a的不等式，可求得a的取值范围，再由根与系数的关系可用a表示出x1x2和x1+x2的值，代入已知条件可得到关于a的不等式，则可求得a的取值范围．‎ ‎【解答】解：∵该一元二次方程有两个实数根，‎ ‎∴△=（﹣2）2﹣4×1×a=4﹣4a≥0，‎ 解得：a≤1，‎ 由韦达定理可得x1x2=a，x1+x2=2，‎ ‎∵x1x2+x1+x2＞0，‎ ‎∴a+2＞0，‎ 解得：a＞﹣2，‎ ‎∴﹣2＜a≤1．‎ ‎　‎ ‎20．（9分）如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b（k≠0）与反比例函数y=（m≠0）的图象交于第二、四象限A、B两点，过点A作AD⊥x轴于D，AD=4，sin∠AOD=，且点B的坐标为（n，﹣2）．‎ ‎（1）求一次函数与反比例函效的解析式；‎ ‎（2）E是y轴上一点，且△AOE是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的E点坐标．‎ ‎【分析】（1）由垂直的定义及锐角三角函数定义求出AO的长，利用勾股定理求出OD的长，确定出A坐标，进而求出m的值确定出反比例解析式，把B的坐标代入反比例解析式求出n的值，确定出B坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式即可；‎ ‎（2）分类讨论：当AO为等腰三角形腰与底时，求出点E坐标即可．‎ ‎【解答】解：（1）∵一次函数y=kx+b与反比例函数y=图象交于A与B，且AD⊥x轴，‎ ‎∴∠ADO=90°，‎ 在Rt△ADO中，AD=4，sin∠AOD=，‎ ‎∴=，即AO=5，‎ 根据勾股定理得：DO==3，‎ ‎∴A（﹣3，4），‎ 代入反比例解析式得：m=﹣12，即y=﹣，‎ 把B坐标代入得：n=6，即B（6，﹣2），‎ 代入一次函数解析式得：，‎ 解得：，即y=﹣x+2；‎ ‎（2）当OE3=OE2=AO=5，即E2（0，﹣5），E3（0，5）；‎ 当OA=AE1=5时，得到OE1=2AD=8，即E1（0，8）；‎ 当AE4=OE4时，由A（﹣3，4），O（0，0），得到直线AO解析式为y=﹣x，中点坐标为（﹣1.5，2），‎ ‎∴AO垂直平分线方程为y﹣2=（x+），‎ 令x=0，得到y=，即E4（0，），‎ 综上，当点E（0，8）或（0，5）或（0，﹣5）或（0，）时，△AOE是等腰三角形．‎ ‎　‎ ‎21．（10分）如图，过⊙O外一点P作⊙O的切线PA切⊙O于点A，连接PO并延长，与⊙O交于C、D两点，M是半圆CD的中点，连接AM交CD于点N，连接AC、CM．‎ ‎（1）求证：CM2=MN•MA；‎ ‎（2）若∠P=30°，PC=2，求CM的长．‎ ‎【分析】（1）由=知∠CAM=∠DCM，根据∠CMA=∠NMC证△AMC∽△CMN即可得；‎ ‎（2）连接OA、DM，由Rt△PAO中∠P=30°知OA=PO=（PC+CO），据此求得OA=OC=2，再证△CMD是等腰直角三角形得CM的长．‎ ‎【解答】解：（1）∵⊙O中，M点是半圆CD的中点，‎ ‎∴=，‎ ‎∴∠CAM=∠DCM，‎ 又∵∠CMA=∠NMC，‎ ‎∴△AMC∽△CMN，‎ ‎∴=，即CM2=MN•MA；‎ ‎（2）连接OA、DM，‎ ‎∵PA是⊙O的切线，‎ ‎∴∠PAO=90°，‎ 又∵∠P=30°，‎ ‎∴OA=PO=（PC+CO），‎ 设⊙O的半径为r，‎ ‎∵PC=2，‎ ‎∴r=（2+r），‎ 解得：r=2，‎ 又∵CD是直径，‎ ‎∴∠CMD=90°，‎ ‎∵CM=DM，‎ ‎∴△CMD是等腰直角三角形，‎ ‎∴在Rt△CMD中，由勾股定理得CM2+DM2=CD2，即2CM2=（2r）2=16，‎ 则CM2=8，‎ ‎∴CM=2．‎ ‎　‎ ‎22．（8分）请阅读以下材料：已知向量=（x1，y1），=（x2，y2）满足下列条件：‎ ‎①||=，||=‎ ‎②⊗=||×||cosα（角α的取值范围是0°＜α＜90°）；‎ ‎③⊗=x1x2+y1y2‎ 利用上述所给条件解答问题：‎ 如：已知=（1，），=（﹣，3），求角α的大小；‎ 解：∵||===2，‎ ‎====2‎ ‎∴⊗=||×||cosα=2×2cosα=4cosα 又∵⊗=x1x2+y1y2=l×（﹣）+×3=2‎ ‎∴4cosα=2‎ ‎∴cosα=，∴α=60°‎ ‎∴角α的值为60°．‎ 请仿照以上解答过程，完成下列问题：‎ 已知=（1，0），=（1，﹣1），求角α的大小．‎ ‎【分析】模仿例题，根据关于cosα的方程即可解决问题．‎ ‎【解答】解：∵||===1，‎ ‎===，‎ ‎∴⊗=||×||cosα=cosα 又∵⊗=x1x2+y1y2=l×1+0×（﹣1）=1‎ ‎∴cosα=1‎ ‎∴cosα=，‎ ‎∴α=45°‎ ‎　‎ ‎23．（10分）学习习近平总书记关于生态文明建设重要井话，牢固树立“绿水青山就是金山银山”的科学观，让环保理念深入到学校，某校张老师为了了解本班学生3月植树成活情况，对本班全体学生进行了调查，并将调查结果分为了三类：A好，B：中，C：差．‎ 请根据图中信息，解答下列问题：‎ ‎（1）求全班学生总人数；‎ ‎（2）将上面的条形统计图与扇形统计图补充完整；‎ ‎（3）张老师在班上随机抽取了4名学生，其中A类1人，B类2人，C类1人，若再从这4人中随加抽取2人，请用画对状图或列表法求出全是B类学生的概率．‎ ‎【分析】（1）由A类人数及其所占百分比可得总人数；‎ ‎（2）总人数减去A、B的人数求得C类人数，再分别用B、C的人数除以总人数可得对应百分比，据此即可补全图形；‎ ‎（3）列表得出所有等可能结果，再根据概率公式求解可得．‎ ‎【解答】解：（1）全班学生总人数为10÷25%=40（人）；‎ ‎（2）∵C类人数为40﹣（10+24）=6，‎ ‎∴C类所占百分比为×100%=15%，B类百分比为×100%=60%，‎ 补全图形如下：‎ ‎（3）列表如下：‎ A B B C A BA BA CA B AB BB CB B AB BB CB C AC BC BC 由表可知，共有12种等可能结果，其中全是B类的有2种情况，‎ 所以全是B类学生的概率为=．‎ ‎　‎ ‎24．（10分）如图，某测量小组为了测量山BC的高度，在地面A处测得山顶B的仰角45°，然后沿着坡度为i=1：的坡面AD走了200米达到D处，此时在D处测得山顶B的仰角为60°，求山高BC（结果保留根号）．‎ ‎【分析】作DF⊥AC于F．解直角三角形分别求出BE、EC即可解决问题；‎ ‎【解答】解：作DF⊥AC于F．‎ ‎∵DF：AF=1：，AD=200米，‎ ‎∴tan∠DAF=，‎ ‎∴∠DAF=30°，‎ ‎∴DF=AD=×200=100，‎ ‎∵∠DEC=∠BCA=∠DFC=90°，‎ ‎∴四边形DECF是矩形，‎ ‎∴EC=BF=100（米），‎ ‎∵∠BAC=45°，BC⊥AC，‎ ‎∴∠ABC=45°，‎ ‎∵∠BDE=60°，DE⊥BC，‎ ‎∴∠DBE=90°﹣∠BDE=90°﹣60°=30°，‎ ‎∴∠ABD=∠ABC﹣∠DBE=45°﹣30°=15°，∠BAD=∠BAC﹣∠1=45°﹣30°=15°，‎ ‎∴∠ABD=∠BAD，‎ ‎∴AD=BD=200米，‎ 在Rt△BDE中，sin∠BDE=，‎ ‎∴BE=BD•sin∠BDE=200×=100，‎ ‎∴BC=BE+EC=100+100（米）．‎ ‎　‎ ‎25．（12分）如图，已知抛物线y=ax2+x+4的对称轴是直线x=3，且与x轴相交于A，B两点（B点在A点右侧）与y轴交于C点．‎ ‎（1）求抛物线的解折式和A、B两点的坐标；‎ ‎（2）若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点（不与B、C重合），则是否存在一点P，使△PBC的面积最大．若存在，请求出△PBC的最大面积；若不存在，试说明理由；‎ ‎（3）若M是抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交直线BC于点N，当MN=3时，求M点的坐标．‎ ‎【分析】（1）由抛物线的对称轴为直线x=3，利用二次函数的性质即可求出a值，进而可得出抛物线的解析式，再利用二次函数图象上点的坐标特征，即可求出点A、B的坐标；‎ ‎（2）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标，由点B、C的坐标，利用待定系数法即可求出直线BC的解析式，假设存在，设点P的坐标为（x，﹣x2+x+4），过点P作PD∥y轴，交直线BC于点D，则点D的坐标为（x，﹣x+4），PD=﹣x2+2x，利用三角形的面积公式即可得出S△PBC关于x的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题；‎ ‎（3）设点M的坐标为（m，﹣m2+m+4），则点N的坐标为（m，﹣m+4），进而可得出MN=|﹣m2+2m|，结合MN=3即可得出关于m的含绝对值符号的一元二次方程，解之即可得出结论．‎ ‎【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+x+4的对称轴是直线x=3，‎ ‎∴﹣=3，解得：a=﹣，‎ ‎∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+4．‎ 当y=0时，﹣x2+x+4=0，‎ 解得：x1=﹣2，x2=8，‎ ‎∴点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（8，0）．‎ ‎（2）当x=0时，y=﹣x2+x+4=4，‎ ‎∴点C的坐标为（0，4）．‎ 设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0）．‎ 将B（8，0）、C（0，4）代入y=kx+b，‎ ‎，解得：，‎ ‎∴直线BC的解析式为y=﹣x+4．‎ 假设存在，设点P的坐标为（x，﹣x2+x+4），过点P作PD∥y轴，交直线BC于点D，则点D的坐标为（x，﹣x+4），如图所示．‎ ‎∴PD=﹣x2+x+4﹣（﹣x+4）=﹣x2+2x，‎ ‎∴S△PBC=PD•OB=×8•（﹣x2+2x）=﹣x2+8x=﹣（x﹣4）2+16．‎ ‎∵﹣1＜0，‎ ‎∴当x=4时，△PBC的面积最大，最大面积是16．‎ ‎∵0＜x＜8，‎ ‎∴存在点P，使△PBC的面积最大，最大面积是16．‎ ‎（3）设点M的坐标为（m，﹣m2+m+4），则点N的坐标为（m，﹣m+4），‎ ‎∴MN=|﹣m2+m+4﹣（﹣m+4）|=|﹣m2+2m|．‎ 又∵MN=3，‎ ‎∴|﹣m2+2m|=3．‎ 当0＜m＜8时，有﹣m2+2m﹣3=0，‎ 解得：m1=2，m2=6，‎ ‎∴点P的坐标为（2，6）或（6，4）；‎ 当m＜0或m＞8时，有﹣m2+2m+3=0，‎ 解得：m3=4﹣2，m4=4+2，‎ ‎∴点P的坐标为（4﹣2，﹣1）或（4+2，﹣﹣1）．‎ 综上所述：M点的坐标为（4﹣2，﹣1）、（2，6）、（6，4）或（4+2，﹣﹣1）．‎ ‎　‎