九年级数学上册 2414 圆周角教学 新版新人教版

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24.1.4 　圆周角 知识点一 知识点二 知识点三 知识点四 知识点一 圆周角的定义 顶点在圆上 , 并且两边都与圆相交 , 我们把这样的角叫做圆周角 . 名师解读 : 理解此概念应注意两个方面 : 一是注意与圆心角的区别 , 圆心角是顶点在圆心 , 而圆周角是顶点在圆上 ; 二是它的两边必须与圆相交 ( 两边在圆内形成两条弦 ) . 如果除顶点外 , 其他的部分都在圆外 , 这样的角也不是圆周角 . 知识点一 知识点二 知识点三 知识点四 例 1 　 下面图形中的角 , 是圆周角的是 ( 　　 ) 解析 : 根据圆周角的定义用排除法即可 . 选项 A 的角顶点不在圆上 , 选项 C,D 中的角在圆内没有形成两条弦 , 故选 B . 答案 : B 知识点一 知识点二 知识点三 知识点四 注意圆周角必须满足两个条件 : ① 顶点在圆上 ; ② 角的两条边都与圆相交 . 二者缺一不可 . 知识点一 知识点二 知识点三 知识点四 知识点二 圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 . 名师解读 : (1) 定理的要求是同一条弧所对的圆周角和圆心角 , 从数值大小上来看 , 圆周角是圆心角的一半 ; (2) 不能忽略 “ 同一条弧 ” 这个前提条件 , 不能简单表述成 “ 圆周角等于圆心角的一半 . 知识点一 知识点二 知识点三 知识点四 例 2 　 如图所示 , OA , OB , OC 都是 ☉ O 的半径 , ∠ ACB= 45 ° , ∠ BOC= 30 ° , 求 ∠ BAC 与 ∠ AOB 的度数 . 分析 : 根据同弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半得出 ∠ BAC= ∠ BOC= 15 ° , ∠ AOB= 2 ∠ ACB= 90 ° . 解 : ∵ OA , OB , OC 都是 ☉ O 的半径 , ∠ ACB= 45 ° , ∠ BOC= 30 ° , ∴ ∠ BAC= ∠ BOC= 15 ° , ∠ AOB= 2 ∠ ACB= 90 ° . 知识点一 知识点二 知识点三 知识点四 求图形中圆周角的度数时 , 一般考虑先求它所对的弧所对的圆心角的度数 , 利用圆周角定理进行求解 , 若无法直接求出 , 则考虑进行转化 . 知识点一 知识点二 知识点三 知识点四 知识点三 圆周角定理的推论 同弧或等弧所对的圆周角相等 ; 半圆 ( 或直径 ) 所对的圆周角是直角 ,90 ° 的圆周角所对的弦是直径 . 名师解读 : 运用此推论可参考如下 : (1) ① 利用此结论 , 可以帮助我们证明两个圆周角相等或者两条弧相等 ; ② “ 相等的圆周角所对的弧相等的条件是在同圆或等圆中 , 如果失去了这个前提条件 , 结论就不一定正确 . (2) 解答图形中有圆的直径的问题时 , 通常把直径所对的直角表示出来 , 再结合其他知识进行解答 , 简称 “ 遇直径 , 出直角 ” ; 当图中有直角而没有直径时 , 也常常把直角所对的直径作出 , 简称 “ 见直角 , 作直径 ” . 知识点一 知识点二 知识点三 知识点四 例 3 　 如图所示 , 自 ☉ O 上一点 C 向弦 AB 作垂线段 CD , 求证 : ∠ ACD= ∠ BCO. 分析 : 延长 CO 交 ☉ O 于 E 点 , 连接 BE. 根据同弧所对的圆周角相等得出 ∠ CAB= ∠ CEB , 由 CE 为 ☉ O 的直径 , 根据直径所对的圆周角是直角得出 ∠ CBE= 90 ° , 那么 ∠ ADC= ∠ CBE= 90 ° . 然后根据三角形内角和定理得到 ∠ CAD+ ∠ ADC+ ∠ ACD= 180 ° , ∠ CEB+ ∠ CBE+ ∠ BCO= 180 ° , 利用等式的性质即可得出 ∠ ACD= ∠ BCO. 知识点一 知识点二 知识点三 知识点四 证明 : 延长 CO 交 ☉ O 于 E 点 , 连接 BE. 则 ∠ CAB= ∠ CEB. ∵ CE 为 ☉ O 的直径 , ∴ ∠ CBE= 90 ° , ∴ ∠ ADC= ∠ CBE= 90 ° . ∵ ∠ CAD+ ∠ ADC+ ∠ ACD= 180 ° , ∠ CEB+ ∠ CBE+ ∠ BCO= 180 ° , ∴ ∠ ACD= ∠ BCO. 知识点一 知识点二 知识点三 知识点四 解答这类问题 , 作出辅助线是解题的关键 . 知识点一 知识点二 知识点三 知识点四 知识点四 圆内接四边形的概念及性质 1 . 概念 : 如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上 , 这个多边形叫做圆内接多边形 , 这个圆叫做这个多边形的外接圆 . 如果四边形 ABCD 是 ☉ O 的内接四边形 , ☉ O 就是四边形 ABCD 的外接圆 . 2 . 性质 : 圆内接四边形的对角互补 . 名师解读 : 利用圆的内接四边形的性质 “ 对角互补 ” 可以方便求圆内角的度数和说明角之间的关系 . 知识点一 知识点二 知识点三 知识点四 例 4 　 如图所示 , 四边形 ABCD 内接于 ☉ O , 如果它的一个外角 ∠ DCE= 64 ° , 那么 ∠ BOD= ( 　　 ) A.128 ° 　 B.100 ° C.64 ° D.32 ° 解析 : ∵ 四边形 ABCD 内接于 ☉ O , ∴ ∠ A+ ∠ BCD= 180 ° , 又 ∠ BCD+ ∠ DCE= 180 ° , ∴ ∠ A= ∠ DCE= 64 ° , ∴ ∠ BOD= 2 ∠ A= 128 ° . 答案 : A 知识点一 知识点二 知识点三 知识点四 在圆中求圆心角的度数 , 一般借助于圆心角所对的弧所对的圆周角或圆心角所对的弦来解决问题 . 拓展点一 拓展点二 拓展点三 拓展点一 利用圆周角定理及其推论求角的度数或线段的长度 例 1 　 如图 , △ ABC 中 , AB=AC , 以 AB 为直径的 ☉ O 分别交 BC , AC 于点 D , E , 若 AE=BE , 则 ∠ EBC 的度数是 ( 　　 ) A.15 ° B.30 ° C.22 . 5 ° D.45 ° 拓展点一 拓展点二 拓展点三 解析 : ∵ AB 为圆 O 的直径 , ∴ ∠ AEB= 90 ° . 又 AE=BE , ∴ △ ABE 为等腰直角三角形 , ∴ ∠ A= ∠ ABE= 45 ° , ∵ AB=AC , 则 ∠ EBC= ∠ ABC- ∠ ABE= 22 . 5 ° . 答案 : C 拓展点一 拓展点二 拓展点三 此题的方法不唯一 , 也可以连接 AD , 利用等腰三角形的性质得出 ∠ BAD 的度数 , 然后利用 ∠ EBC= ∠ BAD 得出结果 , 熟练掌握圆周角定理及其推论是解本题的关键 . 拓展点一 拓展点二 拓展点三 拓展点二 利用圆周角定理及其推论证明线段相等或角相等 例 2 　 如图 , AB , CD 是 ☉ O 的直径 , DF , BE 是弦 , 且 DF=BE , 求证 : ∠ D= ∠ B. 拓展点一 拓展点二 拓展点三 拓展点一 拓展点二 拓展点三 利用 “ 在同圆或等圆中 , 相等的圆周角所对的弧相等 ” 是证明弧相等的重要方法之一 , 解答此类问题的方法往往也不唯一 . 拓展点一 拓展点二 拓展点三 拓展点三 与圆周角定理有关的综合题 例 3 　 如图 , △ ABC 是 ☉ O 的内接三角形 , 点 C 是优弧 上一点 ( 点 C 与 A , B 不重合 ), 设 ∠ OAB=α , ∠ C=β. (1) 当 α= 36 ° 时 , 求 β 的度数 ; (2) 猜想 α 与 β 之间的关系 , 并给予证明 . 拓展点一 拓展点二 拓展点三 拓展点一 拓展点二 拓展点三 此题主要考查圆周角、圆心角关系定理 . 主要证法有三种 : (1) 连接 OB , 构建圆周角 ; (2) 连接 OB , 并作 AB 的垂线段 OD , 利用等腰三角形三线合一的性质、圆周角与圆心角的关系求解 ; (3) 延长 AO 交 ☉ O 于 E , 连接 BE , 利用圆周角定理 , 把 α 与 β 放在同一个直角三角形中 .