2020年中考三轮冲刺复习培优同步练习:《四边形》(解析版)

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2020年中考三轮冲刺复习培优同步练习:《四边形》(解析版)

三轮冲刺复习培优同步练习:《四边形》‎ ‎1.在平面直角坐标系中,O为原点,点A(,0),点B(0,1),点E是边AB中点,把△ABO绕点A顺时针旋转,得△ADC,点O,B旋转后的对应点分别为D,C.记旋转角为α.‎ ‎(Ⅰ)如图①,当点D恰好在AB上时,求点D的坐标;‎ ‎(Ⅱ)如图②,若α=60°时,求证:四边形OECD是平行四边形;‎ ‎(Ⅲ)连接OC,在旋转的过程中,求△OEC面积的最大值(直接写出结果即可).‎ ‎2.如图,在长方形ABCD中,AB=4cm,BE=5cm,点E是AD边上的一点,AE、DE分别长acm、bcm,满足(a﹣3)2+|2a+b﹣9|=0.动点P从B点出发,以2cm/s的速度沿B→C→D运动,最终到达点D.设运动时间为ts.‎ ‎(1)a=   cm,b=   cm;‎ ‎(2)t为何值时,EP把四边形BCDE的周长平分?‎ ‎(3)另有一点Q从点E出发,按照E→D→C的路径运动,且速度为1cm/s,若P、Q两点同时出发,当其中一点到达终点时,另一点随之停止运动.求t为何值时,△BPQ的面积等于6cm2.‎ ‎3.如图所示,四边形ABCD为平行四边形,AD=13,AB=25,∠DAB=α,且cosα=,点E为直线CD上一动点,将线段EA绕点E逆时针旋转α得到线段EF,连接CF.‎ ‎(1)求平行四边形ABCD的面积;‎ ‎(2)当点C、B、F三点共线时,设EF与AB相交于点G,求线段BG的长;‎ ‎(3)求线段CF的长度的最小值.‎ ‎4.如图,在正方形ABCD中,点E是边BC上任意一点(点E不与点B、C重合),连结DE,点C关于DE的对称点为C1,连结AC1并延长交DE的延长线于点M,F是AC1的中点,连结DF.‎ ‎【猜想】如图①,∠FDM的大小为   度.‎ ‎【探究】如图②,过点A作AM1∥DF交MD的延长线于点M1,连结BM.‎ 求证:△ABM≌△ADM1.‎ ‎【拓展】如图③,连结AC,若正方形ABCD的边长为2,则△ACC1面积的最大值为   .‎ ‎5.如图,已知▱ABCD,E是CA延长线上一点,且∠EAB=90°,AB=AE,点F是BC下方一点,且FE=FD,∠EFD=90°,‎ ‎(1)求证:∠FEA=∠FDC;‎ ‎(2)若AF=3,求AC的长.‎ ‎6.在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,点A(5,0)在x轴的正半轴上,四边形OABC为平行四边形,对角线OB=OA,BC交y轴于点D,且S▱OABC=20.‎ ‎(1)如图①,求点B的坐标:‎ ‎(2)如图②,点P在线段OD上,设点P的纵坐标为t,△PAB的面积为S,请用含t的式子表示S;‎ ‎(3)在(2)的条件下,如图③,点Q在x轴上,点R为坐标平面内一点,若∠OCB﹣∠CBP=45°,且四边形PQBR为菱形,求t的值并直接写出点Q的坐标.‎ ‎7.已知在四边形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,AD=2,AB=4,BC=6.‎ ‎(1)如图1,P为AB边上一点,以PD,PC为边作平行四边形PCQD,过点Q作QH⊥BC,交BC的延长线于H.求证:△ADP≌△HCQ;‎ ‎(2)若P为AB边上任意一点,延长PD到E,使DE=PD,再以PE,PC为边作平行四边形PCQE.请问对角线PQ的长是否存在最小值?如果存在,请求出最小值;如果不存在,请说明理由.‎ ‎(3)如图2,若P为DC边上任意一点,延长PA到E,使AE=nPA(n为常数),以PE,PB为边作平行四边形PBQE.请探究对角线PQ的长是否也存在最小值?如果存在,请求出最小值;如果不存在,请说明理由.‎ ‎8.如图①,在平行四边形ABCD中,AB=8,BC=6,∠ABC=60°.AE平分∠BAD交CD于点F.动点P从点A出发沿AD向点D以每秒1个单位长度的速度运动.过点P作PQ⊥AD,交射线AE于点Q,以AP、AQ为邻边作平行四边形APMQ,平行四边形APMQ与△ADF重叠部分面积为S.当点P与点D重合时停止运动,设P点运动时间为t秒.(t>0)‎ ‎(1)用含t的代数式表示QF的长.‎ ‎(2)当点M落到CD边上时,求t的值.‎ ‎(3)求S与t之间的函数关系式.‎ ‎(4)连结对角线AM与PQ交于点G,对角线AC与BD交于点O(如图②).直接写出当GO与△ABD的边平行时t的值.‎ ‎9.如图①,正方形ABCD的边长为2,点P是正方形ABCD内一点,连结PA,PB,PD,△PAB为等边三角形.‎ ‎(1)求点P到边AD,AB的距离之和;‎ ‎(2)如图②,连结BD交PA于点E,求△PBD的面积以及的值.‎ ‎10.如图,已知∠MON=90°,A,B分别是边OM和ON上的点,四边形ACDB和四边形OEFC都是正方形.‎ ‎(1)当OA=2,OB=1时,求OC的长.‎ ‎(2)当OB=1,点A在直线OM上运动时,求OC的最小值.‎ ‎(3)设S△CDF=y,OA=x,求y关于x的函数关系式.‎ ‎11.已知:如图①,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=8,AB=10,点P,E,F分别是AB,AC,BC上的动点,且AP=2CE=2BF,连结PE,PF,以PE,PF为邻边作平行四边形PFQE.‎ ‎(1)当点P是AB的中点时,试求线段PF的长.‎ ‎(2)在运动过程中,设CE=m,若平行四边形PFQE的面积恰好被线段BC或射线AC分成1:3的两部分,试求m的值.‎ ‎(3)如图②,设直找FQ与直线AC交于点N,在运动过程中,以点Q,N,E为顶点的三角形能否构成直角三角形?若能,请直接写出符合要求的CE的长;若不能,请说明理由.‎ ‎12.定义:有三条边相等的四边形称为三等边四边形.‎ ‎(1)如图①,平行四边形ABCD中,对角线CA平分BCD.将线段CD绕点C旋转一个角度α(0°<α<∠B)至CE,连结AE.‎ ‎①求证:四边形ABCE是三等边四边形;‎ ‎②如图②,连结BE,DE.求证:∠BED=∠ACB.‎ ‎(2)如图③,在(1)的条件下,设BE与AC交于点G,∠ABE=3∠EBC,AB=10,cos∠BAC=,求以BG,GE和DE为边的三角形的面积.‎ ‎13.如图,长方形ABCD在平面直角坐标系中,AD∥BC∥x轴,AB∥DC∥y轴,x轴与y轴夹角为90°,点M,N分别在xy轴上,点A(1,8),B(1,6),C(7,6),D(7,8).‎ ‎(1)连接线段OB、OD、BD,求△OBD的面积;‎ ‎(2)若长方形ABCD在第一象限内以每秒0.5个单位长度的速度向下平移,经过多少秒时,△OBD的面积与长方形ABCD的面积相等请直接写出答案;‎ ‎(3)见备用图,连接 OB,OD,OD交BC于点E,∠BON的平分线和∠BEO的平分线交于点F.‎ ‎①当∠BEO的度数为n,∠BON的度数为m时,求∠OFE的度数.‎ ‎②请直接写出∠OFE和∠BOE之间的数量关系.‎ ‎14.将一个矩形纸片OABC放置在平面直角坐标系中,点O(0,0),点A(8,0),点C(0,6).P是边OC上的﹣一点(点P不与点O,C重合),沿着AP折叠该纸片,得点O的对应点O'.‎ ‎(Ⅰ)如图①,当点O'落在边BC上时,求点O'的坐标;‎ ‎(Ⅱ)若点O'落在边BC的上方,O'P,O'A与分别与边BC交于点D,E.‎ ‎①如图②,当∠OAP=30°时,求点D的坐标;‎ ‎②当CD=O'D时,求点D的坐标(直接写出结果即可).‎ ‎15.在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC=5,AD=6,BC=12.‎ ‎(1)梯形ABCD的面积等于   .‎ ‎(2)如图1,动点P从D点出发沿DC以每秒1个单位的速度向终点C运动,动点Q从C点出发沿CB以每秒2个单位的速度向B点运动.两点同时出发,当P点到达C点时,Q点随之停止运动.当PQ∥AB时,P点离开D点多少时间?‎ ‎(3)如图2,点K是线段AD上的点,M、N为边BC上的点,BM=CN=5,连接AN、DM,分别交BK、CK于点E、F,记△ADG和△BKC重叠部分的面积为S,求S的最大值.‎ ‎16.【探索规律】‎ 如图①,在△ABC中,点D,E,F分别在AB,BC,AC上,且DF∥BC,EF∥AB.设△ADF 的边DF上的高为h1,△EFC的边CE上的高为h2.‎ ‎(1)若△ADF、△EFC的面积分别为3,1,则=   ;‎ ‎(2)设△ADF、△EFC、四边形BDFE的面积分别为S1,S2,S,求证:S=2;‎ ‎【解决问题】‎ ‎(3)如图②,在△ABC中,点D,E分别在AB,AC上,点F,G在BC上,且DE∥BC,DF∥BG.若△ADE、△DBF、△EGC的面积分别为3,7,5,求△ABC的面积.‎ ‎17.已知:如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,∠ABC=90°,AB=AD=10cm,CD=4cm.点P从点A出发,沿AB方向匀速运动,速度为2cm/s;同时点Q从点C出发,沿DC方向在DC的延长线上匀速运动,速度为1cm/s;当点P到达点B时,点Q停止运动.过点P作PE∥BD,交AD于点E.连接EQ,BQ.设运动时间为t(s)(0<t<5),解答下列问题:‎ ‎(1)连接PQ,当t为何值时,PQ∥AD?‎ ‎(2)设四边形PBQE的面积为y(cm2),求y与t的函数关系式;‎ ‎(3)在运动过程中,是否存在某一时刻t,使四边形PBQE的面积为四边形ABQD面积的,若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由;‎ ‎(4)在运动过程中,是否存在某一时刻t,使EQ⊥BD?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.‎ ‎18.已知菱形ABCD中,AB=4,∠BAD=120°,点P是直线AB上任意一点,连接PC,在∠PCD内部作射线CQ与对角线BD交于点Q(与B、D不重合),且∠PCQ=30°.‎ ‎(1)如图,当点P在边AB上,且BP=3时,求PC的长;‎ ‎(2)当点P在射线BA上,且BP=n(0≤n<8)时,求QC的长;(用含n的式子表示)‎ ‎(3)连接PQ,直线PQ与直线BC相交于点E,如果△QCE与△BCP相似,请直接写出线段BP的长.‎ ‎19.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=12,AB=20.点P从点B出发,以每秒5个单位长度的速度沿BC向终点C运动,同时点M从点A出发,以相同速度沿AB向终点B运动.过点P作PQ⊥AB于点Q,连结PQ,以PQ、MQ为邻边作矩形PQMN,当点P运动到终点时,整个运动停止,设矩形PQMN与△ABC重叠部分图形的面积为S(S>0),点P的运动时间为l秒.‎ ‎(1)①BC的长为   ;‎ ‎②用含l的代数式表示线段PQ的长为   .‎ ‎(2)当QM的长度为10时,求t的值;‎ ‎(3)求S与t的函数关系式;‎ ‎(4)当过点Q和点N的直线垂直于Rt△ABC的一边时,直接写出t的值.‎ ‎20.在正方形ABCD中,E,F分别在AD,DC上,且AE=DF,AF交BD于G.‎ ‎(1)如图1,求证:BE⊥AF.‎ ‎(2)如图2,在边AB上取一点K,使AK=AE.过K作KS∥AF交BD于S,求证:G是SD中点.‎ ‎(3)在(2)的条件下,如果AB=8,BE是∠ABD的平分线,求△BSK的面积.‎ 参考答案 ‎1.解:(Ⅰ)∵A(,0),点B(0,1),‎ ‎∴OA=,OB=1,‎ 在△AOB中,∠AOB=90°,tan∠BAO==,‎ ‎∴∠BAO=30°.‎ ‎∴AB=2OB=2,‎ 由旋转性质得,DA=OA=,‎ 过D作DM⊥OA于M,如图①所示:‎ 则在Rt△DAM中,DM=AD=,AM=DM=,‎ ‎∴OM=AO﹣OM=﹣,‎ ‎∴D(﹣,).‎ ‎(Ⅱ)延长OE交AC于F,如图②所示:‎ 在Rt△AOB 中,点E为AB的中点,∠BAO=30°,‎ ‎∴OE=BE=AE.‎ 又∠ABO=60°,‎ ‎∴△BOE是等边三角形,‎ ‎∴OE=OB,‎ ‎∴∠BOE=60°,‎ ‎∴∠EOA=30°,‎ 由旋转性质,DC=OB,‎ ‎∴OE=DC.‎ ‎∵α=60°,‎ ‎∴∠OAD=60°,‎ 由旋转性质知,∠DAC=∠OAB=30°,∠DCA=∠OBA=60°,‎ ‎∴∠OAC=∠OAD+∠DAC=90°,‎ ‎∴∠OFA=90°﹣∠EOA=90°﹣30°=60°,‎ ‎∴∠DCA=∠OFA,‎ ‎∴OE∥DC.‎ ‎∴四边形OECD是平行四边形.‎ ‎(III)由旋转的性质得:在旋转的过程中,点C在以点A为圆心,以AB为半径的圆上,如图③所示:‎ 过点A作AG⊥OE交OE的延长线于G,‎ 当G、A、C三点共线时,△OEC面积最大,‎ ‎∵点E是边AB中点,∠AOB=90°,AB=2,‎ ‎∴OE=BE=AE=AB=1=OB,‎ ‎∴△OBE是等边三角形,‎ ‎∴∠OEB=60°,‎ ‎∴∠AEG=∠OEB=60°,‎ 在Rt△AEG中,∠AGE=90°,AE=1,sin∠AEG=,‎ ‎∴AG=AE×isn∠AEG=1×=,‎ ‎∴CG=AG+AC=AG+AB=+2,‎ ‎∴△OEC面积的最大值=OE×CG=×1×(+2)=+1.‎ ‎2.解:(1)∵(a﹣3)2+|2a+b﹣9|=0,‎ ‎∴a﹣3=0,2a+b﹣9=0,‎ ‎∴a=3,b=3;‎ 故答案为:3,3;‎ ‎(2)∵AE=3cm,DE=3cm,‎ ‎∴AD=6cm=BC,‎ ‎∴C四边形BCDE=BC+CD+DE+EB=18cm,‎ ‎∵EP把四边形BCDE的周长平分,‎ ‎∴BE+BP=9cm,‎ ‎∴点P在BC上,BP=4cm,‎ ‎∴t==2s;‎ ‎(3)解:①点P在BC上(0<t≤3),‎ ‎∵S△BPQ=×2t×4=6,‎ ‎∴t=;‎ ‎②相遇前,点P在CD上(3<t≤),‎ ‎∵S△BPQ=×[(4﹣(t﹣3)﹣(2t﹣6)]×6=6,‎ ‎∴t=;‎ ‎③相遇后,点P在CD上(<t≤5),‎ ‎∵S△BPQ=×[((t﹣3)+(2t﹣6)﹣4]×6=6,‎ ‎∴t=5;‎ ‎∴综上所述,当t=s或s或5s时,△BPQ的面积等于6cm2.‎ ‎3.解(1)如图1,作DK⊥AB于点K,‎ ‎∵将线段EA绕点E逆时针旋转α得到线段EF,‎ ‎∴∠AEF=α,AE=EF,‎ 在Rt△DAK中,‎ ‎∵cos∠DAK=cosα=,且AD=13,‎ ‎∴AK=5,‎ ‎∴DK===12,‎ ‎∴S平行四边形ABCD=AB×DK=25×12=300;‎ ‎(2)如图2,延长CD至H,作∠AHD=α,‎ ‎∵∠AHD=∠ADH=α,‎ ‎∴AH=AD=13,‎ 过点A作AM⊥DH于点M,‎ 由(1)知AM=12,‎ ‎∴DM==5,‎ ‎∴DH=10,‎ ‎∵∠FEH=∠DEA+∠α=∠F+α,‎ ‎∴∠DEA=∠F,‎ 在△AEH和△EFC中,‎ ‎,‎ ‎∴△AEH≌△EFC(AAS),‎ ‎∴EH=CF,CE=AH=13,‎ ‎∴DE=CD﹣CE=12,BF=CF﹣BC=22﹣13=9,‎ ‎∵BG∥CE,‎ ‎∴△FBG∽△FCE,‎ ‎∴,‎ 即,‎ ‎∴BG=;‎ ‎(3)如图3,延长CD至P,使∠P=∠ADP=α,过点F作FM∥BC,交CD于点M,过点FN⊥CD,交CD于点N,‎ 由(2)可知∠AEP=∠EFM,‎ 在△EAP和△FEM中.‎ ‎,‎ ‎∴△EAP≌△FEM(AAS),‎ ‎∴EM=AP=13,FM=EP,‎ 设DE=x,则FM=EP=10+x,CM=25﹣(13+x)=12﹣x,‎ ‎∴FN=FM•sinα=(10+x),MN=FM•cosα=(10+x),‎ ‎∴CN=CM+MN=12﹣x+(10+x)=,‎ 在Rt△CFN中,CF2=CN2+NF2=(208x2﹣416x+56836),‎ 对称轴x=﹣=1,‎ ‎∴当x=1时,CF的值最小,CF的最小值为.‎ ‎4.解:(1)由对称得:CD=C'D,∠CDE=∠C'DE,‎ 在正方形ABCD中,AD=CD,∠ADC=90°,‎ ‎∴AD=C'D,‎ ‎∵F是AC'的中点,‎ ‎∴DF⊥AC',∠ADF=∠C'DF,‎ ‎∴∠FDM=∠FDC'+∠EDC'=∠ADC=45°;‎ 故答案为:45;‎ ‎(2)∵DF⊥AC1,‎ ‎∴∠DFM=90°,‎ ‎∵AM1∥DF ‎∴∠MAM'=90°,‎ 在正方形ABCD中,DA=BA,∠BAD=90°,‎ ‎∴∠DAM1=∠BAM,‎ 由(1)可知:∠FDM=45°‎ ‎∵∠DFM=90°‎ ‎∴∠AMD=45°,‎ ‎∴∠M1=45°,‎ ‎∴AM=AM1,‎ 在:△ABM和△ADM1中,‎ ‎∵,‎ ‎∴△ABM≌△ADM1(SAS);‎ ‎(3)如图,过C1作C1G⊥AC于G,则=AC•C1G,‎ 在Rt△ABC中,AB=BC=2,‎ ‎∴AC==2,即AC为定值,‎ 当C1G最大值,△AC1C的面积最大,‎ 连接BD交AC于O,当C1在BD上时,C1G最大,此时G与O重合,‎ ‎∵CD=C1D=2,OD=AC=,‎ ‎∴C'G=C1D﹣OD=2﹣,‎ ‎∴=AC•C1G=×2(2﹣)=2﹣,‎ 故答案为:2﹣.‎ ‎5.(1)证明:设AC与DF交于点O,如图1所示:‎ ‎∵∠EAB=90°,‎ ‎∴∠BAC=90°,‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形,‎ ‎∴AB=CD,AB∥CD,‎ ‎∴∠ACD=∠BAC=90°,‎ ‎∴∠FDC+∠COD=90°,‎ ‎∵∠EFD=90°,‎ ‎∴∠FEA+∠FOE=90°,‎ 又∵∠FOE=∠COD,‎ ‎∴∠FEA=∠FDC;‎ ‎(2)解:连接CF,如图2所示:‎ ‎∵AB=AE,AB=CD,‎ ‎∴AE=CD,‎ 在△AEF和△CDF中,,‎ ‎∴△AEF≌△CDF(SAS),‎ ‎∴AF=CF,∠AFE=∠CFD,‎ ‎∴∠AFC=∠EFD=90°,‎ ‎∴△ACF是等腰直角三角形,‎ ‎∴AC=AF=3.‎ ‎6.解:(1)∵点A(5,0),OB=OA,‎ ‎∴OA=OB=5,‎ ‎∵S▱OABC=OA×OD=5OD=20,‎ ‎∴OD=4,‎ ‎∵四边形OABC为平行四边形,‎ ‎∴BC∥AO,BC=AO=5,‎ ‎∴∠BDO=90°,‎ ‎∴DB===3,‎ ‎∴点B(3,4);‎ ‎(2)∵点P的纵坐标为t,‎ ‎∴OP=t,‎ ‎∴DP=4﹣t,‎ ‎∴S=×(3+5)×4﹣×3×(4﹣t)﹣×5×t=﹣t+10;‎ ‎(3)如图,‎ 由(1)知,B(3,4),OA=5,BC∥OA,‎ ‎∴C(﹣2,4),‎ ‎∴CD=2‎ 取OD的中点E,则DE=OD=2,‎ ‎∴DE=CD,‎ ‎∴∠DCE=45°,‎ ‎∴∠OCB﹣∠OCE=45°,‎ ‎∵∠OCB﹣∠CBP=45°,‎ ‎∴∠OCE=∠CBP,‎ 过点E作EF⊥OC于F,‎ ‎∴∠CFE=90°=∠BDP,‎ ‎∴△CFE∽△BDP,‎ ‎∴,‎ 在Rt△CDE中,CD=DE=2,‎ ‎∴CE=2,‎ 在Rt△ODC中,CD=2,OD=4,‎ ‎∴OC=2,‎ ‎∵CE是△OCD的中线,‎ ‎∴S△OCE=S△CDO=××2×4=2‎ ‎∵S△OCE=OC•EF=×EF=2,‎ ‎∴EF=,‎ 在Rt△CFE中,根据勾股定理得,CF=,‎ ‎∴,‎ ‎∴DP=1,‎ ‎∴OP=OD﹣DP=3,‎ ‎∴t=3,‎ ‎∴P(0,3),‎ 设Q(m,0),‎ ‎∵B(3,4),‎ ‎∴PQ2=m2+9,BQ2=(m﹣3)2+16,‎ ‎∵四边形PQBR为菱形,‎ ‎∴PQ=BQ,‎ ‎∴m2+9=(m﹣3)2+16,‎ ‎∴m=,‎ 即Q(,0).‎ ‎7.解:(1)∵AD∥BC,‎ ‎∴∠ADC=∠DCH,‎ ‎∴∠ADP+∠PDC=∠DCQ+∠QCH,‎ ‎∵四边形PCQD是平行四边形,‎ ‎∴PD∥CQ,PD=CQ,‎ ‎∴∠PDC=∠DCQ,‎ ‎∴∠ADP=∠QCH,‎ 在△ADP和△HCQ中,‎ ‎,‎ ‎∴△ADP≌△HCQ(AAS);‎ ‎(2)存在最小值,最小值为10,‎ 如图1,作QH⊥BC,交BC的延长线于H,设PQ与DC相交于点G,‎ ‎∵PE∥CQ,‎ ‎∴△DPG∽△CQG,‎ ‎∴ = = ,‎ 由(1)可知,∠ADP=∠QCH,‎ ‎∴Rt△ADP∽Rt△QCH,‎ ‎∴ = = ,‎ ‎∴CH=2AD=4,‎ ‎∴BH=BC+CH=6+4=10,‎ ‎∴当PQ⊥AB时,PQ的长最小,即为10;‎ ‎(3)存在最小值,最小值为( n+4 ),‎ 如图2,作QH∥DC,交CB的延长线于H,作CK⊥CD,交QH的延长线于K,‎ ‎∵PE∥BQ,AE=nPA,‎ ‎∴==,‎ ‎∵AD∥BC,‎ ‎∴∠ADP+∠DCH=90°,‎ ‎∵CD∥QK,‎ ‎∴∠QHC+∠DCH=180°,‎ ‎∴∠QHC=∠ADQ,‎ ‎∵∠PAD+∠PAG=∠QBH+∠QBG=90°,∠PAG=∠QBG,‎ ‎∴∠PAD=∠QBH,‎ ‎∴△ADP∽△BHQ,‎ ‎∴==,‎ ‎∴BH=2n+2,‎ ‎∴CH=BC+BH=6+2n+2=2n+8,‎ 过点D作DM⊥BC于M,又∠DAB=∠ABM=90°,‎ ‎∴四边形ABMD是矩形,‎ ‎∴BM=AD=2,DM=AB=4,‎ ‎∴MC=BC﹣BM=6﹣2=4=DM,‎ ‎∴∠DCM=45°,‎ ‎∴∠HCK=45°,‎ ‎∴CK=CH•cos45°= ( 2n+8 )=( n+4 ),‎ ‎∴当PQ⊥CD时,PQ的长最小,最小值为( n+4 ).‎ ‎8.解:(1)如图1中,‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形,‎ ‎∴AD∥BC,∠D=∠ABC,AD=BC=6,‎ ‎∵∠ABC=60°,‎ ‎∴∠DAB=120°,∠D=60°,‎ ‎∵AE平分∠DAB,‎ ‎∴∠DAQ=60°,‎ ‎∴△ADF是等边三角形,‎ ‎∴AF=AD=6,‎ ‎∵PQ⊥AD,‎ ‎∴∠APQ=90°,‎ ‎∴AQ=2AP=2t,‎ ‎∴FQ=AF﹣AQ=6﹣2t;‎ ‎(2)如图2中,‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形,‎ ‎∴AB∥CD,‎ ‎∴∠D=180°﹣∠DAB=60°,‎ ‎∵PM∥AE,MQ∥AD,‎ ‎∴∠DPM=∠DAQ=60°,四边形APMQ是平行四边形,‎ ‎∴△DPM是等边三角形,PM=AQ=2PA=2t,‎ ‎∴DP=PM,‎ ‎∴6﹣t=2t,‎ ‎∴t=2.‎ ‎(3)①当0<t≤2时,如图1中,重叠部分是平行四边形APMQ,S=AP•PQ=t2.‎ ‎②如图3中,当2<t≤3时,重叠部分五边形APSTQ,‎ S=t2﹣(3t﹣6)2=﹣t2+9t﹣9;‎ ‎③如图4中,当3<t≤6时,重叠部分是四边形PSFA.‎ S=S△DAF﹣S△DSP=×62﹣•(6﹣t)2=﹣t2+3t.‎ 综上所述,S=;‎ ‎(4)如图5中,当GO∥AB时,∵AG=GM,‎ ‎∴点M在线段CD上,此时t=2s.‎ 如图6中,当GO∥AD时,则B、C、Q共线,‎ 可得△ABQ是等边三角形,AB=AQ=BQ=8,‎ ‎∴AQ=2t=8,‎ ‎∴t=4s,‎ 综上所述,t=2s或4s时,GH与三角形ABD的一边平行或共线.‎ ‎9.解:(1)如图①,过P作PM⊥AD于M,PN⊥AB于N,‎ ‎∵四边形ABCD是正方形,‎ ‎∴∠DAB=90°,‎ ‎∴∠PMA=∠DAB=∠PNB=90°,‎ ‎∴四边形ANPM是矩形,‎ ‎∴PM=AN,AM=PN,‎ ‎∵△ABP是等边三角形,‎ ‎∴AN=AB=1,PN=,‎ ‎∴PM=AN=1,‎ ‎∴PM+PN=+1,‎ 即点P到边AD,AB的距离之和为+1;‎ ‎(2)S△PBD=S四边形ABPD﹣S△ABD=AD(PM+PN)﹣AD•AB=×2×(1+)﹣×2×2=﹣1;‎ 如图②,过P作PG⊥BD于G,过A作AH⊥BD于H,‎ ‎∴∠PGE=∠AHE=90°,‎ ‎∵∠PEG=∠AEH,‎ ‎∴△PGE∽△AHE,‎ ‎∴=,‎ ‎∵====+1,‎ ‎∴=+1.‎ ‎10.解:(1)如图1所示,过点C作CG⊥OM于点G,‎ ‎∵四边形ACDB是正方形,‎ ‎∴AB=AC,∠BAC=90°,‎ ‎∵∠MON=90°,∠AGC=90°,‎ ‎∴∠BAO+∠ABO=90°,∠BAO+∠CAG=90°,‎ ‎∴∠ABO=∠CAG,‎ ‎∴△AOB≌△AGC(AAS).‎ ‎∵OA=2,OB=1,‎ ‎∴CG=OA=2,AG=OB=1,‎ ‎∴OG=3,‎ ‎∴在Rt△OGC中,由勾股定理得:‎ OC==.‎ ‎(2)如图2所示,由题意可得点C在直线l:y=x﹣1上运动,‎ ‎∴OC的最小值为当OC与直线l垂直时,此时OC=,‎ ‎∴OC的最小值为.‎ ‎(3)如图3所示,延长OC至点H,使CH=OC,连接AH,过点C作CG⊥OM,‎ ‎∵CD=CA,CH=CF,∠DCF=∠ACH=90°+∠ACF,‎ ‎∴△DCF≌△ACH(SAS),‎ 由(1)知△AOB≌△AGC(AAS),‎ ‎∴CG=OA,‎ ‎∵C是OH的中点,‎ ‎∴S△ACH=S△OAC,‎ ‎∵S△CDF=y,OA=x,‎ ‎∴y=S△OAH ‎=S△OAC ‎=x2.‎ ‎∴y关于x的函数关系式为y=x2.‎ ‎11.解:(1)如图①,作PH⊥BC于点H,‎ ‎∵∠ACB=90°,BC=8,AB=10,‎ ‎∴AC=6.‎ ‎∵AP=2CE=2BF,‎ ‎∵点P是AB的中点,‎ ‎∴PA=PB=5.‎ ‎∴CE=BF=,PH=3,BH=CH=4,‎ ‎∴FH=.‎ ‎∴PF==.‎ ‎(2)如图②,平行四边形PFQE的面积恰好被线段BC分成1:3的两部分时,则EM=PF.‎ ‎∵PH⊥BC,‎ ‎∴∠PHF=90°=∠ACB,‎ ‎∴PH∥AC,‎ ‎∴△CEM∽△HPF,△PBH∽△ABC,‎ ‎∴PH=2CE=2m,=.‎ ‎∴=,‎ ‎∴m=.‎ 如图③,平行四边形PFQE的面积恰好被线段AC分成1:3的两部分时,则FD=QD,QN=PG,‎ ‎∴CF=PG.‎ ‎∵△APG∽△ABC,‎ ‎∴=.‎ ‎∴=,‎ ‎∴m=.‎ ‎∴m的值为或.‎ ‎(3)如图④,当∠QNE=90°时,则点N与点C重合,设CE=x,‎ ‎∵△PBH∽△ABC,‎ ‎∴=,‎ ‎∴=,‎ ‎∴x=.‎ 如图⑤,当∠QNE=90°时,则点P与点B重合,‎ 则2x=10,‎ ‎∴x=5.‎ 如图⑥,当∠QNE=90°时,‎ ‎∵△FPR∽△PES,‎ ‎∴=,‎ ‎∴=,‎ ‎∴x=.‎ 经检验,x值符合题意.‎ 综上,CE的长为或5或.‎ ‎12.解:(1)①证明:如图①,‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形,‎ ‎∴AB∥CD,‎ ‎∴∠BAC=∠ACD,‎ ‎∵CA平分∠BCD,‎ ‎∴∠BCA=∠ACD,‎ ‎∴∠BAC=∠BCA,‎ ‎∴AB=BC,‎ ‎∴平行四边形ABCD是菱形,‎ ‎∴AB=BC=CD,‎ ‎∵CE=CD,‎ ‎∴AB=BC=CE,‎ ‎∴四边形ABCE是三等边四边形.‎ ‎②证明:如图②,延长EC至点H,‎ ‎∵CE=CD,‎ ‎∴∠CDE=∠CED,‎ ‎∴∠HCD=∠CDE+∠CED=2∠CED,‎ ‎∵BC=CE,‎ ‎∴∠CBE=∠CEB,‎ ‎∴∠HCB=∠CBE+∠CEB=2∠CEB,‎ ‎∴∠HCD﹣∠HCB=2(∠CED﹣∠CEB),‎ 即∠BCD=2∠BED,‎ ‎∵四边形ABCD是菱形,‎ ‎∴∠BCD=2∠ACB,‎ ‎∴∠BED=∠ACB.‎ ‎(2)如图③,连接BD,DG,BD与AC交于点O,过点G作GP⊥BC于点P,‎ ‎∵四边形ABCD是菱形,‎ ‎∴BD⊥AC,AO=AC,BD=2BO,∠DBC=∠ABC,‎ 在Rt△ABO中,AB=10,cos∠BAC=,‎ ‎∴AO=AB=6,‎ ‎∴OC=AO=6,BO==8,‎ ‎∴BD=2BO=16,‎ ‎∵∠ABE=3∠EBC,‎ ‎∴∠ABC=4∠EBC,‎ ‎∵∠DBC=∠ABC,‎ ‎∴∠DBC=2∠EBC,‎ ‎∴∠DBE=∠EBC,‎ ‎∵GO⊥BD,GP⊥BC,‎ ‎∴GO=GP,BP=BO=8,‎ ‎∴PC=BC﹣BP=10﹣8=2,‎ 在Rt△GPC中,GC2﹣GP2=PC2,‎ ‎∴(OC﹣OG)2﹣OG2=PC2,‎ 即(6﹣OG)2﹣OG2=4,‎ ‎∴OG=,GC=,‎ ‎∴BG==,‎ ‎∵∠BED=∠ACB,∠DBE=∠EBC,‎ ‎∴△BED∽△BCG,‎ ‎∴,‎ ‎∴BE==16×10÷=6,‎ DE==16×=2,‎ ‎∵AC垂直平分BD,‎ ‎∴DG=BG=,‎ ‎∴∠GDB=∠GBD,‎ ‎∴∠GDE=∠BDE﹣∠GDB=∠BGC﹣∠GBD=∠GOB=90°,‎ ‎∴S△GDE=DG•DE==,‎ ‎∴以BG,GE和DE为边的三角形的面积是.‎ ‎13.解:(1)如图1,延长DA交y轴于H,如图1所示:‎ 则AH⊥y轴.‎ ‎∵A(1,8),B(1,6),C(7,6),D(7,8)‎ ‎∴OH=8,DH=7,AH=1,AD=6,AB=2,‎ ‎∴S△OBD=S△ODH﹣S△ABD﹣S梯形AHOB=×OH×DH﹣×AB×AD﹣×(AB+OH)×AH=×8×7﹣×2×6﹣×(2+8)×1=17;‎ ‎(2)∵S长方形ABCD=2×6=12,‎ ‎∴S△OBD=S△ODH﹣S△ABD﹣S梯形AHOB=12,‎ ‎∴×(8﹣0.5t)×7﹣×2×6﹣×(2+8﹣0.5t)×1=12,‎ ‎∴t=;‎ ‎(3)①如图2,延长CB交y轴于P,延长EF交y轴于点G,‎ ‎∵EF平分∠BEO,OF平分∠NOB,‎ ‎∴∠GOF=∠NOB=m,∠BEF=∠BEO=n,‎ ‎∵∠EFO=∠GOF+∠FGO,∠FGO=∠GPE+∠BEF,‎ ‎∴∠EFO=∠GOF+∠GPE+∠BEF=m+n+90°;‎ ‎②∵EF平分∠BEO,OF平分∠NOB,‎ ‎∴∠GOF=∠NOB,∠BEF=∠BEO,‎ ‎∵∠EFO=∠GOF+∠FGO,∠FGO=∠GPE+∠BEF,‎ ‎∴∠EFO=∠GOF+∠GPE+∠BEF=90°+∠NOB+∠BEO,‎ ‎∵∠BOE=90°﹣∠BON﹣∠BEO,‎ ‎∴2∠EFO+∠BOE=270°.‎ ‎14.解:(Ⅰ)∵点A(8,0),点C(0,6),OABC为矩形,‎ ‎∴AB=OC=6,OA=CB=8,∠B=90°.‎ 根据题意,由折叠可知△AOP≌△AO'P,‎ ‎∴O'A=OA=8.‎ 在Rt△AO'B中,BO'==2.‎ ‎∴CO'=BC﹣BO'=8﹣2.‎ ‎∴点O'的坐标为(8﹣2,6).‎ ‎(Ⅱ)①∵∠OAP=30°,‎ ‎∴∠OPA=60°,‎ ‎∵∠OPA=∠O'PA,‎ ‎∴∠CPD=180°﹣∠OPA﹣∠O'PA=60°.‎ ‎∵OA=8,‎ ‎∴OP=OA•tan30°=.‎ ‎∴CP=6﹣OP=6﹣.‎ ‎∴CD=CP•tan60°=6﹣8.‎ ‎∴点D的坐标为(6﹣8,6).‎ ‎②连接AD,如图:‎ 设CD=x,则BD=BC﹣CD=8﹣x,O'D=CD=x,‎ 根据折叠可知AO'=AO=8,∠PO'A=∠POA=90°,‎ ‎∴在Rt△ADO'中,AD2=AO'2+DO'2=82+x2=x2+64;‎ 在Rt△ABD中,AD2=BD2+AB2=(8﹣x)2+62=x2﹣16x+100;‎ ‎∴x2+64=x2﹣16x+100,‎ 解得:x=,‎ ‎∴CD=,‎ ‎∴D(,6).‎ ‎15.解:(1)如图1,作AE⊥BC于E,DF⊥BC于F,则AE∥DF,‎ ‎∵AD∥BC,AE⊥BC,‎ ‎∴四边形ADFE是矩形,‎ ‎∴AE=DF,AD=EF=6,‎ 在Rt△ABE和Rt△DCF中,‎ ‎,‎ ‎∴Rt△ABE≌Rt△DCF(HL),‎ ‎∴BE=CF,‎ ‎∴BE=CF==3,‎ 由勾股定理得,AE===4,‎ 梯形ABCD的面积=×(AD+BC)×AE=×(12+6)×4=36,‎ 故答案为:36;‎ ‎(2)如图3,过D作DE∥AB,交BC于点E,‎ ‎∵AD∥BC,DE∥AB,‎ ‎∴四边形ABED为平行四边形,‎ ‎∴BE=AD=6,‎ ‎∴EC=6,‎ 当PQ∥AB时,PQ∥DE,‎ ‎∴△CQP~△CED,‎ ‎∴,即=,‎ 解得,t=;‎ ‎(3)如图2,过G作GH⊥BC,延长HG交AD于I,过E作EX⊥BC,延长XE交AD于Y,过F作FU⊥BC于U,延长UF交AD于W,‎ ‎∵BM=CN=5,‎ ‎∴MN=12﹣5﹣5=2,‎ ‎∴BN=CM=7,‎ ‎∵MN∥AD,‎ ‎∴△MGN~△DGA,‎ ‎∴=,即=,‎ 解得,HG=1,‎ 设AK=x,‎ ‎∵AD∥BC,‎ ‎∴△BEN~△KEA,‎ ‎∴=,即=,‎ 解得,EX=,‎ 同理:FU=,‎ S=S△BKC﹣S△BEN﹣S△CFM+S△MNG ‎=×12×4﹣×7×﹣×7×+×2×1‎ ‎=,‎ 当x=3时,S的最大值为25﹣=5.4.‎ ‎16.解:(1)∵DF∥BC,EF∥AB,‎ ‎∴∠AFD=∠ACB,∠DAF=∠EFC,‎ ‎∴△ADF∽△FEC,‎ ‎∵△ADF、△EFC的面积分别为3,1,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∵△ADF的边DF上的高为h1,△EFC的边CE上的高为h2,‎ ‎∴;‎ 故答案为:.‎ ‎(2)证明:如图①,设AD=a,BD=b,DB与EF间的距离为h,‎ ‎∵EF∥AB,DF∥BC,‎ ‎∴四边形DBFE是平行四边形,‎ ‎∴BD=EF=b,‎ 由(1)知△ADF∽△FEC,‎ ‎∴,‎ ‎∵S1=ah,‎ ‎∴S2=,‎ ‎∴S1S2=,‎ ‎∴bh=2,‎ ‎∵S=bh,‎ ‎∴S=2.‎ ‎(3)如图②,过点D作DM∥AC交BC于点M,‎ ‎∴∠DMF=∠ECG,‎ ‎∵DE∥BC,DF∥BG,‎ ‎∴四边形DFGE为平行四边形,‎ ‎∴∠DF=EG,∠DFM=∠EGC,‎ ‎∴△DFM≌△EGC(AAS),‎ ‎∴S△DFM=S△EGC=5,‎ ‎∵S△DBF=7,‎ ‎∴S△BDM=7+5=12,‎ ‎∵DE∥BM,DM∥AC,‎ ‎∴∠ADE=∠DBM,∠BDM=∠BAE,‎ ‎∴△DAE∽△BDM,‎ ‎∴=,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ 同理,△ADE∽△ABC,‎ ‎∴S△ABC=9S△ADE=9×3=27.‎ ‎17.解:(1)当PQ∥AD时,∵DC∥AB,‎ ‎∴四边形APQD是平行四边形,‎ ‎∴AP=DQ,即2t=4+t,‎ 解得,t=4,‎ ‎∴当t为4s时,PQ∥AD;‎ ‎(2)过点D作DF⊥AB于F,过点E作EM⊥AB于M,延长ME交CD的延长线于点N,‎ ‎∴∠DFA=∠DFB=90°,∠EMA=∠EMB=90°,‎ ‎∵AB∥CD,‎ ‎∴∠CDF=90°,∠CNM=90°,‎ ‎∵∠ABC=90°,‎ ‎∴四边形DFBC、NMFD是矩形,‎ ‎∴BF=DC=4,‎ ‎∴AF=6,‎ ‎∴DF==8,‎ ‎∴MN=BC=DF=8,‎ ‎∵PE∥BD,‎ ‎∴,‎ ‎∵AB=AD,‎ ‎∴AE=AP=2t,‎ ‎∵∠A=∠A,∠EMA=∠DFA,‎ ‎∴△AEM∽△ADF,‎ ‎∴,即,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∴y=S四边形PBQE=S梯形ABQD﹣S△AEP﹣S△QED ‎==‎ ‎=﹣t2+t+40,‎ ‎∴y与的函数关系式为:y═﹣t2+t+40(0<t<5);‎ ‎(3)假设存在某一时刻t,四边形PBQE的面积为四边形ABQD面积的,‎ 则﹣t2+t+40=××(4+t+10)×8,‎ 解得,t1=4,t2=﹣(不合题意,舍去),‎ 答:当t=4时,四边形PBQE的面积为四边形ABQD面积的;‎ ‎(4)若存在某一时刻t,使EQ⊥BD,垂足为O,‎ ‎∴∠DOE=∠DOQ=90°,‎ ‎∵AB∥CD,‎ ‎∴∠BDC=∠DBA,‎ ‎∵AB=AD,‎ ‎∴∠BDA=∠DBA,‎ ‎∴∠BDC=∠BDA,‎ ‎∴DE=DQ,‎ ‎∴4+t=10﹣2t,‎ ‎∴t=2,‎ ‎∴当t为2s时,EQ⊥BD.‎ ‎18.解:(1)如图1中,作PH⊥BC于H.‎ ‎∵四边形ABCD是菱形,‎ ‎∴AB=BC=4,AD∥BC,‎ ‎∴∠A+∠ABC=180°,‎ ‎∵∠A=120°,‎ ‎∴∠PBH=60°,‎ ‎∵PB=3,∠PHB=90°,‎ ‎∴BH=PB•cos60°=,PH=PB•sin60°=,‎ ‎∴CH=BC﹣BH=4﹣=,‎ ‎∴PC═==.‎ ‎(2)如图1中,作PH⊥BC于H,连接PQ,设PC交BD于O.‎ ‎∵四边形ABCD是菱形,‎ ‎∴∠ABD=∠CBD=30°,‎ ‎∵∠PCQ=30°,‎ ‎∴∠PBO=∠QCO,‎ ‎∵∠POB=∠QOC,‎ ‎∴△POB∽△QOC,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∵∠POQ=∠BOC,‎ ‎∴△POQ∽△BOC,‎ ‎∴∠OPQ=∠OBC=30°=∠PCQ,‎ ‎∴PQ=QC,‎ ‎∴PC=QC,‎ 在Rt△PHB中,BP=n,‎ ‎∴BH=n,PH=n,‎ ‎∵PC2=PH2+CH2,‎ ‎∴3QC2=(n)2+(4﹣n)2,‎ ‎∴QC=(0≤n<8).‎ ‎(3)①如图2中,若直线QP交直线BC于B点左侧的点E.‎ 此时∠CQE=120°,‎ ‎∵∠PBC=60°,‎ ‎∴△PBC中,不存在角与∠CQE相等,‎ 此时△QCE与△BCP不可能相似.‎ ‎②如图3中,若直线QP交直线BC于点C右侧的点E.‎ 则∠CQE=∠B=QBC+∠QCP=60°=∠CBP,‎ ‎∵∠PCB>∠E,‎ ‎∴只可能∠BCP=∠QCE=75°,‎ 作CF⊥AB于F,则BF=2,CF=2,∠PCF=45°,‎ ‎∴PF=CF=2,‎ 此时BP=2+2,‎ ‎③如图4中,当点P在AB的延长线上时,‎ ‎∵△CBE与△CBP相似,‎ ‎∴∠CQE=∠CBP=120°,‎ ‎∴∠QCE=∠CBP=15°,‎ 作CF⊥AB于F.‎ ‎∵∠FCB=30°,‎ ‎∴∠FCB=45°,‎ ‎∴BF=BC=2,CF=PF=2,‎ ‎∴BP=2﹣2.‎ 综上所述,满足条件的BP的值为2+2或2﹣2.‎ ‎19.解:(1)①∵∠ACB=90°,AC=12,AB=20,‎ ‎∴BC===16,‎ 故答案为:16;‎ ‎②∵sinB=,‎ ‎∴,‎ ‎∴PQ=3t,‎ 故答案为:3t;‎ ‎(2)在Rt△PQB中,BQ==4t,‎ 当点M与点Q相遇,20=4t+5t,‎ ‎∴t=,‎ 当0<t<时,MQ=AB﹣AM﹣BQ,‎ ‎∴20﹣4t﹣5t=10,‎ ‎∴t=,‎ 当<t≤时,MQ=AM+BQ﹣AB,‎ ‎∴4t+5t﹣20=10,‎ ‎∴t=,‎ ‎∵>,‎ ‎∴不合题意舍去,‎ 综上所述:当QM的长度为10时,t的值为;‎ ‎(3)当0<t<时,S=3t×(20﹣9t)=﹣27t2+60t;‎ 当<t≤时,如图,‎ ‎∵四边形PQMN是矩形,‎ ‎∴PN=QM=9t﹣20,PQ=3t,PN∥AB,‎ ‎∴∠B=∠NPE,‎ ‎∴tanB=tan∠NPE,‎ ‎∴,‎ ‎∴NE==﹣15,‎ ‎∴S=3t×(9t﹣20)﹣×(9t﹣20)×(﹣15)=﹣;‎ ‎(4)如图,若NQ⊥AC,‎ ‎∴NQ∥BC,‎ ‎∴∠B=∠MQN,‎ ‎∴tanB=tan∠MQN,‎ ‎∴,‎ ‎∴=,‎ ‎∴t=,‎ 如图,若NQ⊥BC,‎ ‎∴NQ∥AC,‎ ‎∴∠A=∠BQN,‎ ‎∴tanA=tan∠BQN,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∴t=‎ 综上所述:当t=或时,过点Q和点N的直线垂直于Rt△ABC的一边.‎ ‎20.(1)证明:设BE与AF交于点H,如图1所示:‎ ‎∵四边形ABCD是正方形,‎ ‎∴AB∥CD,∠BAE=∠ADF=90°,AB=AD,‎ 在△BAE和△ADF中,,‎ ‎∴△BAE≌△ADF(SAS),‎ ‎∴∠ABE=∠DAF,‎ ‎∴∠DAF+∠AEB=∠ABE+∠AEB=90°,‎ ‎∴∠AHE=90°,‎ ‎∴BE⊥AF;‎ ‎(2)证明:∵KS∥AF,‎ ‎∴,‎ ‎∵AB∥CD,‎ ‎∴△DGF∽△BGA,‎ ‎∴,‎ ‎∵AK=AE,AE=DF,‎ ‎∴AK=DF,‎ ‎∴=,‎ ‎∴GS=DG,‎ ‎∴G是SD中点;‎ ‎(3)解:作EP⊥BD于P,如图2所示:‎ ‎∵BE是∠ABD的平分线,EA⊥AB,‎ ‎∴AE=PE,‎ ‎∵四边形ABCD是正方形,‎ ‎∴AD=AB=8,∠BAD=90°,∠ABD=∠ADB=45°,‎ ‎∴BD=AB=8,‎ ‎∵EP⊥BD,‎ ‎∴△PDE是等腰直角三角形,‎ ‎∴PD=PE,DE=PE=PD,‎ ‎∴AE=PE=PD,‎ ‎∵AE+DE=AD=8,‎ ‎∴AE+AE=8,‎ 解得:AE=8﹣8,‎ ‎∴DF=AE=AK=8﹣8,‎ ‎∴BK=AB﹣AK=8﹣(8﹣8)=16﹣8,‎ ‎∵AB∥CD,‎ ‎∴△DGF∽△BGA,‎ ‎∴===+1,‎ ‎∴DG===8﹣8,‎ ‎∴BS=BD﹣2DG=8﹣2(8﹣8)=16﹣8,‎ 作SN⊥AB于N,则△BNS是等腰直角三角形,‎ ‎∴SN=BN=BS=8﹣8,‎ ‎∴△BSK的面积=BK×SN=×(16﹣8)×(8﹣8)=96﹣128.‎
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