2017年四川省成都市中考数学试卷（A卷）

2017年四川省成都市中考数学试卷（A卷）

‎2017年四川省成都市中考数学试卷（A卷）‎ ‎　‎ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）‎ ‎1．（3分）《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数，若气温为零上10℃记作+10℃，则﹣3℃表示气温为（　　）‎ A．零上3℃ B．零下3℃ C．零上7℃ D．零下7℃‎ ‎2．（3分）如图所示的几何体是由4个大小相同的小立方体组成，其俯视图是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．（3分）总投资647亿元的西成高铁预计2017年11月竣工，届时成都到西安只需3小时，上午游武侯区，晚上看大雁塔将成为现实，用科学记数法表示647亿元为（　　）‎ A．647×108 B．6.47×109 C．6.47×1010 D．6.47×1011‎ ‎4．（3分）二次根式中，x的取值范围是（　　）‎ A．x≥1 B．x＞1 C．x≤1 D．x＜1‎ ‎5．（3分）下列图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．（3分）下列计算正确的是（　　）‎ A．a5+a5=a10 B．a7÷a=a6 C．a3•a2=a6 D．（﹣a3）2=﹣a6‎ ‎7．（3分）学习全等三角形时，数学兴趣小组设计并组织了“生活中的全等”的比赛，全班同学的比赛结果统计如下表：‎ ‎ 得分（分）‎ ‎ 60‎ ‎ 70‎ ‎ 80‎ ‎ 90‎ ‎ 100‎ ‎ 人数（人）‎ ‎ 7‎ ‎ 12‎ ‎ 10‎ ‎ 8‎ ‎ 3‎ 则得分的众数和中位数分别为（　　）‎ A．70分，70分 B．80分，80分 C．70分，80分 D．80分，70分 ‎8．（3分）如图，四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OA′=2：3，则四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为（　　）‎ A．4：9 B．2：5 C．2：3 D．：‎ ‎9．（3分）已知x=3是分式方程﹣=2的解，那么实数k的值为（　　）‎ A．﹣1 B．0 C．1 D．2‎ ‎10．（3分）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列说法正确的是（　　）‎ A．abc＜0，b2﹣4ac＞0 B．abc＞0，b2﹣4ac＞0‎ C．abc＜0，b2﹣4ac＜0 D．abc＞0，b2﹣4ac＜0‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）‎ ‎11．（4分）（﹣1）0=　 　．‎ ‎12．（4分）在△ABC中，∠A：∠B：∠C=2：3：4，则∠A的度数为　 　．‎ ‎13．（4分）如图，正比例函数y1=k1x和一次函数y2=k2x+b的图象相交于点A（2，1），当x＜2时，y1　 　y2．（填“＞”或“＜”）．‎ ‎14．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，按以下步骤作图：①以A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，AD于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点P；③作AP射线，交边CD于点Q，若DQ=2QC，BC=3，则平行四边形ABCD周长为　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共54分）‎ ‎15．（12分）（1）计算：|﹣1|﹣+2sin45°+（）﹣2；‎ ‎（2）解不等式组：．‎ ‎16．（6分）化简求值：÷（1﹣），其中x=﹣1．‎ ‎17．（8分）随着经济的快速发展，环境问题越来越受到人们的关注，某校学生会为了解节能减排、垃圾分类知识的普及情况，随机调查了部分学生，调查结果分为“非常了解”“了解”“了解较少”“不了解”四类，并将调查结果绘制成下面两个统计图．‎ ‎（1）本次调查的学生共有　 　人，估计该校1200名学生中“不了解”的人数是　 　人；‎ ‎（2）“非常了解”的4人有A1，A2两名男生，B1，B2两名女生，若从中随机抽取两人向全校做环保交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一男一女的概率．‎ ‎18．（8分）科技改变生活，手机导航极大方便了人们的出行，如图，小明一家自驾到古镇C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西60°方向行驶4千米至B地，再沿北偏东45°方向行驶一段距离到达古镇C，小明发现古镇C恰好在A地的正北方向，求B，C两地的距离．‎ ‎19．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知正比例函数y=x的图象与反比例函数y=的图象交于A（a，﹣2），B两点．‎ ‎（1）求反比例函数的表达式和点B的坐标；‎ ‎（2）P是第一象限内反比例函数图象上一点，过点P作y轴的平行线，交直线AB于点C，连接PO，若△POC的面积为3，求点P的坐标．‎ ‎20．（12分）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作圆O，分别交BC于点D，交CA的延长线于点E，过点D作DH⊥AC于点H，连接DE交线段OA于点F．‎ ‎（1）求证：DH是圆O的切线；‎ ‎（2）若A为EH的中点，求的值；‎ ‎（3）若EA=EF=1，求圆O的半径．‎ ‎　‎ 四、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）‎ ‎21．（4分）如图，数轴上点A表示的实数是　 　．‎ ‎22．（4分）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣5x+a=0的两个实数根，且x12﹣x22=10，则a=　 　．‎ ‎23．（4分）已知⊙O的两条直径AC，BD互相垂直，分别以AB，BC，CD，DA为直径向外作半圆得到如图所示的图形，现随机地向该图形内掷一枚小针，记针尖落在阴影区域内的概率为P1，针尖落在⊙O内的概率为P2，则=　 　．‎ ‎24．（4分）在平面直角坐标系xOy中，对于不在坐标轴上的任意一点P（x，y），我们把点P′（，）称为点P的“倒影点”，直线y=﹣x+1上有两点A，B，它们的倒影点A′，B′均在反比例函数y=的图象上．若AB=2，则k=　 　．‎ ‎25．（4分）如图1，把一张正方形纸片对折得到长方形ABCD，再沿∠‎ ADC的平分线DE折叠，如图2，点C落在点C′处，最后按图3所示方式折叠，使点A落在DE的中点A′处，折痕是FG，若原正方形纸片的边长为6cm，则FG=　 　cm．‎ ‎　‎ 五、解答题（本大题共3小题，共30分）‎ ‎26．（8分）随着地铁和共享单车的发展，“地铁+单车”已成为很多市民出行的选择，李华从文化宫站出发，先乘坐地铁，准备在离家较近的A，B，C，D，E中的某一站出地铁，再骑共享单车回家，设他出地铁的站点与文化宫距离为x（单位：千米），乘坐地铁的时间y1（单位：分钟）是关于x的一次函数，其关系如下表：‎ ‎ 地铁站 ‎ A ‎ B ‎ C ‎ D ‎ E ‎ x（千米）‎ ‎ 8‎ ‎ 9‎ ‎ 10‎ ‎ 11.5‎ ‎ 13‎ ‎ y1（分钟）‎ ‎ 18‎ ‎ 20‎ ‎ 22‎ ‎ 25‎ ‎ 28‎ ‎（1）求y1关于x的函数表达式；‎ ‎（2）李华骑单车的时间（单位：分钟）也受x的影响，其关系可以用y2=x2﹣11x+78来描述，请问：李华应选择在那一站出地铁，才能使他从文化宫回到家所需的时间最短？并求出最短时间．‎ ‎27．（10分）问题背景：如图1，等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，作AD⊥BC于点D，则D为BC的中点，∠BAD=∠BAC=60°，于是==；‎ 迁移应用：如图2，△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC=∠DAE=120°，D，E，C三点在同一条直线上，连接BD．‎ ‎①求证：△ADB≌△AEC；‎ ‎②请直接写出线段AD，BD，CD之间的等量关系式；‎ 拓展延伸：如图3，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，在∠ABC内作射线BM，作点C关于BM的对称点E，连接AE并延长交BM于点F，连接CE，CF．‎ ‎①证明△CEF是等边三角形；‎ ‎②若AE=5，CE=2，求BF的长．‎ ‎28．（10分）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y=ax2+bx+c与x轴相交于A，B两点，顶点为D（0，4），AB=4，设点F（m，0）是x轴的正半轴上一点，将抛物线C绕点F旋转180°，得到新的抛物线C′．‎ ‎（1）求抛物线C的函数表达式；‎ ‎（2）若抛物线C′与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，求m的取值范围．‎ ‎（3）如图2，P是第一象限内抛物线C上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P在抛物线C′上的对应点P′，设M是C上的动点，N是C′上的动点，试探究四边形PMP′N能否成为正方形？若能，求出m的值；若不能，请说明理由．‎ ‎　‎ ‎2017年四川省成都市中考数学试卷（A卷）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）‎ ‎1．（3分）（2017•成都）《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数，若气温为零上10℃记作+10℃，则﹣3℃表示气温为（　　）‎ A．零上3℃ B．零下3℃ C．零上7℃ D．零下7℃‎ ‎【分析】此题主要用正负数来表示具有意义相反的两种量：若零上记为正，则零下就记为负，直接得出结论即可．‎ ‎【解答】解：若气温为零上10℃记作+10℃，则﹣3℃表示气温为零下3℃．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】此题主要考查正负数的意义，正数与负数表示意义相反的两种量，看清规定哪一个为正，则和它意义相反的就为负．‎ ‎　‎ ‎2．（3分）（2017•成都）如图所示的几何体是由4个大小相同的小立方体组成，其俯视图是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．‎ ‎【解答】解：从上边看一层三个小正方形，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图．‎ ‎　‎ ‎3．（3分）（2017•成都）总投资647亿元的西成高铁预计2017年11月竣工，届时成都到西安只需3小时，上午游武侯区，晚上看大雁塔将成为现实，用科学记数法表示647亿元为（　　）‎ A．647×108 B．6.47×109 C．6.47×1010 D．6.47×1011‎ ‎【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥1时，n是非负数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．‎ ‎【解答】解：647亿=647 0000 0000=6.47×1010，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．‎ ‎　‎ ‎4．（3分）（2017•成都）二次根式中，x的取值范围是（　　）‎ A．x≥1 B．x＞1 C．x≤1 D．x＜1‎ ‎【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案．‎ ‎【解答】解：由题意可知：x﹣1≥0，‎ ‎∴x≥1，‎ 故选（A）‎ ‎【点评】本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是正确理解二次根式有意义的条件，本题属于基础题型．‎ ‎　‎ ‎5．（3分）（2017•成都）下列图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．‎ ‎【解答】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；‎ B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；‎ C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；‎ D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项正确．‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．‎ ‎　‎ ‎6．（3分）（2017•成都）下列计算正确的是（　　）‎ A．a5+a5=a10 B．a7÷a=a6 C．a3•a2=a6 D．（﹣a3）2=﹣a6‎ ‎【分析】利用同底数幂的乘法和除法法则以及合并同类项的法则运算即可．‎ ‎【解答】解：A．a5+a5=2a5，所以此选项错误；‎ B．a7÷a=a6，所以此选项正确；‎ C．a3•a2=a5，所以此选项错误；‎ D．（﹣a3）2=a6，所以此选项错误；‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法、除法、幂的乘方及合并同类项等，关键是熟记，同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减；合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．‎ ‎　‎ ‎7．（3分）（2017•成都）学习全等三角形时，数学兴趣小组设计并组织了“生活中的全等”的比赛，全班同学的比赛结果统计如下表：‎ ‎ 得分（分）‎ ‎ 60‎ ‎ 70‎ ‎ 80‎ ‎ 90‎ ‎ 100‎ ‎ 人数（人）‎ ‎ 7‎ ‎ 12‎ ‎ 10‎ ‎ 8‎ ‎ 3‎ 则得分的众数和中位数分别为（　　）‎ A．70分，70分 B．80分，80分 C．70分，80分 D．80分，70分 ‎【分析】‎ 根据众数的定义，找到该组数据中出现次数最多的数即为众数；根据中位数定义，将该组数据按从小到大依次排列，处于中间位置的两个数的平均数即为中位数．‎ ‎【解答】解：70分的有12人，人数最多，故众数为70分；‎ 处于中间位置的数为第20、21两个数，都为80分，中位数为80分．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题为统计题，考查众数与中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．‎ ‎　‎ ‎8．（3分）（2017•成都）如图，四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OA′=2：3，则四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为（　　）‎ A．4：9 B．2：5 C．2：3 D．：‎ ‎【分析】根据题意求出两个相似多边形的相似比，根据相似多边形的性质解答．‎ ‎【解答】解：∵四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，OA：OA′=2：3，‎ ‎∴DA：D′A′=OA：OA′=2：3，‎ ‎∴四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为：（）2=，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查的是位似变换的性质，掌握位似图形与相似图形的关系、相似多边形的性质是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎9．（3分）（2017•成都）已知x=3是分式方程﹣=2的解，那么实数k的值为（　　）‎ A．﹣1 B．0 C．1 D．2‎ ‎【分析】将x=3代入原方程即可求出k的值．‎ ‎【解答】解：将x=3代入﹣=2，‎ ‎∴‎ 解得：k=2，‎ 故选（D）‎ ‎【点评】本题考查一元一次方程的解，解题的关键是将x=3代入原方程中，本题属于基础题型．‎ ‎　‎ ‎10．（3分）（2017•成都）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列说法正确的是（　　）‎ A．abc＜0，b2﹣4ac＞0 B．abc＞0，b2﹣4ac＞0‎ C．abc＜0，b2﹣4ac＜0 D．abc＞0，b2﹣4ac＜0‎ ‎【分析】首先根据图象中抛物线的开口方向、对称轴的位置、与y轴交点的位置来判断出a、b、c的位置，进而判断各结论是否正确．‎ ‎【解答】解：根据二次函数的图象知：‎ 抛物线开口向上，则a＞0；‎ 抛物线的对称轴在y轴右侧，则x=﹣＞0，即b＜0；‎ 抛物线交y轴于负半轴，则c＜0；‎ ‎∴abc＞0，‎ ‎∵抛物线与x轴有两个不同的交点，‎ ‎∴△=b2﹣4ac＞0，‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，由图象找出有关a，b，c的相关信息以及抛物线与x轴交点情况，是解题的关键．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）‎ ‎11．（4分）（2017•成都）（﹣1）0=　1　．‎ ‎【分析】直接利用零指数幂的性质求出答案．‎ ‎【解答】解：（﹣1）0=1．‎ 故答案为：1．‎ ‎【点评】此题主要考查了零指数幂的性质，正确把握定义是解题关键．‎ ‎　‎ ‎12．（4分）（2017•成都）在△ABC中，∠A：∠B：∠C=2：3：4，则∠A的度数为　40°　．‎ ‎【分析】直接用一个未知数表示出∠A，∠B，∠C的度数，再利用三角形内角和定理得出答案．‎ ‎【解答】解：∵∠A：∠B：∠C=2：3：4，‎ ‎∴设∠A=2x，∠B=3x，∠C=4x，‎ ‎∵∠A+∠B+∠C=180°，‎ ‎∴2x+3x+4x=180°，‎ 解得：x=20°，[来源:学|科|网Z|X|X|K]‎ ‎∴∠A的度数为：40°．‎ 故答案为：40°．‎ ‎【点评】此题主要考查了三角形内角和定理，正确表示出各角度数是解题关键．‎ ‎　‎ ‎13．（4分）（2017•成都）如图，正比例函数y1=k1x和一次函数y2=k2x+b的图象相交于点A（2，1），当x＜2时，y1　＜　y2．（填“＞”或“＜”）．‎ ‎【分析】由图象可以知道，当x=2时，两个函数的函数值是相等的，再根据函数的增减性即可得到结论．‎ ‎【解答】解：由图象知，当x＜2时，y2的图象在y1上右，‎ ‎∴y1＜y2．‎ 故答案为：＜．‎ ‎【点评】本题考查了两条直线相交与平行，正确的识别图象是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎14．（4分）（2017•成都）如图，在平行四边形ABCD中，按以下步骤作图：①以A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，AD于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点P；③作AP射线，交边CD于点Q，若DQ=2QC，BC=3，则平行四边形ABCD周长为　15　．‎ ‎【分析】根据角平分线的性质可知∠DAQ=∠BAQ，再由平行四边形的性质得出CD∥AB，BC=AD=3，∠BAQ=∠DQA，故可得出△AQD是等腰三角形，据此可得出DQ=AD，进而可得出结论．‎ ‎【解答】解：∵由题意可知，AQ是∠DAB的平分线，‎ ‎∴∠DAQ=∠BAQ．‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴CD∥AB，BC=AD=3，∠BAQ=∠DQA，‎ ‎∴∠DAQ=∠DQA，‎ ‎∴△AQD是等腰三角形，‎ ‎∴DQ=AD=3．‎ ‎∵DQ=2QC，‎ ‎∴QC=DQ=，‎ ‎∴CD=DQ+CQ=3+=，‎ ‎∴平行四边形ABCD周长=2（DC+AD）=2×（+3）=15．‎ 故答案为：15．‎ ‎【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知角平分线的作法是解答此题的关键．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共54分）‎ ‎15．（12分）（2017•成都）（1）计算：|﹣1|﹣+2sin45°+（）﹣2；‎ ‎（2）解不等式组：．‎ ‎【分析】（1）原式利用二次根式性质，特殊角的三角函数值，以及负整数指数幂法则计算即可得到结果．‎ ‎（2）分别求得两个不等式的解集，然后取其公共部分即可．‎ ‎【解答】解：（1）原式=﹣1﹣2+2×+4‎ ‎=﹣1﹣2++4‎ ‎=3；‎ ‎（2），‎ ‎①可化简为2x﹣7＜3x﹣3，‎ ‎﹣x＜4，‎ x＞﹣4，‎ ‎②可化简为2x≤1﹣3，则x≤﹣1．‎ 不等式的解集是﹣4＜x≤﹣1．‎ ‎【点评】本题考查了解一元一次不等式组，实数的运算，负整数指数幂以及特殊角的三角函数值．熟练掌握运算法则是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎16．（6分）（2017•成都）化简求值：÷（1﹣），其中x=﹣1．‎ ‎【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把已知代入计算即可求出值．‎ ‎【解答】解：÷（1﹣）=•=，‎ ‎∵x=﹣1，‎ ‎∴原式==．‎ ‎【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎17．（8分）（2017•成都）随着经济的快速发展，环境问题越来越受到人们的关注，某校学生会为了解节能减排、垃圾分类知识的普及情况，随机调查了部分学生，调查结果分为“非常了解”“了解”“了解较少”“不了解”四类，并将调查结果绘制成下面两个统计图．‎ ‎（1）本次调查的学生共有　50　人，估计该校1200名学生中“不了解”的人数是　360　人；‎ ‎（2）“非常了解”的4人有A1，A2两名男生，B1，B2两名女生，若从中随机抽取两人向全校做环保交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一男一女的概率．[来源:Z*xx*k.Com]‎ ‎【分析】（1）用“非常了解”人数除以它所占的百分比即可得到调查的总人数；‎ ‎（2）用总人数乘以“不了解”人数所占的百分比即可得出答案；‎ ‎（3）先画树状图 展示所有12个等可能的结果数，再找出恰好是一位男同学和一位女同学的结果数，然后根据概率公式求解．‎ ‎【解答】解：（1）4÷8%=50（人），‎ ‎1200×（1﹣40%﹣22%﹣8%）=360（人）；‎ 故答案为：50，360；‎ ‎（2）画树状图，共有12根可能的结果，恰好抽到一男一女的结果有8个，‎ ‎∴P（恰好抽到一男一女的）==．‎ ‎【点评】本题考查了列表法与树状图法、扇形统计图、条形统计图；通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．‎ ‎　‎ ‎18．（8分）（2017•成都）科技改变生活，手机导航极大方便了人们的出行，如图，小明一家自驾到古镇C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西60°方向行驶4千米至B地，再沿北偏东45°方向行驶一段距离到达古镇C，小明发现古镇C恰好在A地的正北方向，求B，C两地的距离．‎ ‎【分析】过B作BD⊥AC于点D，在直角△ABD中利用三角函数求得BD的长，然后在直角△BCD中利用三角函数求得BC的长．‎ ‎【解答】解：过B作BD⊥AC于点D．‎ 在Rt△ABD中，AD=AB•cos∠BAD=4cos60°=4×=2（千米），‎ BD=AB•sin∠BAD=4×=2（千米），‎ ‎∵△BCD中，∠CBD=45°，‎ ‎∴△BCD是等腰直角三角形，‎ ‎∴CD=BD=2（千米），‎ ‎∴BC=BD=2（千米）．‎ 答：B，C两地的距离是2千米．‎ ‎【点评】此题考查了方向角问题．此题难度适中，解此题的关键是将方向角问题转化为解直角三角形的知识，利用三角函数的知识求解．‎ ‎　‎ ‎19．（10分）（2017•成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知正比例函数y=x的图象与反比例函数y=的图象交于A（a，﹣2），B两点．‎ ‎（1）求反比例函数的表达式和点B的坐标；‎ ‎（2）P是第一象限内反比例函数图象上一点，过点P作y轴的平行线，交直线AB于点C，连接PO，若△POC的面积为3，求点P的坐标．‎ ‎【分析】（1）把A（a，﹣2）代入y=x，可得A（﹣4，﹣2），把A（﹣4，﹣2）代入y=，可得反比例函数的表达式为y=，再根据点B与点A关于原点对称，即可得到B的坐标；‎ ‎（2）过P作PE⊥x轴于E，交AB于C，先设P（m，），则C（m，m），根据△POC的面积为3，可得方程m×|m﹣|‎ ‎=3，求得m的值，即可得到点P的坐标．‎ ‎【解答】解：（1）把A（a，﹣2）代入y=x，可得a=﹣4，‎ ‎∴A（﹣4，﹣2），‎ 把A（﹣4，﹣2）代入y=，可得k=8，‎ ‎∴反比例函数的表达式为y=，[来源:学科网]‎ ‎∵点B与点A关于原点对称，‎ ‎∴B（4，2）；‎ ‎（2）如图所示，过P作PE⊥x轴于E，交AB于C，‎ 设P（m，），则C（m，m），‎ ‎∵△POC的面积为3，‎ ‎∴m×|m﹣|=3，‎ 解得m=2或2，‎ ‎∴P（2，）或（2，4）．‎ ‎【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题时注意：反比例函数与一次函数的图象的交点坐标满足两函数的解析式．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）（2017•成都）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作圆O，分别交BC于点D，交CA的延长线于点E，过点D作DH⊥AC于点H，连接DE交线段OA于点F．‎ ‎（1）求证：DH是圆O的切线；‎ ‎（2）若A为EH的中点，求的值；‎ ‎（3）若EA=EF=1，求圆O的半径．‎ ‎【分析】（1）根据同圆的半径相等和等边对等角证明：∠ODB=∠OBD=∠ACB，则DH⊥OD，DH是圆O的切线；‎ ‎（2）如图2，先证明∠E=∠B=∠C，则H是EC的中点，设AE=x，EC=4x，则AC=3x，由OD是△ABC的中位线，得：OD=AC=，证明△AEF∽△ODF，列比例式可得结论；‎ ‎（3）如图2，设⊙O的半径为r，即OD=OB=r，证明DF=OD=r，则DE=DF+EF=r+1，BD=CD=DE=r+1，证明△BFD∽△EFA，列比例式为：，则=，求出r的值即可．‎ ‎【解答】证明：（1）连接OD，如图1，‎ ‎∵OB=OD，‎ ‎∴△ODB是等腰三角形，‎ ‎∠OBD=∠ODB①，‎ 在△ABC中，∵AB=AC，‎ ‎∴∠ABC=∠ACB②，‎ 由①②得：∠ODB=∠OBD=∠ACB，‎ ‎∴OD∥AC，‎ ‎∵DH⊥AC，‎ ‎∴DH⊥OD，‎ ‎∴DH是圆O的切线；‎ ‎（2）如图2，在⊙O中，∵∠E=∠B，‎ ‎∴由（1）可知：∠E=∠B=∠C，‎ ‎∴△EDC是等腰三角形，‎ ‎∵DH⊥AC，且点A是EH中点，‎ 设AE=x，EC=4x，则AC=3x，‎ 连接AD，则在⊙O中，∠ADB=90°，AD⊥BD，‎ ‎∵AB=AC，‎ ‎∴D是BC的中点，‎ ‎∴OD是△ABC的中位线，‎ ‎∴OD∥AC，OD=AC=×3x=，‎ ‎∵OD∥AC，‎ ‎∴∠E=∠ODF，‎ 在△AEF和△ODF中，‎ ‎∵∠E=∠ODF，∠OFD=∠AFE，‎ ‎∴△AEF∽△ODF，‎ ‎∴，‎ ‎∴==，‎ ‎∴=；‎ ‎（3）如图2，设⊙O的半径为r，即OD=OB=r，‎ ‎∵EF=EA，‎ ‎∴∠EFA=∠EAF，‎ ‎∵OD∥EC，‎ ‎∴∠FOD=∠EAF，‎ 则∠FOD=∠EAF=∠EFA=∠OFD，‎ ‎∴DF=OD=r，‎ ‎∴DE=DF+EF=r+1，‎ ‎∴BD=CD=DE=r+1，‎ 在⊙O中，∵∠BDE=∠EAB，‎ ‎∴∠BFD=∠EFA=∠EAB=∠BDE，‎ ‎∴BF=BD，△BDF是等腰三角形，‎ ‎∴BF=BD=r+1，‎ ‎∴AF=AB﹣BF=2OB﹣BF=2r﹣（1+r）=r﹣1，‎ 在△BFD和△EFA中，‎ ‎∵，‎ ‎∴△BFD∽△EFA，‎ ‎∴，‎ ‎∴=，‎ 解得：r1=，r2=（舍），‎ 综上所述，⊙O的半径为．‎ ‎【点评】本题是圆的综合题，考查了等腰三角形的性质和判定、切线的性质和判定、三角形的中位线、三角形相似的性质和判定、圆周角定理，第三问设圆的半径为r，根据等边对等角表示其它边长，利用比例列方程解决问题．‎ ‎　‎ 四、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）‎ ‎21．（4分）（2017•成都）如图，数轴上点A表示的实数是　﹣1　．‎ ‎【分析】直接利用勾股定理得出三角形斜边长即可得出A点对应的实数．‎ ‎【解答】解：由图形可得：﹣1到A的距离为=，‎ 则数轴上点A表示的实数是：﹣1．‎ 故答案为：﹣1．‎ ‎【点评】此题主要考查了实数与数轴，正确得出﹣1到A的距离是解题关键．‎ ‎　‎ ‎22．（4分）（2017•成都）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣5x+a=0的两个实数根，且x12﹣x22=10，则a=　　．‎ ‎【分析】由x12﹣x22=0得x1+x2=0或x1﹣x2=0；当x1+x2=0时，运用两根关系可以得到﹣2m﹣1=0或方程有两个相等的实根，据此即可求得m的值．‎ ‎【解答】解：由两根关系，得根x1+x2=5，x1•x2=a，‎ 由x12﹣x22=10得（x1+x2）（x1﹣x2）=10，‎ 若x1+x2=5，即x1﹣x2=2，‎ ‎∴（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1•x2=25﹣4a=4，‎ ‎∴a=，‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．‎ ‎　‎ ‎23．（4分）（2017•成都）已知⊙‎ O的两条直径AC，BD互相垂直，分别以AB，BC，CD，DA为直径向外作半圆得到如图所示的图形，现随机地向该图形内掷一枚小针，记针尖落在阴影区域内的概率为P1，针尖落在⊙O内的概率为P2，则=　　．‎ ‎【分析】直接利用圆的面积求法结合正方形的性质得出P1，P2的值即可得出答案．‎ ‎【解答】解：设⊙O的半径为1，则AD=，‎ 故S圆O=π，‎ 阴影部分面积为：π×2+×﹣π=2，‎ 则P1=，P2=，‎ 故=．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】此题主要考查了几何概率，正确得出各部分面积是解题关键．‎ ‎　‎ ‎24．（4分）（2017•成都）在平面直角坐标系xOy中，对于不在坐标轴上的任意一点P（x，y），我们把点P′（，）称为点P的“倒影点”，直线y=﹣x+1上有两点A，B，它们的倒影点A′，B′均在反比例函数y=的图象上．若AB=2，则k=　﹣　．‎ ‎【分析】设点A（a，﹣a+1），B（b，﹣b+1）（a＜b），则A′（，），B′（，），由AB=2可得出b=a+2，再根据反比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于k、a、b的方程组，解之即可得出k值．‎ ‎【解答】解：设点A（a，﹣a+1），B（b，﹣b+1）（a＜b），则A′（，），B′（，），‎ ‎∵AB=2，‎ ‎∴b﹣a=2，即b=a+2．‎ ‎∵点A′，B′均在反比例函数y=的图象上，‎ ‎∴，‎ 解得：k=﹣．‎ 故答案为：﹣．‎ ‎【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征以及两点间的距离公式，根据反比例函数图象上点的坐标特征列出关于k、a、b的方程组是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎25．（4分）（2017•成都）如图1，把一张正方形纸片对折得到长方形ABCD，再沿∠ADC的平分线DE折叠，如图2，点C落在点C′处，最后按图3所示方式折叠，使点A落在DE的中点A′处，折痕是FG，若原正方形纸片的边长为6cm，则FG=　　cm．‎ ‎【分析】作GM⊥AC′于M，A′N⊥AD于N，AA′交EC′于K．易知MG=AB=AC′，首先证明△AKC′≌△GFM，可得GF=AK，由AN=4.5cm，A′N=1.5cm，C′K∥A′N，推出=，可得=，推出C′K=1cm，在Rt△AC′K中，根据AK=，求出AK即可解决问题．‎ ‎【解答】解：作GM⊥AC′于M，A′N⊥‎ AD于N，AA′交EC′于K．易知MG=AB=AC′，‎ ‎∵GF⊥AA′，‎ ‎∴∠AFG+∠FAK=90°，∠MGF+∠MFG=90°，‎ ‎∴∠MGF=∠KAC′，‎ ‎∴△AKC′≌△GFM，‎ ‎∴GF=AK，‎ ‎∵AN=4.5cm，A′N=1.5cm，C′K∥A′N，‎ ‎∴=，‎ ‎∴=，‎ ‎∴C′K=1cm，‎ 在Rt△AC′K中，AK==cm，‎ ‎∴FG=AK=cm，‎ 故答案为．‎ ‎【点评】本题考查翻折变换、正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．‎ ‎　‎ 五、解答题（本大题共3小题，共30分）‎ ‎26．（8分）（2017•成都）随着地铁和共享单车的发展，“地铁+单车”已成为很多市民出行的选择，李华从文化宫站出发，先乘坐地铁，准备在离家较近的A，B，C，D，E中的某一站出地铁，再骑共享单车回家，设他出地铁的站点与文化宫距离为x（单位：千米），乘坐地铁的时间y1（单位：分钟）是关于x的一次函数，其关系如下表：‎ ‎ 地铁站 ‎ A ‎ B ‎ C ‎ D[来源:学§科§网Z§X§X§K]‎ ‎ E ‎ x（千米）‎ ‎ 8‎ ‎ 9‎ ‎ 10‎ ‎ 11.5‎ ‎ 13‎ ‎ y1（分钟）‎ ‎ 18‎ ‎ 20‎ ‎ 22‎ ‎ 25‎ ‎ 28‎ ‎（1）求y1关于x的函数表达式；‎ ‎（2）李华骑单车的时间（单位：分钟）也受x的影响，其关系可以用y2=x2﹣11x+78来描述，请问：李华应选择在那一站出地铁，才能使他从文化宫回到家所需的时间最短？并求出最短时间．‎ ‎【分析】（1）根据表格中的数据，运用待定系数法，即可求得y1关于x的函数表达式；‎ ‎（2）设李华从文化宫回到家所需的时间为y，则y=y1+y2=x2﹣9x+80，根据二次函数的性质，即可得出最短时间．‎ ‎【解答】解：（1）设y1=kx+b，将（8，18），（9，20），代入得：‎ ‎，‎ 解得：，‎ 故y1关于x的函数表达式为：y1=2x+2；‎ ‎（2）设李华从文化宫回到家所需的时间为y，则 y=y1+y2=2x+2+x2﹣11x+78=x2﹣9x+80，‎ ‎∴当x=9时，y有最小值，ymin==39.5，‎ 答：李华应选择在B站出地铁，才能使他从文化宫回到家所需的时间最短，最短时间为39.5分钟．‎ ‎【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值最小值，在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．‎ ‎　‎ ‎27．（10分）（2017•成都）问题背景：如图1，等腰△ABC中，AB=AC，∠‎ BAC=120°，作AD⊥BC于点D，则D为BC的中点，∠BAD=∠BAC=60°，于是==；‎ 迁移应用：如图2，△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC=∠DAE=120°，D，E，C三点在同一条直线上，连接BD．‎ ‎①求证：△ADB≌△AEC；‎ ‎②请直接写出线段AD，BD，CD之间的等量关系式；‎ 拓展延伸：如图3，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，在∠ABC内作射线BM，作点C关于BM的对称点E，连接AE并延长交BM于点F，连接CE，CF．‎ ‎①证明△CEF是等边三角形；[来源:Z,xx,k.Com]‎ ‎②若AE=5，CE=2，求BF的长．‎ ‎【分析】迁移应用：①如图②中，只要证明∠DAB=∠CAE，即可根据SAS解决问题；‎ ‎②结论：CD=AD+BD．由△DAB≌△EAC，可知BD=CE，在Rt△ADH中，DH=AD•cos30°=AD，由AD=AE，AH⊥DE，推出DH=HE，由CD=DE+EC=2DH+BD=AD+BD，即可解决问题；‎ 拓展延伸：①如图3中，作BH⊥AE于H，连接BE．由BC=BE=BD=BA，FE=FC，推出A、D、E、C四点共圆，推出∠ADC=∠AEC=120°，推出∠FEC=60°，推出△EFC是等边三角形；‎ ‎②由AE=5，EC=EF=2，推出AH=HE=2.5，FH=4.5，在Rt△BHF中，由∠BFH=30°，可得=cos30°，由此即可解决问题．‎ ‎【解答】迁移应用：①证明：如图②‎ ‎∵∠BAC=∠DAE=120°，‎ ‎∴∠DAB=∠CAE，‎ 在△DAE和△EAC中，‎ ‎，‎ ‎∴△DAB≌△EAC，‎ ‎②解：结论：CD=AD+BD．‎ 理由：如图2﹣1中，作AH⊥CD于H．‎ ‎∵△DAB≌△EAC，‎ ‎∴BD=CE，‎ 在Rt△ADH中，DH=AD•cos30°=AD，‎ ‎∵AD=AE，AH⊥DE，‎ ‎∴DH=HE，‎ ‎∵CD=DE+EC=2DH+BD=AD+BD．‎ 拓展延伸：①证明：如图3中，作BH⊥AE于H，连接BE．‎ ‎∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°，‎ ‎∴△ABD，△BDC是等边三角形，‎ ‎∴BA=BD=BC，‎ ‎∵E、C关于BM对称，‎ ‎∴BC=BE=BD=BA，FE=FC，‎ ‎∴A、D、E、C四点共圆，‎ ‎∴∠ADC=∠AEC=120°，‎ ‎∴∠FEC=60°，‎ ‎∴△EFC是等边三角形，‎ ‎②解：∵AE=5，EC=EF=2，‎ ‎∴AH=HE=2.5，FH=4.5，‎ 在Rt△BHF中，∵∠BFH=30°，‎ ‎∴=cos30°，‎ ‎∴BF==3．‎ ‎【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、四点共圆、等边三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，学会添加辅助圆解决问题，属于中考压轴题．‎ ‎　‎ ‎28．（10分）（2017•成都）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y=ax2+bx+c与x轴相交于A，B两点，顶点为D（0，4），AB=4，设点F（m，0）是x轴的正半轴上一点，将抛物线C绕点F旋转180°，得到新的抛物线C′．‎ ‎（1）求抛物线C的函数表达式；‎ ‎（2）若抛物线C′与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，求m的取值范围．‎ ‎（3）如图2，P是第一象限内抛物线C上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P在抛物线C′上的对应点P′，设M是C上的动点，N是C′上的动点，试探究四边形PMP′N能否成为正方形？若能，求出m的值；若不能，请说明理由．‎ ‎【分析】（1）由题意抛物线的顶点C（0，4），A（﹣2，0），设抛物线的解析式为y=ax2+4，把A（2，0）代入可得a=﹣，由此即可解决问题；‎ ‎（2）由题意抛物线C′的顶点坐标为（2m，﹣4），设抛物线C′的解析式为y=（x﹣2m）2﹣4，由，消去y得到x2﹣2mx+2m2﹣8=0，由题意，抛物线C′与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，则有，解不等式组即可解决问题；‎ ‎（3）情形1，四边形PMP′N能成为正方形．作PE⊥x轴于E，MH⊥x轴于H．由题意易知P（2，2），当△PFM是等腰直角三角形时，四边形PMP′N是正方形，推出PF=FM，∠PFM=90°，易证△PFE≌△FMH，可得PE=FH=2，EF=HM=2﹣m，可得M（m+‎ ‎2，m﹣2），理由待定系数法即可解决问题；情形2，如图，四边形PMP′N是正方形，同法可得M（m﹣2，2﹣m），利用待定系数法即可解决问题．‎ ‎【解答】解：（1）由题意抛物线的顶点C（0，4），A（﹣2，0），设抛物线的解析式为y=ax2+4，‎ 把A（﹣2，0）代入可得a=﹣，‎ ‎∴抛物线C的函数表达式为y=﹣x2+4．‎ ‎（2）由题意抛物线C′的顶点坐标为（2m，﹣4），设抛物线C′的解析式为y=（x﹣2m）2﹣4，‎ 由，消去y得到x2﹣2mx+2m2﹣8=0，‎ 由题意，抛物线C′与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，‎ 则有，解得2＜m＜2，‎ ‎∴满足条件的m的取值范围为2＜m＜2．‎ ‎（3）结论：四边形PMP′N能成为正方形．‎ 理由：1情形1，如图，作PE⊥x轴于E，MH⊥x轴于H．‎ 由题意易知P（2，2），当△PFM是等腰直角三角形时，四边形PMP′N是正方形，‎ ‎∴PF=FM，∠PFM=90°，‎ 易证△PFE≌△FMH，可得PE=FH=2，EF=HM=2﹣m，‎ ‎∴M（m+2，m﹣2），‎ ‎∵点M在y=﹣x2+4上，‎ ‎∴m﹣2=﹣（m+2）2+4，解得m=﹣3或﹣﹣3（舍弃），‎ ‎∴m=﹣3时，四边形PMP′N是正方形．‎ 情形2，如图，四边形PMP′N是正方形，同法可得M（m﹣2，2﹣m），‎ 把M（m﹣2，2﹣m）代入y=﹣x2+4中，2﹣m=﹣（m﹣2）2+4，解得m=6或0（舍弃），‎ ‎∴m=6时，四边形PMP′N是正方形．‎ 综上，四边形PMP′N能成为正方形，m=﹣3或6．‎ ‎【点评】本题考查二次函数综合题、中心对称变换、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、一元二次方程的根与系数的关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．‎ ‎　‎