2014年江苏省无锡市中考数学试题(含答案)

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2014年江苏省无锡市中考数学试题(含答案)

江苏省无锡市2014年中考数学试卷 ‎ ‎ 一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分。在每小题所给出的四个选项中,只有一项是正确的,请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑)‎ ‎1.(3分)(2014•无锡)﹣3的相反数是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎3‎ B.‎ ‎﹣3‎ C.‎ ‎±3‎ D.‎ 考点:‎ 相反数.‎ 分析:‎ 根据相反数的概念解答即可.‎ 解答:‎ 解:﹣3的相反数是﹣(﹣3)=3.‎ 故选A.‎ 点评:‎ 本题考查了相反数的意义,一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号;一个正数的相反数是负数,一个负数的相反数是正数,0的相反数是0.‎ ‎ ‎ ‎2.(3分)(2014•无锡)函数y=中自变量x的取值范围是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ x>2‎ B.‎ x≥2‎ C.‎ x≤2‎ D.‎ x≠2‎ 考点:‎ 二次根式有意义的条件.‎ 分析:‎ 二次根式的被开方数大于等于零.‎ 解答:‎ 解:依题意,得 ‎2﹣x≥0,‎ 解得 x≤2.‎ 故选:C.‎ 点评:‎ 考查了二次根式的意义和性质.概念:式子(a≥0)叫二次根式.性质:二次根式中的被开方数必须是非负数,否则二次根式无意义.‎ ‎ ‎ ‎3.(3分)(2014•无锡)分式可变形为(  )‎ ‎ ‎ A.‎ B.‎ ‎﹣‎ C.‎ D.‎ ‎﹣‎ 考点:‎ 分式的基本性质.‎ 分析:‎ 根据分式的性质,分子分母都乘以﹣1,分式的值不变,可得答案.‎ 解答:‎ 解:分式的分子分母都乘以﹣1,‎ 得﹣,‎ 故选;D.‎ 点评:‎ 本题考查了分式的性质,分式的分子分母都乘以或除以同一个不为0的整式,分式的值不变.‎ ‎ ‎ ‎4.(3分)(2014•无锡)已知A样本的数据如下:72,73,76,76,77,78,78,78,B样本的数据恰好是A样本数据每个都加2,则A,B两个样本的下列统计量对应相同的是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ 平均数 B.‎ 标准差 C.‎ 中位数 D.‎ 众数 考点:‎ 统计量的选择.‎ 分析:‎ 根据样本A,B中数据之间的关系,结合众数,平均数,中位数和标准差的定义即可得到结论.‎ 解答:‎ 解:设样本A中的数据为xi,则样本B中的数据为yi=xi+2,‎ 则样本数据B中的众数和平均数以及中位数和A中的众数,平均数,中位数相差2,‎ 只有标准差没有发生变化,‎ 故选:B 点评:‎ 本题考查众数、平均数、中位数、标准差的定义,属于基础题.‎ ‎ ‎ ‎5.(3分)(2014•无锡)某文具店一支铅笔的售价为1.2元,一支圆珠笔的售价为2元.该店在“6•1儿童节”举行文具优惠售卖活动,铅笔按原价打8折出售,圆珠笔按原价打9折出售,结果两种笔共卖出60支,卖得金额87元.若设铅笔卖出x支,则依题意可列得的一元一次方程为(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎1.2×0.8x+2×0.9(60+x)=87‎ B.‎ ‎1.2×0.8x+2×0.9(60﹣x)=87‎ ‎ ‎ C.‎ ‎2×0.9x+1.2×0.8(60+x)=87‎ D.‎ ‎2×0.9x+1.2×0.8(60﹣x)=87‎ 考点:‎ 由实际问题抽象出一元一次方程.‎ 分析:‎ 设铅笔卖出x支,根据“铅笔按原价打8折出售,圆珠笔按原价打9折出售,结果两种笔共卖出60支,卖得金额87元”,得出等量关系:x支铅笔的售价+(60﹣x)支圆珠笔的售价=87,据此列出方程即可.‎ 解答:‎ 解:设铅笔卖出x支,由题意,得 ‎1.2×0.8x+2×0.9(60﹣x)=87.‎ 故选B.‎ 点评:‎ 考查了由实际问题抽象出一元一次方程,根据根据描述语找到等量关系是解题的关键.‎ ‎ ‎ ‎6.(3分)(2014•无锡)已知圆锥的底面半径为4cm,母线长为5cm,则这个圆锥的侧面积是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎20πcm2‎ B.‎ ‎20cm2‎ C.‎ ‎40πcm2‎ D.‎ ‎40cm2‎ 考点:‎ 圆锥的计算.‎ 分析:‎ 圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2,把相应数值代入即可求解.‎ 解答:‎ 解:圆锥的侧面积=2π×4×5÷2=20π.‎ 故选A.‎ 点评:‎ 本题考查了圆锥的计算,解题的关键是弄清圆锥的侧面积的计算方法,特别是圆锥的底面周长等于圆锥的侧面扇形的弧长.‎ ‎ ‎ ‎7.(3分)(2014•无锡)如图,AB∥CD,则根据图中标注的角,下列关系中成立的是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎∠1=∠3‎ B.‎ ‎∠2+∠3=180°‎ C.‎ ‎∠2+∠4<180°‎ D.‎ ‎∠3+∠5=180°‎ 考点:‎ 平行线的性质.‎ 分析:‎ 根据平行线的性质对各选项分析判断利用排除法求解.‎ 解答:‎ 解:A、∵OC与OD不平行,‎ ‎∴∠1=∠3不成立,故本选项错误;‎ B、∵OC与OD不平行,‎ ‎∴∠2+∠3=180°不成立,故本选项错误;‎ C、∵AB∥CD,‎ ‎∴∠2+∠4=180°,故本选项错误;‎ D、∵AB∥CD,‎ ‎∴∠3+∠5=180°,故本选项正确.‎ 故选D.‎ 点评:‎ 本题考查了平行线的性质,是基础题,熟记性质是解题的关键.‎ ‎ ‎ ‎8.(3分)(2014•无锡)如图,AB是⊙O的直径,CD是⊙O的切线,切点为D,CD与AB的延长线交于点C,∠A=30°,给出下面3个结论:①AD=CD;②BD=BC;③AB=2BC,其中正确结论的个数是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎3‎ B.‎ ‎2‎ C.‎ ‎1‎ D.‎ ‎0‎ 考点:‎ 切线的性质.‎ 分析:‎ 连接OD,CD是⊙O的切线,可得CD⊥OD,由∠A=30°,可以得出∠ABD=60°,△ODB是等边三角形,∠C=∠BDC=30°,再结合在直角三角形中300所对的直角边等于斜边的一半,继而得到结论①②③成立.‎ 解答:‎ 解:如图,连接OD,‎ ‎∵CD是⊙O的切线,‎ ‎∴CD⊥OD,‎ ‎∴∠ODC=90°,‎ 又∵∠A=30°,‎ ‎∴∠ABD=60°,‎ ‎∴△OBD是等边三角形,‎ ‎∴∠DOB=∠ABD=60°,AB=2OB=2OD=2BD.‎ ‎∴∠C=∠BDC=30°,‎ ‎∴BD=BC,②成立;‎ ‎∴AB=2BC,③成立;‎ ‎∴∠A=∠C,‎ ‎∴DA=DC,①成立;‎ 综上所述,①②③均成立,‎ 故答案选:A.‎ 点评:‎ 本题考查了圆的有关性质的综合应用,在本题中借用切线的性质,求得相应角的度数是解题的关键.‎ ‎ ‎ ‎9.(3分)(2014•无锡)在直角坐标系中,一直线a向下平移3个单位后所得直线b经过点A(0,3),将直线b绕点A顺时针旋转60°后所得直线经过点B(﹣,0),则直线a的函数关系式为(  )‎ ‎ ‎ A.‎ y=﹣x B.‎ y=﹣x C.‎ y=﹣x+6‎ D.‎ y=﹣x+6‎ 考点:‎ 一次函数图象与几何变换.‎ 分析:‎ 先用待定系数法求出直线AB的解析式为y=x+3,再由题意,知直线b经过A(0,3),(,0),求出直线b的解析式为y=﹣x+3,然后将直线b向上平移3个单位后得直线a,根据上加下减的平移规律即可求出直线a的解析式.‎ 解答:‎ 解:设直线AB的解析式为y=kx+b,‎ ‎∵A(0,3),B(﹣,0),‎ ‎∴,解得,‎ ‎∴直线AB的解析式为y=x+3.‎ 由题意,知直线y=x+3绕点A逆时针旋转60°后得到直线b,则直线b经过A(0,3),(,0),‎ 易求直线b的解析式为y=﹣x+3,‎ 将直线b向上平移3个单位后得直线a,所以直线a的解析式为y=﹣x+3+3,即y=﹣x+6.‎ 故选C.‎ 点评:‎ 本题考查了一次函数图象与几何变换,解决本题的关键是得到把直线y=x+3绕点A逆时针旋转60°后得到直线b的解析式.‎ ‎ ‎ ‎10.(3分)(2014•无锡)已知△ABC的三条边长分别为3,4,6,在△ABC所在平面内画一条直线,将△ABC分割成两个三角形,使其中的一个是等腰三角形,则这样的直线最多可画(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎6条 B.‎ ‎7条 C.‎ ‎8条 D.‎ ‎9条 考点:‎ 作图—应用与设计作图;等腰三角形的判定 分析:‎ 利用等腰三角形的性质分别利用AB,AC为底以及为腰得出符合题意的图形即可.‎ 解答:‎ 解:如图所示:当BC1=AC1,AC=CC2,AB=BC3,AC4=CC4,AB=AC5,AB=AC6,BC7=CC7时,都能得到符合题意的等腰三角形.‎ 故选:B.‎ 点评:‎ 此题主要考查了等腰三角形的判定以及应用设计与作图等知识,正确利用图形分类讨论得出是解题关键.‎ ‎ ‎ 二、填空题(本大题共8小题,每小题2分,共16分。不需要写出解答过程,只需把答案直接填写在答题卡相应的位置)‎ ‎11.(2分)(2014•无锡)分解因式:x3﹣4x= x(x+2)(x﹣2) .‎ 考点:‎ 提公因式法与公式法的综合运用.‎ 分析:‎ 应先提取公因式x,再对余下的多项式利用平方差公式继续分解.‎ 解答:‎ 解:x3﹣4x,‎ ‎=x(x2﹣4),‎ ‎=x(x+2)(x﹣2).‎ 点评:‎ 本题考查了提公因式法,公式法分解因式,提取公因式后利用平方差公式进行二次因式分解,分解因式一定要彻底,直到不能再分解为止.‎ ‎ ‎ ‎12.(2分)(2014•无锡)据国网江苏电力公司分析,我省预计今夏统调最高用电负荷将达到86000000千瓦,这个数据用科学记数法可表示为 8.6×107 千瓦.‎ 考点:‎ 科学记数法—表示较大的数.‎ 分析:‎ 科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.‎ 解答:‎ 解:将86000000用科学记数法表示为:8.6×107.‎ 故答案为:8.6×107.‎ 点评:‎ 此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.‎ ‎ ‎ ‎13.(2分)(2014•无锡)方程的解是 x=2 .‎ 考点:‎ 解分式方程.‎ 专题:‎ 计算题.‎ 分析:‎ 观察可得最简公分母是x(x+2),方程两边乘最简公分母,可以把分式方程转化为整式方程求解.‎ 解答:‎ 解:方程的两边同乘x(x+2),得 ‎2x=x+2,‎ 解得x=2.‎ 检验:把x=2代入x(x+2)=8≠0.‎ ‎∴原方程的解为:x=2.‎ 故答案为x=2.‎ 点评:‎ 本题考查了分式方程的解法,注:‎ ‎(1)解分式方程的基本思想是“转化思想”,把分式方程转化为整式方程求解.‎ ‎(2)解分式方程一定注意要验根.‎ ‎ ‎ ‎14.(2分)(2014•无锡)已知双曲线y=经过点(﹣2,1),则k的值等于 ﹣1 .‎ 考点:‎ 反比例函数图象上点的坐标特征.‎ 分析:‎ 直接把点(﹣2,1)代入双曲线y=,求出k的值即可.‎ 解答:‎ 解:∵双曲线y=经过点(﹣2,1),‎ ‎∴1=,‎ 解得k=﹣1.‎ 故答案为:﹣1.‎ 点评:‎ 本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点,即反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式.‎ ‎ ‎ ‎15.(2分)(2014•无锡)如图,△ABC中,CD⊥AB于D,E是AC的中点.若AD=6,DE=5,则CD的长等于 8 .‎ 考点:‎ 勾股定理;直角三角形斜边上的中线 分析:‎ 由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”求得AC=2DE=10;然后在直角△ACD中,利用勾股定理来求线段CD的长度即可.‎ 解答:‎ 解:如图,∵△ABC中,CD⊥AB于D,E是AC的中点,DE=5,‎ ‎∴DE=AC=5,‎ ‎∴AC=10.‎ 在直角△ACD中,∠ADC=90°,AD=6,AC=10,则根据勾股定理,得 CD===8.‎ 故答案是:8.‎ 点评:‎ 本题考查了勾股定理,直角三角形斜边上的中线.利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得AC的长度是解题的难点.‎ ‎ ‎ ‎16.(2分)(2014•无锡)如图,▱ABCD中,AE⊥BD于E,∠EAC=30°,AE=3,则AC的长等于 4 .‎ 考点:‎ 平行四边形的性质;解直角三角形 分析:‎ 设对角线AC和BD相交于点O,在直角△AOE中,利用三角函数求得OA的长,然后根据平行四边形的对角线互相平分即可求得.‎ 解答:‎ 解:∵在直角△AOE中,cos∠EAC=,‎ ‎∴OA===2,‎ 又∵四边形ABCD是平行四边形,‎ ‎∴AC=2OA=4.‎ 故答案是:4.‎ 点评:‎ 本题考查了三角函数的应用,以及平行四边形的性质:平行四边形的对角线互相平分,正确求得OA的长是关键.‎ ‎ ‎ ‎17.(2分)(2014•无锡)如图,已知点P是半径为1的⊙A上一点,延长AP到C,使PC=AP,以AC为对角线作▱ABCD.若AB=,则▱ABCD面积的最大值为 2 .‎ 考点:‎ 平行四边形的性质;勾股定理;切线的性质.‎ 分析:‎ 由已知条件可知AC=2,AB=,应该是当AB、AC是直角边时三角形的面积最大,根据AB⊥AC即可求得.‎ 解答:‎ 解:由已知条件可知,当AB⊥AC时▱ABCD的面积最大,‎ ‎∵AB=,AC=2,‎ ‎∴S△ABC==,‎ ‎∴S▱ABCD=2S△ABC=2,‎ ‎∴▱ABCD面积的最大值为 2.‎ 故答案为2.‎ 点评:‎ 本题考查了平行四边形面积最值的问题的解决方法,找出什么情况下三角形的面积最大是解决本题的关键.‎ ‎ ‎ ‎18.(2分)(2014•无锡)如图,菱形ABCD中,∠A=60°,AB=3,⊙A、⊙B的半径分别为2和1,P、E、F分别是边CD、⊙A和⊙B上的动点,则PE+PF的最小值是 3 .‎ 考点:‎ 轴对称-最短路线问题;菱形的性质;相切两圆的性质.菁优网版权所有 分析:‎ 利用菱形的性质以及相切两圆的性质得出P与D重合时PE+PF的最小值,进而求出即可.‎ 解答:‎ 解:由题意可得出:当P与D重合时,E点在AD上,F在BD上,此时PE+PF最小,‎ 连接BD,‎ ‎∵菱形ABCD中,∠A=60°,‎ ‎∴AB=AD,则△ABD是等边三角形,‎ ‎∴BD=AB=AD=3,‎ ‎∵⊙A、⊙B的半径分别为2和1,‎ ‎∴PE=1,DF=2,‎ ‎∴PE+PF的最小值是3.‎ 故答案为:3.‎ 点评:‎ 此题主要考查了菱形的性质以及相切两圆的性质等知识,根据题意得出P点位置是解题关键.‎ ‎ ‎ 三、解答题(本大题共10小题,共84分。请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎19.(8分)(2014•无锡)(1)﹣|﹣2|+(﹣2)0;‎ ‎(2)(x+1)(x﹣1)﹣(x﹣2)2.‎ 考点:‎ 实数的运算;整式的混合运算;零指数幂 专题:‎ 计算题.‎ 分析:‎ ‎(1)原式第一项利用平方根定义化简,第二项利用绝对值的代数意义化简,最后一项利用零指数幂法则计算即可得到结果;‎ ‎(2)原式第一项利用平方差公式化简,第二项利用完全平方公式展开,去括号合并即可得到结果.‎ 解答:‎ 解:(1)原式=3﹣2+1=2;‎ ‎(2)原式=x2﹣1﹣x2+4x﹣4=4x﹣5.‎ 点评:‎ 此题考查了实数的运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.‎ ‎ ‎ ‎20.(8分)(2014•无锡)(1)解方程:x2﹣5x﹣6=0;‎ ‎(2)解不等式组:.‎ 考点:‎ 解一元二次方程-因式分解法;解一元一次不等式组.‎ 专题:‎ 计算题.‎ 分析:‎ ‎(1)方程左边分解因式后,利用两数相乘积为0,两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解;‎ ‎(2)分别求出不等式组中两不等式的解集,找出解集的公共部分即可.‎ 解答:‎ 解:(1)方程变形得:(x﹣6)(x+1)=0,‎ 解得:x1=6,x2=﹣1;‎ ‎(2),‎ 由①得:x≥3;‎ 由②得:x>5,‎ 则不等式组的解集为x>5.‎ 点评:‎ 此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法,以及一元一次不等式组,熟练掌握运算法则是解本题的关键.‎ ‎ ‎ ‎21.(6分)(2014•无锡)如图,已知:△ABC中,AB=AC,M是BC的中点,D、E分别是AB、AC边上的点,且BD=CE.求证:MD=ME.‎ 考点:‎ 全等三角形的判定与性质;等腰三角形的性质 专题:‎ 证明题.‎ 分析:‎ 根据等腰三角形的性质可证∠DBM=∠ECM,可证△BDM≌△CEM,可得MD=ME,即可解题.‎ 解答:‎ 证明:△ABC中,‎ ‎∵AB=AC,‎ ‎∴∠DBM=∠ECM,‎ ‎∵M是BC的中点,‎ ‎∴BM=CM,‎ 在△BDM和△CEM中,‎ ‎,‎ ‎∴△BDM≌△CEM(SAS),‎ ‎∴MD=ME.‎ 点评:‎ 本题考查了全等三角形的判定,考查了全等三角形对应边相等的性质.‎ ‎ ‎ ‎22.(8分)(2014•无锡)如图,AB是半圆O的直径,C、D是半圆O上的两点,且OD∥BC,OD与AC交于点E.‎ ‎(1)若∠B=70°,求∠CAD的度数;‎ ‎(2)若AB=4,AC=3,求DE的长.‎ 考点:‎ 圆周角定理;平行线的性质;三角形中位线定理 分析:‎ ‎(1)根据圆周角定理可得∠ACB=90°,则∠CAB的度数即可求得,在等腰△AOD中,根据等边对等角求得∠DAO的度数,则∠CAD即可求得;‎ ‎(2)易证OE是△ABC的中位线,利用中位线定理求得OE的长,则DE即可求得.‎ 解答:‎ 解:(1)∵AB是半圆O的直径,‎ ‎∴∠ACB=90°,‎ 又∵OD∥BC,‎ ‎∴∠AEO=90°,即OE⊥AC,∠CAB=90°﹣∠B=90°﹣70°=20°.‎ ‎∵OA=OD,‎ ‎∴∠DAO=∠ADO===55°‎ ‎∴∠CAD=∠DAO﹣∠CAB=55°﹣20°=35°;‎ ‎(2)在直角△ABC中,BC===.‎ ‎∵OE⊥AC,‎ ‎∴AE=EC,‎ 又∵OA=OB,‎ ‎∴OE=BC=.‎ 又∵OD=AB=2,‎ ‎∴DE=OD﹣OE=2﹣.‎ 点评:‎ 本题考查了圆周角定理以及三角形的中位线定理,正确证明OE是△ABC的中位线是关键.‎ ‎ ‎ ‎23.(6分)(2014•无锡)为了解“数学思想作文对学习数学帮助有多大?”一研究员随机抽取了一定数量的高校大一学生进行了问卷调查,并将调查得到的数据用下面的扇形图和表来表示(图、表都没制作完成).‎ 选项 帮助很大 帮助较大 帮助不大 几乎没有帮助 人数 a ‎543‎ ‎269‎ b 根据图、表提供的信息.‎ ‎(1)请问:这次共有多少名学生参与了问卷调查?‎ ‎(2)算出表中a、b的值.‎ ‎(注:计算中涉及到的“人数”均精确到1)‎ 考点:‎ 扇形统计图;统计表.‎ 分析:‎ ‎(1)用“帮助较大”的人数除以所占的百分比计算即可得解;‎ ‎(2)用参与问卷调查的学生人数乘以“帮助很大”所占的百分比计算即可求出a,然后根据总人数列式计算即可求出b.‎ 解答:‎ 解:(1)参与问卷调查的学生人数=543÷43.65%≈1244;‎ ‎(2)a=1244×25.40%=316,‎ b=1244﹣316﹣543﹣269=1244﹣1128=116.‎ 点评:‎ 本题考查的是扇形统计图的综合运用.读懂统计图,从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.‎ ‎ ‎ ‎24.(10分)(2014•无锡)三个小球分别标有﹣2,0,1三个数,这三个球除了标的数不同外,其余均相同,将小球放入一个不透明的布袋中搅匀.‎ ‎(1)从布袋中任意摸出一个小球,将小球上所标之数记下,然后将小球放回袋中,搅匀后再任意摸出一个小球,再记下小球上所标之数,求两次记下之数的和大于0的概率.(请用“画树状图”或“列表”等方法给出分析过程,并求出结果)‎ ‎(2)从布袋中任意摸出一个小球,将小球上所标之数记下,然后将小球放回袋中,搅匀后再任意摸出一个小球,将小球上所标之数再记下,…,这样一共摸了13次.若记下的13个数之和等于﹣4,平方和等于14.求:这13次摸球中,摸到球上所标之数是0的次数.‎ 考点:‎ 列表法与树状图法.‎ 专题:‎ 图表型.‎ 分析:‎ ‎(1)根据题意画出树状图,然后根据概率公式列式计算即可得解;‎ ‎(2)设摸出﹣2、0、1的次数分别为x、y、z,根据摸出的次数、13个是的和、平方和列出三元一次方程组,然后求解即可.‎ 解答:‎ 解:(1)根据题意画出树状图如下:‎ 所有等可能的情况数有9种,其中两次记下之数的和大于0的情况有3种,‎ 则P==;‎ ‎(2)设摸出﹣2、0、1的次数分别为x、y、z,‎ 由题意得,,‎ ‎③﹣②得,6x=18,‎ 解得x=3,‎ 把x=3代入②得,﹣2×3+z=﹣4,‎ 解得z=2,‎ 把x=3,z=2代入①得,y=8,‎ 所以,方程组的解是,‎ 故摸到球上所标之数是0的次数为8.‎ 点评:‎ 此题考查了列表法与树状图法,用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比,难点在于(2)列出三元一次方程组.‎ ‎ ‎ ‎25.(8分)(2014•无锡)(1)如图1,Rt△ABC中,∠B=90°,AB=2BC,现以C为圆心、CB长为半径画弧交边AC于D,再以A为圆心、AD为半径画弧交边AB于E.求证:=.(这个比值叫做AE与AB的黄金比.)‎ ‎(2)如果一等腰三角形的底边与腰的比等于黄金比,那么这个等腰三角形就叫做黄金三角形.请你以图2中的线段AB为腰,用直尺和圆规,作一个黄金三角形ABC.‎ ‎(注:直尺没有刻度!作图不要求写作法,但要求保留作图痕迹,并对作图中涉及到的点用字母进行标注)‎ 考点:‎ 作图—应用与设计作图;黄金分割.‎ 分析:‎ ‎(1)利用位置数表示出AB,AC,BC的长,进而得出AE的长,进而得出答案;‎ ‎(2)根据底与腰之比均为黄金比的等腰三角形,画图即可.‎ 解答:‎ ‎(1)证明:∵Rt△ABC中,∠B=90°,AB=2BC,‎ ‎∴设AB=2x,BC=x,则AC=x,‎ ‎∴AD=AE=(﹣1)x,‎ ‎∴==.‎ ‎(2)解:底与腰之比均为黄金比的等腰三角形,如图:‎ ‎.‎ 点评:‎ 此题主要考查了黄金三角形的作法以及黄金三角形的性质,根据已知得出底边作法是解题关键.‎ ‎ ‎ ‎26.(10分)(2014•无锡)如图,二次函数y=ax2+bx(a<0)的图象过坐标原点O,与x轴的负半轴交于点A,过A点的直线与y轴交于B,与二次函数的图象交于另一点C,且C点的横坐标为﹣1,AC:BC=3:1.‎ ‎(1)求点A的坐标;‎ ‎(2)设二次函数图象的顶点为F,其对称轴与直线AB及x轴分别交于点D和点E,若△FCD与△AED相似,求此二次函数的关系式.‎ 考点:‎ 二次函数综合题.‎ 分析:‎ ‎(1)过点C作CM∥OA交y轴于M,则△BCM∽△BAO,根据相似三角形对应边成比例得出==,即OA=4CM=4,由此得出点A的坐标为(﹣4,0);‎ ‎(2)先将A(﹣4,0)代入y=ax2+bx,化简得出b=4a,即y=ax2+4ax,则顶点F(﹣2,﹣4a),设直线AB的解析式为y=kx+n,将A(﹣4,0)代入,化简得n=4k,即直线AB的解析式为y=kx+4k,则B点(0,4k),D(﹣2,2k),C(﹣1,3k).由C(﹣1,3k)在抛物线y=ax2+4ax上,得出3k=a﹣4a,化简得到k=﹣a.再由△FCD与直角△AED相似,则△FCD是直角三角形,又∠FDC=∠ADE<90°,∠CFD<90°,得出∠FCD=90°,△FCD∽△AED.再根据两点之间的距离公式得出FC2=CD2=1+a2,得出△FCD是等腰直角三角形,则△AED也是等腰直角三角形,所以∠DAE=45°,由三角形内角和定理求出∠OBA=45°,那么OB=OA=4,即4k=4,求出k=1,a=﹣1,进而得到此二次函数的关系式为y=﹣x2﹣4x.‎ 解答:‎ 解:(1)如图,过点C作CM∥OA交y轴于M.‎ ‎∵AC:BC=3:1,‎ ‎∴=.‎ ‎∵CM∥OA,‎ ‎∴△BCM∽△BAO,‎ ‎∴===,‎ ‎∴OA=4CM=4,‎ ‎∴点A的坐标为(﹣4,0);‎ ‎(2)∵二次函数y=ax2+bx(a<0)的图象过A点(﹣4,0),‎ ‎∴16a﹣4b=0,‎ ‎∴b=4a,‎ ‎∴y=ax2+4ax,对称轴为直线x=﹣2,‎ ‎∴F点坐标为(﹣2,﹣4a).‎ 设直线AB的解析式为y=kx+n,将A(﹣4,0)代入,‎ 得﹣4k+n=0,‎ ‎∴n=4k,‎ ‎∴直线AB的解析式为y=kx+4k,‎ ‎∴B点坐标为(0,4k),D点坐标为(﹣2,2k),C点坐标为(﹣1,3k).‎ ‎∵C(﹣1,3k)在抛物线y=ax2+4ax上,‎ ‎∴3k=a﹣4a,‎ ‎∴k=﹣a.‎ ‎∵△AED中,∠AED=90°,‎ ‎∴若△FCD与△AED相似,则△FCD是直角三角形,‎ ‎∵∠FDC=∠ADE<90°,∠CFD<90°,‎ ‎∴∠FCD=90°,‎ ‎∴△FCD∽△AED.‎ ‎∵F(﹣2,﹣4a),C(﹣1,3k),D(﹣2,2k),k=﹣a,‎ ‎∴FC2=(﹣1+2)2+(3k+4a)2=1+a2,CD2=(﹣2+1)2+(2k﹣3k)2=1+a2,‎ ‎∴FC=CD,‎ ‎∴△FCD是等腰直角三角形,‎ ‎∴△AED是等腰直角三角形,‎ ‎∴∠DAE=45°,‎ ‎∴∠OBA=45°,‎ ‎∴OB=OA=4,‎ ‎∴4k=4,‎ ‎∴k=1,‎ ‎∴a=﹣1,‎ ‎∴此二次函数的关系式为y=﹣x2﹣4x.‎ 点评:‎ 本题是二次函数的综合题型,其中涉及到相似三角形、等腰直角三角形的判定与性质,运用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式,两点之间的距离公式、抛物线对称轴的求法,函数图象上点的坐标特征.综合性较强,有一定难度.(2)中得出△FCD是等腰直角三角形是解题的关键.‎ ‎ ‎ ‎27.(10分)(2014•无锡)某发电厂共有6台发电机发电,每台的发电量为300万千瓦/月.该厂计划从今年7月开始到年底,对6台发电机各进行一次改造升级.每月改造升级1台,这台发电机当月停机,并于次月再投入发电,每台发电机改造升级后,每月的发电量将比原来提高20%.已知每台发电机改造升级的费用为20万元.将今年7月份作为第1个月开始往后算,该厂第x(x是正整数)个月的发电量设为y(万千瓦).‎ ‎(1)求该厂第2个月的发电量及今年下半年的总发电量;‎ ‎(2)求y关于x的函数关系式;‎ ‎(3)如果每发1千瓦电可以盈利0.04元,那么从第1个月开始,至少要到第几个月,这期间该厂的发电盈利扣除发电机改造升级费用后的盈利总额ω1(万元),将超过同样时间内发电机不作改造升级时的发电盈利总额ω2(万元)?‎ 考点:‎ 一次函数的应用.‎ 分析:‎ ‎(1)由题意可以知道第1个月的发电量是300×5千瓦,第2个月的发电量为300×4+300(1+20%),第3个月的发电量为300×3+300×2×(1+20%),第4个月的发电量为300×2+300×3×(1+20%),第5个月的发电量为300×1+300×4×(1+20%),第6个月的发电量为300×5×(1+20%),将6个月的总电量加起来就可以求出总电量.‎ ‎(2)由总发电量=各台机器的发电量之和根据(1)的结论设y与x之间的关系式为y=kx+b建立方程组求出其解即可;‎ ‎(3)由总利润=发电盈利﹣发电机改造升级费用,分别表示出ω1,ω2,再根据条件建立不等式求出其解即可.‎ 解答:‎ 解:(1)由题意,得 第2个月的发电量为:300×4+300(1+20%)=1560千瓦,‎ 今年下半年的总发电量为:300×5+1560+300×3+300×2×(1+20%)+300×2+300×3×(1+20%)+300×1+300×4×(1+20%)+300×5×(1+20%),‎ ‎=1500+1560+1620+1680+1740+1800,‎ ‎=9900.‎ 答:该厂第2个月的发电量为1560千瓦;今年下半年的总发电量为9900千瓦;‎ ‎(2)设y与x之间的关系式为y=kx+b,由题意,得 ‎,‎ 解得:,‎ ‎∴y=60x+1440(1≤x≤6).‎ ‎(3)设到第n个月时ω1>ω2,‎ 当n=6时,ω1=9900×0.04﹣20×6=276,ω2=300×6×6×0.04=432,ω1>ω2不符合.‎ ‎∴n>6.‎ ‎∴ω1=[9900+360×6(n﹣6)]×0.04﹣20×6=86.4n﹣240,‎ ω2=300×6n×0.04=72n.‎ ‎86.4a﹣122.4>72a,‎ 当ω1>ω2时,86.4n﹣240>72n,解之得n>16.7,∴n=17.‎ 答:至少要到第17个月ω1超过ω2.‎ 点评:‎ 本题考查了一次函数的运用,列一元一次不等式解实际问题的运用,总利润=发电盈利﹣发电机改造升级费用,解答时求出一次函数解析式是解答本题的关键.‎ ‎ ‎ ‎28.(10分)(2014•无锡)如图1,已知点A(2,0),B(0,4),∠AOB的平分线交AB于C,一动点P从O点出发,以每秒2个单位长度的速度,沿y轴向点B作匀速运动,过点P且平行于AB的直线交x轴于Q,作P、Q关于直线OC的对称点M、N.设P运动的时间为t(0<t<2)秒.‎ ‎(1)求C点的坐标,并直接写出点M、N的坐标(用含t的代数式表示);‎ ‎(2)设△MNC与△OAB重叠部分的面积为S.‎ ‎①试求S关于t的函数关系式;‎ ‎②在图2的直角坐标系中,画出S关于t的函数图象,并回答:S是否有最大值?若有,写出S的最大值;若没有,请说明理由.‎ 考点:‎ 相似形综合题 分析:‎ ‎(1)如答图1,作辅助线,由比例式求出点D的坐标;‎ ‎(2)①所求函数关系式为分段函数,需要分类讨论.‎ 答图2﹣1,答图2﹣2表示出运动过程中重叠部分(阴影)的变化,分别求解;‎ ‎②画出函数图象,由两段抛物线构成.观察图象,可知当t=1时,S有最大值.‎ 解答:‎ 解:(1)如答图1,过点C作CF⊥x轴于点F,CE⊥y轴于点E,‎ 由题意,易知四边形OECF为正方形,设正方形边长为x.‎ ‎∵CE∥x轴,‎ ‎∴,即,解得x=.‎ ‎∴C点坐标为(,);‎ ‎∵PQ∥AB,‎ ‎∴,即,‎ ‎∴OP=2OQ.‎ ‎∵P(0,2t),‎ ‎∴Q(t,0).‎ ‎∵对称轴OC为第一象限的角平分线,‎ ‎∴对称点坐标为:M(2t,0),N(0,t).‎ ‎(2)①当0<t≤1时,如答图2﹣1所示,点M在线段OA上,重叠部分面积为S△CMN.‎ S△CMN=S四边形CMON﹣S△OMN ‎=(S△COM+S△CON)﹣S△OMN ‎=(•2t×+•t×)﹣•2t•t ‎=﹣t2+2t;‎ 当1<t<2时,如答图2﹣2所示,点M在OA的延长线上,设MN与AB交于点D,则重叠部分面积为S△CDN.‎ 设直线MN的解析式为y=kx+b,将M(2t,0)、N(0,t)代入得,‎ 解得,‎ ‎∴y=﹣x+t;‎ 同理求得直线AB的解析式为:y=﹣2x+4.‎ 联立y=﹣x+t与y=﹣2x+4,求得点D的横坐标为.‎ S△CDN=S△BDN﹣S△BCN ‎=(4﹣t)•﹣(4﹣t)×‎ ‎=t2﹣2t+.‎ 综上所述,S=.‎ ‎②画出函数图象,如答图2﹣3所示:‎ 观察图象,可知当t=1时,S有最大值,最大值为1.‎ 点评:‎ 本题是运动型综合题,涉及二次函数与一次函数、待定系数法、相似、图形面积计算、动点问题函数图象等知识点.难点在于第(2)问,正确地进行分类讨论,是解决本题的关键.‎
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