2014年江苏省无锡市中考数学试题（含答案）

2014年江苏省无锡市中考数学试题（含答案）

江苏省无锡市2014年中考数学试卷 ‎　‎ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑）‎ ‎1．（3分）（2014•无锡）﹣3的相反数是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎3‎ B．‎ ‎﹣3‎ C．‎ ‎±3‎ D．‎ 考点：‎ 相反数．‎ 分析：‎ 根据相反数的概念解答即可．‎ 解答：‎ 解：﹣3的相反数是﹣（﹣3）=3．‎ 故选A．‎ 点评：‎ 本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．‎ ‎　‎ ‎2．（3分）（2014•无锡）函数y=中自变量x的取值范围是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ x＞2‎ B．‎ x≥2‎ C．‎ x≤2‎ D．‎ x≠2‎ 考点：‎ 二次根式有意义的条件．‎ 分析：‎ 二次根式的被开方数大于等于零．‎ 解答：‎ 解：依题意，得 ‎2﹣x≥0，‎ 解得 x≤2．‎ 故选：C．‎ 点评：‎ 考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．‎ ‎　‎ ‎3．（3分）（2014•无锡）分式可变形为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ ‎﹣‎ C．‎ D．‎ ‎﹣‎ 考点：‎ 分式的基本性质．‎ 分析：‎ 根据分式的性质，分子分母都乘以﹣1，分式的值不变，可得答案．‎ 解答：‎ 解：分式的分子分母都乘以﹣1，‎ 得﹣，‎ 故选；D．‎ 点评：‎ 本题考查了分式的性质，分式的分子分母都乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变．‎ ‎　‎ ‎4．（3分）（2014•无锡）已知A样本的数据如下：72，73，76，76，77，78，78，78，B样本的数据恰好是A样本数据每个都加2，则A，B两个样本的下列统计量对应相同的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ 平均数 B．‎ 标准差 C．‎ 中位数 D．‎ 众数 考点：‎ 统计量的选择．‎ 分析：‎ 根据样本A，B中数据之间的关系，结合众数，平均数，中位数和标准差的定义即可得到结论．‎ 解答：‎ 解：设样本A中的数据为xi，则样本B中的数据为yi=xi+2，‎ 则样本数据B中的众数和平均数以及中位数和A中的众数，平均数，中位数相差2，‎ 只有标准差没有发生变化，‎ 故选：B 点评：‎ 本题考查众数、平均数、中位数、标准差的定义，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎5．（3分）（2014•无锡）某文具店一支铅笔的售价为1.2元，一支圆珠笔的售价为2元．该店在“6•1儿童节”举行文具优惠售卖活动，铅笔按原价打8折出售，圆珠笔按原价打9折出售，结果两种笔共卖出60支，卖得金额87元．若设铅笔卖出x支，则依题意可列得的一元一次方程为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎1.2×0.8x+2×0.9（60+x）=87‎ B．‎ ‎1.2×0.8x+2×0.9（60﹣x）=87‎ ‎　‎ C．‎ ‎2×0.9x+1.2×0.8（60+x）=87‎ D．‎ ‎2×0.9x+1.2×0.8（60﹣x）=87‎ 考点：‎ 由实际问题抽象出一元一次方程．‎ 分析：‎ 设铅笔卖出x支，根据“铅笔按原价打8折出售，圆珠笔按原价打9折出售，结果两种笔共卖出60支，卖得金额87元”，得出等量关系：x支铅笔的售价+（60﹣x）支圆珠笔的售价=87，据此列出方程即可．‎ 解答：‎ 解：设铅笔卖出x支，由题意，得 ‎1.2×0.8x+2×0.9（60﹣x）=87．‎ 故选B．‎ 点评：‎ 考查了由实际问题抽象出一元一次方程，根据根据描述语找到等量关系是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎6．（3分）（2014•无锡）已知圆锥的底面半径为4cm，母线长为5cm，则这个圆锥的侧面积是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎20πcm2‎ B．‎ ‎20cm2‎ C．‎ ‎40πcm2‎ D．‎ ‎40cm2‎ 考点：‎ 圆锥的计算．‎ 分析：‎ 圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解．‎ 解答：‎ 解：圆锥的侧面积=2π×4×5÷2=20π．‎ 故选A．‎ 点评：‎ 本题考查了圆锥的计算，解题的关键是弄清圆锥的侧面积的计算方法，特别是圆锥的底面周长等于圆锥的侧面扇形的弧长．‎ ‎　‎ ‎7．（3分）（2014•无锡）如图，AB∥CD，则根据图中标注的角，下列关系中成立的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎∠1=∠3‎ B．‎ ‎∠2+∠3=180°‎ C．‎ ‎∠2+∠4＜180°‎ D．‎ ‎∠3+∠5=180°‎ 考点：‎ 平行线的性质．‎ 分析：‎ 根据平行线的性质对各选项分析判断利用排除法求解．‎ 解答：‎ 解：A、∵OC与OD不平行，‎ ‎∴∠1=∠3不成立，故本选项错误；‎ B、∵OC与OD不平行，‎ ‎∴∠2+∠3=180°不成立，故本选项错误；‎ C、∵AB∥CD，‎ ‎∴∠2+∠4=180°，故本选项错误；‎ D、∵AB∥CD，‎ ‎∴∠3+∠5=180°，故本选项正确．‎ 故选D．‎ 点评：‎ 本题考查了平行线的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎8．（3分）（2014•无锡）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为D，CD与AB的延长线交于点C，∠A=30°，给出下面3个结论：①AD=CD；②BD=BC；③AB=2BC，其中正确结论的个数是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎3‎ B．‎ ‎2‎ C．‎ ‎1‎ D．‎ ‎0‎ 考点：‎ 切线的性质．‎ 分析：‎ 连接OD，CD是⊙O的切线，可得CD⊥OD，由∠A=30°，可以得出∠ABD=60°，△ODB是等边三角形，∠C=∠BDC=30°，再结合在直角三角形中300所对的直角边等于斜边的一半，继而得到结论①②③成立．‎ 解答：‎ 解：如图，连接OD，‎ ‎∵CD是⊙O的切线，‎ ‎∴CD⊥OD，‎ ‎∴∠ODC=90°，‎ 又∵∠A=30°，‎ ‎∴∠ABD=60°，‎ ‎∴△OBD是等边三角形，‎ ‎∴∠DOB=∠ABD=60°，AB=2OB=2OD=2BD．‎ ‎∴∠C=∠BDC=30°，‎ ‎∴BD=BC，②成立；‎ ‎∴AB=2BC，③成立；‎ ‎∴∠A=∠C，‎ ‎∴DA=DC，①成立；‎ 综上所述，①②③均成立，‎ 故答案选：A．‎ 点评：‎ 本题考查了圆的有关性质的综合应用，在本题中借用切线的性质，求得相应角的度数是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎9．（3分）（2014•无锡）在直角坐标系中，一直线a向下平移3个单位后所得直线b经过点A（0，3），将直线b绕点A顺时针旋转60°后所得直线经过点B（﹣，0），则直线a的函数关系式为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ y=﹣x B．‎ y=﹣x C．‎ y=﹣x+6‎ D．‎ y=﹣x+6‎ 考点：‎ 一次函数图象与几何变换．‎ 分析：‎ 先用待定系数法求出直线AB的解析式为y=x+3，再由题意，知直线b经过A（0，3），（，0），求出直线b的解析式为y=﹣x+3，然后将直线b向上平移3个单位后得直线a，根据上加下减的平移规律即可求出直线a的解析式．‎ 解答：‎ 解：设直线AB的解析式为y=kx+b，‎ ‎∵A（0，3），B（﹣，0），‎ ‎∴，解得，‎ ‎∴直线AB的解析式为y=x+3．‎ 由题意，知直线y=x+3绕点A逆时针旋转60°后得到直线b，则直线b经过A（0，3），（，0），‎ 易求直线b的解析式为y=﹣x+3，‎ 将直线b向上平移3个单位后得直线a，所以直线a的解析式为y=﹣x+3+3，即y=﹣x+6．‎ 故选C．‎ 点评：‎ 本题考查了一次函数图象与几何变换，解决本题的关键是得到把直线y=x+3绕点A逆时针旋转60°后得到直线b的解析式．‎ ‎　‎ ‎10．（3分）（2014•无锡）已知△ABC的三条边长分别为3，4，6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎6条 B．‎ ‎7条 C．‎ ‎8条 D．‎ ‎9条 考点：‎ 作图—应用与设计作图；等腰三角形的判定 分析：‎ 利用等腰三角形的性质分别利用AB，AC为底以及为腰得出符合题意的图形即可．‎ 解答：‎ 解：如图所示：当BC1=AC1，AC=CC2，AB=BC3，AC4=CC4，AB=AC5，AB=AC6，BC7=CC7时，都能得到符合题意的等腰三角形．‎ 故选：B．‎ 点评：‎ 此题主要考查了等腰三角形的判定以及应用设计与作图等知识，正确利用图形分类讨论得出是解题关键．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分。不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应的位置）‎ ‎11．（2分）（2014•无锡）分解因式：x3﹣4x=　x（x+2）（x﹣2）　．‎ 考点：‎ 提公因式法与公式法的综合运用．‎ 分析：‎ 应先提取公因式x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．‎ 解答：‎ 解：x3﹣4x，‎ ‎=x（x2﹣4），‎ ‎=x（x+2）（x﹣2）．‎ 点评：‎ 本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次因式分解，分解因式一定要彻底，直到不能再分解为止．‎ ‎　‎ ‎12．（2分）（2014•无锡）据国网江苏电力公司分析，我省预计今夏统调最高用电负荷将达到86000000千瓦，这个数据用科学记数法可表示为　8.6×107　千瓦．‎ 考点：‎ 科学记数法—表示较大的数．‎ 分析：‎ 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．‎ 解答：‎ 解：将86000000用科学记数法表示为：8.6×107．‎ 故答案为：8.6×107．‎ 点评：‎ 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．‎ ‎　‎ ‎13．（2分）（2014•无锡）方程的解是　x=2　．‎ 考点：‎ 解分式方程．‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 观察可得最简公分母是x（x+2），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．‎ 解答：‎ 解：方程的两边同乘x（x+2），得 ‎2x=x+2，‎ 解得x=2．‎ 检验：把x=2代入x（x+2）=8≠0．‎ ‎∴原方程的解为：x=2．‎ 故答案为x=2．‎ 点评：‎ 本题考查了分式方程的解法，注：‎ ‎（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．‎ ‎（2）解分式方程一定注意要验根．‎ ‎　‎ ‎14．（2分）（2014•无锡）已知双曲线y=经过点（﹣2，1），则k的值等于　﹣1　．‎ 考点：‎ 反比例函数图象上点的坐标特征．‎ 分析：‎ 直接把点（﹣2，1）代入双曲线y=，求出k的值即可．‎ 解答：‎ 解：∵双曲线y=经过点（﹣2，1），‎ ‎∴1=，‎ 解得k=﹣1．‎ 故答案为：﹣1．‎ 点评：‎ 本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，即反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式．‎ ‎　‎ ‎15．（2分）（2014•无锡）如图，△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点．若AD=6，DE=5，则CD的长等于　8　．‎ 考点：‎ 勾股定理；直角三角形斜边上的中线 分析：‎ 由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”求得AC=2DE=10；然后在直角△ACD中，利用勾股定理来求线段CD的长度即可．‎ 解答：‎ 解：如图，∵△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点，DE=5，‎ ‎∴DE=AC=5，‎ ‎∴AC=10．‎ 在直角△ACD中，∠ADC=90°，AD=6，AC=10，则根据勾股定理，得 CD===8．‎ 故答案是：8．‎ 点评：‎ 本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线．利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得AC的长度是解题的难点．‎ ‎　‎ ‎16．（2分）（2014•无锡）如图，▱ABCD中，AE⊥BD于E，∠EAC=30°，AE=3，则AC的长等于　4　．‎ 考点：‎ 平行四边形的性质；解直角三角形 分析：‎ 设对角线AC和BD相交于点O，在直角△AOE中，利用三角函数求得OA的长，然后根据平行四边形的对角线互相平分即可求得．‎ 解答：‎ 解：∵在直角△AOE中，cos∠EAC=，‎ ‎∴OA===2，‎ 又∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AC=2OA=4．‎ 故答案是：4．‎ 点评：‎ 本题考查了三角函数的应用，以及平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分，正确求得OA的长是关键．‎ ‎　‎ ‎17．（2分）（2014•无锡）如图，已知点P是半径为1的⊙A上一点，延长AP到C，使PC=AP，以AC为对角线作▱ABCD．若AB=，则▱ABCD面积的最大值为　2　．‎ 考点：‎ 平行四边形的性质；勾股定理；切线的性质．‎ 分析：‎ 由已知条件可知AC=2，AB=，应该是当AB、AC是直角边时三角形的面积最大，根据AB⊥AC即可求得．‎ 解答：‎ 解：由已知条件可知，当AB⊥AC时▱ABCD的面积最大，‎ ‎∵AB=，AC=2，‎ ‎∴S△ABC==，‎ ‎∴S▱ABCD=2S△ABC=2，‎ ‎∴▱ABCD面积的最大值为 2．‎ 故答案为2．‎ 点评：‎ 本题考查了平行四边形面积最值的问题的解决方法，找出什么情况下三角形的面积最大是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎18．（2分）（2014•无锡）如图，菱形ABCD中，∠A=60°，AB=3，⊙A、⊙B的半径分别为2和1，P、E、F分别是边CD、⊙A和⊙B上的动点，则PE+PF的最小值是　3　．‎ 考点：‎ 轴对称-最短路线问题；菱形的性质；相切两圆的性质．菁优网版权所有 分析：‎ 利用菱形的性质以及相切两圆的性质得出P与D重合时PE+PF的最小值，进而求出即可．‎ 解答：‎ 解：由题意可得出：当P与D重合时，E点在AD上，F在BD上，此时PE+PF最小，‎ 连接BD，‎ ‎∵菱形ABCD中，∠A=60°，‎ ‎∴AB=AD，则△ABD是等边三角形，‎ ‎∴BD=AB=AD=3，‎ ‎∵⊙A、⊙B的半径分别为2和1，‎ ‎∴PE=1，DF=2，‎ ‎∴PE+PF的最小值是3．‎ 故答案为：3．‎ 点评：‎ 此题主要考查了菱形的性质以及相切两圆的性质等知识，根据题意得出P点位置是解题关键．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共10小题，共84分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎19．（8分）（2014•无锡）（1）﹣|﹣2|+（﹣2）0；‎ ‎（2）（x+1）（x﹣1）﹣（x﹣2）2．‎ 考点：‎ 实数的运算；整式的混合运算；零指数幂 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ ‎（1）原式第一项利用平方根定义化简，第二项利用绝对值的代数意义化简，最后一项利用零指数幂法则计算即可得到结果；‎ ‎（2）原式第一项利用平方差公式化简，第二项利用完全平方公式展开，去括号合并即可得到结果．‎ 解答：‎ 解：（1）原式=3﹣2+1=2；‎ ‎（2）原式=x2﹣1﹣x2+4x﹣4=4x﹣5．‎ 点评：‎ 此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎20．（8分）（2014•无锡）（1）解方程：x2﹣5x﹣6=0；‎ ‎（2）解不等式组：．‎ 考点：‎ 解一元二次方程-因式分解法；解一元一次不等式组．‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ ‎（1）方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解；‎ ‎（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可．‎ 解答：‎ 解：（1）方程变形得：（x﹣6）（x+1）=0，‎ 解得：x1=6，x2=﹣1；‎ ‎（2），‎ 由①得：x≥3；‎ 由②得：x＞5，‎ 则不等式组的解集为x＞5．‎ 点评：‎ 此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，以及一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎21．（6分）（2014•无锡）如图，已知：△ABC中，AB=AC，M是BC的中点，D、E分别是AB、AC边上的点，且BD=CE．求证：MD=ME．‎ 考点：‎ 全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质 专题：‎ 证明题．‎ 分析：‎ 根据等腰三角形的性质可证∠DBM=∠ECM，可证△BDM≌△CEM，可得MD=ME，即可解题．‎ 解答：‎ 证明：△ABC中，‎ ‎∵AB=AC，‎ ‎∴∠DBM=∠ECM，‎ ‎∵M是BC的中点，‎ ‎∴BM=CM，‎ 在△BDM和△CEM中，‎ ‎，‎ ‎∴△BDM≌△CEM（SAS），‎ ‎∴MD=ME．‎ 点评：‎ 本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质．‎ ‎　‎ ‎22．（8分）（2014•无锡）如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E．‎ ‎（1）若∠B=70°，求∠CAD的度数；‎ ‎（2）若AB=4，AC=3，求DE的长．‎ 考点：‎ 圆周角定理；平行线的性质；三角形中位线定理 分析：‎ ‎（1）根据圆周角定理可得∠ACB=90°，则∠CAB的度数即可求得，在等腰△AOD中，根据等边对等角求得∠DAO的度数，则∠CAD即可求得；‎ ‎（2）易证OE是△ABC的中位线，利用中位线定理求得OE的长，则DE即可求得．‎ 解答：‎ 解：（1）∵AB是半圆O的直径，‎ ‎∴∠ACB=90°，‎ 又∵OD∥BC，‎ ‎∴∠AEO=90°，即OE⊥AC，∠CAB=90°﹣∠B=90°﹣70°=20°．‎ ‎∵OA=OD，‎ ‎∴∠DAO=∠ADO===55°‎ ‎∴∠CAD=∠DAO﹣∠CAB=55°﹣20°=35°；‎ ‎（2）在直角△ABC中，BC===．‎ ‎∵OE⊥AC，‎ ‎∴AE=EC，‎ 又∵OA=OB，‎ ‎∴OE=BC=．‎ 又∵OD=AB=2，‎ ‎∴DE=OD﹣OE=2﹣．‎ 点评：‎ 本题考查了圆周角定理以及三角形的中位线定理，正确证明OE是△ABC的中位线是关键．‎ ‎　‎ ‎23．（6分）（2014•无锡）为了解“数学思想作文对学习数学帮助有多大？”一研究员随机抽取了一定数量的高校大一学生进行了问卷调查，并将调查得到的数据用下面的扇形图和表来表示（图、表都没制作完成）．‎ 选项 帮助很大 帮助较大 帮助不大 几乎没有帮助 人数 a ‎543‎ ‎269‎ b 根据图、表提供的信息．‎ ‎（1）请问：这次共有多少名学生参与了问卷调查？‎ ‎（2）算出表中a、b的值．‎ ‎（注：计算中涉及到的“人数”均精确到1）‎ 考点：‎ 扇形统计图；统计表．‎ 分析：‎ ‎（1）用“帮助较大”的人数除以所占的百分比计算即可得解；‎ ‎（2）用参与问卷调查的学生人数乘以“帮助很大”所占的百分比计算即可求出a，然后根据总人数列式计算即可求出b．‎ 解答：‎ 解：（1）参与问卷调查的学生人数=543÷43.65%≈1244；‎ ‎（2）a=1244×25.40%=316，‎ b=1244﹣316﹣543﹣269=1244﹣1128=116．‎ 点评：‎ 本题考查的是扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．‎ ‎　‎ ‎24．（10分）（2014•无锡）三个小球分别标有﹣2，0，1三个数，这三个球除了标的数不同外，其余均相同，将小球放入一个不透明的布袋中搅匀．‎ ‎（1）从布袋中任意摸出一个小球，将小球上所标之数记下，然后将小球放回袋中，搅匀后再任意摸出一个小球，再记下小球上所标之数，求两次记下之数的和大于0的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法给出分析过程，并求出结果）‎ ‎（2）从布袋中任意摸出一个小球，将小球上所标之数记下，然后将小球放回袋中，搅匀后再任意摸出一个小球，将小球上所标之数再记下，…，这样一共摸了13次．若记下的13个数之和等于﹣4，平方和等于14．求：这13次摸球中，摸到球上所标之数是0的次数．‎ 考点：‎ 列表法与树状图法．‎ 专题：‎ 图表型．‎ 分析：‎ ‎（1）根据题意画出树状图，然后根据概率公式列式计算即可得解；‎ ‎（2）设摸出﹣2、0、1的次数分别为x、y、z，根据摸出的次数、13个是的和、平方和列出三元一次方程组，然后求解即可．‎ 解答：‎ 解：（1）根据题意画出树状图如下：‎ 所有等可能的情况数有9种，其中两次记下之数的和大于0的情况有3种，‎ 则P==；‎ ‎（2）设摸出﹣2、0、1的次数分别为x、y、z，‎ 由题意得，，‎ ‎③﹣②得，6x=18，‎ 解得x=3，‎ 把x=3代入②得，﹣2×3+z=﹣4，‎ 解得z=2，‎ 把x=3，z=2代入①得，y=8，‎ 所以，方程组的解是，‎ 故摸到球上所标之数是0的次数为8．‎ 点评：‎ 此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比，难点在于（2）列出三元一次方程组．‎ ‎　‎ ‎25．（8分）（2014•无锡）（1）如图1，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=2BC，现以C为圆心、CB长为半径画弧交边AC于D，再以A为圆心、AD为半径画弧交边AB于E．求证：=．（这个比值叫做AE与AB的黄金比．）‎ ‎（2）如果一等腰三角形的底边与腰的比等于黄金比，那么这个等腰三角形就叫做黄金三角形．请你以图2中的线段AB为腰，用直尺和圆规，作一个黄金三角形ABC．‎ ‎（注：直尺没有刻度！作图不要求写作法，但要求保留作图痕迹，并对作图中涉及到的点用字母进行标注）‎ 考点：‎ 作图—应用与设计作图；黄金分割．‎ 分析：‎ ‎（1）利用位置数表示出AB，AC，BC的长，进而得出AE的长，进而得出答案；‎ ‎（2）根据底与腰之比均为黄金比的等腰三角形，画图即可．‎ 解答：‎ ‎（1）证明：∵Rt△ABC中，∠B=90°，AB=2BC，‎ ‎∴设AB=2x，BC=x，则AC=x，‎ ‎∴AD=AE=（﹣1）x，‎ ‎∴==．‎ ‎（2）解：底与腰之比均为黄金比的等腰三角形，如图：‎ ‎．‎ 点评：‎ 此题主要考查了黄金三角形的作法以及黄金三角形的性质，根据已知得出底边作法是解题关键．‎ ‎　‎ ‎26．（10分）（2014•无锡）如图，二次函数y=ax2+bx（a＜0）的图象过坐标原点O，与x轴的负半轴交于点A，过A点的直线与y轴交于B，与二次函数的图象交于另一点C，且C点的横坐标为﹣1，AC：BC=3：1．‎ ‎（1）求点A的坐标；‎ ‎（2）设二次函数图象的顶点为F，其对称轴与直线AB及x轴分别交于点D和点E，若△FCD与△AED相似，求此二次函数的关系式．‎ 考点：‎ 二次函数综合题．‎ 分析：‎ ‎（1）过点C作CM∥OA交y轴于M，则△BCM∽△BAO，根据相似三角形对应边成比例得出==，即OA=4CM=4，由此得出点A的坐标为（﹣4，0）；‎ ‎（2）先将A（﹣4，0）代入y=ax2+bx，化简得出b=4a，即y=ax2+4ax，则顶点F（﹣2，﹣4a），设直线AB的解析式为y=kx+n，将A（﹣4，0）代入，化简得n=4k，即直线AB的解析式为y=kx+4k，则B点（0，4k），D（﹣2，2k），C（﹣1，3k）．由C（﹣1，3k）在抛物线y=ax2+4ax上，得出3k=a﹣4a，化简得到k=﹣a．再由△FCD与直角△AED相似，则△FCD是直角三角形，又∠FDC=∠ADE＜90°，∠CFD＜90°，得出∠FCD=90°，△FCD∽△AED．再根据两点之间的距离公式得出FC2=CD2=1+a2，得出△FCD是等腰直角三角形，则△AED也是等腰直角三角形，所以∠DAE=45°，由三角形内角和定理求出∠OBA=45°，那么OB=OA=4，即4k=4，求出k=1，a=﹣1，进而得到此二次函数的关系式为y=﹣x2﹣4x．‎ 解答：‎ 解：（1）如图，过点C作CM∥OA交y轴于M．‎ ‎∵AC：BC=3：1，‎ ‎∴=．‎ ‎∵CM∥OA，‎ ‎∴△BCM∽△BAO，‎ ‎∴===，‎ ‎∴OA=4CM=4，‎ ‎∴点A的坐标为（﹣4，0）；‎ ‎（2）∵二次函数y=ax2+bx（a＜0）的图象过A点（﹣4，0），‎ ‎∴16a﹣4b=0，‎ ‎∴b=4a，‎ ‎∴y=ax2+4ax，对称轴为直线x=﹣2，‎ ‎∴F点坐标为（﹣2，﹣4a）．‎ 设直线AB的解析式为y=kx+n，将A（﹣4，0）代入，‎ 得﹣4k+n=0，‎ ‎∴n=4k，‎ ‎∴直线AB的解析式为y=kx+4k，‎ ‎∴B点坐标为（0，4k），D点坐标为（﹣2，2k），C点坐标为（﹣1，3k）．‎ ‎∵C（﹣1，3k）在抛物线y=ax2+4ax上，‎ ‎∴3k=a﹣4a，‎ ‎∴k=﹣a．‎ ‎∵△AED中，∠AED=90°，‎ ‎∴若△FCD与△AED相似，则△FCD是直角三角形，‎ ‎∵∠FDC=∠ADE＜90°，∠CFD＜90°，‎ ‎∴∠FCD=90°，‎ ‎∴△FCD∽△AED．‎ ‎∵F（﹣2，﹣4a），C（﹣1，3k），D（﹣2，2k），k=﹣a，‎ ‎∴FC2=（﹣1+2）2+（3k+4a）2=1+a2，CD2=（﹣2+1）2+（2k﹣3k）2=1+a2，‎ ‎∴FC=CD，‎ ‎∴△FCD是等腰直角三角形，‎ ‎∴△AED是等腰直角三角形，‎ ‎∴∠DAE=45°，‎ ‎∴∠OBA=45°，‎ ‎∴OB=OA=4，‎ ‎∴4k=4，‎ ‎∴k=1，‎ ‎∴a=﹣1，‎ ‎∴此二次函数的关系式为y=﹣x2﹣4x．‎ 点评：‎ 本题是二次函数的综合题型，其中涉及到相似三角形、等腰直角三角形的判定与性质，运用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，两点之间的距离公式、抛物线对称轴的求法，函数图象上点的坐标特征．综合性较强，有一定难度．（2）中得出△FCD是等腰直角三角形是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎27．（10分）（2014•无锡）某发电厂共有6台发电机发电，每台的发电量为300万千瓦/月．该厂计划从今年7月开始到年底，对6台发电机各进行一次改造升级．每月改造升级1台，这台发电机当月停机，并于次月再投入发电，每台发电机改造升级后，每月的发电量将比原来提高20%．已知每台发电机改造升级的费用为20万元．将今年7月份作为第1个月开始往后算，该厂第x（x是正整数）个月的发电量设为y（万千瓦）．‎ ‎（1）求该厂第2个月的发电量及今年下半年的总发电量；‎ ‎（2）求y关于x的函数关系式；‎ ‎（3）如果每发1千瓦电可以盈利0.04元，那么从第1个月开始，至少要到第几个月，这期间该厂的发电盈利扣除发电机改造升级费用后的盈利总额ω1（万元），将超过同样时间内发电机不作改造升级时的发电盈利总额ω2（万元）？‎ 考点：‎ 一次函数的应用．‎ 分析：‎ ‎（1）由题意可以知道第1个月的发电量是300×5千瓦，第2个月的发电量为300×4+300（1+20%），第3个月的发电量为300×3+300×2×（1+20%），第4个月的发电量为300×2+300×3×（1+20%），第5个月的发电量为300×1+300×4×（1+20%），第6个月的发电量为300×5×（1+20%），将6个月的总电量加起来就可以求出总电量．‎ ‎（2）由总发电量=各台机器的发电量之和根据（1）的结论设y与x之间的关系式为y=kx+b建立方程组求出其解即可；‎ ‎（3）由总利润=发电盈利﹣发电机改造升级费用，分别表示出ω1，ω2，再根据条件建立不等式求出其解即可．‎ 解答：‎ 解：（1）由题意，得 第2个月的发电量为：300×4+300（1+20%）=1560千瓦，‎ 今年下半年的总发电量为：300×5+1560+300×3+300×2×（1+20%）+300×2+300×3×（1+20%）+300×1+300×4×（1+20%）+300×5×（1+20%），‎ ‎=1500+1560+1620+1680+1740+1800，‎ ‎=9900．‎ 答：该厂第2个月的发电量为1560千瓦；今年下半年的总发电量为9900千瓦；‎ ‎（2）设y与x之间的关系式为y=kx+b，由题意，得 ‎，‎ 解得：，‎ ‎∴y=60x+1440（1≤x≤6）．‎ ‎（3）设到第n个月时ω1＞ω2，‎ 当n=6时，ω1=9900×0.04﹣20×6=276，ω2=300×6×6×0.04=432，ω1＞ω2不符合．‎ ‎∴n＞6．‎ ‎∴ω1=[9900+360×6（n﹣6）]×0.04﹣20×6=86.4n﹣240，‎ ω2=300×6n×0.04=72n．‎ ‎86.4a﹣122.4＞72a，‎ 当ω1＞ω2时，86.4n﹣240＞72n，解之得n＞16.7，∴n=17．‎ 答：至少要到第17个月ω1超过ω2．‎ 点评：‎ 本题考查了一次函数的运用，列一元一次不等式解实际问题的运用，总利润=发电盈利﹣发电机改造升级费用，解答时求出一次函数解析式是解答本题的关键．‎ ‎　‎ ‎28．（10分）（2014•无锡）如图1，已知点A（2，0），B（0，4），∠AOB的平分线交AB于C，一动点P从O点出发，以每秒2个单位长度的速度，沿y轴向点B作匀速运动，过点P且平行于AB的直线交x轴于Q，作P、Q关于直线OC的对称点M、N．设P运动的时间为t（0＜t＜2）秒．‎ ‎（1）求C点的坐标，并直接写出点M、N的坐标（用含t的代数式表示）；‎ ‎（2）设△MNC与△OAB重叠部分的面积为S．‎ ‎①试求S关于t的函数关系式；‎ ‎②在图2的直角坐标系中，画出S关于t的函数图象，并回答：S是否有最大值？若有，写出S的最大值；若没有，请说明理由．‎ 考点：‎ 相似形综合题 分析：‎ ‎（1）如答图1，作辅助线，由比例式求出点D的坐标；‎ ‎（2）①所求函数关系式为分段函数，需要分类讨论．‎ 答图2﹣1，答图2﹣2表示出运动过程中重叠部分（阴影）的变化，分别求解；‎ ‎②画出函数图象，由两段抛物线构成．观察图象，可知当t=1时，S有最大值．‎ 解答：‎ 解：（1）如答图1，过点C作CF⊥x轴于点F，CE⊥y轴于点E，‎ 由题意，易知四边形OECF为正方形，设正方形边长为x．‎ ‎∵CE∥x轴，‎ ‎∴，即，解得x=．‎ ‎∴C点坐标为（，）；‎ ‎∵PQ∥AB，‎ ‎∴，即，‎ ‎∴OP=2OQ．‎ ‎∵P（0，2t），‎ ‎∴Q（t，0）．‎ ‎∵对称轴OC为第一象限的角平分线，‎ ‎∴对称点坐标为：M（2t，0），N（0，t）．‎ ‎（2）①当0＜t≤1时，如答图2﹣1所示，点M在线段OA上，重叠部分面积为S△CMN．‎ S△CMN=S四边形CMON﹣S△OMN ‎=（S△COM+S△CON）﹣S△OMN ‎=（•2t×+•t×）﹣•2t•t ‎=﹣t2+2t；‎ 当1＜t＜2时，如答图2﹣2所示，点M在OA的延长线上，设MN与AB交于点D，则重叠部分面积为S△CDN．‎ 设直线MN的解析式为y=kx+b，将M（2t，0）、N（0，t）代入得，‎ 解得，‎ ‎∴y=﹣x+t；‎ 同理求得直线AB的解析式为：y=﹣2x+4．‎ 联立y=﹣x+t与y=﹣2x+4，求得点D的横坐标为．‎ S△CDN=S△BDN﹣S△BCN ‎=（4﹣t）•﹣（4﹣t）×‎ ‎=t2﹣2t+．‎ 综上所述，S=．‎ ‎②画出函数图象，如答图2﹣3所示：‎ 观察图象，可知当t=1时，S有最大值，最大值为1．‎ 点评：‎ 本题是运动型综合题，涉及二次函数与一次函数、待定系数法、相似、图形面积计算、动点问题函数图象等知识点．难点在于第（2）问，正确地进行分类讨论，是解决本题的关键．‎