2020年广东省广州市越秀区中考数学一模试卷 (含解析)

2020年广东省广州市越秀区中考数学一模试卷 (含解析)

2020 年广东省广州市越秀区中考数学一模试卷 一、选择题（本大题共 10 小题，共 30.0 分） 1. 的绝对值是 A. B. C. D. . 下列图形中，既是轴对称又是中心对称的图形有 A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 3. 如图，AB是 的直径，弦 于点E， 1ͳ ， 1ͳ则 AE 的长为 A. 2cm B. 8cm C. 16cm D. 18cm 4. 下列计算正确的是 A. 香 香 B. 香 3 香 C. 香 香 3 香 D. 香 香 3 香 . 反比例函数 香 的图象上有两点 1香11 ， 香 ，若 香1 香 ，则下列结论正确的是 A. 1 B. 1 C. 1 D. 1 . 下列说法正确的是 A. 要了解我市居民的低碳生活状况，适宜采用抽样调查的方法 B. 一组数据 2，2，3，6 的众数和中位数都是 2 C. “掷一枚硬币正面朝上的概率是 1 “，表示每抛硬币 2 次就有 1 次正面朝上 D. 随机抽取甲乙两名同学的 5 次数学成绩，平均分都是 90 分，方差分别是 甲 ， 乙 1 ， 说明乙的成绩较为稳定 7. 如图是正方体的一个平面展开图，则原正方体上与“周”相对的面上的字 是 A. 七 B. 十 C. 华 D. 诞 8. 若关于 x 的一元二次方程 ݇ 1香 4香 1 有两个不相等的实数根，则 k 的值可能是 A. 1 B. C. 5 D. 6 9. 如图是边长为 1 的小正方形组成的网格图，其中点 A，B，C 均为格点，则 sin 为 A. B. C. 1 D. 1 1 1. 当 㐴 时， 香 与 香 㐴 的图象大致是 A. B. C. D. 二、填空题（本大题共 6 小题，共 18.0 分） 11. 要使代数式 香1 香 有意义，则 x 的取值范围是______． 1. 分解因式 8 1 ______． 13. 某经济开发区今年一月份工业产值达到 80 亿元，第一季度总产值为 275 亿元，问二、三月平均 每月的增长率是多少？设平均每月的增长率为 x，根据题意列方程：______ ． 14. 一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，从正面和上面看到的这个几何体的形状图如图所 示，则该几何体最少是用______个小立方块搭成的． 1. 在 中， 9 ， 8 ， ，则 内切圆的半径为______． 1. 如图，正方形 ABCD 的边长是 4，点 E 是 BC 的中点，连接 DE， 交 BA 的延长线于点 . 连接 EF、AC，DE、EF 分别与 AC 交于点 P、Q，则 ᦙ ______． 三、计算题（本大题共 2 小题，共 19.0 分） 17. 3香 4香 1 11 18. 化简： 1 4 香 香 香 香 1 香 4香 4 香 4 香 四、解答题（本大题共 7 小题，共 83.0 分） 19. 如图，已知 B，D 在线段 AC 上，且 ， ， ，求证： 䁧䁧 ． . 书法是我国的文化瑰宝，研习书法能培养高雅的品格．某校为加强书法教学，了解学生现有的 书写能力，随机抽取了部分学生进行测试，测试结果分为优秀、良好、及格、不及格四个等级， 分别用 A，B，C，D 表示，并将测试结果绘制成如图两幅不完整的统计图． 请根据统计图中的信息解答以下问题： 1 本次抽取的学生人数是____，扇形统计图中 A 所对应扇形圆心角的度数是____． 把条形统计图补充完整． 3 等级的 4 名学生中有 3 名女生 1 名男生，现在需要从这 4 人中随机抽取 2 人参加电视台举 办的“中学生书法比赛”，请用列表或画树状图的方法，求被抽取的 2 人恰好是 1 名男生 1 名 女生的概率． 21. 学校准备购置一批教师办公桌椅，已知 2 套 A 型桌椅和 1 套 B 型桌椅共需 2000 元，1 套 A 型桌 椅和 3 套 B 型桌椅共需 3000 元． 1 求一套 A 型桌椅和一套 B 型桌椅的售价各是多少元； 学校准备购进这两种型号的办公桌椅 200 套，平均每套桌椅需要运费 10 元，并且 A 型桌椅 的套数不多于 B 型桌椅的套数的 3 倍．请设计出最省钱的购买方案，并说明理由． 22. 如图，已知一次函数 1 ݇1香 㐴 的图象与反比例函数 ݇ 香 香 的图象相交于点 1 8 ， 与 x 轴相交于点 1 ． 1 求一次函数和反比例函数的解析式； 点 M 是线段 AB 上一动点，过点 M 作直线 䁧䁧香 轴交反比例函数的图象于点 P，连接 BP， 若 的面积为 S，求 S 的最大值． 23. 如图，▵ ABC 中， AB AC ， BAC 1 ∘ ． 1 尺规作图：在 BC 边上找一点 E，使得 EA EC ； 保留作图痕迹，不必写做法 求证： BE CE ． 24. 如图所示，已知抛物线经过点 、 4 、 8 ，抛物线 香 㐴香 ͳ 与直线 香 4 交于 B、D 两点． 1 求抛物线的解析式及顶点的坐标； 求 D 点坐标； 3 点 P 为抛物线上的一个动点，且在直线 BD 下方，试求出 面积的最大值及此时点 P 的 坐标． 25. 已知：如图，在梯形 ABCD 中， 䁧䁧 ， 9 ， ，点 E 在边 AD 上 不与点 A、 D 重合 ， 4 ，EB 与对角线 AC 相交于点 F，设 香 ． 1 用含 x 的代数式表示线段 CF 的长； 如果把 的周长记作 ， 的周长记作 ，设 ，求 y 关于 x 的函数 关系式，并写出它的定义域； 3 当 的正切值是 3 时，求 AB 的长． 【答案与解析】 1.答案：B 解析：解： 的绝对值是 ， 故选：B． 根据绝对值的性质求解可得． 本题主要考查绝对值，解题的关键是掌握绝对值的性质． 2.答案：B 解析： 本题考查了中心对称图形与轴对称图形有关知识，根据轴对称图形与中心对称图形的概念对各图形 分析判断即可求解． 解：第一个图形是中心对称图形，又是轴对称图形， 第二个图形是轴对称图形，不是中心对称图形 第三个图形是轴对称图形，不是中心对称图形 第四个图形是中心对称图形，又是轴对称图形． 既是轴对称又是中心对称的图形有 2 个． 故选 B． 3.答案：D 解析： 本题考查了垂径定理以及勾股定理，利用垂径定理结合勾股定理求出 OE 的长度是解题的关键． 根据垂径定理可得出 CE 的长度，在 中，利用勾股定理可得出 OE 的长度，再利用 即可得出 AE 的长度． 解： 是 的直径，弦 于点 E， 1ͳ ， 1 ͳ ， 在 中， 1ͳ ， ͳ ， 8ͳ ， 1ͳ ， 1 8 18ͳ ． 故选 D． 4.答案：C 解析：解：A、 香 香 香 ，故此选项错误； B、 香 3 香 3 ，故此选项错误； C、 香 香 3 香 ，故此选项正确； D、 香 香 3 香 ，故此选项错误． 故选：C． 直接利用完全平方公式以及同底数幂的乘法运算法则分别化简得出答案． 此题主要考查了完全平方公式以及同底数幂的乘法运算，正确化简各数是解题关键． 5.答案：D 解析： 本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点及各象限内点的坐标特点，先根据 ݇ 判断出该函 数图象所在象限是解答此题的关键． 先根据反比例函数 香 中 ݇ 可判断出此函数图象在二、四象限，再根据 香1 香 ， 可判断出 A、B 两点所在的象限，根据各象限内点的坐标特点即可判断出 1 与 的大小关系． 解： 反比例函数 香 中 ݇ ， 此函数图象在二、四象限， 香1 香 ， 香11 在第二象限；点 香 在第四象限， 1 ， 故选 D． 6.答案：A 解析： 本题主要考查概率的意义，众数和中位数的定义，全面调查与抽样调查，方差的意义． 根据抽样调查的可靠性和适用情况、众数和中位数的定义、概率的意义及方差的意义逐一判断即可 得． 解： . 要了解我市居民的低碳生活状况，适宜采用抽样调查的方法，此选项正确； B.一组数据 2，2，3，6 的众数是 2，中位数是 . ，此选项错误； C.“掷一枚硬币正面朝上的概率是 1 ”，表示每抛硬币 2 次可能有 1 次正面朝上，此选项错误； D.随机抽取甲乙两名同学的 5 次数学成绩，平均分都是 90 分，方差分别是 甲 ， 乙 1 ，说明 甲的成绩较为稳定； 故选：A． 7.答案：C 解析： 本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答 问题． 正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答． 解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， “十”与“年”是相对面， “七”与“诞”是相对面， “周”与“华”是相对面． 故原正方体上与“周”相对的面上的字是华． 故选：C． 8.答案：B 解析：解：根据题意得 ݇ 1 且 4 4݇ 1 ， 解得 ݇ 且 ݇ 1 ． 故选：B． 利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到 ݇ 1 且 4 4݇ 1 ，然后求出 k 的范 围后对各选项进行判断． 本题考查了根的判别式：一元二次方程 香 㐴香 ͳ 的根与 㐴 4ͳ 有如下关系：当 时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有两个相等的实数根；当 时，方程无 实数根． 9.答案：D 解析：解：如图所示：连接 BD，交 AC 于点 E， 由正方形的性质可得： ， 由小正方形的边长为 1，结合勾股定理得 ， ， 根据正方形的性质得 ， 则 sin 1 1 ． 故选：D． 直接利用网格结合正方形的性质构造直角三角形，再利用勾股定理得出答案． 此题主要考查了解直角三角形，正确构造直角三角形是解题关键． 10.答案：A 解析： 本题考查了二次函数与一次函数的图象与系数的关系，要求学生理解系数与图象的关系．根据题意， 㐴 ，分 与 两种情况讨论，分析选项可得答案． 解：根据题意， 㐴 ， 当 时， 㐴 ， 香 开口向上，过原点， 香 㐴 过一、三、四象限； 此时，A 选项符合， 当 时， 㐴 ， 香 开口向下，过原点， 香 㐴 过一、二、四象限； 此时，没有选项符合． 故选：A． 11.答案： 香 1 且 香 解析：解：根据题意，得 香 1 香 ， 解得 香 1 且 香 ． 故答案为 香 1 且 香 ． 根据二次根式和分式有意义的条件：被开方数大于等于 0，分母不等于 0，列不等式组求解． 本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为 0；二次根式的被开方数是非负数． 12.答案： 4 解析：解： 8 1 8 1 4 ． 故答案为： 4 ． 先提取公因式 m，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解． 本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用 其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 13.答案： 8 81 香 81 香 7 解析：解：由题意可得， 8 81 香 81 香 7 ， 故答案为： 8 81 香 81 香 7 ． 根据题意可以列出相应的方程，本题得以解决． 本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是明确题意，列出相应的方程． 14.答案：10 解析：解：从上面看各个位置至少放 1 个小立方体，从正面看第一列至少有一个位置放 3 个小立方 体，第三列至少有一个位置放 2 个小立方体， 因此至少需要 10 个， 故答案为：10． 从上面看可知各个位置均有小立方体，从正面看可得第一列至少有一个位置放 3 个小立方体，第三 列至少有一个位置放 2 个小立方体，因此至少需要 10 个． 考查从三个方向看立体图形，从上面看入手，将每个位置至少放小立方体的个数确定下来是解决问 题的关键． 15.答案：2 解析：解： 9 ， 8 ， ， 8 1 ， 的内切圆的半径 81 ， 故答案为：2 先利用勾股定理计算出 AB 的长，再利用直角三角形内切圆的半径的计算方法求出 的内切圆 的半径． 本题考查了三角形的内切圆与内心，考查勾股定理的应用，属于基础题． 16.答案： 3 解析：解：如图，过点 E 作 䁧䁧 ，交 AC 于点 M， 四边形 ABCD 是正方形 4 ， 9 ， 4 ， 䁧䁧 ， 9 ， 4 ， ， 9 ，且 ， 9 ， ≌ ， 点 E 是 BC 中点， 1 ， 䁧䁧䁧䁧 9 ，且 4 4 ， 1 ， 䁧䁧䁧䁧 ， ᦙ ᦙ 1 ， 1 ， 1 ， ᦙ ᦙ ， ， ， ᦙ ， 3 ， ᦙ ᦙ 3 ． 过点 E 作 䁧䁧 ，交 AC 于点 M，由题意可证 䁧䁧䁧䁧 ， ≌ ，可得 ， 根据平行线分线段成比例可得 ᦙ ᦙ 1 ， 1 ， 1 ，根据线段之间的等量代换即 可求 PQ 的长． 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例等性质，灵活运用相关 的性质定理、综合运用知识是解题的关键． 17.答案：解：去括号，得： 3香 8香 11 ， 移项，得： 3香 8香 11 ， 合并同类项，得： 香 1 ， 系数化成 1 得 香 3 ； 解析：本题考查解一元一次方程，解一元一次方程的一般步骤是：去分母、去括号、移项、合并同 类项、化系数为 1，注意移项要变号，去括号、移项、合并同类项、系数化成 1 即可求解． 18.答案：解： 1 原式 4 4 ； 原式 香 香香 香1 香 香 香4 香 4 香香 香 香 香香 香 香 4 香 4 香香 香 香 4 1 香 ． 解析：本题主要考查分式的混合运算，运算时要注意先去括号；分子、分母能因式分解的先因式分 解；除法要统一为乘法运算． 1 先变形为同分母分式加减，再根据法则计算，最后约分即可得； 根据分式混合运算顺序和运算法则计算可得． 19.答案：证明： ， ， 即 ， 在 和 中， ， ≌ ， ， 䁧䁧 ． 解析：本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定；熟练掌握全等三角形的判定与性质是 解决问题的关键． 证出 ，由 SAS 证明 ≌ ，由全等三角形的性质得出 ，即可得出结 论． 20.答案：解： 14 人、 3 ； 等级人数为 4 4 1 14 人 ， 补全条形图如下： 3 画树状图为： 或列表如下： 男 女 1 女 2 女 3 男 --- 女 1，男 女 2，男 女 3，男 女 1 男，女 1 --- 女 2，女 1 女 3，女 1女 2 男，女 女 1，女 --- 女 3，女 女 3 男，女 3 女 1，女 3 女 2，女 3 --- 共有 12 种等可能情况，1 男 1 女的情况有 6 种， 被选中的 2 人恰好是 1 男 1 女的概率为 1 ． 解析： 本题考查了扇形统计图，条形统计图，树状图等知识点，解题时注意：概率 所求情况数与总情况 数之比． 1 由 C 等级人数及其所占百分比可得总人数，用 3 乘以 A 等级人数所占比例即可得； 总人数减去 A、C、D 的人数可求出 B 等级的人数，从而补全图形； 3 列表或画树状图得出所有等可能的情况数，找出刚好抽到一男一女的情况数，即可求出所求的概 率． 解： 1 本次抽取的学生人数是 1 4 4 人 ， 扇形统计图中 A 所对应扇形圆心角的度数是 3 4 4 3 ， 故答案为 40 人； 3 ； 见答案； 3 见答案． 21.答案：解： 1 设一套 A 型桌椅的售价是 x 元，一套 B 型桌椅的售价是 y 元， 依题意，得： 香 香 3 3 ， 解得： 香 8 ． 答：一套 A 型桌椅的售价是 600 元，一套 B 型桌椅的售价是 800 元． 设购进 A 型桌椅 m 套，则购进 B 型桌椅 套， 依题意，得： 3 ， 解得： 1 ． 再设购买费及运费的总和为 w 元， 依题意，得： 8 1 1 ． ， 值随着 m 值的增大而减小， 当购进 A 型桌椅 150 套、B 型桌椅 50 套时，总费用最少，最少费用为 132000 元． 解析： 1 设一套 A 型桌椅的售价是 x 元，一套 B 型桌椅的售价是 y 元，根据“购进 2 套 A 型桌椅和 1 套 B 型桌椅共需 2000 元；购进 1 套 A 型桌椅和 3 套 B 型桌椅共需 3000 元”，即可得出关于 x，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论； 设购进 A 型桌椅 m 套，则购进 B 型桌椅 套，由购进 A 型桌椅的套数不多于 B 型桌椅的 套数的 3 倍，即可得出关于 m 的一元一次不等式，解之即可得出 m 的取值范围，再设购买费及运费 的总和为 w 元，根据总费用 购买单价 购买数量 每套的运费 套数，即可得出 w 关于 m 的函数关 系式，利用一次函数的性质即可找出最省钱的购买方案． 本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的性质，解题的关键是： 1找准等量关系，正确列出二元一次方程组； 根据各数量之间的关系，找出 w 关于 m 的函数关系 式． 22.答案：解： 1 1 8 ，点 1 ，代入 1 ݇1 㐴 ， 8 1 ݇1 㐴1 1 ݇1 㐴1 ， ݇1 8 㐴 4 ， 8香 4 ； 1 8 代入 ݇ 香 ， ݇ 4 ， 4 香 ； 设 M 的纵坐标为 m，则 4 8 ， 䁧䁧香 轴， 点 P 的纵坐标为 m， 4 ， 1 1 4 8 4 1 1 9 4 ， 当 时，面积最大为 9 4 ； 解析： 1 1 8 ，点 1 ，代入 1 ݇1 㐴 ； 1 8 代入 ݇ 香 ； 设 M 的纵坐标为 m，则 4 8 ， 䁧䁧香 轴， 4 ， 1 4 8 4 1 1 9 4 ； 本题考查一次函数和反比例函数综合，三角形面积最大值；利用待定系数法求解析式重要方法，将 面积最值转化为二次函数问题是解题的关键． 23.答案：解： 1 点 P 就是所求的点． 证明：连接 AE， ， 1 ， 18 181 3 ， ， 1 3 ， 1 1 3 9 ， 又 3 ， ． 解析：本题主要考查了尺规作图及等腰三角形和直角三角形的性质、三角形的内角和定理． 1 根据尺规作图作线段 AC 的垂直平分线即可； 由垂直平分线的性质得到 ，由三角形的内角和定理及等腰三角形的性质得 9 ， 再由含 3 角的直角三角形的性质即可得到结论． 24.答案：解： 1 抛物线的表达式为： 香 香 4 香 香 8 ， 故 8 8 ，解得： 1 ， 故抛物线的表达式为： 香 香 8 ； 联立 香 4 和 香 香 8 ， 得 香 香 8 香 4 ， 解得： 香 4 或 1 舍去 4 ， 故点 1 ； 3 过点 P 作 y 轴的平行线交 BD 于点 H， 设点 香香 香 8 ，则点 香香 4 面积 1 香 香 1 香 4 香 香 8 4 1 香 3香 4 香 3 3 8 ， ，故面积有最大值为： 3 8 ；此时， 香 3 ， 即点 3 3 4 . 解析：主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结 合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的 关系． 1 抛物线的表达式为： 香 香 4 香 香 8 ，故 8 8 ，解得： 1 ，即可 求解； 联立 香 4 和 香 香 8 ，即可求解； 3 面积 1 香 香 1 香 4 香 香 8 4 1 香 3香 4 香 3 3 8 ，即可求解． 25.答案：解： 1 ． 4 ， 4 ， ， ， ∽ ， ， 在 中，根据勾股定理得， 香 4 ， ， 香4 香4 ， 香 4 4 ； ， ， 18 18 ， 18 ， ， 4 ， ∽ ， 香 香4 4 香 香 ， 3 由 知， ∽ ， ， 香 香4 4 ， 香 ， 的正切值是 3 ， tan 香 香 3 ， 香 1 ， 香 ． 解析： 1 先利用勾股定理得出 CE，再判断出 ∽ ，得出比例式即可得出结论； 先判断出 ，进而得出 ∽ ，即可得出结论； 3 由 得出 ∽ ，即可表示出 AB，最后利用锐角三角函数建立方程求出 x，即可得出结 论． 此题是四边形综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数，解 1 的关 键是判断出 ∽ ，解 3 的关键是判断出 ∽ ．