二次函数的实际应用(利润最值问题)

二次函数的实际应用(利润最值问题)

‎2.6 二次函数的实际应用——最大(小)值问题 知识要点：‎ 二次函数的一般式()化成顶点式，如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值）．‎ 即当时，函数有最小值，并且当，；‎ 当时，函数有最大值，并且当，．‎ 如果自变量的取值范围是，如果顶点在自变量的取值范围内，则当，，如果顶点不在此范围内，则需考虑函数在自变量的取值范围内的增减性；如果在此范围内随的增大而增大，则当时，‎ ‎，当时，；‎ 如果在此范围内随的增大而减小，则当时，，当时，．‎ ‎[例1]：求下列二次函数的最值：‎ ‎（1）求函数的最值．‎ 解：‎ 当时，有最小值，无最大值．‎ ‎ （2）求函数的最值．‎ ‎ 解：‎ ‎∵，对称轴为 ‎∴当．‎ ‎[例2]：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？‎ 解：设涨价（或降价）为每件元，利润为元，‎ 为涨价时的利润，为降价时的利润 则：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 7‎ 当，即：定价为65元时，（元）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 当，即：定价为57.5元时，（元）‎ 综合两种情况，应定价为65元时，利润最大．‎ ‎[练习]：1．某商店购进一批单价为20元的日用品，如果以单价30元销售，那么半个月内可以售出400件．根据销售经验，提高单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件．如何提高售价，才能在半个月内获得最大利润？‎ 解：设每件价格提高元，利润为元，‎ 则：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 当，（元）‎ 答：价格提高5元，才能在半个月内获得最大利润．‎ ‎2．某旅行社组团去外地旅游，30人起组团，每人单价800元．旅行社对超过30人的团给予优惠，即旅行团每增加一人，每人的单价就降低10元．你能帮助分析一下，当旅行团的人数是多少时，旅行社可以获得最大营业额？‎ 解：设旅行团有人，营业额为元，‎ 则：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 当，（元）‎ 答：当旅行团的人数是55人时，旅行社可以获得最大营业额．‎ x（元）‎ ‎15‎ ‎20‎ ‎30‎ ‎…‎ y（件）‎ ‎25‎ ‎20‎ ‎10‎ ‎…‎ ‎[例3]： 某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价(元)与产品的日销售量(件)之间的关系如下表：‎ ‎ 若日销售量是销售价的一次函数．‎ ‎ ⑴求出日销售量(件)与销售价(元)的函数关系式；‎ ‎ ⑵要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？‎ 解：⑴设一次函数表达式为．‎ 7‎ 则 解得，‎ 即一次函数表达式为．‎ ‎ ⑵ 设每件产品的销售价应定为元，‎ 所获销售利润为元 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 当，（元）‎ 答：产品的销售价应定为25元时，每日获得最大销售利润为225元．‎ ‎ ‎ ‎【点评】解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似，也有区别，主要有两点：‎ ‎⑴在“当某某为何值时，什么最大(或最小、最省)”的设问中，“某某”要设为自变量，“什么”要设为函数；⑵求解方法是依靠配方法或最值公式，而不是解方程．‎ ‎3．（2006十堰市）市“健益”超市购进一批20元/千克的绿色食品，如果以30元/千克销售，那么每天可售出400千克．由销售经验知，每天销售量(千克)与销售单价(元)‎ ‎(）存在如下图所示的一次函数关系式．‎ ‎ ⑴试求出与的函数关系式；‎ ‎ ⑵设“健益”超市销售该绿色食品每天获得利润P元，当销售单价为何值时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？‎ ‎⑶根据市场调查，该绿色食品每天可获利润不超过4480元，现该超市经理要求每天利润不得低于4180元，请你帮助该超市确定绿色食品销售单价的范围(直接写出答案)．‎ 解：⑴设y=kx+b由图象可知，‎ ‎，‎ 即一次函数表达式为．‎ ‎ ⑵ ‎ ‎ ‎ ‎ ∵ ∴P有最大值．‎ 当时，（元）‎ ‎（或通过配方，，也可求得最大值）‎ 7‎ 答：当销售单价为35元/千克时，每天可获得最大利润4500元．‎ ‎⑶∵‎ ‎ ‎ ‎∴31≤x≤34或36≤x≤39．‎ 作业布置：‎ ‎1．二次函数，当x=_-1，_时，y有最_小_值，这个值是．‎ ‎2．某一抛物线开口向下，且与x轴无交点，则具有这样性质的抛物线的表达式可能为(只写一个)，此类函数都有_大_值(填“最大”“最小”)．‎ ‎3．不论自变量x取什么实数，二次函数y=2x2－6x+m的函数值总是正值，你认为m的取值范围是，此时关于一元二次方程2x2－6x+m=0的解的情况是_有解_(填“有解”或“无解”)‎ 解：‎ ‎∵，要使，只有∴‎ ‎4．小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线的一部分，如图所示，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离L是 4.5米 ．‎ 解：当时，‎ ‎ ，或（不合题意，舍去）‎ ‎5．在距离地面2m高的某处把一物体以初速度V0（m/s）竖直向上抛出，在不计空气阻力的情况下，其上升高度s（m）与抛出时间t（s）满足：S=V0t-gt2（其中g是常数，通常取10m/s2），若V0=10m/s，则该物体在运动过程中最高点距离地面__7_m．‎ 解：‎ ‎ 当时，，所以，最高点距离地面(米)．‎ ‎6．影响刹车距离的最主要因素是汽车行驶的速度及路面的摩擦系数．有研究表明，晴天 7‎ ‎ 在某段公路上行驶上，速度为V（km/h）的汽车的刹车距离S（m）可由公式S=V2‎ 确定；雨天行驶时，这一公式为S=V2．如果车行驶的速度是60km/h，那么在雨天 行驶和晴天行驶相比，刹车距离相差_36_米．‎ ‎7．将进货单价为70元的某种商品按零售价100元售出时，每天能卖出20个．若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加了1个，为了获得最大利润，则应降价_5_元，最大利润为_625_元．‎ 解：设每件价格降价元，利润为元，‎ 则：‎ ‎ ‎ 当，（元）‎ 答：价格提高5元，才能在半个月内获得最大利润．‎ ‎8．如图，一小孩将一只皮球从A处抛出去，它所经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如果他的出手处A距地面的距离OA为1 m，球路的最高点B(8，9)，则这个二次函数的表达式为______，小孩将球抛出了约______米(精确到0.1 m) ．‎ 解：设，将点A代入，得 令，得 ‎，，∴(米)‎ ‎9．（2006年青岛市）在2006年青岛崂山北宅樱桃节前夕，某果品批发公司为指导今年的樱桃销售，对往年的市场销售情况进行了调查统计，得到如下数据：‎ 销售价x（元/千克）‎ ‎…‎ ‎ 25‎ ‎ 24‎ ‎ 23‎ ‎ 22‎ ‎…‎ 销售量y（千克）‎ ‎…‎ ‎2000‎ ‎2500‎ ‎3000‎ ‎3500‎ ‎…‎ ‎ （1）在如图的直角坐标系内，作出各组有序数对（x，y）所对应的点．连接各点并观察所得的图形，判断y与x之间的函数关系，并求出y与x之间的函数关系式；‎ 7‎ ‎（2）若樱桃进价为13元/千克，试求销售利润P（元）与销售价x（元/千克）之间的函数关系式，并求出当x取何值时，P的值最大？‎ 解：（1）由图象可知，y是x的一次函数，‎ 设y=kx+b，‎ ‎∵点（25，2000），（24，2500）在图象上，‎ ‎∴ ，‎ ‎∴y=-500x+14500．‎ ‎（2）P=(x-13)·y=(x-13)·(-500x+14500)‎ ‎=-500(x-21)2+32000‎ ‎∴P与x的函数关系式为P=-500x2+21000x-188500，‎ 当销售价为21元/千克时，能获得最大利润，最大利润为32000元．‎ ‎10．有一种螃蟹，从海上捕获后不放养，最多只能存活两天．如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也有一定数量的蟹死去．假设放养期内蟹的个体质量基本保持不变，现有一经销商，按市场价收购这种活蟹1000 kg放养在塘内，此时市场价为每千克30元，据测算，此后每千克活蟹的市场价每天可上升1元，但是，放养一天需支出各种费用为400元，且平均每天还有10 kg蟹死去，假定死蟹均于当天全部销售出，售价都是每千克20元．‎ ‎(1)设x天后每千克活蟹的市场价为p元，写出p关于x的函数关系式；‎ ‎(2)如果放养x天后将活蟹一次性出售，并记1000 kg蟹的销售总额为Q元，写出Q关于x的函数关系式．‎ ‎(3)该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获最大利润(利润=Q－收购总额)？‎ 解：(1)由题意知：p=30+x,‎ ‎(2)由题意知：活蟹的销售额为(1000－10x)(30+x)元,‎ 死蟹的销售额为200x元.‎ ‎∴Q=(1000－10x)(30+x)+200x=－10x2+900x+30000.‎ ‎(3)设总利润为W元 则：W=Q－1000×30－400x=－10x2+500x ‎=－10(x2－50x) =－10(x－25)2+6250.‎ 当x=25时，总利润最大，最大利润为6250元．‎ 答：这批蟹放养25天后出售，可获最大利润．‎ ‎11．(2008湖北恩施)为了落实国务院副总理李克强同志到恩施考察时的指示精神，最近，‎ 7‎ 州委州政府又出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农副产品，已知这种产品的成本价为20元/千克．市场调查发现，该产品每天的销售量ｗ(千克)与销售价ｘ(元/千克)有如下关系：ｗ=－2ｘ＋80．设这种产品每天的销售利润为ｙ(元) ．‎ ‎(1)求ｙ与ｘ之间的函数关系式；‎ ‎(2)当销售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少?‎ ‎(3)如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元/千克，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少元?‎ 解：‎ ‎ ‎ 当，（元）‎ ‎(1)与之间的的函数关系式为；‎ ‎(2)当销售价定为30元时，每天的销售利润最大，最大利润是200元．‎ ‎(3) ，‎ ‎（不合题意，舍去）‎ 答：该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为25元．‎ ‎12．(2008河北)研究所对某种新型产品的产销情况进行了研究，为投资商在甲、乙两地生产并销售该产品提供了如下成果：第一年的年产量为(吨)时，所需的全部费用(万元）与满足关系式，投入市场后当年能全部售出，且在甲、乙两地每吨的售价，（万元）均与满足一次函数关系．（注：年利润＝年销售额－全部费用）‎ ‎（1）成果表明，在甲地生产并销售吨时，，请你用含的代数式表示甲地当年的年销售额，并求年利润（万元）与之间的函数关系式；‎ ‎（2）成果表明，在乙地生产并销售吨时，（为常数），且在乙地当年的最大年利润为35万元．试确定的值；‎ ‎（3）受资金、生产能力等多种因素的影响，某投资商计划第一年生产并销售该产品18吨，根据（1），（2）中的结果，请你通过计算帮他决策，选择在甲地还是乙地产销才能获得较大的年利润？‎ 解：（1）甲地当年的年销售额为万元；‎ ‎．‎ ‎（2）在乙地区生产并销售时，‎ 7‎ 年利润．‎ 由，解得或．‎ 经检验，不合题意，舍去，．‎ ‎（3）在乙地区生产并销售时，年利润，‎ 将代入上式，得（万元）；将代入，‎ 得（万元）．，应选乙地．‎ 7‎