中考数学第一轮复习导学案实数的有关概念
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实数的有关概念
◆【课前热身】
1.
1
2 的倒数为（ ）
A． 1
2
B．2 C． 2 D． 1
2.某市在一次扶贫助残活动中，共捐款 2580000 元．将 2580000 元用科学记数法表示为（ ）
A． 72.58 10 元 B． 70.258 10 元 C． 62.58 10 元 D． 625.8 10 元
3.如果向东走 80 m 记为 80 m，那么向西走 60 m 记为（ ）
A．－60 m B．︱－60︱m C．－（－60）m D．
60
1 m
4. 2 的相反数是（ ）
A． 2 B． 2 C． 1
2
D． 1
2
5.－2 的绝对值是__________.
【参考答案】1.C 2.C 3.A 4.A 5. 2
◆【考点聚焦】
正整数
整数 零
负整数有理数
实数 正分数分数 有限小数或无限循环小数
负分数
正无理数无理数 无限不循环小数
负无理数
正整数正有理数正实数 正分数
正无理数
实数还可以分为 零
负整数负有理数负实数 负分数
负无理数
知识点：
有理数、无理数、实数、非负数、相反数、倒数、数的绝对值
大纲要求：
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1.使学生复习巩固有理数、实数的有关概念．
2.了解有理数、无理数以及实数的有关概念；理解数轴、相反数、绝对值等概念，了解数的
绝对值的几何意义.
3.会求一个数的相反数和绝对值，会比较实数的大小 .
4.画数轴，了解实数与数轴上的点一一对应，能用数轴上的点表示实数，会利用数轴比较大
小.
考查重点：
1.有理数、无理数、实数、非负数概念；
2.相反数、倒数、数的绝对值概念；
3.在已知中，以非负数 a2、|a|、a (a≥0)之和为零作为条件，解决有关问题.
◆【备考兵法】
了解有理数、无理数以及实数的有关概念；理解数轴、相反数、绝对值等概念，了解数
的绝对值的几何意义.
注意：（1）近似数、有效数字.如 0.030 是 2 个有效数字（3,0），精确到千分位；3.14×105
是 3 个有效数字，精确到千位；3.14 万是 3 个有效数字（3,1,4）精确到百位．
（2）绝对值 2x 的解为 2x ；而 22 ，但少部分同学写成 22 ．
（3）在已知中，以非负数 a2、|a|、 a (a≥0)之和为零作为条件，解决有关问题.
◆【考点链接】
1．有理数的意义
⑴ 数轴的三要素为 、 和 . 数轴上的点与 构成一一对应.
⑵ 实数 a 的相反数为________. 若 a ，b 互为相反数，则 ba = .
⑶ 非零实数 的倒数为______. 若 ， 互为倒数，则 ab = .
⑷ 绝对值
)0(
)0(
)0(
a
a
a
a ．
⑸ 科学记数法：把一个数表示成 的形式，其中 1≤ a ＜10 的数，n 是整数.
⑹ 一般地，一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位.这时，从左
边第一个不是 的数起，到 止，所有的数字都叫做这个数的有效数字．
2.数的开方
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cb 0 a
⑴ 任何正数 a 都有______个平方根,它们互为________.其中正的平方根 a 叫
_______________. 没有平方根，0 的算术平方根为______.
⑵ 任何一个实数 都有立方根，记为 .
⑶ 2a
)0(
)0(
a
aa .
3. 实数的分类 和 统称实数.
◆【典例精析】
例 1 在实数－ 2
3
，0， 3 ，－3.14，
2
， 4 ，－0.1010010001…（每两个 1 之间依次多
1 个 0）， sin30°这 8 个实数中，无理数有（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【答案】C
【解析】对实数分类，不能只为表面形式迷惑，而应从最后结果去判断．首先明确无理数的
概念，即“无限不循环小数叫做无理数”.一般来说，用根号表示的数不一定就是无理数，
如 =2 是有理数，关键在于这个形式上带根号的数的最终结果是不是无限不循环小数．同
样，用三角符号表示的数也不一定就是无理数，如 sin30°、tan45°等．而－0.1010010001…
尽管有规律，•但它是无限不循环小数，是无理数． 是无理数，而不是分数．在上面所给
的实数中，只有 ， ，－0.1010010001…这三个数是无理数，其他五个数都是有理数，
故选 C.
例 2（1）已知 a、b 互为相反数，c、d 互为倒数，e 是非零实数，求 2 （a+b）+ 1
2
cd－2e0
的值；
（2）实数 a，b，c 在数轴上的对应点如图所示，化简 a+│a+b│－ 2c －│b－c│．
【答案】解：（1）依题意，有 a+b=0，cd=1，e≠0
∴ （a+b）+ cd－2e0=0+ －2=－ 3
2
．
（2）由图知 a>0，b
│a│，
∴a+b<0，b－c<0，
∴a+│a+b│－ －│b－c│=a－a－b－│c│－（c－b）=a－a－b+c－c+b=0．
【解析】相反数、倒数、绝对值都是主要的概念，解答时应从概念蕴含着的数学关系式入手．
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含有绝对值的代数式的化简，首先要确定绝对值符号内的数或式的值是正、负还是零，
然后再根据绝对值的意义把绝对值的符号去掉，第（2）•题是数形结合的题目，解题的关键
在于通过观察数轴，弄清数轴上各点所表示的正负性及各实数之间的大小关系，从而才能正
确地去掉绝对值符号，达到化简的目的．
例 3 今年 6 月，南宁市举行了第五届泛珠三角区域经贸合作洽谈会.据估算，本届大会合同
投资总额达 2260 亿元.将 2260 用科学记数法表示为（结果保留 2 个有效数字）（ ）
A． 32.3 10 B． 32.2 10 C． 32.26 10 D． 40.23 10
【答案】A
【解析】准确把握概念.把一个数写成 a×10 n 的形式（其中 1≤│a│<10，n 为整数），•这
种记数法叫做科学记数法．一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数 精确到哪一
位．这时，从左边第一个不是 0 的数字起，到精确的数位止，所有的数字，都叫做这个数
的有效数字.根据题意，可知答案为 A.
例 4 若 m n n m ,且 4m , 3n ,则 2()mn ．
【答案】49 或 1;
【解析】根据绝对值的定义来进行解答. │a│=
( 1)
0 ( 0)
( 0)
aa
a
aa
.由题意︱m－n︱= n－m 知
道，n>m. 而︱m︱=4, ︱n︱=3 故 m=±4，n=±3.所以 m=－4，n=3 或 m=－4，n=－3.故（ m+n）
2=1 或 49.
例 5 已知 x、y 是实数，且 34x +（y2－6y+9）=0，若 axy－3x=y，则实数 a 的值是（ ）
A． 1
4
B．－ C． 7
4
D．－
【解答】 +（y－3）2=0
∴3x+4=0，y－3=0
∴x=－ 4
3
，y=3．
∵axy－3x=y，
∴－ ×3a－3×（－ ）=3
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∴a= 1
4
∴选 A
【解析】 若几个非负数之和等于零，则每个非负数均等于零．这是非负数具有的一个
重要性质．本题中∵ 34x 和（y－3）2 均为非负数，它们的和为零，只有 3x+4=0，且 y
－3=0，由此可求得 x，y 的值，将其代入 axy－3x=y 中，即求得 a 的值．
◆【迎考精练】
一、选择题
1.（河南省）－5 的相反数是（ ）
A． 1
5
B． 1
5 C．-5 D.5
2.(广东梅州) 1
2 的倒数为（ ）
A． 1
2
B．2 C． 2 D． 1
3.(湖北咸宁) 4 的绝对值是（ ）
A． 4 B． 1
4 C．4 D． 1
4
4.（广东省）《广东省重点建设项目计划（草案）》显示，港珠澳大桥工程估算总投资 726
亿元，用科学记数法表示正确的是（ ）
A． 107.26 10 元 B． 972.6 10 元
C． 110.726 10 元 D． 117.26 10 元
5.（内蒙古包头）国家体育场“鸟巢”建筑面积达 25.8 万平方米，将 25.8 万平方米用科学
记数法（四舍五入保留 2 个有效数字）表示约为（ ）
A． 426 10 平方米 B． 42.6 10 平方米
C． 52.6 10 平方米 D． 62.6 10 平方米
6.（四川绵阳）如果向东走 80 m 记为 80 m，那么向西走 60 m 记为（ ）
A．－60 m B．︱－60︱m C．－（－60）m D．
60
1 m
7.（山西太原）在数轴上表示 2 的点离开原点的距离等于（ ）
A．2 B． 2 C． 2 D． 4
8.（湖北襄樊） A 为数轴上表示 1 的点，将 A 点沿数轴向左移动 2 个单位长度到 B 点，则
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B 点所表示的数为（ ）
A． 3 B．3 C．1 D．1或 3
9.（湖北宜昌）如果＋20%表示增加 20%，那么－6%表示( )．
A．增加 14% B．增加 6% C．减少 6% D．减少 26%
10.（内蒙古包头）27 的立方根是（ ）
A．3 B． 3 C．9 D． 9
11.（黑龙江哈尔滨）36 的算术平方根是（ ）．
A.6 B.±6 C. 6 D.± 6
二、填空题
1.（湖南邵阳）－2 的绝对值是__________.
2.（青海） 1
5 的相反数是 ；立方等于 8 的数是 ．
3.(湖北黄冈) 1
3 =_________； 0( 5) =_________； 1
4 的相反数是_________．
4.（湖南怀化）若 22 3 4 0a b c ，则 cba ．
5.(福建泉州)宝岛台湾的面积约为 36 000 平方公里，用科学记数法表示约
为 平方公里．
6.（山西省）山西有着丰富的旅游资源， 如五台山、平遥古城、乔家大院等著名景点，吸
引了众多的海内外游客，全省旅游总收入 739.3 亿元，这个数据用科学记数法可表示
为 ．
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【参考答案】
选择题
1. D
2. C
3. C
4. A
5. D 【 解 析 】 本 题 考 查 科 学 记 数 法 和 有 效 数 字 ， 将 一 个 数 用 科 学 记 数 法 表 示 为
10 1 10naa 的形式，其中 a 的有效数字就是 10na 的有效数字，且 n 等于这
个数的整数位数减 1。所以 25.8 万平方米保留两个有效数字为 52.6 10 ，选 D
6. A
7. A【解析】本题考查数轴的有关知识，也是考查绝对值的几何意义，数轴上表示-2 的点
离开原点的距离等于 2，故选 A．
8. A 【解析】本题考查数轴的有关知识，将表示 1 的点沿数轴向左移动 2 个单位长度到表
示 3 的点，所以 B 点所表示的数为 ，故选 A.
9. C
10. A【解析】本题考查立方根的定义，求 27 的立方根就是求一个数，这个数的立方是 27；
而 33 27 ，所以 27 的立方根是 3.
11. A 【解析】根据算术平方根的定义：一个非负数的正的平方根，即是这个数的算术平方
根．所以结果必须为正数，而 36 的平方根为±6，所以算术平方根为 6，选择 A.
填空题
1.2
2. 1
5
;－2
3.
3
1 ,1,
4
1
4.3
5.3.6×104
6.7.393×1010
