中考数学第一轮复习导学案反比例函数

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中考数学第一轮复习导学案反比例函数

- 1 - x y O 第 1 题 反比例函数 ◆ 课前热身 1.反比例函数 1y x (x>0)的图象如图所示,随着 x 值的 增大,y 值( ) A.增大 B.减小 C.不变 D.先减小后增大 2.已知反比例函数 ky x 的图象经过点(2 3), ,则此函数的关系式是 . 3.一个直角三角形的两直角边长分别为 yx, ,其面积为 2,则 y 与 x 之间的关系用图象表 示大致为( ) 4.如图,函数 yx 与 4y x 的图象交于 A、B 两点,过点 A 作 AC 垂直于 y 轴,垂足为 C,则 ABC△ 的面积为 . 【参考答案】 1. B 2. 6y x 3. C 4.4 ◆考点聚焦 知识点 反比例函数意义;反比例函数 反比例函数图象;反比例函数性质;待定系数法确定函数解 析式. 大纲要求 理解反比例函数的性质,掌握如何确定反比例函数表达式、反比例函数图象的画法、用反 比例函数解决某些实际问题。 考查重点与常见题型 1. 考查反比例函数的定义、图象和性质,有关试题常出现在选择题中 A B C D y x O O O O - 2 - 2. 求反比例函数的解析式,有关习题出现的频率很高,类型有中档解答题和选拔性的综合 题 ◆备考兵法 1.反比例函数的概念 反比例函数 y= k x 中的 k x 是一个分式,自变量 x≠0,函数与 x 轴、y 轴无交点, y= k x 也可 写成 y=kx-1(k≠0),注意自变量 x 的指数为-1, 在解决有关自变量指数问题时应特别注意系 数 k≠0 这一限制条件. 2.反比例函数的图象 在用描点法画反比例函数 y= k x 的图象时,应注意自变量 x 的取值不能为 0,应从 1 或-1 开始对称取点. 3.反比例函数 y= k x 中 k 的意义 注意:反比例函数 y= k x (k≠0)中比例系数 k 的几何意义,即过双曲线 y= k x (k≠0)上任 意一点引 x 轴、y 轴垂线,所得矩形面积为│k│. ◆考点链接 1.反比例函数:一般地,如果两个变量 x、y 之间的关系可以表示成 y= 或 (k 为常数,k≠0)的形式,那么称 y 是 x 的反比例函数. 2. 反比例函数的图象和性质 3. k 的几何含义:反比例函数 y= (k≠0)中比例系数 k 的几何 意义,即过双曲线 y= (k≠0)上任意一点P 作 x 轴、y 轴 垂线,设垂足分别为 A、B,则所得矩形 OAPB 的面积为 . k 的符号 k>0 k<0 图像的大致位置 经过象限 第 象限 第 象限 性质 在每一象限内 y 随 x 的增 大而 在每一象限内 y 随 x 的增大 而 o y x y x o - 3 - ◆ 典例精析 例 1.(湖南娄底)市一小数学课外兴趣小组的同学每人制作一个面积为 200cm2 的矩形学具 进行展示. 设矩形的宽为 xcm,长为 ycm,那么这些同学所制作的矩形长 y(cm)与宽 x(cm) 之间的函数关 系的图象大致是 ( ) 【分析】根据题意列出函数关系式 200y x ,函数是反比例函数,所以排除 C 和 D,因为 K >0,所以函数位于一、三象限,又因为 x>0,y>0,所以函数位于第一象限,故选 A. 【答案】A 例 2(新疆)若梯形的下底长为 x ,上底长为下底长的 1 3 ,高为 y ,面积为 60,则 与 的 函数关系是____________.(不考虑 的取值范围) 【分析】根据题意知上底长 1 3 x ,梯形面积= 11( ) 6023x x y   ,所以 90y x 【答案】 例 3(内蒙古包头)如图,已知一次函数 1yx的图象与反比例函数 ky x 的图象在第一 象限相交于点 A ,与 x 轴相交于点C AB x, ⊥ 轴于点 B , AOB△ 的面积为 1,则 AC 的 长为 (保留根号). 【答案】 22 【解析】本题考查函数图象交点坐标的求法及反比例函数的比例系数 k 与其图象上的点与原 点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围 成的直角三角形面积 S 的关系,即 1 2Sk , 由 2k  ,且图象在第一象限内,所以 2k  ,由 1 2 yx y x   得点 A 坐标为(1,2),而 1yx y O x A C B - 4 - 与 x 轴的交点坐标为(-1,0),所以 AB=2,BC=2。由勾股定理得 222 2 2 2AC    ◆迎考精炼 一、选择题 1.(山西)反比例函数 ky x 的图象经过点 23 , ,那么 k 的值是( ) A. 3 2 B. 2 3 C. 6 D.6 2.(湖南娄底)一次函数 y=kx+b 与反比例函数 的 图象如图所示,则下列说法正确的是( ) A.它们的函数值 y 随着 x 的增大而增大 B.它们的函数值 y 随着 x 的增大而减小 C.k<0 D.它们的自变量 x 的取值为全体实数 3.(广西南宁)在反比例函数 1 ky x  的图象的每一条曲线上, yx都随 的增大而增大, 则 k 的值可以是( ) A. 1 B.0 C.1 D.2 4.(四川泸州)已知反比例函数 x ky  的图象经过点 P(一 l,2),则这个函数的图象位于 ( ) A.第二、三象限 B.第一、三象限 C.第三、四象限 D.第二、四象限 5.(湖北恩施)一张正方形的纸片,剪去两个一样的小矩形得到一个“ E ”图案 ,如图所 示,设小矩形的长和宽分别为 x 、 y ,剪去部分的面积为 20,若 2 10x≤ ≤ ,则 与 的 函数图象是( ) 6. (山东潍坊)在同一平面直角坐标系中,反比例函数 8y x 与一次函数 2yx   交于 AB、 两点,O 为坐标原点,则 AOB△ 的面积为( ) 2 10 5 O x y 2 10 5 O x y 2 10 10 O x y 2 10 10 O x y y x 12 2 2 A. B. C. D. 12 - 5 - A.2 B.6 C.10 D.8 二、填空题 1.(浙江台州)请你写出一个图象在第一、三象限的反比例函数. 答: . 2.(湖北仙桃)如图,已知双曲线 )0k(x ky > 经过直角三角形OAB 斜边 OB 的中点 D,与直 角边 AB 相交于点 C.若△OBC 的面积为 3,则 k=____________. 3.( 广西柳州)反比例函数 x my 1 的图象经过点(2,1),则 m 的值是 . 4.(河南)点 A(2,1)在反比例函数 y k x 的图像上,当 1﹤x﹤4 时,y 的取值范围 是 . 5.( 江西)函数    12 4 0y x x y xx  ≥0 , 的图象如图所示,则结论: ①两函数图象的交点 A 的坐标为 22, ; ②当 2x  时, 21yy ; ③当 1x  时, 3BC  ; ④当 x 逐渐增大时, 1y 随着 x 的增大而增大, 2y 随着 的增大而减小. 其中正确结论的序号是 . y x O A B P C D - 6 - 6. (2009 年黑龙江牡丹江)如图,点 A 、 B 是双曲线 3y x 上的点,分别经过 、 两点 向 x 轴、 y 轴作垂线段,若 1S 阴影 ,则 12SS . 7.( 甘肃白银)反比例函数的图象经过点 P( 2 ,1),则这个函数的图象位于 第 象限. 8.(湖南衡阳)如图,四边形 OABC 是边长为 1 的正方形,反比例函数 x ky  的图象过点 B, 则 k 的值为________. x y A B O 1S 2S 6 题图 O 1yx x A B C 1x  4y x y - 7 - 三、解答题 1. (宁夏自治区)已知正比例函数 1y k x 1( 0)k  与反比例函数 2 2( 0)kykx的图象交于 AB、 两点,点 A 的坐标为(21), . (1)求正比例函数、反比例函数的表达式; (2)求点 B 的坐标. 2.(四川宜宾)已知:如图,在平面直角坐标系 x O y 中,Rt△OCD 的一边 OC 在 轴上,∠ C=90°,点 D 在第一象限,OC=3,DC=4,反比例函数的图象经过 OD 的中点 A. (1)求该反比例函数的解析式; (2)若该反比例函数的图象与 Rt△OCD 的另一边 DC 交于点 B,求过 A、B 两点的直线的解 析式. 3.( 山东枣庄) 为预防“手足口病”,某校对教室进行“药熏消毒”.已知药物燃烧阶段, 室内每立方米空气中的含药量 y(mg)与燃烧时间 x(分钟)成正比例;燃烧后,y 与 x 成 反比例(如图所示).现测得药物 10 分钟燃烧完,此时教室内每立方米空气含药量为 8 mg.根 据以上信息,解答下列问题: (1)求药物燃烧时 y 与 x 的函数关系式; (2)求药物燃烧后 y 与 x 的函数关系式; (3)当每立方米空气中含药量低于 1.6 mg 时,对人体无毒害作用.那么从消毒开始, 经多长时间学生才可以返回教室? O 8 10 x (分钟) y (mg) - 8 - 【参考答案】 一、选择题 1. C 2.C 3. D 4. D 5.A 6. B 二、填空题 1. xy 1 (答案不唯一) 2.2 3.1 4. 22 1<y< 5.①③④ 6.4 7.二、四 8.-1 三、解答题 1.解:(1)把点 (21)A ,分别代入 1y k x 与 2ky x 得 1 1 2k  , 2 2k  . 正比例函数、反比例函数的表达式为: 12 2y x y x, . (2)由方程组 1 2 2 yx y x     得 1 1 2 1 x y    , 2 2 2 1 x y    . B 点坐标是( 2, 1). 2.(1)由题意得,点 A 的坐标是(1.5, 2), 该反比例函数的解析式为 y= x 3 . (2)把 x=3 代入 y=1. 点 B 的坐标是(3,1). 设过 A、B 两点的直线的解析式为: bkxy  ,则      .5.12 ,31 bk bk 解得      .3 ,3 2 b k 设过 A、B 两点的直线的解析式为: 33 2  xy . 3.(1)设药物燃烧阶段函数解析式为 11( 0)y k x k,由题意,得 18 10k , 1 4 5k  . ∴此阶段函数解析式为 4 5yx (0≤x<10). (2)设药物燃烧结束后函数解析式为 2 2( 0)kykx,由题意,得 - 9 - 28 10 k , 2 80k  . ∴此阶段函数解析式为 80y x (x≥10). (3)当 y<1.6 时,得 80 1.6x  . ∵ 0x  , ∴1.6 80x  , 50x  . ∴从消毒开始经过 50 分钟学生才返可回教室.
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