2018年江苏省常州市中考数学试卷

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文档介绍

2018年江苏省常州市中考数学试卷

‎2018年江苏省苏州市中考数学试卷 ‎ ‎ 一、选择题(每题只有一个正确选项,本题共10小题,每题3分,共30分)‎ ‎1.(3分)在下列四个实数中,最大的数是(  )‎ A.﹣3 B.0 C. D.‎ ‎2.(3分)地球与月球之间的平均距离大约为384000km,384000用科学记数法可表示为(  )‎ A.3.84×103 B.3.84×104 C.3.84×105 D.3.84×106‎ ‎3.(3分)下列四个图案中,不是轴对称图案的是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎4.(3分)若在实数范围内有意义,则x的取值范围在数轴上表示正确的是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎5.(3分)计算(1+)÷的结果是(  )‎ A.x+1 B. C. D.‎ ‎6.(3分)如图,飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同.若某人向游戏板投掷飞镖一次(假设飞镖落在游戏板上),则飞镖落在阴影部分的概率是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎7.(3分)如图,AB是半圆的直径,O为圆心,C是半圆上的点,D是上的点,若∠BOC=40°,则∠D的度数为(  )‎ A.100° B.110° C.120° D.130°‎ ‎8.(3分)如图,某海监船以20海里/小时的速度在某海域执行巡航任务,当海监船由西向东航行至A处时,测得岛屿P恰好在其正北方向,继续向东航行1小时到达B处,测得岛屿P在其北偏西30°方向,保持航向不变又航行2小时到达C处,此时海监船与岛屿P之间的距离(即PC的长)为(  )‎ A.40海里 B.60海里 C.20海里 D.40海里 ‎9.(3分)如图,在△ABC中,延长BC至D,使得CD=BC,过AC中点E作EF∥CD(点F位于点E右侧),且EF=2CD,连接DF.若AB=8,则DF的长为(  )‎ A.3 B.4 C.2 D.3‎ ‎10.(3分)如图,矩形ABCD的顶点A,B在x轴的正半轴上,反比例函数y=在第一象限内的图象经过点D,交BC于点E.若AB=4,CE=2BE,tan∠AOD=,则k的值为(  )‎ A.3 B.2 C.6 D.12‎ ‎ ‎ 二、填空题(每题只有一个正确选项,本题共8小题,每题3分,共24分)‎ ‎11.(3分)计算:a4÷a=   .‎ ‎12.(3分)在“献爱心”捐款活动中,某校7名同学的捐款数如下(单位:元):5,8,6,8,5,10,8,这组数据的众数是   .‎ ‎13.(3分)若关于x的一元二次方程x2+mx+2n=0有一个根是2,则m+n=   .‎ ‎14.(3分)若a+b=4,a﹣b=1,则(a+1)2﹣(b﹣1)2的值为   .‎ ‎15.(3分)如图,△ABC是一块直角三角板,∠BAC=90°,∠B=30°,现将三角板叠放在一把直尺上,使得点A落在直尺的一边上,AB与直尺的另一边交于点D,BC与直尺的两边分别交于点E,F.若∠CAF=20°,则∠BED的度数为   °.‎ ‎16.(3分)如图,8×8的正方形网格纸上有扇形OAB和扇形OCD,点O,A,B,C,D均在格点上.若用扇形OAB围成一个圆锥的侧面,记这个圆锥的底面半径为r1;若用扇形OCD围成另一个圆锥的侧面,记这个圆锥的底面半径为r2,则的值为   .‎ ‎17.(3分)如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=2,BC=.将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△AB'C′,连接B'C,则sin∠ACB′=   .‎ ‎18.(3分)如图,已知AB=8,P为线段AB上的一个动点,分别以AP,PB为边在AB的同侧作菱形APCD和菱形PBFE,点P,C,E在一条直线上,∠DAP=60°.M,N分别是对角线AC,BE的中点.当点P在线段AB上移动时,点M,N之间的距离最短为   (结果留根号).‎ ‎ ‎ 三、解答题(本题共10小题,共76分)‎ ‎19.(5分)计算:|﹣|+﹣()2.‎ ‎20.(5分)解不等式组:‎ ‎21.(6分)如图,点A,F,C,D在一条直线上,AB∥DE,AB=DE,AF=DC.求证:BC∥EF.‎ ‎22.(6分)如图,在一个可以自由转动的转盘中,指针位置固定,三个扇形的面积都相等,且分别标有数字1,2,3.‎ ‎(1)小明转动转盘一次,当转盘停止转动时,指针所指扇形中的数字是奇数的概率为   ;‎ ‎(2)小明先转动转盘一次,当转盘停止转动时,记录下指针所指扇形中的数字;接着再转动转盘一次,当转盘停止转动时,再次记录下指针所指扇形中的数字,求这两个数字之和是3的倍数的概率(用画树状图或列表等方法求解).‎ ‎23.(8分)某学校计划在“阳光体育”活动课程中开设乒乓球、羽毛球、篮球、足球四个体育活动项目供学生选择.为了估计全校学生对这四个活动项目的选择情况,体育老师从全体学生中随机抽取了部分学生进行调查(规定每人必须并且只能选择其中的一个项目),并把调查结果绘制成如图所示的不完整的条形统计图和扇形统计图,请你根据图中信息解答下列问题:‎ ‎(1)求参加这次调查的学生人数,并补全条形统计图;‎ ‎(2)求扇形统计图中“篮球”项目所对应扇形的圆心角度数;‎ ‎(3)若该校共有600名学生,试估计该校选择“足球”项目的学生有多少人?‎ ‎24.(8分)某学校准备购买若干台A型电脑和B型打印机.如果购买1台A型电脑,2台B型打印机,一共需要花费5900元;如果购买2台A型电脑,2台B型打印机,一共需要花费9400元.‎ ‎(1)求每台A型电脑和每台B型打印机的价格分别是多少元?‎ ‎(2)如果学校购买A型电脑和B型打印机的预算费用不超过20000元,并且购买B型打印机的台数要比购买A型电脑的台数多1台,那么该学校至多能购买多少台B型打印机?‎ ‎25.(8分)如图,已知抛物线y=x2‎ ‎﹣4与x轴交于点A,B(点A位于点B的左侧),C为顶点,直线y=x+m经过点A,与y轴交于点D.‎ ‎(1)求线段AD的长;‎ ‎(2)平移该抛物线得到一条新拋物线,设新抛物线的顶点为C′.若新抛物线经过点D,并且新抛物线的顶点和原抛物线的顶点的连线CC′平行于直线AD,求新抛物线对应的函数表达式.‎ ‎26.(10分)如图,AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,AD垂直于过点C的切线,垂足为D,CE垂直AB,垂足为E.延长DA交⊙O于点F,连接FC,FC与AB相交于点G,连接OC.‎ ‎(1)求证:CD=CE;‎ ‎(2)若AE=GE,求证:△CEO是等腰直角三角形.‎ ‎27.(10分)问题1:如图①,在△ABC中,AB=4,D是AB上一点(不与A,B重合),DE∥BC,交AC于点E,连接CD.设△ABC的面积为S,△DEC的面积为S′.‎ ‎(1)当AD=3时,=   ;‎ ‎(2)设AD=m,请你用含字母m的代数式表示.‎ 问题2:如图②,在四边形ABCD中,AB=4,AD∥BC,AD=BC,E是AB上一点(不与A,B重合),EF∥BC,交CD于点F,连接CE.设AE=n,四边形ABCD的面积为S,△‎ EFC的面积为S′.请你利用问题1的解法或结论,用含字母n的代数式表示.‎ ‎28.(10分)如图①,直线l表示一条东西走向的笔直公路,四边形ABCD是一块边长为100米的正方形草地,点A,D在直线l上,小明从点A出发,沿公路l向西走了若干米后到达点E处,然后转身沿射线EB方向走到点F处,接着又改变方向沿射线FC方向走到公路l上的点G处,最后沿公路l回到点A处.设AE=x米(其中x>0),GA=y米,已知y与x之间的函数关系如图②所示,‎ ‎(1)求图②中线段MN所在直线的函数表达式;‎ ‎(2)试问小明从起点A出发直至最后回到点A处,所走过的路径(即△EFG)是否可以是一个等腰三角形?如果可以,求出相应x的值;如果不可以,说明理由.‎ ‎ ‎ ‎2018年江苏省苏州市中考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题(每题只有一个正确选项,本题共10小题,每题3分,共30分)‎ ‎1.(3分)在下列四个实数中,最大的数是(  )‎ A.﹣3 B.0 C. D.‎ ‎【分析】将各数按照从小到大顺序排列,找出最大的数即可.‎ ‎【解答】解:根据题意得:﹣3<0<<,‎ 则最大的数是:.‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎2.(3分)地球与月球之间的平均距离大约为384000km,384000用科学记数法可表示为(  )‎ A.3.84×103 B.3.84×104 C.3.84×105 D.3.84×106‎ ‎【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值是易错点,由于384 000有6位,所以可以确定n=6﹣1=5.‎ ‎【解答】解:384 000=3.84×105.‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎3.(3分)下列四个图案中,不是轴对称图案的是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【分析】根据轴对称的概念对各选项分析判断利用排除法求解.‎ ‎【解答】解:A、是轴对称图形,故本选项错误;‎ B、不是轴对称图形,故本选项正确;‎ C、是轴对称图形,故本选项错误;‎ D、是轴对称图形,故本选项错误.‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎4.(3分)若在实数范围内有意义,则x的取值范围在数轴上表示正确的是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式,解不等式,把解集在数轴上表示即可.‎ ‎【解答】解:由题意得x+2≥0,‎ 解得x≥﹣2.‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎5.(3分)计算(1+)÷的结果是(  )‎ A.x+1 B. C. D.‎ ‎【分析】先计算括号内分式的加法、将除式分子因式分解,再将除法转化为乘法,约分即可得.‎ ‎【解答】解:原式=(+)÷‎ ‎=•‎ ‎=,‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎6.(3分)如图,飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同.若某人向游戏板投掷飞镖一次(假设飞镖落在游戏板上),则飞镖落在阴影部分的概率是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【分析】根据几何概率的求法:飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值.‎ ‎【解答】解:∵总面积为3×3=9,其中阴影部分面积为4××1×2=4,‎ ‎∴飞镖落在阴影部分的概率是,‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎7.(3分)如图,AB是半圆的直径,O为圆心,C是半圆上的点,D是上的点,若∠BOC=40°,则∠D的度数为(  )‎ A.100° B.110° C.120° D.130°‎ ‎【分析】根据互补得出∠AOC的度数,再利用圆周角定理解答即可.‎ ‎【解答】解:∵∠BOC=40°,‎ ‎∴∠AOC=180°﹣40°=140°,‎ ‎∴∠D=,‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎8.(3分)如图,某海监船以20海里/小时的速度在某海域执行巡航任务,当海监船由西向东航行至A处时,测得岛屿P恰好在其正北方向,继续向东航行1小时到达B处,测得岛屿P在其北偏西30°方向,保持航向不变又航行2小时到达C处,此时海监船与岛屿P之间的距离(即PC的长)为(  )‎ A.40海里 B.60海里 C.20海里 D.40海里 ‎【分析】首先证明PB=BC,推出∠C=30°,可得PC=2PA,求出PA即可解决问题;‎ ‎【解答】解:在Rt△PAB中,∵∠APB=30°,‎ ‎∴PB=2AB,‎ 由题意BC=2AB,‎ ‎∴PB=BC,‎ ‎∴∠C=∠CPB,‎ ‎∵∠ABP=∠C+∠CPB=60°,‎ ‎∴∠C=30°,‎ ‎∴PC=2PA,‎ ‎∵PA=AB•tan60°,‎ ‎∴PC=2×20×=40(海里),‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎9.(3分)如图,在△ABC中,延长BC至D,使得CD=BC,过AC中点E作EF∥CD(点F位于点E右侧),且EF=2CD,连接DF.若AB=8,则DF的长为(  )‎ A.3 B.4 C.2 D.3‎ ‎【分析】取BC的中点G,连接EG,根据三角形的中位线定理得:EG=4,设CD=x,则EF=BC=2x,证明四边形EGDF是平行四边形,可得DF=EG=4.‎ ‎【解答】解:取BC的中点G,连接EG,‎ ‎∵E是AC的中点,‎ ‎∴EG是△ABC的中位线,‎ ‎∴EG=AB==4,‎ 设CD=x,则EF=BC=2x,‎ ‎∴BG=CG=x,‎ ‎∴EF=2x=DG,‎ ‎∵EF∥CD,‎ ‎∴四边形EGDF是平行四边形,‎ ‎∴DF=EG=4,‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎10.(3分)如图,矩形ABCD的顶点A,B在x轴的正半轴上,反比例函数y=在第一象限内的图象经过点D,交BC于点E.若AB=4,CE=2BE,tan∠AOD=,则k的值为(  )‎ A.3 B.2 C.6 D.12‎ ‎【分析】由tan∠AOD==可设AD=3a、OA=4a,在表示出点D、E的坐标,由反比例函数经过点D、E列出关于a的方程,解之求得a的值即可得出答案.‎ ‎【解答】解:∵tan∠AOD==,‎ ‎∴设AD=3a、OA=4a,‎ 则BC=AD=3a,点D坐标为(4a,3a),‎ ‎∵CE=2BE,‎ ‎∴BE=BC=a,‎ ‎∵AB=4,‎ ‎∴点E(4+4a,a),‎ ‎∵反比例函数y=经过点D、E,‎ ‎∴k=12a2=(4+4a)a,‎ 解得:a=或a=0(舍),‎ 则k=12×=3,‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ 二、填空题(每题只有一个正确选项,本题共8小题,每题3分,共24分)‎ ‎11.(3分)计算:a4÷a= a3 .‎ ‎【分析】根据同底数幂的除法解答即可.‎ ‎【解答】解:a4÷a=a3,‎ 故答案为:a3‎ ‎ ‎ ‎12.(3分)在“献爱心”捐款活动中,某校7名同学的捐款数如下(单位:元):5,8,6,8,5,10,8,这组数据的众数是 8 .‎ ‎【分析】根据众数的概念解答.‎ ‎【解答】解:在5,8,6,8,5,10,8,这组数据中,8出现了3次,出现的次数最多,‎ ‎∴这组数据的众数是8,‎ 故答案为:8.‎ ‎ ‎ ‎13.(3分)若关于x的一元二次方程x2+mx+2n=0有一个根是2,则m+n= ﹣2 .‎ ‎【分析】根据一元二次方程的解的定义把x=2代入x2+mx+2n=0得到4+2m+2n=0得n+m=﹣2,然后利用整体代入的方法进行计算.‎ ‎【解答】解:∵2(n≠0)是关于x的一元二次方程x2+mx+2n=0的一个根,‎ ‎∴4+2m+2n=0,‎ ‎∴n+m=﹣2,‎ 故答案为:﹣2.‎ ‎ ‎ ‎14.(3分)若a+b=4,a﹣b=1,则(a+1)2﹣(b﹣1)2的值为 12 .‎ ‎【分析】对所求代数式运用平方差公式进行因式分解,然后整体代入求值.‎ ‎【解答】解:∵a+b=4,a﹣b=1,‎ ‎∴(a+1)2﹣(b﹣1)2‎ ‎=(a+1+b﹣1)(a+1﹣b+1)‎ ‎=(a+b)(a﹣b+2)‎ ‎=4×(1+2)‎ ‎=12.‎ 故答案是:12.‎ ‎ ‎ ‎15.(3分)如图,△ABC是一块直角三角板,∠BAC=90°,∠B=30°,现将三角板叠放在一把直尺上,使得点A落在直尺的一边上,AB与直尺的另一边交于点D,BC与直尺的两边分别交于点E,F.若∠CAF=20°,则∠BED的度数为 80 °.‎ ‎【分析】依据DE∥AF,可得∠BED=∠BFA,再根据三角形外角性质,即可得到∠BFA=20°+60°=80°,进而得出∠BED=80°.‎ ‎【解答】解:如图所示,∵DE∥AF,‎ ‎∴∠BED=∠BFA,‎ 又∵∠CAF=20°,∠C=60°,‎ ‎∴∠BFA=20°+60°=80°,‎ ‎∴∠BED=80°,‎ 故答案为:80.‎ ‎ ‎ ‎16.(3分)如图,8×8的正方形网格纸上有扇形OAB和扇形OCD,点O,A,B,C,D均在格点上.若用扇形OAB围成一个圆锥的侧面,记这个圆锥的底面半径为r1;若用扇形OCD围成另一个圆锥的侧面,记这个圆锥的底面半径为r2,则的值为  .‎ ‎【分析】由2πr1=、2πr2=知r1=、r2=,据此可得=,利用勾股定理计算可得.‎ ‎【解答】解:∵2πr1=、2πr2=,‎ ‎∴r1=、r2=,‎ ‎∴====,‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ ‎17.(3分)如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=2,BC=.将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△AB'C′,连接B'C,则sin∠ACB′=  .‎ ‎【分析】根据勾股定理求出AC,过C作CM⊥AB′于M,过A作AN⊥CB′于N,求出B′M、CM,根据勾股定理求出B′C,根据三角形面积公式求出AN,解直角三角形求出即可.‎ ‎【解答】解:在Rt△ABC中,由勾股定理得:AC==5,‎ 过C作CM⊥AB′于M,过A作AN⊥CB′于N,‎ ‎∵根据旋转得出AB′=AB=2,∠B′AB=90°,‎ 即∠CMA=∠MAB=∠B=90°,‎ ‎∴CM=AB=2,AM=BC=,‎ ‎∴B′M=2﹣=,‎ 在Rt△B′MC中,由勾股定理得:B′C===5,‎ ‎∴S△AB′C==,‎ ‎∴5×AN=2×2,‎ 解得:AN=4,‎ ‎∴sin∠ACB′==,‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ ‎18.(3分)如图,已知AB=8,P为线段AB上的一个动点,分别以AP,PB为边在AB的同侧作菱形APCD和菱形PBFE,点P,C,E在一条直线上,∠DAP=60°.M,N分别是对角线AC,BE的中点.当点P在线段AB上移动时,点M,N之间的距离最短为 2 (结果留根号).‎ ‎【分析】连接PM、PN.首先证明∠MPN=90°设PA=2a,则PB=8﹣2a,PM=a,PN=(4﹣a),构建二次函数,利用二次函数的性质即可解决问题;‎ ‎【解答】解:连接PM、PN.‎ ‎∵四边形APCD,四边形PBFE是菱形,∠DAP=60°,‎ ‎∴∠APC=120°,∠EPB=60°,‎ ‎∵M,N分别是对角线AC,BE的中点,‎ ‎∴∠CPM=∠APC=60°,∠EPN=∠EPB=30°,‎ ‎∴∠MPN=60°+30°=90°,‎ 设PA=2a,则PB=8﹣2a,PM=a,PN=(4﹣a),‎ ‎∴MN===,‎ ‎∴a=3时,MN有最小值,最小值为2,‎ 故答案为2.‎ ‎ ‎ 三、解答题(本题共10小题,共76分)‎ ‎19.(5分)计算:|﹣|+﹣()2.‎ ‎【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案.‎ ‎【解答】解:原式=+3﹣=3‎ ‎ ‎ ‎20.(5分)解不等式组:‎ ‎【分析】首先分别求出每一个不等式的解集,然后确定它们解集的公关部分即可.‎ ‎【解答】解:由3x≥x+2,解得x≥1,‎ 由x+4<2(2x﹣1),解得x>2,‎ 所以不等式组的解集为x>2.‎ ‎ ‎ ‎21.(6分)如图,点A,F,C,D在一条直线上,AB∥DE,AB=DE,AF=DC.求证:BC∥EF.‎ ‎【分析】由全等三角形的性质SAS判定△ABC≌△DEF,则对应角∠ACB=∠DFE,故证得结论.‎ ‎【解答】证明:∵AB∥DE,‎ ‎∴∠A=∠D,‎ ‎∵AF=DC,‎ ‎∴AC=DF.‎ ‎∴在△ABC与△DEF中,‎ ‎,‎ ‎∴△ABC≌△DEF(SAS),‎ ‎∴∠ACB=∠DFE,‎ ‎∴BC∥EF.‎ ‎ ‎ ‎22.(6分)如图,在一个可以自由转动的转盘中,指针位置固定,三个扇形的面积都相等,且分别标有数字1,2,3.‎ ‎(1)小明转动转盘一次,当转盘停止转动时,指针所指扇形中的数字是奇数的概率为  ;‎ ‎(2)小明先转动转盘一次,当转盘停止转动时,记录下指针所指扇形中的数字;接着再转动转盘一次,当转盘停止转动时,再次记录下指针所指扇形中的数字,求这两个数字之和是3的倍数的概率(用画树状图或列表等方法求解).‎ ‎【分析】(1)由标有数字1、2、3的3个转盘中,奇数的有1、3这2个,利用概率公式计算可得;‎ ‎(2)根据题意列表得出所有等可能的情况数,得出这两个数字之和是3的倍数的情况数,再根据概率公式即可得出答案.‎ ‎【解答】解:(1)∵在标有数字1、2、3的3个转盘中,奇数的有1、3这2个,‎ ‎∴指针所指扇形中的数字是奇数的概率为,‎ 故答案为:;‎ ‎(2)列表如下:‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎1‎ ‎(1,1)‎ ‎(2,1)‎ ‎(3,1)‎ ‎2‎ ‎(1,2)‎ ‎(2,2)‎ ‎(3,2)‎ ‎3‎ ‎(1,3)‎ ‎(2,3)‎ ‎(3,3)‎ 由表可知,所有等可能的情况数为9种,其中这两个数字之和是3的倍数的有3种,‎ 所以这两个数字之和是3的倍数的概率为=.‎ ‎ ‎ ‎23.(8分)某学校计划在“阳光体育”活动课程中开设乒乓球、羽毛球、篮球、足球四个体育活动项目供学生选择.为了估计全校学生对这四个活动项目的选择情况,体育老师从全体学生中随机抽取了部分学生进行调查(规定每人必须并且只能选择其中的一个项目),并把调查结果绘制成如图所示的不完整的条形统计图和扇形统计图,请你根据图中信息解答下列问题:‎ ‎(1)求参加这次调查的学生人数,并补全条形统计图;‎ ‎(2)求扇形统计图中“篮球”项目所对应扇形的圆心角度数;‎ ‎(3)若该校共有600名学生,试估计该校选择“足球”项目的学生有多少人?‎ ‎【分析】(1)由“乒乓球”人数及其百分比可得总人数,根据各项目人数之和等于总人数求出“羽毛球”的人数,补全图形即可;‎ ‎(2)用“篮球”人数占被调查人数的比例乘以360°即可;‎ ‎(3)用总人数乘以样本中足球所占百分比即可得.‎ ‎【解答】解:(1),‎ 答:参加这次调查的学生人数是50人;‎ 补全条形统计图如下:‎ ‎(2),‎ 答:扇形统计图中“篮球”项目所对应扇形的圆心角度数是72°;‎ ‎(3),‎ 答:估计该校选择“足球”项目的学生有96人.‎ ‎ ‎ ‎24.(8分)某学校准备购买若干台A型电脑和B型打印机.如果购买1台A型电脑,2台B型打印机,一共需要花费5900元;如果购买2台A型电脑,2台B型打印机,一共需要花费9400元.‎ ‎(1)求每台A型电脑和每台B型打印机的价格分别是多少元?‎ ‎(2)如果学校购买A型电脑和B型打印机的预算费用不超过20000元,并且购买B型打印机的台数要比购买A型电脑的台数多1台,那么该学校至多能购买多少台B型打印机?‎ ‎【分析】(1)设每台A型电脑的价格为x元,每台B型打印机的价格为y元,根据“1台A型电脑的钱数+2台B型打印机的钱数=5900,2台A型电脑的钱数+2台B型打印机的钱数=9400”列出二元一次方程组,解之可得;‎ ‎(2)设学校购买a台B型打印机,则购买A型电脑为(a﹣1)台,根据“(a﹣1)台A型电脑的钱数+a台B型打印机的钱数≤20000”列出不等式,解之可得.‎ ‎【解答】解:(1)设每台A型电脑的价格为x元,每台B型打印机的价格为y元,‎ 根据题意,得:,‎ 解得:,‎ 答:每台A型电脑的价格为3500元,每台B型打印机的价格为1200元;‎ ‎(2)设学校购买a台B型打印机,则购买A型电脑为(a﹣1)台,‎ 根据题意,得:3500(a﹣1)+1200a≤20000,‎ 解得:a≤5,‎ 答:该学校至多能购买5台B型打印机.‎ ‎ ‎ ‎25.(8分)如图,已知抛物线y=x2﹣4与x轴交于点A,B(点A位于点B的左侧),C为顶点,直线y=x+m经过点A,与y轴交于点D.‎ ‎(1)求线段AD的长;‎ ‎(2)平移该抛物线得到一条新拋物线,设新抛物线的顶点为C′.若新抛物线经过点D,并且新抛物线的顶点和原抛物线的顶点的连线CC′平行于直线AD,求新抛物线对应的函数表达式.‎ ‎【分析】(1)解方程求出点A的坐标,根据勾股定理计算即可;‎ ‎(2)设新抛物线对应的函数表达式为:y=x2+bx+2,根据二次函数的性质求出点C′的坐标,根据题意求出直线CC′的解析式,代入计算即可.‎ ‎【解答】解:(1)由x2﹣4=0得,x1=﹣2,x2=2,‎ ‎∵点A位于点B的左侧,‎ ‎∴A(﹣2,0),‎ ‎∵直线y=x+m经过点A,‎ ‎∴﹣2+m=0,‎ 解得,m=2,‎ ‎∴点D的坐标为(0,2),‎ ‎∴AD==2;‎ ‎(2)设新抛物线对应的函数表达式为:y=x2+bx+2,‎ y=x2+bx+2=(x+)2+2﹣,‎ 则点C′的坐标为(﹣,2﹣),‎ ‎∵CC′平行于直线AD,且经过C(0,﹣4),‎ ‎∴直线CC′的解析式为:y=x﹣4,‎ ‎∴2﹣=﹣﹣4,‎ 解得,b1=﹣4,b2=6,‎ ‎∴新抛物线对应的函数表达式为:y=x2﹣4x+2或y=x2+6x+2.‎ ‎ ‎ ‎26.(10分)如图,AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,AD垂直于过点C的切线,垂足为D,CE垂直AB,垂足为E.延长DA交⊙O于点F,连接FC,FC与AB相交于点G,连接OC.‎ ‎(1)求证:CD=CE;‎ ‎(2)若AE=GE,求证:△CEO是等腰直角三角形.‎ ‎【分析】(1)连接AC,根据切线的性质和已知得:AD∥OC,得∠DAC=∠ACO,根据AAS证明△CDA≌△CEA(AAS),可得结论;‎ ‎(2)介绍两种证法:‎ 证法一:根据△CDA≌△CEA,得∠DCA=∠ECA,由等腰三角形三线合一得:∠F=∠ACE=∠DCA=∠ECG,在直角三角形中得:∠F=∠DCA=∠ACE=∠ECG=22.5°,可得结论;‎ 证法二:设∠F=x,则∠AOC=2∠F=2x,根据平角的定义得:∠DAC+∠EAC+∠OAF=180°,则3x+3x+2x=180,可得结论.‎ ‎【解答】证明:(1)连接AC,‎ ‎∵CD是⊙O的切线,‎ ‎∴OC⊥CD,‎ ‎∵AD⊥CD,‎ ‎∴∠DCO=∠D=90°,‎ ‎∴AD∥OC,‎ ‎∴∠DAC=∠ACO,‎ ‎∵OC=OA,‎ ‎∴∠CAO=∠ACO,‎ ‎∴∠DAC=∠CAO,‎ ‎∵CE⊥AB,‎ ‎∴∠CEA=90°,‎ 在△CDA和△CEA中,‎ ‎∵,‎ ‎∴△CDA≌△CEA(AAS),‎ ‎∴CD=CE;‎ ‎(2)证法一:连接BC,‎ ‎∵△CDA≌△CEA,‎ ‎∴∠DCA=∠ECA,‎ ‎∵CE⊥AG,AE=EG,‎ ‎∴CA=CG,‎ ‎∴∠ECA=∠ECG,‎ ‎∵AB是⊙O的直径,‎ ‎∴∠ACB=90°,‎ ‎∵CE⊥AB,‎ ‎∴∠ACE=∠B,‎ ‎∵∠B=∠F,‎ ‎∴∠F=∠ACE=∠DCA=∠ECG,‎ ‎∵∠D=90°,‎ ‎∴∠DCF+∠F=90°,‎ ‎∴∠F=∠DCA=∠ACE=∠ECG=22.5°,‎ ‎∴∠AOC=2∠F=45°,‎ ‎∴△CEO是等腰直角三角形;‎ 证法二:设∠F=x,则∠AOC=2∠F=2x,‎ ‎∵AD∥OC,‎ ‎∴∠OAF=∠AOC=2x,‎ ‎∴∠CGA=∠OAF+∠F=3x,‎ ‎∵CE⊥AG,AE=EG,‎ ‎∴CA=CG,‎ ‎∴∠EAC=∠CGA,‎ ‎∵CE⊥AG,AE=EG,‎ ‎∴CA=CG,‎ ‎∴∠EAC=∠CGA,‎ ‎∴∠DAC=∠EAC=∠CGA=3x,‎ ‎∵∠DAC+∠EAC+∠OAF=180°,‎ ‎∴3x+3x+2x=180,‎ x=22.5°,‎ ‎∴∠AOC=2x=45°,‎ ‎∴△CEO是等腰直角三角形.‎ ‎ ‎ ‎27.(10分)问题1:如图①,在△ABC中,AB=4,D是AB上一点(不与A,B重合),DE∥BC,交AC于点E,连接CD.设△ABC的面积为S,△DEC的面积为S′.‎ ‎(1)当AD=3时,=  ;‎ ‎(2)设AD=m,请你用含字母m的代数式表示.‎ 问题2:如图②,在四边形ABCD中,AB=4,AD∥BC,AD=BC,E是AB上一点(不与A,B重合),EF∥BC,交CD于点F,连接CE.设AE=n,四边形ABCD的面积为S,△EFC的面积为S′.请你利用问题1的解法或结论,用含字母n的代数式表示.‎ ‎【分析】问题1:‎ ‎(1)先根据平行线分线段成比例定理可得:,由同高三角形面积的比等于对应底边的比,则==,根据相似三角形面积比等于相似比的平方得:==,可得结论;‎ ‎(2)解法一:同理根据(1)可得结论;‎ 解法二:作高线DF、BH,根据三角形面积公式可得:=,分别表示和的值,代入可得结论;‎ 问题2:‎ 解法一:如图2,作辅助线,构建△OBC,证明△OAD∽△OBC,得OB=8,由问题1的解法可知:===,根据相似三角形的性质得:=,可得结论;‎ 解法二:如图3,连接AC交EF于M,根据AD=BC,可得=,得:S△ADC=S,S△ABC=,由问题1的结论可知:=,证明△CFM∽△CDA,根据相似三角形面积比等于相似比的平方,根据面积和可得结论.‎ ‎【解答】解:问题1:‎ ‎(1)∵AB=4,AD=3,‎ ‎∴BD=4﹣3=1,‎ ‎∵DE∥BC,‎ ‎∴,‎ ‎∴==,‎ ‎∵DE∥BC,‎ ‎∴△ADE∽△ABC,‎ ‎∴==,‎ ‎∴=,即,‎ 故答案为:;‎ ‎(2)解法一:∵AB=4,AD=m,‎ ‎∴BD=4﹣m,‎ ‎∵DE∥BC,‎ ‎∴==,‎ ‎∴==,‎ ‎∵DE∥BC,‎ ‎∴△ADE∽△ABC,‎ ‎∴==,‎ ‎∴===,‎ 即=;‎ 解法二:如图1,过点B作BH⊥AC于H,过D作DF⊥AC于F,则DF∥BH,‎ ‎∴△ADF∽△ABH,‎ ‎∴=,‎ ‎∴===,‎ 即=;‎ 问题2:如图②,‎ 解法一:如图2,分别延长BD、CE交于点O,‎ ‎∵AD∥BC,‎ ‎∴△OAD∽△OBC,‎ ‎∴,‎ ‎∴OA=AB=4,‎ ‎∴OB=8,‎ ‎∵AE=n,‎ ‎∴OE=4+n,‎ ‎∵EF∥BC,‎ 由问题1的解法可知:===,‎ ‎∵==,‎ ‎∴=,‎ ‎∴===,即=;‎ 解法二:如图3,连接AC交EF于M,‎ ‎∵AD∥BC,且AD=BC,‎ ‎∴=,‎ ‎∴S△ADC=,‎ ‎∴S△ADC=S,S△ABC=,‎ 由问题1的结论可知:=,‎ ‎∵MF∥AD,‎ ‎∴△CFM∽△CDA,‎ ‎∴===,‎ ‎∴S△CFM=×S,‎ ‎∴S△EFC=S△EMC+S△CFM=+×S=,‎ ‎∴=.‎ ‎ ‎ ‎28.(10分)如图①,直线l表示一条东西走向的笔直公路,四边形ABCD是一块边长为100米的正方形草地,点A,D在直线l上,小明从点A出发,沿公路l向西走了若干米后到达点E处,然后转身沿射线EB方向走到点F处,接着又改变方向沿射线FC方向走到公路l上的点G处,最后沿公路l回到点A处.设AE=x米(其中x>0),GA=y米,已知y与x之间的函数关系如图②所示,‎ ‎(1)求图②中线段MN所在直线的函数表达式;‎ ‎(2)试问小明从起点A出发直至最后回到点A处,所走过的路径(即△EFG)是否可以是一个等腰三角形?如果可以,求出相应x的值;如果不可以,说明理由.‎ ‎【分析】(1)根据点M、N的坐标,利用待定系数法即可求出图②中线段MN所在直线的函数表达式;‎ ‎(2)分FE=FG、FG=EG及EF=EG三种情况考虑:①考虑FE=FG是否成立,连接EC,通过计算可得出ED=GD,结合CD⊥EG,可得出CE=CG,根据等腰三角形的性质可得出∠CGE=∠CEG、∠FEG>∠CGE,进而可得出FE≠FG;②考虑FG=EG是否成立,由正方形的性质可得出BC∥EG,进而可得出△FBC∽△FEG,根据相似三角形的性质可得出若FG=EG则FC=BC,进而可得出CG、DG的长度,在Rt△CDG中,利用勾股定理即可求出x的值;③考虑EF=EG是否成立,同理可得出若EF=EG则FB=BC,进而可得出BE的长度,在Rt△‎ ABE中,利用勾股定理即可求出x的值.综上即可得出结论.‎ ‎【解答】解:(1)设线段MN所在直线的函数表达式为y=kx+b,‎ 将M(30,230)、N(100,300)代入y=kx+b,‎ ‎,解得:,‎ ‎∴线段MN所在直线的函数表达式为y=x+200.‎ ‎(2)分三种情况考虑:‎ ‎①考虑FE=FG是否成立,连接EC,如图所示.‎ ‎∵AE=x,AD=100,GA=x+200,‎ ‎∴ED=GD=x+100.‎ 又∵CD⊥EG,‎ ‎∴CE=CG,‎ ‎∴∠CGE=∠CEG,‎ ‎∴∠FEG>∠CGE,‎ ‎∴FE≠FG;‎ ‎②考虑FG=EG是否成立.‎ ‎∵四边形ABCD是正方形,‎ ‎∴BC∥EG,‎ ‎∴△FBC∽△FEG.‎ 假设FG=EG成立,则FC=BC成立,‎ ‎∴FC=BC=100.‎ ‎∵AE=x,GA=x+200,‎ ‎∴FG=EG=AE+GA=2x+200,‎ ‎∴CG=FG﹣FC=2x+200﹣100=2x+100.‎ 在Rt△CDG中,CD=100,GD=x+100,CG=2x+100,‎ ‎∴1002+(x+100)2=(2x+100)2,‎ 解得:x1=﹣100(不合题意,舍去),x2=;‎ ‎③考虑EF=EG是否成立.‎ 同理,假设EF=EG成立,则FB=BC成立,‎ ‎∴BE=EF﹣FB=2x+200﹣100=2x+100.‎ 在Rt△ABE中,AE=x,AB=100,BE=2x+100,‎ ‎∴1002+x2=(2x+100)2,‎ 解得:x1=0(不合题意,舍去),x2=﹣(不合题意,舍去).‎ 综上所述:当x=时,△EFG是一个等腰三角形.‎ ‎ ‎
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