2020九年级数学下册 第二十八章应用举例

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2020九年级数学下册 第二十八章应用举例

课时作业(二十)‎ ‎[28.2.2 第1课时 解直角三角形在实际中的一般应用]                   ‎ ‎ 一、选择题 ‎1.2017·益阳如图K-20-1,电线杆CD的高度为h,两根拉线AC与BC互相垂直,∠CAB=α,则拉线BC的长度为(点A,D,B在同一条直线上)(  )‎ 图K-20-1‎ A. B. C. D.h·cosα ‎2.2017·温州如图K-20-2,一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶‎13米,已知cosα=,则小车上升的高度是(  )‎ 图K-20-2‎ A.‎5米 B.‎‎6米 C.‎6.5米 D.‎‎12米 ‎3.小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度.如图K-20-3,旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等.小明将PB拉到PB′的位置,测得∠PB′C=α(B′C为水平线),测角仪B′D的高度为‎1米,则旗杆PA的高度为(  )‎ 7‎ 图K-20-3‎ A.米 B.米 C.米 D.米 ‎4.某地下车库出口处安装了“两段式栏杆”,点A是栏杆转动的支点,点E是栏杆两段的连接点.当车辆经过时,栏杆AEF最多只能升起到如图K-20-4所示的位置,其中AB⊥BC,EF∥BC,∠AEF=135°,AB=AE=‎1.3米,那么适合该地下车库的车辆限高标志牌为(栏杆宽度忽略不计,参考数据:≈1.4)(  )‎ 图K-20-4‎ 图K-20-5‎ ‎5.在课题学习后,同学们为教室窗户设计一个遮阳篷,小明同学绘制的设计图如图K-20-6所示,其中AB表示窗户,且AB=‎2.82米,△BCD表示直角遮阳篷,已知当地一年中午时的太阳光与水平线CD的最小夹角α为18°,最大夹角β为66°,根据以上数据,计算出遮阳篷中CD的长约是(结果精确到‎0.1米,参考数据:sin18°≈0.31,tan18°≈0.32,sin66°≈0.91,tan66°≈2.25)(  )‎ 图K-20-6‎ A.‎1.2米 B.‎1.5米 C.‎1.9米 D.‎‎2.5米 二、填空题 ‎6.如图K-20-7,为测量河宽AB(假设河的两岸平行),在点C处测得∠ACB=30°,在点D处测得∠ADB=60°,且CD=‎60 m,则河宽AB为________m(结果保留根号).‎ 7‎ 图K-20-7‎ ‎7.某电动车厂新开发的一种电动车如图K-20-8所示,它的大灯A射出的光线AB,AC与地面MN所夹的锐角分别为8°和10°,大灯A与地面的距离为‎1 m,则该车大灯照亮地面的宽度BC约是________m.(不考虑其他因素,结果精确到‎0.1 m,参考数据:sin8°≈0.14,tan8°≈0.14,sin10°≈0.17,tan10°≈0.18)‎ 图K-20-8‎ ‎8.如图K-20-9,秋千链子的长度OA=‎3 m,静止时秋千踏板处于A位置.此时踏板距离地面‎0.3 m,秋千向两边摆动.当踏板处于A′位置时,摆角最大,即∠AOA′=50°,则踏板在A′位置时,与地面的距离约为________m.(sin50°≈0.766,cos50°≈0.643,结果精确到‎0.01 m)‎ 图K-20-9‎ 三、解答题 ‎9.如图K-20-10是某小区的一个健身器材示意图,已知BC=‎0.15 m,AB=‎2.7 m,∠BOD=70°,求端点A到底面CD的距离(精确到‎0.1 m).‎ ‎(参考数据:sin70°≈0.94,cos70°≈0.34,tan70°≈2.75) 图K-20-10‎ ‎10.2017·安徽如图K-20-11,游客在点A处坐缆车出发,沿A—B—D的路线可至山顶D处,假设AB和BD都是直线段,且AB=BD=‎600 m,α=75°,β=45°,求DE的长.‎ ‎(参考数据:sin75°≈0.97,cos75°≈0.26,≈1.41)‎ 图K-20-11‎ 7‎ ‎11.某广场的旗杆AB旁边有一个半圆的时钟模型,如图K-20-12所示,时钟的9点和3点的刻度线刚好和地面重合,半圆的半径为‎2米,旗杆的底端A到钟面9点处刻度C的距离为‎5米.一天李华同学观察到阳光下旗杆顶端B的影子刚好投到钟面11点的刻度上,同时测得‎1米长的标杆的影长为‎1.6米.‎ ‎(1)计算时钟的时针从9点转到11点时的旋转角是多少度;‎ ‎(2)求旗杆AB的高度(结果精确到‎0.1米,参考数据:≈1.414,≈1.732). 图K-20-12‎ ‎ 转化思想2017·凉山州如图K-20-13,若要在宽AD为‎20米的城南大道两边安装路灯,路灯的灯臂BC长‎2米,且与灯柱AB成120°角,路灯采用圆锥形灯罩,灯罩的轴线CO与灯臂BC垂直,当灯罩的轴线CO通过公路路面的中心线时照明效果最好,此时,路灯的灯柱AB的高应该设计为多少米(结果保留根号)?‎ 图K-20-13‎ 7‎ 详解详析 ‎[课堂达标]‎ ‎1.[解析] B ∵∠CAD+∠ACD=90°,∠ACD+∠BCD=90°,∴∠CAD=∠BCD.‎ 在Rt△BCD中,∵cos∠BCD=,‎ ‎∴BC==.‎ 故选B.‎ ‎2.A 3.A ‎4.[解析] B 如图,过点A作BC的平行线AG,过点E作EH⊥AG于点H,‎ 则∠EHG=∠HEF=90°.‎ ‎∵∠AEF=135°,‎ ‎∴∠AEH=∠AEF-∠HEF=45°,∠EAH=45°.‎ 在△EAH中,∠EHA=90°,∠EAH=45°,AE=1.3米,‎ ‎∴EH=AE·sin∠EAH=1.3×≈1.3×0.7=0.91(米).‎ ‎∵AB=1.3米,‎ ‎∴AB+EH≈1.3+0.91=2.21≈2.2(米).‎ ‎5.[解析] B 设CD的长为x米,在Rt△BCD中,∠BDC=α=18°.‎ ‎∵tan∠BDC=,‎ ‎∴BC=CD·tan∠BDC≈0.32x.‎ 在Rt△ACD中,∠ADC=β=66°.‎ ‎∵tan∠ADC=,‎ ‎∴AC=CD·tan∠ADC≈2.25x.‎ ‎∵AB=AC-BC,‎ ‎∴2.82≈2.25x-0.32x,解得x≈1.5.‎ ‎6.[答案] 30 ‎[解析] ∵∠ACB=30°,∠ADB=60°,‎ ‎∴∠CAD=30°,‎ ‎∴AD=CD=60 m.‎ 在Rt△ABD中,AB=AD·sin∠ADB=60×=30 (m).‎ ‎7.[答案] 1.6‎ ‎[解析] 过点A作AD⊥MN于点D,如图所示.‎ 由题意可得,AD=1 m,∠ABD=8°,∠ACD=10°,∠ADC=∠ADB=90°,‎ ‎∴BD=≈≈7.14(m),‎ CD=≈≈5.56(m),‎ ‎∴BC=BD-CD=7.14-5.56≈1.6(m).‎ ‎8.[答案] 1.37‎ ‎[解析] 如图,过点A′作A′D⊥OA于点D,A′C垂直地面于点C,延长OA交地面于点B,‎ 7‎ 则四边形BCA′D为矩形,‎ ‎∴A′C=DB.‎ ‎∵∠AOA′=50°,且OA=OA′=3 m,‎ ‎∴在Rt△OA′D中,OD=OA′·cos∠AOA′≈3×0.643≈1.929(m).‎ 又∵AB=0.3 m,∴OB=OA+AB=3.3 m,‎ ‎∴A′C=DB=OB-OD≈3.3-1.929≈1.37(m).‎ ‎9.[解析] 过点A作AE⊥CD于点E,过点B作BF⊥AE于点F,构造Rt△ABF,运用解直角三角形的知识求出AF,进而求出AE得出结果.‎ 解:过点A作AE⊥CD于点E,过点B作BF⊥AE于点F,如图所示.‎ ‎∵OD⊥CD,∠BOD=70°,∴AE∥OD,∴∠A=∠BOD=70°.‎ 在Rt△ABF中,AB=2.7 m,‎ ‎∴AF=AB·cosA·2.7×cos70°≈2.7×0.34=0.918(m),‎ ‎∴AE=AF+BC≈0.918+0.15=1.068≈1.1(m).‎ 答:端点A到底面CD的距离约是1.1 m.‎ ‎10.[解析] 分别在Rt△ABC和Rt△BDF中,运用解直角三角形的知识求得BC和DF的近似值,再根据线段的和差求DE.‎ 解:在Rt△ABC中,∵cosα=,‎ ‎∴BC=AB·cosα≈600×0.26=156(m);‎ 在Rt△BDF中,∵sinβ=,‎ ‎∴DF=BD·sinβ=600×=300 ≈300×1.41=423(m).‎ 又EF=BC,‎ ‎∴DE=DF+EF≈423+156=579(m).‎ ‎11.解:(1)时钟的时针从9点转到11点转过2个大格,则旋转角的度数为2×30°=60°.‎ ‎(2)如图,过点D作DE⊥AC于点E,DF⊥AB于点F,设半圆圆心为O,连接OD.‎ ‎∵点D在11点的刻度上,∴∠COD=60°,‎ ‎∴DE=OD·sin60°=2×=(米),‎ OE=OD·cos60°=2×=1(米),‎ ‎∴CE=2-1=1(米),‎ ‎∴DF=AE=5+1=6(米).‎ ‎∵同时测得1米长的标杆的影长为1.6米,‎ ‎∴=,‎ 7‎ ‎∴BF==(米),‎ ‎∴AB=BF+DE=+≈5.5(米).‎ 答:旗杆AB的高度约为5.5米.‎ ‎[素养提升]‎ 解:如图,延长OC,AB交于点P.‎ ‎∵∠ABC=120°,∴∠PBC=60°.‎ ‎∵∠OCB=90°,∴∠P=30°.‎ ‎∵AD=20米,∴OA=AD=10米.‎ ‎∵BC=2米,‎ ‎∴在Rt△CPB中,PC=BC·tan60°=2 米,PB=2BC=4米.‎ ‎∵∠P=∠P,∠PCB=∠A=90°,‎ ‎∴△PCB∽△PAO,∴=,‎ ‎∴PA===10 (米),‎ ‎∴AB=PA-PB=(10 -4)米.‎ 答:路灯的灯柱AB的高应该设计为(10 -4)米.‎ 7‎
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