中考数学专题复习二次函数简单综合问题专题卷训练（pdf，含解析）
2020 年中考数学二次函数简单综合问题专题卷训练
1.[2019·荆门]抛物线 y=-x2+4x-4 与坐标轴的交点个数为 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
[答案] C
[解析]当 x=0 时，y=-x2+4x-4=-4，则抛物线与 y 轴的交点坐标为(0，-4)，
当 y=0 时，-x2+4x-4=0，解得 x1=x2=2，抛物线与 x 轴的交点坐标为(2，0)，
所以抛物线与坐标轴有 2 个交点.故选 C.
2.[2019·泸州]已知二次函数 y=(x-a-1)(x-a+1)-3a+7(其中 x 是自变量)的图象
与 x 轴没有公共点，且当 x<-1 时，y 随 x 的增大而减小，则实数 a 的取值范
围是 ( )
A.a<2 B.a>-1 C.-1
0，即 m>-3 时，该函数的图象与 y 轴的交点在 x 轴的上方.
|类型 2| 二次函数与直线的综合
4.[2018·孝感] 如图，抛物线 y=ax2与直线 y=bx+c 的两个交点坐标分别为A(-2，
4)，B(1，1)，则方程 ax2=bx+c 的解是 x1=-2，x2=1 .
[解析]∵抛物线 y=ax2 与直线 y=bx+c 的两个交点坐标分别为 A(-2，4)，B(1，
1)，∴
=
2
，
= +
的解为
1 =
-
2
，
1 = 4
， 2 = 1
，
2 = 1
. 即方程 ax2=bx+c 的解是 x1=-2，
x2=1.
5.[2019·北京] 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=ax2+bx-
1
与 y 轴交于点 A，
将点 A 向右平移 2 个单位长度，得到点 B，点 B 在抛物线上.
(1)求点 B 的坐标(用含 a 的式子表示)；
(2)求抛物线的对称轴；
(3)已知点 P(
1
2
，-
1
)，Q(2，2).若抛物线与线段 PQ 恰有一个公共点，结合函
数图象，求 a 的取值范围.
解：(1)∵抛物线与 y 轴交于点 A，∴令 x=0，得 y=-
1
，
∴点 A 的坐标为(0，-
1
).
∵点 A 向右平移 2 个单位长度，得到点 B，
∴点 B 的坐标为(2，-
1
.
(2)∵抛物线过点 A(0，-
1
)和点 B(2，-
1
)，由对称性可得，抛物线对称轴为直
线 x=
0+2
2
=1.
(3)根据题意可知，抛物线 y=ax2+bx-
1
经过点 A(0，-
1
，B(2，-
1
).
①当 a>0 时，则-
1
<0，
分析图象可得：点 P(
1
2
，-
1
)在对称轴左侧，抛物线上方，点 Q(2，2)在对称轴
右侧，抛物线上方，此时线段 PQ 与抛物线没有交点.
②当 a<0 时，则-
1
>0.
分析图象可得：当点 Q 在点 B 上方或与点 B 重合时，抛物线与线段 PQ 恰有
一个公共点，此时-
1
≤2，即 a≤-
1
2
.
综上所述，当 a≤-
1
2
时，抛物线与线段 PQ 恰有一个公共点.
|类型 3| 二次函数的最值问题
6 某服装店购进单价为 15 元的童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为
25 元时平均每天能售出 8 件，而当销售价每降低 2 元时，平均每天能多售出
4 件，当每件的定价为多少元时，该服装店平均每天的销售利润最大.
解：设每件的定价为 x 元，每天的销售利润为 y 元.
根据题意，得 y=(x-15)[8+2(25-x)]=-2x2+88x-870.
∴y=-2x2+88x-870=-2(x-22)2+98.
∵a=-2<0，
∴抛物线开口向下，
∴当 x=22 时，y 最大值=98.
7.[2019·台州] 已知函数 y=x2+bx+c(b，c 为常数)的图象经过点(-2，4).
(1)求 b，c 满足的关系式；
(2)设该函数图象的顶点坐标是(m，n)，当 b 的值变化时，求 n 关于 m 的函
数解析式；
(3)若该函数的图象不经过第三象限，当-5≤x≤1 时，函数的最大值与最小值
之差为 16，求 b 的值.
解：(1)将(-2，4)代入 y=x2+bx+c，
得 4=(-2)2-2b+c，∴c=2b，
∴b，c 满足的关系式是 c=2b.
(2)把 c=2b 代入 y=x2+bx+c，
得 y=x2+bx+2b，
∵顶点坐标是(m，n)，
∴n=m2+bm+2b，
且 m=-
2
，即 b=-2m，
∴n=-m2-4m. ∴n 关于 m 的函数解析式为 n=-m2-4m.
(3)由(2)的结论，画出函数 y=x2+bx+c 和函数 y=-x2-4x 的图象.
∵函数 y=x2+bx+c 的图象不经过第三象限，∴-4≤-
2
≤0.
①当-4≤-
2
≤-2，即 4≤b≤8 时，如图①所示，
当 x=1 时，函数取到最大值 y=1+3b，当 x=-
2
时，函数取到最小值 y=
8
-
2
4
，
∴(1+3b)-
8
-
2
4
=16，即 b2+4b-60=0，∴b1=6，b2=-10(舍去)；
②当-2<-
2
≤0，即 0≤b<4 时，如图②所示，
当 x=-5 时，函数取到最大值 y=25-3b，当 x=-
2
时，函数取到最小值 y=
8
-
2
4
，
∴(25-3b)-
8
-
2
4
=16，即 b2-20b+36=0，
∴b1=2，b2=18(舍去).
综上所述，b 的值为 2 或 6.
|类型 4| 二次函数与平行四边形的综合
8.[2019· 孝 感 节 选 ] 如 图 ① ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 已 知 抛 物 线
y=ax2-2ax-8a 与 x 轴相交于 A，B 两点(点 A 在点 B 的左侧)，与 y 轴交于点
C(0，-4).
(1)点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，线段AC的长为 ，
抛物线的解析式为 .
(2)点 P 是线段 BC 下方抛物线上的一个动点.如果在 x 轴上存在点 Q，使得以
点 B，C，P，Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点 Q 的坐标.
解：(1)点 A 的坐标为(-2，0)，点 B 的坐标为(4，0)；
线段 AC 的长为 2
5
， 抛物线的解析式为：y=
1
2
x2-x-4.
(2)过点 C 作 x 轴的平行线交抛物线于点 P.
∵点 C(0，-4)，∴-4=
1
2
x2-x-4，解得 x1=2，x2=0，∴P(2，-4).
∴PC=2，若四边形 BCPQ 为平行四边形，则 BQ=CP=2，
∴OQ=OB+BQ=6，∴Q(6，0).
若四边形 BPCQ 为平行四边形，则 BQ=CP=2，
∴OQ=OB-BQ=2，∴Q(2，0).
故以点 B，C，P，Q 为顶点的四边形是平行四边形时，Q 点的坐标为(6，0)，
(2，0)
|类型 5| 二次函数与相似三角形的综合
9.[2019·镇江] 如图，二次函数 y=-x2+4x+5 的图象的顶点为 D，对称轴是直线
l，一次函数 y=
2
5
x+1 的图象与 x 轴交于点 A，且与直线 DA 关于 l 的对称直线
交于点 B.
(1)点 D 的坐标是 .
(2)直线 l 与直线 AB 交于点 C，N 是线段 DC 上一点(不与点 D，C 重合)，点
N 的纵坐标为 n.过点 N 作直线与线段 DA，DB 分别交于点 P，Q，使得△DPQ
与△DAB 相似.
①当 n=
27
5
时，求 DP 的长；
②若对于每一个确定的 n 的值，有且只有一个△DPQ 与△DAB 相似，请直接
写出 n 的取值范围 .
解：(1)(2，9)
(2)∵对称轴为直线 x=2，
∴y=
2
5
×2+1=
9
5
，
∴C(2，
9
5
).
由已知可求得 A(-
5
2
，0)，
点 A 关于直线 x=2 对称的点的坐标为(
13
2
，0)，
则直线 AD 关于直线 x=2 对称的直线的解析式为 y=-2x+13，
令-2x+13=
2
5
x+1，得 x=5，
2
5
×5+1=3，
∴B(5，3).
①当 n=
27
5
时，N(2，
27
5
)，
由 D(2，9)，A(-
5
2
，0)，B(5，3)，C(2，
9
5
)，可得 DA=
9 5
2
，DB=3
5
，DN=
18
5
，
CD=
36
5
.
当 PQ∥AB 时，△DPQ∽△DAB，
∵PQ∥AB，∴△DAC∽△DPN，
∴
t
=
t
，∴DP=
9 5
4
；
当 PQ 与 AB 不平行时，△DPQ∽△DBA，
易得△DNP∽△DCB，
∴
t
t
=
t
，∴DP=
3 5
2
.
综上所述，DP=
9 5
4
或
3 5
2
.
②
9
5
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