2012中考数学试题及答案分类汇编:三角形

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2012中考数学试题及答案分类汇编:三角形

‎2012中考数学试题及答案分类汇编:三角形 2. 选择题 ‎1. (天津3分)sin45°的值等于 ‎(A) (B) (C) (D) 1‎ ‎【答案】B。‎ ‎【考点】特殊角三角函数。‎ ‎【分析】利用特殊角三角函数的定义,直接得出结果。‎ ‎2.(河北省3分)如图,在△ABC 中,∠C=90°,BC=6,D,E 分别在 AB、AC上,将△ABC沿DE折叠,使点A落在点A′处,若A′为CE的中点,则折痕DE的长为 ‎ ‎ A、 B、‎2 ‎ C、3 D、4‎ ‎【答案】B。‎ ‎【考点】翻折变换(折叠问题),相似三角形的判定和性质。‎ ‎【分析】∵△ABC沿DE折叠,使点A落在点A′处,∴∠EDA=∠EDA′=90°,AE=A′E,‎ ‎∴△ACB∽△AED。 ∴。‎ 又∵A′为CE的中点,∴AE=A′E=A′C。∴。∴ED=2。‎ 故选B。‎ ‎3.(山西省2分)如图,△ABC中,AB=AC,点D、E分别是边AB、AC的中点,点G、F在BC边上,四边形DEFG是正方形.若DE=‎2cm,则AC的长为 ‎ A.cm B.‎4cm C.cm D.cm ‎【答案】D。‎ ‎【考点】等腰三角形的性质,三角形中位线定理,正方形的性质,勾股定理。‎ ‎【分析】根据三角形的中位线定理可得出BC=4,由AB=AC,可证明BG=CF=1,由勾股定理可求出CE=,即可得出AC=2。故选D。‎ ‎4.(内蒙古呼和浩特3分)如果等腰三角形两边长是‎6cm和‎3cm,那么它的周长是 ‎ A、‎9cm B、12cm C、‎15cm或‎12cm D、‎‎15cm ‎【答案】D。‎ ‎【考点】等腰三角形的性质,三角形三边关系。‎ ‎【分析】求等腰三角形的周长,即要确定等腰三角形的腰与底的长,根据三角形三边关系知 当6为腰,3为底时,6﹣3<6<6+3,能构成等腰三角形,周长为6+6+3=15;‎ 当3为腰,6为底时,3+3=6,不能构成三角形。故选D。‎ ‎5.(内蒙古呼伦贝尔3分)如图,△ACB≌△A1CB1, ∠BCB1=30°,则∠ACA1的度数为 ‎ A. 20° B. 30° C. 35° D. 40°‎ ‎【答案】B。‎ ‎【考点】全等三角形的性质。‎ ‎【分析】根据全等三角形对应角相等的性质,得∠ACB=∠A1CB1,所以∠ACB-∠BCA1=∠A1CB1-∠BCA1,即 ∠ACA1=∠BCB1=35°。故选B。‎ 2. 填空题 ‎1. (山西省3分)如图,已知AB=12;AB⊥BC于B,AB⊥AD于A,AD=5,BC=10.点E是CD的中点,则AE的长是 ▲ 。‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】平行的性质,相似三角形的判定和性质,勾股定理。‎ ‎【分析】过点E作EG⊥AB,垂足为点G,AB与DC交于点F,则DA∥GE∥BC。‎ ‎ ∵点E是CD的中点,AB=12,∴根据平行的性质,得AG=6。‎ ‎ ∵DA∥BC,∴△ADF∽△BCF。∴。‎ ‎ ∵AB=12,即BF=12-AF。∴。‎ 又∵AD=5,BC=10,∴,解得,AF=4,FB=8。‎ FG=6-4=2。‎ ‎∵GE∥BC,∴△FGE∽△FBC。∴,即,解得,GE=。‎ ‎∴在Rt△AGE中,由勾股定理,得AE=。‎ ‎2.(内蒙古巴彦淖尔、赤峰3分)如图,AD是△ABC的中线,∠ADC=60°,BC=6,把△ABC沿直线AD折叠,点C落在C′处,连接BC′,那么BC′的长为  ▲ .‎ ‎【答案】3。‎ ‎【考点】翻折变换(折叠问题),轴对称的性质,平角定义,等边三角形的判定与性质。‎ ‎【分析】根据题意:BC=6,D为BC的中点;故BD=DC=3。 ‎ 由轴对称的性质可得:∠ADC=∠ADC′=60°,‎ ‎∴DC=DC′=2,∠BDC′=60°。‎ 故△BDC′为等边三角形,故BC′=3。‎ ‎3.(内蒙古巴彦淖尔、赤峰3分)如图,EF是△ABC的中位线,将△AEF沿AB方向平移到△EBD的位置,点D在BC上,已知△AEF的面积为5,则图中阴影部分的面积为  ▲ .‎ ‎【答案】10。‎ ‎【考点】三角形中位线定理,相似三角形的判定和性质,平移的性质。‎ ‎【分析】∵EF是△ABC的中位线,∴EF∥BC,∴△AEF∽△ABC。‎ ‎∴EF:BC=1:2,∴S△AEF:S△ABC=1:4。‎ ‎∵△AEF的面积为5,∴S△ABC=20。‎ ‎∵将△AEF沿AB方向平移到△EBD的位置,∴S△EBD=5。‎ ‎∴图中阴影部分的面积为:S△ABC﹣S△EBD﹣S△AEF=20﹣5﹣5=10。‎ A D B C E O ‎4.(内蒙古包头3分)如图,△ABD与△AEC都是等边三角形,AB≠AC,下列结论中:①BE=DC;②∠BOD=60°;③△BOD∽△COE.正确的序号是  ▲  .‎ ‎【答案】①②。‎ ‎【考点】等边三角形的性质,全等三角形的判定和性质,三角形的内角和定理,相似三角形的判定。‎ ‎【分析】∵△ABD、△AEC都是等边三角形,‎ ‎∴AD=AB,AE=AC,∠DAB=∠CAE=60°。‎ ‎∴∠DAC=∠BAC+60°,∠BAE=∠BAC+60°。∴∠DAC=∠BAE。∴△DAC≌△BAE(SAS)。‎ ‎∴BE=DC。【①正确】‎ ‎∴∠ADC=∠ABE。‎ ‎∵∠BOD+∠BDO+∠DBO=180°,∴∠BOD=180°﹣∠BDO﹣∠DBO=60°。【②正确】‎ ‎∵由△DAC≌△BAE和AB≠AC,得∠ADC≠∠AEB,∴∠ODB≠∠OEC。‎ 又∵∠ODB<60°,∠OCE>60°,∴∠ODB≠∠OCE。‎ 而∠DOB=∠EOC,∴△BOD和△COE不相似。【③错误】‎ ‎5.(内蒙古呼和浩特3分)如图所示,在梯形ABCD中,AD∥BC,CE是∠BCD的平分线,且CE⊥AB,E为垂足,BE=2AE,若四边形AECD的面积为1,则梯形ABCD的面积为  ▲  .‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】角平分线和垂直的定义,全等三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,等腰三角形的判定和性质,三角形的面积,梯形的面积,一元一次方程的应用。‎ ‎【分析】延长BA与CD,交于F,‎ ‎∵CE是∠BCD的平分线,∴∠BCE=∠FCE。‎ ‎∵CE⊥AB,∴∠BEC=∠FEC=90°。‎ ‎∵EC=EC,∴△BCE≌△FCE(ASA)。∴BE=EF。‎ ‎∵BE=2AE,∴BF=4AF。‎ 又∵AD∥BC,∴△FAD∽△FBC。∴。‎ 设S△FAD=x,S△FBC=16x,S△BCE=S△FEC=8x,∴S四边形AECD=7x。‎ ‎∵四边形AECD的面积为1,∴7x=1,∴x=。‎ ‎∴梯形ABCD的面积为:S△BCE+S四边形AECD=15x=。‎ ‎6.(内蒙古乌兰察布4分)如图,在Rt△ABC中,∠ABC = 90, AB = ‎8cm , BC = ‎6cm , 分别以A,C为圆心,以的长为半径作圆, 将 Rt△ABC截去两个扇形,则剩余(阴影)部分的面积为 ▲ cm(结果保留π)‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】直角三角形两锐角的关系,勾股定理,扇形的面积。‎ ‎【分析】由题意可知,阴影部分的面积为三角形面积减去两个扇形面积。‎ ‎ 三角形面积为。‎ ‎ 由勾股定理,得AC=10,圆半径为5。‎ ‎ ∵在Rt△ABC中,∠ABC = 90,∴∠A+∠C =90。‎ ‎ ∴两个扇形的面积的和为半径5,圆心角90的扇形的面积,即四分之一圆的面积。‎ ‎ ∴阴影部分的面积为 cm。‎ ‎7.(内蒙古乌兰察布4分)某厂家新开发的一种电动车如图,它的大灯A射出的光线AB,AC 与地面MN 所夹的锐角分别为 8和 10,大灯A与地面离地面的距离为lm则该车大灯照亮地面的宽度BC是 ▲ m .(不考虑其它因素)‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用,锐角三角函数定义。‎ ‎【分析】过点A作AD⊥BC,垂足为点D。由锐角三角函数定义,得 ‎ BC=BD-CD=。‎ 2. 解答题 ‎1.(北京5分)如图,点A、B、C、D在同一条直线上,BE∥DF,∠A=∠F,AB=FD.求证:AE=FC.‎ 【答案】证明:∵BE∥DF,∴∠ABE=∠D。‎ ‎ 在△ABC和△FDC中,‎ ‎ ∴△ABC≌△FDC(ASA)。‎ ‎ ∴AE=FC.‎ ‎【考点】平行线的性质,全等三角形的判定和性质。‎ ‎【分析】利用平行线同位角相等的性质可得∠ABE=∠D,由已知用ASA判定△ABC≌△FDC,再由全等三角形对应边相等的性质证得AE=FC。‎ ‎2.(北京5分)如图,在△ABC,AB=AC,以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E,点F在AC的延长线上,且∠CBF=∠CAB.‎ ‎(1)求证:直线BF是⊙O的切线;‎ ‎(2)若AB=5,sin∠CBF=,求BC和BF的长.‎ 【答案】解:(1)证明:连接AE。∵AB是⊙O的直径,∴∠AEB=90°。‎ ‎ ∴∠1+∠2=90°。‎ ‎ ∵AB=AC,∴∠1=∠CAB。‎ ‎ ∵∠CBF=∠CAB,∴∠1=∠CBF。∴∠CBF+∠2=90°。即∠ABF=90°。‎ ‎ ∵AB是⊙O的直径,∴直线BF是⊙O的切线。‎ ‎ (2)过点C作CG⊥AB于点G。‎ ‎ ∵sin∠CBF=,∠1=∠CBF,∴sin∠1=。‎ ‎ ∵∠AEB=90°,AB=5,∴BE=AB•sin∠1=。‎ ‎ ∵AB=AC,∠AEB=90°,∴BC=2BE=2。 ‎ 在Rt△ABE中,由勾股定理得AE=2,∴sin∠2=,cos∠2=。‎ ‎ 在Rt△CBG中,可求得GC=4,GB=2,∴AG=3。‎ ‎ ∵GC∥BF,∴△AGC∽△BFA。∴。∴。‎ ‎【考点】切线的判定和性质,勾股定理,圆周角定理,相似三角形的判定和性质,解直角三角形。‎ ‎【分析】(1)连接AE,利用直径所对的圆周角是直角,从而判定直角三角形,利用直角三角形两锐角相等得到直角,从而证明∠ABE=90°。‎ ‎ (2)利用已知条件证得∴△AGC∽△BFA,利用对应边的比求得线段的长即可。‎ ‎3.(北京5分)阅读下面材料:小伟遇到这样一个问题,如图1,在梯形ABCD中,AD∥BC,对角线AC,BD相交于点O.若梯形ABCD的面积为1,试求以AC,BD,AD+BC的长度为三边长的三角形的面积.‎ ‎ ‎ 小伟是这样思考的:要想解决这个问题,首先应想办法移动这些分散的线段,构造一个三角形,再计算其面积即可.他先后尝试了翻折,旋转,平移的方法,发现通过平移可以解决这个问题.他的方法是过点D作AC的平行线交BC的延长线于点E,得到的△BDE即是以AC,BD,AD+BC的长度为三边长的三角形(如图2).‎ 参考小伟同学的思考问题的方法,解决下列问题:如图3,△ABC的三条中线分别为AD,BE,CF.‎ ‎(1)在图3中利用图形变换画出并指明以AD,BE,CF的长度为三边长的一个三角形(保留画图痕迹);‎ ‎(2)若△ABC的面积为1,则以AD,BE,CF的长度为三边长的三角形的面积等于.‎ ‎【答案】解:△BDE的面积等于1。‎ ‎ (1)如图.以AD、BE、CF的长度为三边长的一个三角形是△CFP。‎ ‎ (2)连接EF,PE,则△CFP可公割成△PEF,△PCE和△EFC。‎ ‎ ∵四边形BEPF是平行四边形,∴△PEF≌△BFE。‎ ‎ 又∵E,F是AC,AB的中点,∴△BFE的底和高都是△ABC的一半。‎ ‎ ∴△BFE的面积是△ABC的,即△PEF的面积是△ABC的。‎ ‎ 同理,△PCE和△EFC的面积都是△ABC的。‎ ‎ ∴以AD、BE、CF的长度为三边长的三角形的面积等于。‎ ‎【考点】平移的性质,三角形的面积,尺规作图。‎ ‎【分析】根据平移可知,△ADC≌△ECD,且由梯形的性质知△ADB与△ADC的面积相等,即△BDE的面积等于梯形ABCD的面积。‎ ‎ (1)分别过点F、C作BE、AD的平行线交于点P,得到的△CFP即是以AD、BE、CF的长度为三边长的一个三角形。‎ ‎ (2)由平移的性质可得对应线段平行且相等,对应角相等。结合图形知以AD,BE,CF的长度为三边长的三角形的面积等于△ABC的面积的。‎ ‎4.(天津8分)某校兴趣小组坐游轮拍摄海河两岸美景.如图,游轮出发点A与望海楼B的距离为300 m.在一处测得望海校B位于A的北偏东30°方向.游轮沿正北方向行驶一段时间后到达C.在C处测得望海楼B位于C的北偏东60°方向.求此时游轮与望梅楼之间的距离BC (取l.73.结果保留整数).‎ ‎【答案】解:根据题意,AB=10,如图,过点B作BD⊥AC交AC的延长线于点D。‎ ‎ 在Rt△ADB中,∵ ∠BAD=300,∴。‎ ‎ 在Rt△CDB中,。‎ ‎ 答:此时游轮与望梅楼之间的距离约为173 m。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用。‎ ‎【分析】要求BC的长,就要把它作为直角三角形的边,故辅助线过点B作BD⊥AC交AC的延长线于点D,形成两个直角三角形,利用三角函数解直角三角形先求BD再求出BC。‎ ‎5.(山西省7分)如图,某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度.他们在这棵树正前方一座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°,朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处,测得树顶端D的仰角为60°.已知A点的高度AB为‎2米,台阶AC的坡度为 (即AB:BC=),且B、C、E三点在同一条盲线上。请根据以上杀件求出树DE的高度(测倾器的高度忽略不计).‎ ‎【答案】解:如图,过点A作AF⊥DE于F,则四边形ABEF为矩形。∴AF=BE,EF=AB=2。‎ 设DE=x,‎ 在Rt△CDE中,CE=,‎ 在Rt△ABC中,∵ AB:BC=,AB=2,∴BC=。‎ 在Rt△AFD中,DF=DE-EF=x-2,∴AF= 。‎ ‎∵AF=BE=BC+CE,∴,解得x=6。‎ 答:树DE的高度为6米。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用(仰角俯角、坡度坡角问题),锐角三角函数,特殊角的三角函数值。。‎ ‎【分析】通过构造直角三角形分别表示出BC和AF,得到有关的方程求解即可。‎ ‎6.(山西省9分)如图(1),Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D.AF平分∠CAB,交CD于点E,交CB于点F ‎(1)求证:CE=CF.‎ ‎(2)将图(1)中的△ADE沿AB向右平移到△A′D′E′的位置,使点E′落在BC边上,其它条件不变,如图(2)所示.试猜想:BE′与CF有怎样的数量关系?请证明你的结论. ‎ ‎【答案】解:(1)∵∠ACB=90°,∴∠CFA=90°-∠CAF。‎ ‎ ∵CD⊥AB,∴∠CEF=∠AED=90°-∠EAD。‎ ‎ 又∵AF平分∠CAB,∴∠CAF=∠EAD。∴∠CFA=∠CEF。∴CE=CF。‎ ‎ (2)BE′与CF相等。证明如下:‎ 如图,过点E作EG⊥AC于G。‎ 又∵AF平分∠CAB,ED⊥AB,∴ED=EG。‎ ‎ 由平移的性质可知:D’E’=DE,∴D’E’ =GE。‎ ‎ ∵∠ACB=90°,∴∠ACD+∠DCB=90°。‎ ‎ ∵CD⊥AB于D,∴∠B+∠DCB=90°。∴∠ACD=∠B。‎ 在Rt△CEG与Rt△BE’D’中,‎ ‎∵∠GCE=∠B,∠CGE=∠BD’E’,CE=D’E’,∴△CEG≌△BE’D’(AAS)。∴CE=BE’。‎ ‎ 由(1)CE=CF,得CF=BE’。‎ ‎【考点】三角形两锐角的关系,对顶角的性质,等腰三角形的判定,角平分线定义,平移的性质,矩形的性质,全等三角形的判定和性质。‎ ‎【分析】(1)要证CE=CF,根据等腰三角形等角对等边的判定,只要∠CFA=∠CEF即可。由已知,知∠CFA与∠CAF互余,∠CEF=∠AED与∠EAD互余,而AF平分∠CAB。从而∠CAF=∠EAD。得证。‎ ‎ (2)由角的等量关系转换和平移的性质,根据AAS证得△CEG≌△BE’D’,即可根据全等三角形的对应边相等的性质得到CE=BE’。由(1)的结论即可得到CF=BE’。‎ ‎7.(内蒙古呼和浩特6分)在一次课外实践活动中,同学们要测量某公园人工湖两侧A,B两个凉亭之间的距离.现测得AC=‎30m,BC=‎70m,∠CAB=120°,请计算A,B两个凉亭之间的距离.‎ ‎【答案】解:如图,作CD⊥AB于点D.‎ 在Rt△CDA中,∵AC=30,‎ ‎∠CAD=180°-∠CAB=180°-120°=60°,‎ ‎∴CD=AC•sin∠CAD=30•sin60°=15,‎ AD=AC•cos∠CAD=30•cos60°=15。‎ 在Rt△CDB中,∵BC=70,BD2=BC2﹣CD2,‎ ‎∴BD=。‎ ‎∴AB=BD﹣AD=65﹣15=50。‎ 答:A,B两个凉亭之间的距离为50m。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用(方向角问题),锐角三角函数,特殊角的三角函数值,勾股定理。‎ ‎【分析】构造直角三角形,过C点作CD⊥AB于点D,先在Rt△CDA中应用锐角三角函数求得AD、CD的长,再利用勾股定理求得BD的长,从而由AB=BD﹣AD即得A,B两个凉亭之间的距离。‎ ‎8.(内蒙古巴彦淖尔、赤峰10分)如图,一架满载救援物资的飞机到达灾区的上空,在A处测到空投地点C的俯角α=60°,测到地面指挥台β的俯角=30°,已知BC的距离是2000米,求此时飞机的高度(结果保留根号).‎ ‎【答案】解:作AD⊥BC,交BC的延长线于点D,‎ ‎ ∵EA∥BC,∴∠ABC=β=30°。‎ ‎ 又∵∠BAC=α-β=30°,∴∠ABC=∠BAC。‎ ‎ ∴AC=BC=2000。‎ ‎ ∴在Rt△ACD中,‎ AD= AC·cos∠CAD=AC·cos300=1000。‎ ‎ 答:此时飞机的高度为1000米。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用(仰角俯角问题),平行的性质,等腰三角形的判定,锐角三角函数,特殊角的三角函数值。‎ ‎【分析】作AD⊥BC,交BC的延长线于点D, 由平行线内错角相等的性质和等腰三角形的判定,易得AC=BC=2000,从而在Rt△ACD中应用锐角三角函数即可求得此时飞机的高度。‎ ‎9.(内蒙古包头8分)一条船上午8点在A处望见西南方向有一座灯塔B,此时测得船和灯塔相距36海里,船以每小时20海里的速度向南偏西24°的方向航行到C处,此时望见灯塔在船的正北方向.(参考数据sin24°≈0.4,cos24°≈0.9)‎ ‎(1)求几点钟船到达C处;‎ ‎(2)当船到达C处时,求船和灯塔的距离.‎ ‎【答案】解:(1)延长CB与AD交于点E.∴∠AEB=90°,‎ ‎∵∠BAE=45°,AB=36,∴BE=AE=36。‎ 根据题意得:∠C=24°,sin24°=,‎ ‎∴AC=。‎ ‎∴90÷20=4.5。‎ ‎∴8+4.5=12.5。‎ ‎∴12点30分船到达C处。‎ ‎(2)在直角三角形ACE中,cos24°=,即cos24°=,‎ ‎∴BC=45。‎ ‎∴船到C处时,船和灯塔的距离是45海里。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用(方向角问题),等腰直角三角形的判定和性质,锐角三角函数。‎ ‎【分析】(1)要求几点到达C处,需要先求出AC的距离,根据时间=距离除以速度,从而求出解.‎ ‎(2)船和灯塔的距离就是BC的长,作出CB的延长线交AD于E,根据直角三角形的角,用三角函数可求出CE的长,减去BE就是BC的长.‎ ‎10.(内蒙古呼伦贝尔6分)如图,从热气球C上测得两建筑物A、B底部的俯角分别为30°和60°,如果这时气球的高度CD为‎90米,且点A、D、B在同一直线上,求建筑物A、B间的距离(结果保留根号)。‎ ‎【答案】解:∵‎ ‎ ,‎ ‎ ∴ 。 ‎ ‎ 在中,, ‎ ‎ ∴。‎ 在中, ,∴。‎ ‎∴。‎ 答:建筑物A、B间距离为米。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值。‎ ‎【分析】分别在和中应用锐角三角函数求出AD,BD即可。‎
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