2020九年级数学下册 第26章实践与探索同步练习

2020九年级数学下册 第26章实践与探索同步练习

1 26.3　实践与探索 第 1 课时　物体的运动轨迹等问题 知|识|目|标 1．在理解二次函数的图象与性质的基础上，通过思考、探究，能解决物体运动轨迹中的已知 抛物线问题． 2．通过对具体问题的分析、讨论与类比思考，能根据实际问题的特点建立适当的平面直角坐 标系，进而解决物体运动轨迹中的未知抛物线问题． 目标一　能解决物体运动轨迹中的已知抛物线问题 例 1 高频考题 一名男生推铅球，铅球行进高度 y(m)与水平距离 x(m)之间的关系式是 y＝－ 1 12 x2＋ 2 3x＋ 5 3，铅球运行路线如图 26－3－1. (1)求铅球推出的水平距离； (2)通过计算说明铅球行进高度能否达到 4 m. 图 26－3－1 2 【归纳总结】抛物线形的物体运动轨迹问题： 在现实生活中有很多物体的运动轨迹是近似于抛物线的，如投篮、掷铅球、打网球等，此类 问题一般涉及飞行的最大高度、飞行的最大距离、飞行时间等．解决问题的关键：(1)飞行的 最大高度一般与最值有关；(2)飞行的最大距离、飞行时间一般与函数图象与 x 轴的交点有 关． 目标二　能解决物体运动轨迹中的未知抛物线问题 例 2 教材补充例题 如图 26－3－2(a)，某灌溉设备的喷头B 高出地面 1.25 m，喷出的抛物线 形水流在与喷头底部 A 的水平距离为 1 m 处达到距地面最大高度 2.25 m，试在恰当的平面直 角坐标系中求出与该抛物线形水流对应的二次函数的关系式． 学生小龙对于上述问题的具体解答过程如下： ①以水流的最高点为原点，过原点的水平线为横轴，过原点的铅垂线为纵轴，建立如图 26－ 3－2(b)所示的平面直角坐标系； ②设抛物线形水流对应的二次函数关系式为 y＝ax2； ③根据题意可得点 B 与 x 轴的距离为 1 m，故点 B 的坐标为(－1，1)； ④将(－1，1)代入 y＝ax2，得 1＝a·1，所以 a＝1； ⑤所以抛物线形水流对应的二次函数的关系式为 y＝x2. 数学老师看了小龙的解题过程说：“小龙的解答是错误的．” (1)请指出小龙的解答在第________步开始出现错误； (2)请你写出完整的正确解答过程． 图 26－3－2 【归纳总结】建立平面直角坐标系的方法： 对于没有给定平面直角坐标系的二次函数问题，建立的平面直角坐标系应使后续的计算简便， 一般来说，以顶点为原点，对称轴为 y 轴建立平面直角坐标系，所得到的函数关系式最简单； 或把二次函数的图象都放在第一象限，点的坐标与线段长度的转换不易出错． 3 知识点　二次函数在实际问题中的应用(1) 1．物体的飞行路线中有很多抛物线模型，如铅球、篮球等的飞行路线都是抛物线形，基于这 点构造二次函数模型，应用二次函数的基本知识解决相关问题，关键是从实际问题中抽象出 二次函数的数学模型． 2．理解几个特殊点．如飞行的最高点一般是抛物线的顶点，落地点一般是抛物线与 x 轴的交 点． 3．解题思路： 问题：某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于地面安装一根柱子 OA，O 恰为水面中 心，安置在柱子顶端 A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落 下．在过 OA 的任一平面上，建立平面直角坐标系(如图 26－3－3)，水流喷出的高度 y(m)与 水平距离 x(m)之间的关系式是 y＝－x2＋2x＋ 5 4. 图 26－3－3 读了此题后，四名同学有下列结论，你觉得他们谁的结论正确？ (1)张星：柱子 OA 的高度为 5 4 m； (2)李咏：喷出的水流在距柱子 1 m 处达到最大高度； (3)王康：喷出的水流距水平面的最大高度是 2.5 m； (4)刘飞：水池的半径至少要为 2.5 m，才能使喷出的水流不至于落在池外． 4 教师详解详析 【目标突破】 例 1　[解析] (1)铅球推出的水平距离就是当高度 y＝0 时 x 的值，所以解方程可求解． (2)用配方法求解二次函数的最值即可判断． 解：(1)当 y＝0 时，－ 1 12x2＋ 2 3x＋ 5 3＝0. 解得 x1＝10，x2＝－2(不合题意，舍去)， ∴铅球推出的水平距离是 10 m. (2)y＝－ 1 12x2＋ 2 3x＋ 5 3＝－ 1 12(x2－8x＋16)＋ 4 3＋ 5 3＝－ 1 12(x－4)2＋3. ∵a＝－ 1 12＜0， ∴函数有最大值，即当 x＝4 时，y 有最大值，为 3， ∴铅球行进高度不能达到 4 m. 例 2　[解析] (1)在第③步开始出现错误； (2)以水流的最高点为原点，过原点的水平线为横轴，过原点的铅垂线为纵轴，建立如题图(b) 所示的平面直角坐标系，通过点 B 的坐标求得函数关系式． 解：(1)在第③步开始出现错误． (2)以水流的最高点为原点，过原点的水平线为横轴，过原点的铅垂线为纵轴，建立如题图(b) 所示的平面直角坐标系． 设抛物线形水流对应的二次函数关系式为 y＝ax2. 根据题意可得点 B 与 x 轴的距离为 1 m，故点 B 的坐标为(－1，－1)，将(－1，－1)代入 y＝ ax2，得－1＝a·1，所以 a＝－1， 所以抛物线形水流对应的二次函数的关系式为 y＝－x2. 【总结反思】 [反思] (1)当 x＝0 时，y＝ 5 4，故柱子 OA 的高度为 5 4 m，所以张星的结论正确； (2)因为 y＝－x2＋2x＋ 5 4＝－(x－1)2＋ 9 4， 所以抛物线的顶点坐标是(1， 9 4 )， 故喷出的水流在距柱子 1 m 处达到最大高度，喷出的水流距水平面的最大高度是 9 4 m，所以李 咏的结论正确； (3)由(2)知王康的结论错误； (4)解方程－x2＋2x＋ 5 4＝0，得 x1＝－ 1 2，x2＝ 5 2，故水池的半径至少要为 2.5 m，才能使喷出 的水流不至于落在池外，故刘飞的结论正确．