2020九年级数学上册第1章二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象及特征

2020九年级数学上册第1章二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象及特征

‎1.2　第3课时　二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象及特征　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 一、选择题 ‎1．抛物线y＝2x2＋4x＋5的顶点坐标为(　　)‎ A．(1，3) B．(1，－3)‎ C．(－1，－3) D．(－1，3)‎ ‎2．2017·宁波抛物线y＝x2－2x＋m2＋2(m是常数)的顶点在(　　)‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3．如果抛物线y＝x2－ax＋1的对称轴是y轴，那么a的值为(　　)‎ A．0 B．－‎2 C．2 D．±2‎ ‎4．2017·淄博将二次函数y＝x2＋2x－1的图象沿x轴向右平移2个单位，得到的函数表达式是(　　)‎ A．y＝(x＋3)2－2 B．y＝(x＋3)2＋2‎ C．y＝(x－1)2＋2 D．y＝(x－1)2－2‎ ‎5．已知点A(－3，7)在抛物线y＝x2＋4x＋10上，则点A关于抛物线的对称轴的对称点的坐标为(　　)‎ A．(0，7) B．(－1，7)‎ C．(－2，7) D．(－3，7)‎ ‎6．设计师以二次函数y＝2x2－4x＋8的图象为灵感设计的杯子如图K－4－1所示．若AB＝4，DE＝3，则杯子的高CE为(　　)‎ 图K－4－1‎ A．17 B．11‎ 11‎ C．8 D．7‎ 二、填空题 ‎7．若抛物线y＝x2＋(a－4)x＋c的顶点在y轴上，则a的值为________．‎ ‎8．若某条抛物线的顶点坐标为(－3，5)，形状大小、开口方向与抛物线y＝2x2－1完全相同，则此抛物线的函数表达式为____________．‎ ‎9．抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(－3，0)，对称轴是直线x＝－1，则a＋b＋c＝________．‎ ‎10．用描点法画二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象时，列出了如下表格：‎ x ‎…‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎…‎ y＝ax2＋bx＋c ‎…‎ ‎0‎ ‎－1‎ ‎0‎ ‎3‎ ‎…‎ 那么该二次函数在x＝0时，y＝________．‎ 三、解答题 ‎11．若二次函数y＝ax2＋2x＋a2－1(a≠0)的图象如图K－4－2所示，求a的值．‎ 图K－4－2‎ 11‎ ‎12．已知抛物线y＝x2＋4x＋5.‎ ‎(1)求其顶点坐标及对称轴；‎ ‎(2)请说明如何平移才能得到抛物线y＝x2.‎ ‎13．下表给出了某个二次函数的一些取值情况：‎ x ‎…‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎…‎ y ‎…‎ ‎3‎ ‎0‎ ‎－1‎ ‎0‎ ‎3‎ ‎…‎ ‎(1)请在直角坐标系中画出这个二次函数的图象；‎ ‎(2)根据图象说明：当x取何值时，y的值大于0?‎ 11‎ ‎14．当一枚火箭被竖直向上发射时，它的高度h(米)与时间t(秒)的关系可以用h＝－5t2＋150t＋10表示，经过多长时间，火箭到达它的最高点？最高点的高度是多少？‎ ‎15．已知抛物线y＝x2－2 x＋a2的顶点到x轴的距离为2.‎ ‎(1)求a的值；‎ ‎(2)该抛物线通过怎样的平移后经过原点？‎ 11‎ ‎16．如图K－4－3，已知抛物线y＝x2－2x＋a的顶点A在直线y＝－x＋3上，直线y＝－x＋3与x轴的交点为B，O为直角坐标系的原点．‎ ‎(1)求点B的坐标与a的值；‎ ‎(2)求△AOB的面积．‎ 图K－4－3‎ ‎17．如图K－4－4，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－2，－4)，O(0，0)，B(2，0)三点．‎ ‎(1)求抛物线y＝ax2＋bx＋c的表达式；‎ ‎(2)若M是该抛物线对称轴上的一点，求AM＋OM的最小值．‎ 图K－4－4‎ 11‎ ‎18如图K－4－5，已知二次函数y1＝ax2＋bx的图象过(－2，4)，(－4，4)两点．‎ ‎(1)求二次函数y1的表达式；‎ ‎(2)将抛物线y1沿x轴翻折，再向右平移2个单位，得到抛物线y2，直线y＝m(m＞0)交抛物线y2于M，N两点．求线段MN的长度(用含m的代数式表示)．‎ 图K－4－5‎ 11‎ ‎1．[答案] D　‎ ‎2．[解析] A　抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点坐标为，∵－＝－＝1＞0，＝＝m2＋1＞0，故此抛物线的顶点在第一象限．故选A.‎ ‎3．[解析] A　∵抛物线y＝x2－ax＋1的对称轴是y轴，‎ ‎∴－＝－＝0，解得a＝0.故选A.‎ ‎4．[解析] D　二次函数y＝x2＋2x－1＝(x＋1)2－2，其图象沿x轴向右平移2个单位后，得到的函数表达式为y＝(x－2＋1)2－2＝(x－1)2－2.‎ ‎5．[解析] B　抛物线的对称轴为直线x＝－＝－2，‎ 设点A关于抛物线对称轴的对称点的坐标为(x，7)，则＝－2，解得x＝－1，‎ 所以点A关于抛物线的对称轴的对称点的坐标为(－1，7)．故选B.‎ ‎6．[解析] B　∵y＝2x2－4x＋8＝2(x－1)2＋6，∴抛物线的顶点D的坐标为(1，6)．‎ ‎∵AB＝4，∴点B的横坐标为x＝3.‎ 把x＝3代入y＝2x2－4x＋8，得到y＝14，‎ ‎∴CD＝14－6＝8，‎ ‎∴CE＝CD＋DE＝8＋3＝11.‎ ‎7．[答案] 4　‎ ‎[解析]　由抛物线的顶点横坐标公式得x＝－＝0，解得a＝4.‎ ‎8．[答案] y＝2(x＋3)2＋5‎ ‎[解析] ∵所求抛物线的顶点坐标为(－3，5)，‎ ‎∴可设此抛物线的函数表达式为y＝a(x＋3)2＋5.‎ 又∵它的形状大小、开口方向与抛物线y＝2x2－1完全相同，‎ ‎∴a＝2.‎ ‎∴此抛物线的函数表达式为y＝2(x＋3)2＋5.‎ ‎9．[答案] 0‎ 11‎ ‎10．[答案] 3‎ ‎[解析] 由上表可知函数图象经过点(1，0)和点(3，0)，‎ ‎∴对称轴为直线x＝2，‎ ‎∴x＝0时的函数值等于x＝4时的函数值．‎ ‎∵当x＝4时，y＝3，‎ ‎∴当x＝0时，y＝3.‎ 故答案是3.‎ ‎11．解：∵抛物线y＝ax2＋2x＋a2－1经过点(0，0)，‎ ‎∴0＝a·02＋2×0＋a2－1，‎ ‎∴a＝±1.‎ 又∵抛物线的开口向下，‎ ‎∴a＝－1.‎ ‎12．解：(1)y＝x2＋4x＋5＝(x＋2)2＋1，‎ ‎∴抛物线y＝(x＋2)2＋1的顶点坐标为(－2，1)，对称轴为直线x＝－2.‎ ‎(2)将抛物线y＝x2＋4x＋5向右平移2个单位，再向下平移1个单位可得到抛物线y＝x2.‎ ‎13．解：(1)如图所示．‎ ‎(2)根据图象知，当x＜1或x＞3时，y＞0.‎ ‎14．解：∵－＝－＝15，＝＝1135.‎ 故经过15秒时，火箭到达它的最高点，最高点的高度是1135米．‎ 11‎ ‎15．解：(1)由题意得＝2或－2，‎ 即a2－a－2＝0，‎ 解得a1＝－1，a2＝2；或a2－a＋2＝0，方程无实数根，‎ 又由得a≥0，∴a＝2.‎ ‎(2)该抛物线向下平移4个单位后经过原点(答案不唯一)．‎ ‎16．[解析] (1)根据所给的抛物线的函数表达式，易求其图象顶点的横坐标为1，再把x＝1代入y＝－x＋3，可求y＝2，于是可得顶点A的坐标是(1，2)，再把(1，2)代入y＝x2－2x＋a，易求a＝3.‎ ‎(2)根据三角形的面积公式进行计算即可．‎ 解：(1)∵y＝x2－2x＋a，‎ ‎∴此函数图象的顶点的横坐标为1.‎ 把x＝1代入y＝－x＋3，‎ 可得y＝－1＋3＝2，‎ ‎∴二次函数图象顶点A的坐标是(1，2)．‎ 把(1，2)代入y＝x2－2x＋a，可得2＝1－2＋a，‎ 解得a＝3.‎ 当y＝0时，0＝－x＋3，解得x＝3，‎ ‎∴点B的坐标是(3，0)．‎ ‎(2)过点A作AE⊥OB于点E，‎ 则AE＝2，S△AOB＝OB·AE＝×3×2＝3.‎ ‎17．解：(1)把A(－2，－4)，O(0，0)，B(2，0)分别代入y＝ax2＋bx＋c中，得 解这个方程组，得 ‎∴函数表达式为y＝－x2＋x.‎ 11‎ ‎(2)由y＝－x2＋x＝－(x－1)2＋，可得 抛物线的对称轴为直线x＝1.‎ ‎∵O(0，0)，B(2，0)，‎ ‎∴抛物线的对称轴垂直平分OB，‎ ‎∴AM＋OM＝AM＋BM.‎ 如图，连结AB交直线x＝1于点M，则此时AM＋OM的值最小．‎ 过点A作AN⊥x轴于点N.‎ 在Rt△ABN中，AB＝＝＝4 ，‎ 因此AM＋OM的最小值为4 .‎ ‎18解：(1)将(－2，4)，(－4，4)分别代入y1＝ax2＋bx，得解得 ‎∴y1＝－x2－3x.‎ ‎(2)将y1配方，得y1＝－(x＋3)2＋，‎ ‎∴抛物线y1的顶点坐标是.此顶点沿x轴翻折，再向右平移2个单位后的点是.‎ ‎∵翻折、平移后抛物线的开口方向改变，但开口大小不变，∴翻折、平移后抛物线的函数表达式的二次项系数是，‎ ‎∴y2＝(x＋1)2－，‎ 即y2＝x2＋x－4.‎ 令y2＝m，得x2＋x－4＝m，‎ 11‎ 即x2＋2x－2(4＋m)＝0.‎ 设此方程的两根为x1，x2，则x1＋x2＝－2，‎ x1x2＝－2(4＋m)．‎ ‎∵x1，x2分别是点M，N的横坐标，‎ ‎∴MN＝|x1－x2|＝＝＝2.‎ 11‎