2014年内蒙古自治区呼和浩特市中考数学试题（含答案）

2014年内蒙古自治区呼和浩特市中考数学试题（含答案）

姓名 准考证号 ‎ ‎2014年 呼 和 浩 特 市 中 考 试 卷 数 学 注意事项：‎ ‎1．考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在试卷和答题纸的规定位置。‎ ‎2．考生要将答案写在答题纸上，在试卷上答题一律无效。考试结束后，本试卷和答题纸一并交回。‎ ‎3．本试卷满分120分。考试时间120分钟。‎ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．下列实数是无理数的是 A．–1 B．0‎ C．π D． ‎2．以下问题，不适合用全面调查的是 ‎ A．旅客上飞机前的安检 B．学校招聘教师，对应聘人员的面试 ‎ C．了解全校学生的课外读书时间 D．了解一批灯泡的使用寿命 ‎3．已知线段CD是由线段AB平移得到的，点A（–1，4）的对应点为C（4，7），则点B（–4，–1）的对应点D的坐标为 ‎ A．（1，2） B．（2，9）‎ ‎ C．（5，3） D．（–9，–4）‎ ‎4．右图是某几何体的三视图，根据图中数据，求得该几何体的体积为 ‎ A．60π B．70π ‎ C．90π D．160π ‎5．某商品先按批发价a元提高10%零售，后又按零售价降低10%出售，则最后的单价是 A．a元 B．0.99a元 C．1.21a元 D．0.81a元 ‎6．已知⊙O的面积为2π，则其内接正三角形的面积为 ‎ A． B． C． D． ‎7．实数a，b，c在数轴上对应的点如下图所示，则下列式子中正确的是 a b 0 c x ‎ A．ac > bc B．|a–b| = a–b ‎ C．–a <–b < c D．–a–c >–b–c ‎8．下列运算正确的是 ‎ A． B．=a3‎ ‎ C． D．(–a)9÷a3 =(–a)6‎ ‎9．已知矩形ABCD的周长为20cm，两条对角线AC，BD相交于点O，过点O作AC的垂线EF，分别交两边AD，BC于E，F（不与顶点重合），则以下关于CDE与ABF判断完全正确的一项为 ‎ A．CDE与ABF的周长都等于10cm，但面积不一定相等 ‎ ‎ B．CDE与ABF全等，且周长都为10cm ‎ C．CDE与ABF全等，且周长都为5cm ‎ ‎ D．CDE与ABF全等，但它们的周长和面积都不能确定 ‎10．已知函数y = 的图象在第一象限的一支曲线上有一点A（a，c），点B（b，c＋1）在该函数图象的另外一支上，则关于一元二次方程ax2＋bx＋c = 0的两根x1，x2判断正确的是 ‎ A．x1 ＋ x2 >1，x1·x2 > 0 B．x1 ＋ x2 < 0，x1·x2 > 0‎ ‎ C．0 < x1 ＋ x2 < 1，x1·x2 > 0 D．x1 ＋ x2与x1·x2 的符号都不确定 二、填空题（本大题共6小题,每小题3分,共18分．本题要求把正确结果填在答题纸规定的横线上，不需要解答过程）‎ ‎11．一个底面直径是80cm，母线长为90cm的圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为 ‎ ‎________．‎ ‎12．某校五个绿化小组一天的植树的棵数如下：10，10，12，x，8． 已知这组数据的平均数是10，那么这组数据的方差是_________．‎ ‎13．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36，则该等腰三角形的底角的度数为___ __________．‎ ‎14．把多项式6xy2–9x2y–y3因式分解，最后结果为_________．‎ ‎15．已知m，n是方程x2＋2x–5 = 0的两个实数根，则m2–mn＋3m＋n=_________．‎ ‎16．以下四个命题：‎ ‎①每一条对角线都平分一组对角的平行四边形是菱形．‎ ‎②当m > 0时， y =–mx＋1与y = 两个函数都是y随着x的增大而减小．‎ ‎③已知正方形的对称中心在坐标原点，顶点A，B，C，D按逆时针依次排列，若A点坐标为（1，则D点坐标为（1， ‎④在一个不透明的袋子中装有标号为1，2，3，4的四个完全相同的小球，从袋中随机摸取一个然后放回，再从袋中随机地摸取一个，则两次取到的小球标号的和等于4的概率为 ．‎ 其中正确的命题有_________（只需填正确命题的序号）‎ 三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（10分）计算 ‎（1）（5分）计算： 2cos 30°＋(–2)–1 ＋ ‎ ‎（2）（5分）解方程： –= 0‎ ‎18．（6分）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？（结果用非特殊角的三角函数及根式表示即可）‎ ‎19．（5分）已知实数a是不等于3的常数，解不等式组 ‎ ，并依据a的取值情况写出其解集．‎ ‎20．（9分）学校为了了解初三年级学生体育跳绳的训练情况，从初三年级各班随机抽取了50名学生进行了60秒跳绳的测试，并将这50名学生的测试成绩（即60秒跳绳的个数）从低到高分成六段记为第一到六组，最后整理成下面的频数分布直方图：请根据直方图中样本数据提供的信息解答下列问题．‎ ‎（1）跳绳次数的中位数落在哪一组？由样本数据的中位数你能推断出学校初三年级学生关于60秒跳绳成绩的一个什么结论？‎ ‎（2）若用各组数据的组中值（各小组的两个端点的数的平均数）代表各组的实际数据，求这50名学生的60秒跳绳的平均成绩（结果保留整数）；‎ ‎（3）若从成绩落在第一和第六组的学生中随机抽取2名学生，用列举法求抽取的2名学生恰好在同一组的概率．‎ ‎21．（7分）如图，四边形ABCD是矩形，把矩形沿AC折叠，点B落在点E处，AE与DC的交点为O, 连接DE．‎ ‎（1）求证：∆ADE≌∆CED;‎ ‎（2）求证： DE∥AC．‎ ‎22．（7分）为鼓励居民节约用电，我市自2012年以来对家庭用电收费实行阶梯电价，即每月对每户居民的用电量分为三个档级收费，第一档为用电量在180千瓦时（含180千瓦时）以内的部分，执行基本价格；第二档为用电量在180千瓦时到450千瓦时（含450千瓦时）的部分，实行提高电价；第三档为用电量超出450千瓦时的部分，执行市场调节价格． 我市一位同学家今年2月份用电330千瓦时，电费为213元，3月份用电240千瓦时，电费为150元．已知我市的一位居民今年4、5月份的家庭用电量分别为160和 410千瓦时，请你依据该同学家的缴费情况，计算这位居民4、5月份的电费分别为多少元? ‎ ‎23．（8分）如图，已知反比例函数y = （x > 0，k是常数）的图象经过点A（1,4），点B（m , n），其中m＞1， AM⊥x轴，垂足为M，BN⊥y轴，垂足为N，AM与BN的交点为C．‎ ‎（1）写出反比例函数解析式；‎ ‎（2）求证：∆ACB∽∆NOM；‎ ‎（3）若∆ACB与∆NOM的相似比为2，求出B点的坐标及AB所在直线的解析式．‎ ‎24．（8分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C作⊙O的切线CM．‎ ‎（1）求证：∠ACM=∠ABC；‎ ‎（2）延长BC到D，使BC = CD，连接AD与CM交于点E，若⊙O的半径为3，ED = 2, 求∆ACE的外接圆的半径．‎ ‎25．（12分）如图，已知直线l的解析式为y = x–1，抛物线y = ax2＋bx＋2经过点A（m，0），B（2，0），D 三点．‎ ‎（1）求抛物线的解析式及A点的坐标，并在图示坐标系中画出抛物线的大致图象；‎ ‎（2）已知点 P（x，y）为抛物线在第二象限部分上的一个动点，过点P作PE垂直x轴于点E, 延长PE与直线l交于点F，请你将四边形PAFB的面积S表示为点P的横坐标x的函数， 并求出S的最大值及S最大时点P的坐标；‎ ‎（3）将（2）中S最大时的点P与点B相连，求证：直线l上的任意一点关于x轴的对称点一定在PB所在直线上．‎ ‎2014年 呼 和 浩 特 市 中 考 试 卷 数学参考答案及评分标准 一、选择题 ‎1．C 2．D 3．A 4．B 5．B ‎ ‎6．C 7．D 8．C 9．B 10．C 二、填空题 ‎11．160° 12．1.6 13．63°或27° ‎ ‎14．–y(3x–y)2 15．8 16．①‎ 三、计算题 ‎17．（1）解：原式=2 × ＋ ＋ 3分 ‎= –(＋2) ＋ 4分 ‎= – 5分 ‎（2）解：去分母得 ‎ 3x2–6x–x2–2x = 0 1分 ‎ 2x2 –8x = 0 2分 ‎ ∴ x = 0或x = 4 3分 经检验：x = 0是增根 ‎ ∴ x = 4是原方程的解 5分 ‎18．解：过点P作PD⊥AB于D 1分 由题意知∠DPB = 45°‎ 在RtΔPBD中，sin 45° = ‎∴ PB=PD 2分 ‎∵ 点A在P的北偏东65°方向上 ‎∴ ∠APD = 25°‎ 在RtΔPAD中 cos 25° = ‎∴ PD = PA cos 25° = 80 cos 25° 5分 ‎∴ PB = 80cos 25° 6分 ‎19．解： 解①得：x≤3 1分 解②得：x < a 2分 ‎∵ a是不等于3的常数 ‎∴ 当a > 3时，不等式组的解集为x≤3 4分 ‎ 当a < 3时，不等式组的解集为x < a 5分 ‎20．解：（1）中位数落在第四组 1分 由此可以估计初三学生60秒跳绳在120个以上的人数达到一半以上 3分 ‎（2）= ≈121 6分 ‎（3）记第一组的两名学生为A、B，第六组的三名学生为1、2、3 7分 ‎ 则从这5名学生中抽取两名学生有以下10种情况：‎ ‎ AB，A1，A2，A3，B1，B2，B3，12，13，23‎ ‎∴ P = = 9分 ‎21．证明：（1）∵ 四边形ABCD是矩形 ‎∴ AD=BC AB=CD 又∵ AC是折痕 ‎∴ BC = CE = AD 1分 ‎ AB = AE = CD 2分 又DE = ED ‎∴ ΔADE ≌ΔCED 3分 ‎（2）∵ ΔADE ≌ΔCED ‎∴ ∠EDC =∠DEA 又ΔACE与ΔACB关于AC所在直线对称 ‎∴ ∠OAC =∠CAB 而∠OCA =∠CAB ‎∴ ∠OAC =∠OCA 5分 ‎∴ 2∠OAC = 2∠DEA 6分 ‎∴ ∠OAC =∠DEA ‎∴ DE∥AC 7分 ‎22．解：设基本电价为x元/千瓦时，提高电价为y元/千瓦时 1分 由题意得：‎ 3分 解之得： 4分 ‎∴ 4月份的电费为：160×0.6=96元 ‎ 5月份的电费为：180×0.6＋230×0.7 = 108＋161 = 269元 答：这位居民4、5月份的电费分别为96元和269元． 7分 ‎23．解：（1）∵ y = 过（1，4）点 ‎∴ k = 4，反比例函数解析式为y = 1分 ‎（2）∵ B（m，n） A（1，4）‎ ‎∴ AC = 4–n，BC = m–1，ON = n，OM = 1 2分 ‎∴ = = –1‎ 而B（m，n）在y = 上 ‎∴ = m ‎∴ = m–1‎ 而 = ‎∴ = 4分 又∵ ∠ACB =∠NOM = 90°‎ ‎∴ ΔACB∽ΔNOM 5分 ‎（3）∵ ΔACB与ΔNOM的相似比为2‎ ‎∴ m–1 = 2‎ ‎∴ m = 3‎ ‎∴ B点坐标为（3，） 6分 设AB所在直线的解析式为y = kx＋b ‎∴ ‎∴ k = – b = ‎∴ 解析式为y = –x＋ 8分 ‎24．证明：（1）连接OC 1分 ‎∵ AB为⊙O的直径 ‎∴ ∠ACB = 90°‎ ‎∴ ∠ABC ＋∠BAC = 90°‎ 又∵ CM是⊙O的切线 ‎∴ OC⊥CM ‎∴ ∠ACM ＋∠ACO = 90° 2分 ‎∵ CO = AO ‎∴ ∠BAC =∠ACO ‎∴ ∠ACM =∠ABC 3分 ‎（2）∵ BC = CD ‎∴ OC∥AD 又∵ OC⊥CE ‎∴ AD⊥CE ‎∴ ΔAEC是直角三角形 ‎∴ ΔAEC的外接圆的直径为AC 4分 又∵ ∠ABC ＋∠BAC = 90°‎ ‎∠ACM ＋∠ECD = 90°‎ 而∠ABC =∠ACM ‎∴ ∠BAC =∠ECD 又∠CED =∠ACB = 90°‎ ‎∴ ΔABC∽ΔCDE ‎∴ = 而⊙O的半径为3‎ ‎∴ AB = 6‎ ‎∴ = ‎∴ BC2 = 12‎ ‎∴ BC = 2 6分 在RtΔABC中 ‎∴ AC = = 2 7分 ‎∴ ΔAEC的外接圆的半径为 8分 ‎25．解：（1）∵ y = ax2＋bx＋2经过点B、D ‎ ∴ 解之得：a =–，b =– ‎∴ y =–x2 – x＋2 2分 ‎∵ A（m，0）在抛物线上 ‎∴ 0 =– m2 – m＋2‎ 解得：m =–4‎ ‎∴ A（–4，0） 3分 图像（略） 4分 ‎（2）由题设知直线l的解析式为y = x–1‎ ‎∴ S = AB·PF ‎ = ×6·PF ‎ = 3（– x2 – x＋2＋1– x） 5分 ‎ = – x2 –3x＋9‎ ‎ = –（x＋2）2 ＋12 6分 其中–4 < x < 0 7分 ‎∴ S最大= 12，此时点P的坐标为（–2，2） 9分 ‎（3）∵ 直线PB过点P（–2，2）和点B（2，0）‎ ‎∴ PB所在直线的解析式为y =– x＋1 10分 设Q（a， a–1）是y = x–1上的任一点 则Q点关于x轴的对称点为（a，1– a）‎ 将（a，1– a）代入y =– x＋1显然成立 11分 ‎∴ 直线l上任意一点关于x轴的对称点一定在PB所在的直线上 12分 注：本卷中各题如有不同解法，可依据情况酌情给分。‎