中考数学第一轮复习导学案圆的有关概念与性质

中考数学第一轮复习导学案圆的有关概念与性质

- 1 - 圆的有关概念与性质 ◆课前热身 1.如图，AB 是⊙O 的弦，OD⊥AB 于 D 交⊙O 于 E，则下列说法错误．．的是（ ） A．AD＝BD B．∠ACB＝∠AOE C． AE BE D．OD＝DE 2.如图，⊙O 的直径 AB 垂直弦 CD 于点 P，且 P 是半径 OB 的中点，CD＝6cm，则直径 AB 的 长是（ ） A． 2 3cm B．3 2cm C． 4 2cm D． 4 3cm 3．如图，⊙O 的弦 AB＝6，M 是 AB 上任意一点，且 OM 最小值为 4，则⊙O 的半径为（ ） A．5 B．4 C．3 D．2 4．如图，⊙O 的半径为 5，弦 AB＝8，M 是弦 AB 上的动点，则 OM 不可能为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 E，∠CDB＝30°,⊙O 的半径为 cm3 ，则弦 CD 的长为（ ） - 2 - A． 3 cm2 B．3cm C． 2 3cm D．9cm 【参考答案】 1. D 2. D 3. A 4. A 5. B ◆考点聚焦 1．圆的有关概念，包括圆心、半径、弦、弧等概念，这是本节的重点之一． 2．掌握并灵活运用垂径定理及推论，圆心角、弧、弦、弦心距间的关系定理以及圆周 角定理及推论，这也是本书的重点，其中在运用相关定理时正确区分各定理的题设和结论是 本节难点． 3．理解并掌握圆内接四边形的相关知识，而圆和三角形、•四边形等结合的题型也是中 考热点． ◆备考兵法 “垂径定理”联系着圆的半径（直径）、弦长、圆心和弦心距，通常结合“勾股定理” 来寻找三者之间的等量关系，同时其中还蕴含着弓形高（半径与弦心距的差或和）与这三者 之间的关系．所以，在求解圆中相关线段的长度时，常引的辅助线方法是过圆心作弦的垂线 段，连结半径构造直角三角形，把垂径定理和勾股定理结合起来，有直径时，常常添加辅助 线构造直径上的圆周角，由此转化为直角三角形的问题． 常考题型：圆心角、圆周角定理及推论常以选择题或填空题出现；垂径定理和勾股定理 结合起来常以计算题出现. ◆考点链接 1. 圆上各点到圆心的距离都等于 . 2. 圆是 对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的 ；圆又 是 对称图形， 是它的对称中心. - 3 - 3. 垂直于弦的直径平分 ，并且平分 ；平分弦（不是直径）的 垂直于弦，并且平分 . 4. 在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，两个圆周角中有一 组量 ，那么它们所对应的其余各组量都分别 . 5. 同弧或等弧所对的圆周角 ，都等于它所对的圆心角的 . 6. 直径所对的圆周角是 ，90°所对的弦是 . ◆典例精析 例 1（山西太原）如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝10，若以点 C 为圆心， CB 长为半径的圆恰好经过 AB 的中点 D，则 AC 的长等于（ ） A．53 B．5 C．52 D．6 【答案】A 【解析】本题考查圆中的有关性质，连接 CD，∵∠C＝90°，D 是 AB 中点，AB＝10，∴CD ＝ 1 2 AB＝5，∴BC＝5，根据勾股定理得 AC＝53，故选 A． 例 2（黑龙江哈尔滨）如图，⊙O 的直径 CD＝10，弦 AB＝8，AB⊥CD，垂足为 M，则 DM 的长 为 ． 【答案】8 【解析】主要利用垂径定理求解.连接 OA，根据垂径定理可知 AM＝4，又 OA＝5，则根据勾 股定理可得：OM＝3。又 OD＝5，则 DM＝8. 例 3（贵州贵阳）如图，已知 AB 是⊙O 的直径，点 C 在⊙O 上， 且 AB=13，BC=5． （1）求 sin∠BAC 的值； B C D A - 4 - （2）如果 OD⊥AC，垂足为点 D，求 AD 的长； （3）求图中阴影部分的面积．（精确到 0．1） 【答案】解：（1）∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB=90°． ∴sin∠BAC= 5 13 BC AB  ． （2）在 Rt△ABC 中，AC= 2 2 2 213 5AB BC   =12． 又∵OD⊥AC 于点 D， ∴AD= 1 2 AC=6． （3）∵S 半圆=  ×（ 2 AB ）2= ×169 4 =169 8 ． S△ABC= AC×BC= ×12×5=30， ∴S 阴影=S 半圆－S△ABC =169 8 －30≈36.3 点评 “直径所对的圆周角为 90°”以及“垂径定理”可以将圆的有关知识和三角形 有关知识结合起来．因此对这部分知识应加以重视． ◆迎考精练 一、选择题 1.（湖北孝感）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，已知∠B＝60°，则∠CAO 的度数是( ) A．15° B．30° C．45° D．60° 2.（山东泰安）如图，⊙O 的半径为 1，AB 是⊙O 的一条弦，且 AB＝ 3 ，则弦 AB 所对圆 周角的度数为（ ） A.30° B.60° C.30°或 150° D.60°或 120° 3.（浙江嘉兴）如图，⊙P 内含于⊙O，⊙O 的弦 AB 切⊙P 于点 C，且 AB∥OP． - 5 - 若阴影部分的面积为 9 ，则弦 AB 的长为（ ） A．3 B．4 C．6 D．9 4.（天津市）如图，△ABC 内接于⊙O，若∠OAB＝28°，则∠C 的大小为（ ） A．28° B．56° C．60° D．62° 5.（安徽）如图，弦 CD 垂直于⊙O 的直径 AB，垂足为 H，且 CD＝ 22，BD＝ 3 ，则 AB 的 长为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 6.(浙江温州)如图，∠AOB 是⊙0 的圆心角，∠AOB＝80°，则弧 AB 所对圆周角∠ACB 的度 数是( ) A．40° B．45° C．50° D．80° 7.（四川遂宁）如图，已知⊙O 的两条弦 AC，BD 相交于点 E，∠A＝70o，∠C＝50o， 那么 sin∠AEB 的值为( ) A. 2 1 B. 3 3 C. 2 2 D. 2 3 - 6 - 8.（甘肃兰州）如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为 24 米， 拱的半径为 13 米，则拱高为( ) A．5 米 B．8 米 C．7 米 D．5 3 米 9.（湖北十堰）如图，△ABC 内接于⊙O，连结 OA、OB，若 ∠ABO＝25°，则∠C 的度数为（ ） A．55° B．60° C．65° D．70° 10.（山东青岛）一根水平放置的圆柱形输水管道横截面如图所示，其中有水部分水面宽 0.8 米，最深处水深 0.2 米，则此输水管道的直径是（ ）． A．0.4 米 B．0.5 米 C．0.8 米 D．1 米 11.（山西太原）如图，AB 是半圆 O 的直径，点 P 从点 O 出发，沿OA AB BO的路径运 动一周．设OP 为 s ，运动时间为t ，则下列图形能大致地刻画 与 之间关系的是（ ） 二、填空题 1.（河南）如图，AB 为半圆 O 的直径，延长 AB 到点 P，使 BP＝ 1 2 AB，PC 切半圆 O 于点 C， P A O B s t O s O t O s t O s t A． B． C． D． - 7 - 点 D 是 AC 上和点 C 不重合的一点，则 D 的度数为 . 2.(广东梅州)如图，在⊙O 中，∠ACB＝20°，则∠AOB＝______度. 3.（山西省）如图所示，A、B、C、D 是圆上的点， 1 70 40A   °， °，则 C 度． 4.(湖北鄂州)在⊙O 中，已知⊙O 的直径 AB 为 2，弦 AC 长为 3 ，弦 AD 长为 2 ．则 DC2 ＝______ 5.（福建福州）如图，AB 是⊙O 的直径，点 C 在⊙O 上 ，OD∥AC，若 BD＝1，则 BC 的长为 6.（广东中山）已知 O⊙ 的直径 8cmAB C ， 为 O⊙ 上的一点， 30BAC°，则 BC ＝ _ cm ． 7.(山东济南)如图， O 的半径 5cmOA  ，弦 8cmAB  ，点 P 为弦 AB 上一动点，则点 P 到圆心O 的最短距离是 cm． A B C D 1 - 8 - 8.（北京市）如图，AB 为⊙O 的直径，弦 CD⊥AB，E 为 BC 上一点，若∠CEA＝ 28 ，则∠ ABD＝ °. D A B C E 9.(福建宁德)如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，若∠ACO＝32°，则∠COB 的度数等 于 ． 三、解答题 1.（广西柳州）如图，AB 是⊙O 的直径，C 是弧 BD 的中点，CE⊥AB，垂足为 E，BD 交 CE 于 点 F． （1）求证：CF＝BF； （2）若 AD＝2，⊙O 的半径为3，求 BC 的长． - 9 - 2.（广西钦州）已知：如图，⊙O1 与坐标轴交于 A（1，0）、 B（5，0）两点，点 O1 的纵坐标 为 5 ．求⊙O1 的半径． A D C B E F 图 1 B A O 图 2 x y A BO 1O 3.（湖北宜昌）已知：如图，⊙O 的直径 AD＝2， BC CD DE，∠BAE＝90°． (1)求△CAD 的面积； (2)如果在这个圆形区域中，随机确定一个点 P，那么点 P 落在四边形 ABCD 区域的概率是多 少？ 4.(湖北黄冈)如图，已知 AB 是⊙O 的直径，点 C 是⊙O 上一点，连结 BC，AC，过点 C 作直 线 CD⊥AB 于点 D，点 E 是 AB 上一点，直线 CE 交⊙O 于点 F，连结 BF，与直线 CD 交于点 G．求 证： BFBGBC 2 . - 10 - 【参考答案】 选择题 1. B 2. D 3. C 4. D 5. B 6. A 7. D 8. B 9. C 10. D 11. C 【解析】本题考查圆的有关性质、函数图象等知识，点 P 从点 O 向点 A 运动，OP 逐渐增大， 当点 P 从点 A 向点 B 运动，OP 不变，当点 P 从点 B 向点 O 运动，OP 逐渐减小，故能大致地 刻画 s 与t 之间关系的是 C． 填空题 1. 30° 2. 40 3. 30 4. 3232  或 5. 2 6. 4 7. 3 8. 28 - 11 - 9. 64º 解答题 1. 证明：（1） 连结 AC，如图。 ∵C 是弧 BD 的中点 ∴∠BDC＝∠DBC 又∠BDC＝∠BAC 在三角形 ABC 中，∠ACB＝90°，CE⊥AB ∴ ∠BCE＝∠BAC ∠BCE＝∠DBC ∴ CF＝BF 因此，CF＝BF． （2）证法一：作 CG⊥AD 于点 G， ∵C 是弧 BD 的中点 ∴ ∠CAG＝∠BAC ， 即 AC 是∠BAD 的角平分线． ∴ CE＝CG，AE＝AG 在 Rt△BCE 与 Rt△DCG 中，CE＝CG ， CB＝CD ∴Rt△BCE≌Rt△DCG ∴BE＝DG ∴AE＝AB-BE＝AG＝AD+DG 即 6-BE＝2+DG ∴2BE＝4，即 BE＝2 - 12 - 又 △BCE∽△BAC ∴ 2 12BC BE AB· 32BC （舍去负值） ∴ 32BC （2）证法二：∵AB 是⊙O 的直径，CE⊥AB ∴∠BEF＝  90ADB ， 在 Rt ADB△ 与 Rt FEB△ 中， ∵ FBEABD  ∴ ADB△ ∽ FEB△ ，则 BF AB EF AD  即 BFEF 62  ， ∴ EFBF 3 又∵ CFBF  ， ∴ EFCF 3 利用勾股定理得： EFEFBFBE 2222  又∵△EBC∽△ECA 则 CE BE AE CE  ，即则 BEAECE 2 ∴ BEBEEFCF  )6()( 2 即 EFEFEFEF 22)226()3( 2  ∴ 2 2EF ∴ 3222  CEBEBC . 2.解：过点 O1 作 O1C⊥AB，垂足为 C， 则有 AC＝BC． A D C B E F 图 1 B A O 图 2 x y A BO 1O C 由 A（1，0）、 B（5，0），得 AB＝4，∴AC＝2． - 13 - 在 1Rt AO C△ 中，∵O1 的纵坐标为 5 ， ∴O1C＝ ． ∴⊙O1 的半径 O1A＝ 2 2 2 2 1 ( 5) 2O C AC   ＝3． 3. 解：（1）∵AD 为⊙O 的直径， ∴∠ACD＝∠BAE＝90°． ∵ BC CD DE，∴ ∠BAC＝∠CAD＝∠DAE ． ∴∠BAC＝∠CAD＝∠DAE ＝30°． ∵在 Rt△ACD 中，AD＝2，CD＝2sin30°＝1， AC＝2cos30°＝ 3 ． ∴S△ACD＝ 1 2 AC×CD ＝ 3 2 ． (2) 连 BD，∵∠ABD＝90°， ∠BAD＝ ＝60°， ∴∠BDA＝∠BCA＝ 30°，∴BA＝BC. 作 BF⊥AC，垂足为 F，（ 5 分） ∴AF＝ 1 2 AC＝ 3 2 ，∴BF＝AFtan30°＝ ， ∴S△ABC＝ AC×BF ＝ 3 4 ， ∴SABCD＝ 33 4 ． ∵S⊙O＝π ，∴P 点落在四边形 ABCD 区域的概率＝ 33 4  ＝ 33 4 ． （2）解法 2：作 CM⊥AD，垂足为 M． ∵∠BCA＝∠CAD（证明过程见解法）， ∴BC∥AD． ∴四边形 ABCD 为等腰梯形． - 14 - ∵CM＝ACsin30°＝ 3 2 ，∴SABCD＝ 1 2 (BC+AD)CM＝ 33 4 ． ∵S⊙O＝π ， ∴P 点落在四边形 ABCD 区域的概率＝ 33 4  ＝ 33 4 ． 4. 证明：∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB＝90° 又∵CD⊥AB 于点 D， ∴∠BCD＝90°－∠ABC＝∠A＝∠F ∵∠BCD＝ ＝∠F，∠FBC＝∠CBG ∴△FBC∽△CBG ∴ CB FB BG BC  ∴ BFBGBC 2