中考数学第一轮复习导学案圆的有关概念与性质

中考数学第一轮复习导学案圆的有关概念与性质

圆的有关概念与性质 ‎◆课前热身 ‎1.如图，AB是⊙O的弦，OD⊥AB于D交⊙O于E，则下列说法错误的是（ ） ‎ A．AD＝BD B．∠ACB＝∠AOE C． D．OD＝DE ‎2.如图，⊙O的直径AB垂直弦CD于点P，且P是半径OB的中点，CD＝‎6cm，则直径AB的 长是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．如图，⊙O的弦AB＝6，M是AB上任意一点，且OM最小值为4，则⊙O的半径为（　　）‎ ‎ ‎ A．5 B．‎4 ‎‎ ‎ C．3 D．2‎ ‎4．如图，⊙O的半径为5，弦AB＝8，M是弦AB上的动点，则OM不可能为（　　）‎ A．2 B．‎3 ‎‎ ‎ C．4 D．5‎ ‎5．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠CDB＝30°,⊙O的半径为，则弦CD的长为（ ）‎ ‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【参考答案】‎ 1. D 2. D 3. A 4. A 5. B ‎◆考点聚焦 ‎1．圆的有关概念，包括圆心、半径、弦、弧等概念，这是本节的重点之一．‎ ‎ 2．掌握并灵活运用垂径定理及推论，圆心角、弧、弦、弦心距间的关系定理以及圆周角定理及推论，这也是本书的重点，其中在运用相关定理时正确区分各定理的题设和结论是本节难点．‎ ‎ 3．理解并掌握圆内接四边形的相关知识，而圆和三角形、四边形等结合的题型也是中考热点．‎ ‎◆备考兵法 ‎“垂径定理”联系着圆的半径（直径）、弦长、圆心和弦心距，通常结合“勾股定理”来寻找三者之间的等量关系，同时其中还蕴含着弓形高（半径与弦心距的差或和）与这三者之间的关系．所以，在求解圆中相关线段的长度时，常引的辅助线方法是过圆心作弦的垂线段，连结半径构造直角三角形，把垂径定理和勾股定理结合起来，有直径时，常常添加辅助线构造直径上的圆周角，由此转化为直角三角形的问题．‎ 常考题型：圆心角、圆周角定理及推论常以选择题或填空题出现；垂径定理和勾股定理结合起来常以计算题出现.‎ ‎◆考点链接 ‎1. 圆上各点到圆心的距离都等于 .‎ ‎2. 圆是 对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的 ；圆又 是 对称图形， 是它的对称中心.‎ ‎3. 垂直于弦的直径平分 ，并且平分 ；平分弦（不是直径）的 垂直于弦，并且平分 .‎ ‎4. 在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，两个圆周角中有一组量 ，那么它们所对应的其余各组量都分别 .‎ ‎5. 同弧或等弧所对的圆周角 ，都等于它所对的圆心角的 .‎ ‎6. 直径所对的圆周角是 ，90°所对的弦是 .‎ ‎◆典例精析 例1（山西太原）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，若以点C为圆心，‎ CB长为半径的圆恰好经过AB的中点D，则AC的长等于（ ） ‎ A． B．‎5 ‎‎ C． D．6‎ B C D A ‎【答案】A ‎【解析】本题考查圆中的有关性质，连接CD，∵∠C＝90°，D是AB中点，AB＝10，∴CD＝AB＝5，∴BC＝5，根据勾股定理得AC＝，故选A．‎ 例2（黑龙江哈尔滨）如图，⊙O的直径CD＝10，弦AB＝8，AB⊥CD，垂足为M，则DM的长为 ．‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】主要利用垂径定理求解.连接OA，根据垂径定理可知AM＝4，又OA＝5，则根据勾股定理可得：OM＝3。又OD＝5，则DM＝8.‎ 例3（贵州贵阳）如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，‎ 且AB=13，BC=5．‎ ‎ （1）求sin∠BAC的值；‎ ‎ （2）如果OD⊥AC，垂足为点D，求AD的长；‎ ‎（3）求图中阴影部分的面积．（精确到0．1）‎ ‎ 【答案】解：（1）∵AB是⊙O的直径，‎ ‎ ∴∠ACB=90°．‎ ‎ ∴sin∠BAC= ．‎ ‎ （2）在Rt△ABC中，AC= =12．‎ ‎ 又∵OD⊥AC于点D，‎ ‎ ∴AD=AC=6．‎ ‎ （3）∵S半圆=×（）2=×=．‎ ‎ S△ABC=AC×BC=×12×5=30，‎ ‎ ∴S阴影=S半圆－S△ABC =－30≈36.3‎ ‎ 点评 “直径所对的圆周角为90°”以及“垂径定理”可以将圆的有关知识和三角形有关知识结合起来．因此对这部分知识应加以重视．‎ ‎◆迎考精练 一、选择题 ‎1.（湖北孝感）如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠B＝60°，则∠CAO的度数是( )‎ A．15° B．30° C．45° D．60° ‎ ‎2.（山东泰安）如图，⊙O的半径为1，AB是⊙O 的一条弦，且AB＝，则弦AB所对圆周角的度数为（ ）‎ A.30° B.60° C.30°或150° D.60°或120°‎ ‎3.（浙江嘉兴）如图，⊙P内含于⊙O，⊙O的弦AB切⊙P于点C，且AB∥OP．‎ 若阴影部分的面积为，则弦AB的长为（　　）‎ A．3 B．‎4　‎‎　‎　　　 C．6 D．9‎ ‎4.（天津市）如图，△ABC内接于⊙O，若∠OAB＝28°，则∠C的大小为（ ）‎ A．28°　　　 B．56°　　 C．60°　　　 D．62°‎ ‎5.（安徽）如图，弦CD垂直于⊙O的直径AB，垂足为H，且CD＝，BD＝，则AB的长为（ ） ‎ A．2 B．‎3 ‎‎ C．4 D．5‎ ‎6.(浙江温州)如图，∠AOB是⊙0的圆心角，∠AOB＝80°，则弧AB所对圆周角∠ACB的度数是( )‎ A．40° B．45° C．50° D．80° ‎ ‎7.（四川遂宁）如图，已知⊙O的两条弦AC，BD相交于点E，∠A＝70o，∠C＝50o， ‎ 那么sin∠AEB的值为( )‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎8.（甘肃兰州）如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为‎24米，‎ 拱的半径为‎13米，则拱高为( )‎ A．‎5米 B．‎8米 C．‎7米 D．‎5‎米 ‎ ‎9.（湖北十堰）如图，△ABC内接于⊙O，连结OA、OB，若∠ABO＝25°，则∠C的度数为（ ）‎ A．55° B．60° C．65° D．70°‎ ‎10.（山东青岛）一根水平放置的圆柱形输水管道横截面如图所示，其中有水部分水面宽‎0.8米，最深处水深‎0.2米，则此输水管道的直径是（ ）．‎ A．‎0.4米 B．‎0.5米 C．‎0.8米 D．‎‎1米 ‎11.（山西太原）如图，AB是半圆O的直径，点P从点O出发，沿的路径运动一周．设为，运动时间为，则下列图形能大致地刻画与之间关系的是（ ）‎ P A O B s t O s O t O s t O s t A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 二、填空题 ‎1.（河南）如图，AB为半圆O的直径，延长AB到点P，使BP＝AB，PC切半圆O于点C，点D是上和点C不重合的一点，则的度数为 .‎ ‎2.(广东梅州)如图，在⊙O中，∠ACB＝20°，则∠AOB＝______度. ‎ ‎ ‎ ‎3.（山西省）如图所示，A、B、C、D是圆上的点，则 度．‎ A B C D ‎1‎ ‎4.(湖北鄂州)在⊙O中，已知⊙O的直径AB为2，弦AC长为，弦AD长为．则DC2＝______ ‎ ‎5.（福建福州）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上 ，OD∥AC，若BD＝1，则BC的长为 ‎ ‎6.（广东中山）已知的直径为上的一点，，则＝ _ ．‎ ‎7.(山东济南)如图，的半径弦点为弦上一动点，则点到圆心的最短距离是 cm． ‎ ‎8.（北京市）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，E为上一点，若∠CEA＝，则∠ABD＝ °. ‎ ‎9.(福建宁德)如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，若∠ACO＝32°，则∠COB的度数等于 ．‎ 三、解答题 ‎1.（广西柳州）如图，AB是⊙O的直径，C是弧BD的中点，CE⊥AB，垂足为E，BD交CE于点F．‎ ‎（1）求证：CF＝BF；‎ ‎（2）若AD＝2，⊙O的半径为3，求BC的长． ‎ ‎2.（广西钦州）已知：如图，⊙O1与坐标轴交于A（1，0）、B（5，0）两点，点O1的纵坐标为．求⊙O1的半径．‎ ‎ ‎ ‎3.（湖北宜昌）已知：如图，⊙O的直径AD＝2，，∠BAE＝90°．‎ ‎(1)求△CAD的面积；‎ ‎(2)如果在这个圆形区域中，随机确定一个点P，那么点P落在四边形ABCD区域的概率是多少？ ‎ ‎ ‎ ‎4.(湖北黄冈)如图，已知AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连结BC，AC，过点C作直线CD⊥AB于点D，点E是AB上一点，直线CE交⊙O于点F，连结BF，与直线CD交于点G．求证：.‎ ‎【参考答案】‎ 选择题 1. B 2. D 3. C 4. D 5. B 6. A 7. D 8. B 9. C 10. D 11. C ‎【解析】本题考查圆的有关性质、函数图象等知识，点P从点O向点A运动，OP逐渐增大，当点P从点A向点B运动，OP不变，当点P从点B向点O运动，OP逐渐减小，故能大致地刻画与之间关系的是C．‎ 填空题 1. ‎30°‎ 2. ‎40‎ 3. ‎30 ‎ 4. ‎ ‎ 5. ‎2‎ 6. ‎4‎ 7. ‎3‎ 1. ‎28‎ 2. ‎64º 解答题 ‎1. 证明：（1） 连结AC，如图。‎ ‎ ‎ ‎∵C是弧BD的中点 ‎ ‎∴∠BDC＝∠DBC ‎ 又∠BDC＝∠BAC 在三角形ABC中，∠ACB＝90°，CE⊥AB ‎∴ ∠BCE＝∠BAC ‎ ‎∠BCE＝∠DBC ‎ ‎∴ CF＝BF ‎ 因此，CF＝BF． ‎ ‎（2）证法一：作CG⊥AD于点G，‎ ‎∵C是弧BD的中点 ‎ ‎∴ ∠CAG＝∠BAC ， 即AC是∠BAD的角平分线．‎ ‎∴ CE＝CG，AE＝AG ‎ 在Rt△BCE与Rt△DCG中，CE＝CG ， CB＝CD ‎∴Rt△BCE≌Rt△DCG ‎∴BE＝DG ‎ ‎∴AE＝AB-BE＝AG＝AD+DG 即 6-BE＝2+DG ‎ ‎∴2BE＝4，即 BE＝2 ‎ 又 △BCE∽△BAC ‎∴ ‎ ‎（舍去负值）‎ ‎∴ ‎ ‎（2）证法二：∵AB是⊙O的直径，CE⊥AB ‎∴∠BEF＝，‎ 在与中，‎ ‎∵‎ ‎∴∽，则 ‎ 即， ∴ ‎ 又∵， ∴‎ 利用勾股定理得：‎ ‎ ‎ 又∵△EBC∽△ECA 则，即则 ‎ ‎∴‎ 即 ‎∴ ‎ ‎∴.‎ ‎ ‎ ‎2.解：过点O1作O‎1C⊥AB，垂足为C，‎ 则有AC＝BC．‎ 由A（1，0）、B（5，0），得AB＝4，∴AC＝2．‎ 在中，∵O1的纵坐标为，‎ ‎∴O‎1C＝．‎ ‎∴⊙O1的半径O‎1A＝＝3．‎ ‎3. 解：（1）∵AD为⊙O的直径，‎ ‎∴∠ACD＝∠BAE＝90°． ‎ ‎∵ ，∴ ∠BAC＝∠CAD＝∠DAE ．‎ ‎∴∠BAC＝∠CAD＝∠DAE ＝30°．‎ ‎∵在Rt△ACD中，AD＝2，CD＝2sin30°＝1， AC＝2cos30°＝ ．‎ ‎∴S△ACD＝AC×CD ＝． ‎ ‎(2) 连BD，∵∠ABD＝90°， ∠BAD＝ ＝60°，‎ ‎∴∠BDA＝∠BCA＝ 30°，∴BA＝BC.‎ 作BF⊥AC，垂足为F，（5分）‎ ‎∴AF＝AC＝ ，∴BF＝AFtan30°＝ ，‎ ‎∴S△ABC＝AC×BF ＝ ， ∴SABCD＝ ．‎ ‎∵S⊙O＝π ，∴P点落在四边形ABCD区域的概率＝＝．‎ ‎（2）解法2：作CM⊥AD，垂足为M． ‎ ‎∵∠BCA＝∠CAD（证明过程见解法），∴BC∥AD．‎ ‎∴四边形ABCD为等腰梯形．‎ ‎∵CM＝ACsin30°＝，∴SABCD＝(BC+AD)CM＝．‎ ‎∵S⊙O＝π， ∴P点落在四边形ABCD区域的概率＝＝．‎ ‎4. 证明：∵AB是⊙O的直径，‎ ‎∴∠ACB＝90°‎ 又∵CD⊥AB于点D，‎ ‎∴∠BCD＝90°－∠ABC＝∠A＝∠F ‎∵∠BCD＝ ＝∠F，∠FBC＝∠CBG ‎∴△FBC∽△CBG ‎∴‎ ‎∴‎