2020年中考三轮冲刺复习培优同步练习:《三角形》(解析版)

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2020年中考三轮冲刺复习培优同步练习:《三角形》(解析版)

三轮冲刺复习培优同步练习:《三角形》‎ ‎1.定义:如果一个三角形一边上的中线与这条边上的高线之比为,那么称这个三角形为“神奇三角形”.‎ ‎(1)已知:Rt△ABC中,∠ACB=90°.‎ ‎①当AC=BC时,求证:△ABC是“神奇三角形”;‎ ‎②当AC≠BC时,且△ABC是“神奇三角形”,求tanA的值;‎ ‎(2)如图,在△ABC中,AB=AC,CD是AB边上的中线,若∠DCB=45°,求证:△ABC是“神奇三角形”.‎ ‎2.如图,在等边三角形ABC中,BC=8,过BC边上一点P,作∠DPE=60°,分别与边AB,AC相交于点D与点E.‎ ‎(1)在图中找出与∠EPC始终相等的角,并说明理由;‎ ‎(2)若△PDE为正三角形时,求BD+CE的值;‎ ‎(3)当DE∥BC时,请用BP表示BD,并求出BD的最大值.‎ ‎3.在等腰直角△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,以CA为边在∠ACB的另一侧作∠ACM=∠ACB,点D为射线BC上任意一点,在射线CM上截取CE=BD,连接AD、DE、AE.‎ ‎(1)如图1,当点D落在线段BC的延长线上时,直接写出∠ADE的度数;‎ ‎(2)如图2,当点D落在线段BC(不含边界)上时,AC与DE交于点F,请问(1)中的结论是否仍成立?如果成立,请给出证明;如果不成立,请说明理由;‎ ‎(3)如图2,作AH⊥BC,垂足为H,作AG⊥EC,垂足为G,连接HG,判断△GHC的形状,并说明理由.‎ ‎4.(1)发现 如图1,△ABC和△ADE均为等边三角形,点D在BC边上,连接CE.‎ 填空:‎ ‎①∠DCE的度数是   ;‎ ‎②线段CA、CE、CD之间的数量关系是   .‎ ‎(2)探究 如图2,△ABC和△ADE均为等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE=90°,点D在BC边上,连接CE.请判断∠DCE的度数及线段CA、CE、CD之间的数量关系,并说明理由.‎ ‎(3)应用 如图3,在Rt△ABC中,∠A=90°,AC=4,AB=6.若点D满足DB=DC,且∠BDC=90°,请直接写出DA的长.‎ ‎5.如图1,在平面直角坐标系中,已知点A(a,0),B(b,0),C(2,7),连接AC,交y轴于D,且a=,()2=5.‎ ‎(1)求点D的坐标.‎ ‎(2)如图2,y轴上是否存在一点P,使得△ACP的面积与△ABC的面积相等?若存在,求点P的坐标,若不存在,说明理由.‎ ‎(3)如图3,若Q(m,n)是x轴上方一点,且△QBC的面积为20,试说明:7m+3n是否为定值,若为定值,请求出其值,若不是,请说明理由.‎ ‎6.如图,以直角三角形AOC的直角顶点O为原点,以OC、OA所在直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系,点A(0,a),C(b,0)满足.D为线段AC的中点.在平面直角坐标系中,以任意两点P(x1,y1)、Q(x2,y2)为端点的线段中点坐标为,.‎ ‎(1)则A点的坐标为   ;点C的坐标为   .D点的坐标为   .‎ ‎(2)已知坐标轴上有两动点P、Q同时出发,P点从C点出发沿x轴负方向以1个单位长度每秒的速度匀速移动,Q点从O点出发以2个单位长度每秒的速度沿y 轴正方向移动,点Q到达A点整个运动随之结束.设运动时间为t(t>0)秒.问:是否存在这样的t,使S△ODP=S△ODQ,若存在,请求出t的值;若不存在,请说明理由.‎ ‎(3)点F是线段AC上一点,满足∠FOC=∠FCO,点G是第二象限中一点,连OG,使得∠AOG=∠AOF.点E是线段OA上一动点,连CE交OF于点H,当点E在线段OA上运动的过程中,的值是否会发生变化?若不变,请求出它的值;若变化,请说明理由.‎ ‎7.已知:如图,在平面直角坐标系中,点A(a,0)、B(0,b)、且|a+2|+(b+2a)2=0,点P为x轴上一动点,连接BP;‎ ‎(1)求点A、B的坐标;‎ ‎(2)如图,在第一象限内作BC⊥AB且BC=AB,连接CP,当CP⊥BC时,作CD⊥BP于点D,求线段CD的长度;‎ ‎(3)在第一象限内作BQ⊥BP且BQ=BP,连接PQ,设P(p,0),直接写出S△PCQ=   (用含p的式子表示).‎ ‎8.在△ABC和△DBE中,CA=CB,EB=ED,点D在AC上.‎ ‎(1)如图1,若∠ABC=∠DBE=60°,求证:∠ECB=∠A;‎ ‎(2)如图2,设BC与DE交于点F.当∠ABC=∠DBE=45°时,求证:CE∥AB;‎ ‎(3)在(2)的条件下,若tan∠DEC=时,求的值.‎ ‎9.如图,在△ABC中,BC=7cm,AC=24cm,AB=25cm,P点在BC上,从B点到C点运动(不包括C点),点P运动的速度为2cm/s;Q点在AC上从C点运动到A点(不包括A点),速度为5cm/s.若点P、Q分别从B、C同时运动,请解答下面的问题,并写出探索主要过程:‎ ‎(1)经过多少时间后,P、Q两点的距离为5cm?‎ ‎(2)经过多少时间后,S△PCQ的面积为15cm2?‎ ‎(3)用含t的代数式表示△PCQ的面积,并用配方法说明t为何值时△PCQ的面积最大,最大面积是多少?‎ ‎10.我们规定,三角形任意两边的“广益值”‎ 等于第三边上的中线和这边一半的平方差.如图1,在△ABC中,AO是BC边上的中线,AB与AC的“广益值”就等于AO2﹣BO2的值,可记为AB∇AC=OA2﹣BO2.‎ ‎(1)在△ABC中,若∠ACB=90°,AB∇AC=81,求AC的值.‎ ‎(2)如图2,在△ABC中,AB=AC=12,∠BAC=120°,求AB∇AC,BA∇BC的值.‎ ‎(3)如图3,在△ABC中,AO是BC边上的中线,S△ABC=24,AC=8,AB∇AC=﹣64,求BC和AB的长.‎ ‎11.已知:等边△ABC中.‎ ‎(1)如图1,点M是BC的中点,点N在AB边上,满足∠AMN=60°,求的值;‎ ‎(2)如图2,点M在AB边上(M为非中点,不与A、B重合),点N在CB的延长线上且∠MNB=∠MCB,求证:AM=BN.‎ ‎(3)如图3,点P为AC边的中点,点E在AB的延长线上,点F在BC的延长线上,满足∠AEP=∠PFC,求的值.‎ ‎12.如图,等边△ABC的边长为15cm,现有两点M,N分别从点A,点B 同时出发,沿三角形的边顺时针运动,已知点M的速度为1cm/s,点N的速度为2cm/s.当点N第一次到达B点时,M,N同时停止运动 ‎(1)点M、N运动几秒后,M,N两点重合?‎ ‎(2)点M、N运动几秒后,△AMN为等边三角形?‎ ‎(3)当点M,N在BC边上运动时,能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN?如存在,请求出此时M,N运动的时间.‎ ‎13.通过学习三角函数,我们知道在直角三角形中,一个锐角的大小与两条边长的比例相互唯一确定,因此,边长与角的大小之间可以相互转化.类似地,可以在等腰三角形中建立边角之间的关系.我们定义:等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对(sad).如图①,在△ABC中,AB=AC,顶角A的正对记作sadA,这时sadA==.容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的.‎ 根据上述角的正对定义,解下列问题:‎ ‎(1)sad60°=   .‎ ‎(2)对于0°<A<180°,∠A的正对值sadA的取值范围是   .‎ ‎(3)如图②,已知∠C=90°,sinA=,其中∠A为锐角,试求sadA的值.‎ ‎14.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=4,sin∠ABC=,点D为射线BC 上一点,联结AD,过点B作BE⊥AD分别交射线AD、AC于点E、F,联结DF,过点A作AG∥BD,交直线BE于点G.‎ ‎(1)当点D在BC的延长线上时,如果CD=2,求tan∠FBC;‎ ‎(2)当点D在BC的延长线上时,设AG=x,S△DAF=y,求y关于x的函数关系式(不需要写函数的定义域);‎ ‎(3)如果AG=8,求DE的长.‎ ‎15.如图,点O为平面直角坐标系的原点,三角形ABC中,∠BAC=90°,AB=m.顶点A,C的坐标分别为(1,0),(n,0),且|m﹣3|+(n﹣5)2=0.‎ ‎(1)求三角形ABC的面积;‎ ‎(2)动点P从点C出发沿射线CA方向以每秒1个单位长度的速度运动,设点P的运动时间为t秒,连接PB,请用含t的式子表示三角形ABP的面积;‎ ‎(3)在(2)的条件下,当三角形ABP的面积为时,直线BP与y轴相交于点D,求点D的坐标.‎ ‎16.已知△ABC和△ECD都是等腰直角三角形,∠ACB=∠ECD=90°.‎ ‎(1)若D为AB上一动点时(如图1),‎ ‎①求证:△ACD≌△BCE.‎ ‎②试求线段AD,BD,DE间满足的数量关系.‎ ‎(2)当点D在△ABC内部时(如图2),延长AD交BE于点F.‎ ‎①求证:AF⊥BE.‎ ‎②连结BD,当△BDE为等边三角形时,直接写出△DCE与△ABC的边长之比.‎ ‎17.如图,直角坐标系中,点A,B分别在x,y轴上,点B的坐标为(0,2),∠BAO=30°.以AB为边在第一象限作等边△ABC,MN垂直平分OA,MA⊥AB.‎ ‎(1)求AB的长.‎ ‎(2)求证:MB=OC.‎ ‎(3)如图2,连接MC交AB于点P.点P是否为MC的中点?请说明理由.‎ ‎18.在△ABC中,AB=BC,∠A=40°,BD⊥AC垂足为D.‎ ‎(1)填空:∠ABC=   °;‎ ‎(2)E是线段BD上的动点,连结EC,将线段EC绕点E按顺时针方向旋转80°,点C的对应点是点F,连接CF,得到△CEF.‎ ‎①如图1,若点F在直线BD上,AB=a,AC=b,求EB+EC的值.‎ ‎②连结AF,直线AF与直线BC是否平行,为什么?‎ ‎19.如图,在平面直角坐标系中,点A(0,a),B(b,0),且a,b满足2a2+2ab+b2﹣8a+16=0,点P为AB上一个动点(不与A,B)重合),连接OP.‎ ‎(1)直接写出a=   ,b=   ;‎ ‎(2)如图1,过点P作OP的垂线交过点A平行于x轴的直线于点C,若点,求点C的坐标;‎ ‎(3)如图2,以OP为斜边在OP右侧作等腰Rt△OPD,PD=OD.连接BD,当点P从B向A运动过程中,△BOD的面积是否发生变化,请判断并说明理由.‎ ‎20.(1)如图①,小明同学作出△ABC两条角平分线AD,BE得到交点I,就指出若连接 CI,则CI平分∠ACB,你觉得有道理吗?为什么?‎ ‎(2)如图②,Rt△ABC中,AC=5,AC=12,AB=13,△ABC的角平分线CD上有一点I,设点I到边AB的距离为d.(d为正实数)‎ 小季、小何同学经过探究,有以下发现:‎ 小季发现:d的最大值为.‎ 小何发现:当d=2时,连接AI,则AI平分∠BAC.‎ 请分别判断小季、小何的发现是否正确?并说明理由.‎ 参考答案 ‎1.解:(1)①证明:如图,作AC边上的中线BM,‎ 设CM=AM=a,则BC=AC=2a,‎ ‎∵∠ACB=90°,‎ ‎∴BM===a,‎ ‎∴,‎ ‎∴△ABC是“神奇三角形”;‎ ‎②当AC边上的中线与AC边上的高的比为时,‎ 设BM=a,BC=2a,‎ ‎∵∠ACB=90°,‎ ‎∴CM==a,‎ ‎∴AC=2a,‎ ‎∴AC=BC,不合题意,舍去;‎ 同理,当BC边上的中线与BC边上的高的比为时,也不符合题意,舍去;‎ 当AB边上的中线与AB边上的高的比为时,‎ 当BC>AC时,如图,作AB边上的中线CM,作AB边上的高线CD,‎ 设CM=a,CD=2a,则DM=a,‎ ‎∵∠ACB=90°,‎ ‎∴CM=AB=AM,‎ ‎∴AD=(﹣1)a,‎ ‎∴tanA==,‎ 当BC<AC时,如图,作AB边上的中线CM,作AB边上的高线CD,‎ 同理可得,tanA=.‎ 综合可得tanA的值为或.‎ ‎(2)证明:如图,作CH⊥AB于点H,AE⊥BC于点E,AE交CD于K,连接BK,‎ ‎∵AB=AC,‎ ‎∴E是BC的中点,‎ ‎∵CD是AB边上的中线,‎ ‎∴点K是△ABC的重心,‎ ‎∴KC=2DK,‎ ‎∵AE是BC的垂直平分线,‎ ‎∴KC=KB,‎ ‎∴∠KBC=∠KCB=45°,‎ ‎∴∠CKB=90°,‎ 即BK⊥CD,‎ ‎∴=tan∠CDH==2,‎ ‎∴,‎ ‎∴△ABC是“神奇三角形”.‎ ‎2.解:(1)∠BDP=∠EPC,‎ 理由如下:∵△ABC为等边三角形,‎ ‎∴∠B=60°,‎ ‎∵∠DPE=60°,‎ ‎∴∠DPE=∠B,‎ ‎∵∠DPC是△BDP的外角,‎ ‎∴∠DPE+∠EPC=∠B+∠BDP,‎ ‎∴∠EPC=∠BDP;‎ ‎(2)∵△PDE为正三角形,‎ ‎∴PD=PE,‎ 在△BDP和△CPE中,‎ ‎,‎ ‎∴△BDP≌△CPE(AAS),‎ ‎∴BD=CP,BP=CE,‎ ‎∴BD+CE=CP+BP=BC=8;‎ ‎(3)∵DE∥BC,△ABC为等边三角形,‎ ‎∴△ADE为等边三角形,‎ ‎∴AD=AE,‎ ‎∴BD=CE,‎ ‎∵∠B=∠C,∠EPC=∠BDP,‎ ‎∴△BDP∽△CPE,‎ ‎∴=,即=,‎ 整理得,BD=,‎ ‎﹣BP2+8BP=﹣(BP﹣4)2+16,‎ ‎∴BD的最大值为4.‎ ‎3.(1)解:∠ADE=45°.‎ ‎∵AB=AC,∠BAC=90°,‎ ‎∴∠ABC=∠ACB=45°,‎ ‎∵∠ACM=∠ACB,‎ ‎∴∠ACM=∠ABC,‎ 在△ABD 和△ACE 中,‎ ‎,‎ ‎∴△ABD≌△ACE(SAS),‎ ‎∴AD=AE,∠CAE=∠BAD,‎ ‎∴∠DAE=∠BAC=90°,‎ ‎∴∠ADE=45°;‎ ‎(2)(1)中的结论成立 证明:∵∠BAC=90°,AB=AC,‎ ‎∴∠B=∠ACB=45°.‎ ‎∵∠ACM=∠ACB,‎ ‎∴∠B=∠ACM=45°.‎ 在△ABD 和△ACE 中,‎ ‎,‎ ‎∴△ABD≌△ACE(SAS).‎ ‎∴AD=AE,∠BAD=∠CAE.‎ ‎∴∠CAE+∠DAC=∠BAD+∠DAC=∠BAC=90°.‎ 即∠DAE=90°.‎ ‎∵AD=AE,‎ ‎∴∠ADE=∠AED=45°.‎ ‎(3)△CGH为等腰直角三角形.理由如下:‎ ‎∵∠BCA=∠ACE=45°,‎ ‎∴∠GCH=90°,‎ 又∵AH⊥BC,AG⊥CE,‎ ‎∴AG=AH,‎ ‎∵∠ACG=∠AGC=45°,‎ ‎∴AG=CG,‎ ‎∵AB=AC,AH⊥BC,‎ ‎∴∠HCA=∠HAC=45°,‎ ‎∴AH=HC,‎ ‎∴CH=CG,‎ ‎∴△CGH为等腰直角三角形.‎ ‎4.(1)发现 解:①∵在△ABC中,AB=AC,∠BAC=60°,‎ ‎∴∠BAC=∠DAE=60°,‎ ‎∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC,即∠BAD=∠CAE,‎ 在△BAD和△CAE中,‎ ‎,‎ ‎∴△BAD≌△CAE(SAS),‎ ‎∴∠ACE=∠B=60°,‎ ‎∴∠DCE=∠ACE+∠ACB=60°+60°=120°;‎ 故答案为:120°,‎ ‎②∵△BAD≌△CAE,‎ ‎∴BD=CE,‎ ‎∴BC=BD+CD=EC+CD,‎ ‎∴CA=BC=CE+CD;‎ 故答案为:CA=CE+CD.‎ ‎(2)探究 ‎∠DCE=90°;CA=CD+CE.‎ 理由:∵△ABC和△ADE均为等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE=90°,‎ ‎∴AB=AC,AD=AE,∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC,‎ 即∠BAD=∠CAE.‎ ‎∴△BAD≌△CAE(SAS).‎ ‎∴BD=CE,∠B=∠ACE=45°.‎ ‎∴∠DCE=∠ACB+∠ACE=90°.‎ 在等腰直角三角形ABC中,CB=CA,‎ ‎∵CB=CD+DB=CD+CE,‎ ‎∴CA=CD+CE.‎ ‎(3)应用 DA=5或.‎ 作DE⊥AB于E,连接AD,‎ ‎∵在Rt△ABC中,AB=6,AC=4,∠BAC=90°,‎ ‎∴BC===2,‎ ‎∵∠BDC=90°,DB=DC,‎ ‎∴DB=DC=,∠BCD=∠CBD=45°,‎ ‎∵∠BDC=∠BAC=90°,‎ ‎∴点B,C,A,D四点共圆,‎ ‎∴∠DAE=45°,‎ ‎∴△ADE是等腰直角三角形,‎ ‎∴AE=DE,‎ ‎∴BE=6﹣DE,‎ ‎∵BE2+DE2=BD2,‎ ‎∴DE2+(6﹣DE)2=26,‎ ‎∴DE=1,DE=5,‎ ‎∴AD=或AD=5.‎ ‎5.解:(1)∵a=,()2=5,‎ ‎∴a=﹣5,b=5,‎ ‎∵A(a,0),B(b,0),‎ ‎∴A(﹣5,0),B(5,0),‎ ‎∴OA=OB=5.‎ 如图1,连接OC,设OD=x,‎ ‎∵C(2,7),‎ ‎∴S△AOC=×5×7=17.5,‎ ‎∵S△AOC=S△AOD+S△COD,‎ ‎∴5x•=17.5,‎ ‎∴x=5,‎ ‎∴点D的坐标为(0,5);‎ ‎(2)如图2,‎ ‎∵A(﹣5,0),B(5,0),C(2,7),‎ ‎∴S△ABC=×(5+5)×7=35,‎ ‎∵点P在y轴上,‎ ‎∴设点P的坐标为(0,y),‎ ‎∵S△ACP=S△ADP+S△CDP,D(0,5),‎ ‎∴5×|5﹣y|×+2×|5﹣y|×=35,‎ 解得:y=﹣5或15,‎ ‎∴点P的坐标为(0,﹣5)或(0,15);‎ ‎(3)7m+3n是定值.‎ ‎∵点Q在x轴的上方,‎ ‎∴分两种情况考虑,‎ 如图3,当点Q在直线BC的左侧时,过点Q作QH⊥x轴,垂足为H,连接CH,‎ ‎∵S△QBC=S△QHC+S△HBC﹣S△QHB,且S△QBC=20,‎ ‎∴,‎ ‎∴7m+3n=﹣5.‎ 如图4,当点Q在直线BC的右侧时,‎ 过点Q作QH⊥x轴,垂足为H,连接CH,‎ ‎∵S△QBC=S△QHC+S△HBC﹣S△QHB,且S△QBC=20,‎ ‎∴=20,‎ ‎∴7m+3n=75,‎ 综上所述,7m+3n的值为﹣5或75.‎ ‎6.解:(1)∵.‎ ‎∴a﹣2b=0,b﹣2=0,‎ 解得a=4,b=2,‎ ‎∴A(0,4),C(2,0);‎ ‎∴x==1,y==2,‎ ‎∴D(1,2).‎ 故答案为(0,4),(2,0),(1,2).‎ ‎(2)如图1中,‎ 由条件可知:P点从C点运动到O点时间为2秒,Q点从O点运动到A点时间为2秒,‎ ‎∴0<t≤2时,点Q在线段AO上,‎ 即 CP=t,OP=2﹣t,OQ=2t,AQ=4﹣2t,‎ ‎∴S△DOP=OP•yD=(2﹣t)×2=2﹣t,S△DOQ=OQ•xD=×2t×1=t,‎ ‎∵S△ODP=S△ODQ,‎ ‎∴2﹣t=t,‎ ‎∴t=1;‎ ‎(3)的值不变,其值为2.理由如下:如图2中,‎ ‎∵∠2+∠3=90°,‎ 又∵∠1=∠2,∠3=∠FCO,‎ ‎∴∠GOC+∠ACO=180°,‎ ‎∴OG∥AC,‎ ‎∴∠1=∠CAO,‎ ‎∴∠OEC=∠CAO+∠4=∠1+∠4,‎ 如图,过H点作AC的平行线,交x轴于P,则∠4=∠PHC,PH∥OG,‎ ‎∴∠PHO=∠GOF=∠1+∠2,‎ ‎∴∠OHC=∠OHP+∠PHC=∠GOF+∠4=∠1+∠2+∠4,‎ ‎∴=,‎ ‎=,‎ ‎=2.‎ ‎7.解:(1)∵|a+2|+(b+2a)2=0,‎ ‎∴a+2=0,b+2a=0,‎ 解得a=﹣2,b=4,‎ ‎∴A(﹣2,0),B(0,4);‎ ‎(2)如图1所示,过C作CE⊥OB于E,与PB交于F,‎ ‎∵BC⊥AB,‎ ‎∴∠ABO+∠EBC=90°,‎ 在Rt△BCE中,∠EBC+∠BCE=90°,‎ ‎∴∠ABO=∠BCE,‎ 在△AOB和△BEC中,‎ ‎,‎ ‎∴△AOB≌△BEC(AAS),‎ ‎∴BE=AO=2,‎ 又∵OB=4,‎ ‎∴E为OB的中点,‎ ‎∵EC∥OP,‎ ‎∴EF为△BOP的中位线,则F为BP的中点,‎ 在Rt△BCP中,CF为斜边上的中线,‎ ‎∴CF=PB=BF,‎ ‎∴∠BCE=∠CBD=∠ABO,‎ 在△AOB和△CDB中 ‎,‎ ‎∴△AOB≌△CDB(AAS),‎ ‎∴CD=AO=2;‎ ‎(3)如图2所示,过B作BG⊥CQ于点G,延长QC与x轴交于H,‎ ‎∵∠ABP+∠PBC=90°,∠PBC+CBQ=90°,‎ ‎∴∠ABP=∠CBQ,‎ 在△ABP与△CBQ中,‎ ‎,‎ ‎∴△ABP≌△CBQ(SAS),‎ ‎∴∠BPO=∠BQG,CQ=AP=2+p,‎ 在△BOP和△BGQ中,‎ ‎,‎ ‎∴△BOP≌△BGQ(AAS),‎ ‎∴∠OBP=∠GBQ,BG=BO=4,‎ 又∵∠GBQ+∠PBG=90°,‎ ‎∴∠OBP+∠PBG=90°,即∠OBG=90°,‎ 在四边形OBGH中,∠OBG=∠BOG=∠BGH=90°,‎ ‎∴∠OHG=90°,‎ ‎∴PH是△PCQ中CQ边上的高,‎ PH=OH﹣OP=4﹣p,‎ ‎∴S△PCQ=•(2+p)(4﹣p)=﹣+p+4.‎ 故答案为:.‎ ‎8.(1)证明:∵CA=CB,EB=ED,∠ABC=∠DBE=60°,‎ ‎∴△ABC和△DBE都是等边三角形,‎ ‎∴AB=BC,DB=BE,∠A=60°.‎ ‎∵∠ABC=∠DBE=60°,‎ ‎∴∠ABD=∠CBE,‎ ‎∴△ABD≌△CBE(SAS).‎ ‎∴∠A=∠ECB;‎ ‎(2)证明:∵∠ABC=∠DBE=45°,CA=CB,EB=ED,‎ ‎∴△ABC和△DBE都是等腰直角三角形,‎ ‎∴∠CAB=45°,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∵∠ABC=∠DBE,‎ ‎∴∠ABD=∠CBE,‎ ‎∴△ABD∽△CBE,‎ ‎∴∠BAD=∠BCE=45°,‎ ‎∵∠ABC=45°,‎ ‎∴∠ABC=∠BCE,‎ ‎∴CE∥AB;‎ ‎(3)解:过点D作DM⊥CE于点M,过点D作DN∥AB交CB于点N,‎ ‎∵∠ACB=90°,∠BCE=45°,‎ ‎∴∠DCM=45°,‎ ‎∴∠MDC=∠DCM=45°,‎ ‎∴DM=MC,‎ 设DM=MC=a,‎ ‎∴a,‎ ‎∵DN∥AB,‎ ‎∴△DCN为等腰直角三角形,‎ ‎∴DN=DC=2a,‎ ‎∵tan∠DEC=,‎ ‎∴ME=2DM,‎ ‎∴CE=a,‎ ‎∴,‎ ‎∵CE∥DN,‎ ‎∴△CEF∽△DNF,‎ ‎∴.‎ ‎9.解:(1)连接PQ,‎ 设经过ts后,P、Q两点的距离为5cm,‎ ts后,PC=7﹣2tcm,CQ=5tcm,‎ 根据勾股定理可知PC2+CQ2=PQ2,‎ 代入数据(7﹣2t)2+(5t)2=(5)2;‎ 解得t=1或t=﹣(不合题意舍去);‎ ‎(2)设经过ts后,S△PCQ的面积为15cm2‎ ts后,PC=7﹣2tcm,CQ=5tcm,‎ S△PCQ=×PC×CQ=×(7﹣2t)×5t=15‎ 解得t1=2,t2=1.5,‎ 经过2或1.5s后,S△PCQ的面积为15cm2.‎ ‎(3)设经过ts后,△PCQ的面积最大,‎ ts后,PC=7﹣2tcm,CQ=5tcm,‎ S△PCQ=×PC×CQ=×(7﹣2t)×5t=×(﹣2t2+7t).‎ ‎=﹣5.‎ ‎∴当t=s时,△PCQ的面积最大,最大值为cm2.‎ ‎10.解:(1)如图1,AO是BC边上的中线,‎ ‎∵∠ACB=90°,‎ ‎∴AO2﹣OC2=AC2,‎ ‎∵AB∇AC=81,‎ ‎∴AO2﹣OC2=81,‎ ‎∴AC2=81,‎ ‎∴AC=9;‎ ‎(2)①如图2,取BC的中点O,连接AO,‎ ‎∵AB=AC,‎ ‎∴AO⊥BC,‎ ‎∵∠BAC=120°,‎ ‎∴∠ABC=30°,‎ 在Rt△AOB中,‎ ‎∴==6,‎ ‎∴AB∇AC=AO2﹣BO2=36﹣108=﹣72;‎ ‎②如图3,取AC的中点D,连接BD,‎ ‎∴AC=6,‎ 过点B作BE⊥AC交CA的延长线于点E,‎ ‎∴∠BAE=180°﹣∠BAC=60°,‎ ‎∴∠ABE=30°,‎ ‎∵AB=12,‎ ‎∴AE=6,‎ ‎∴BE===6.‎ ‎∴DE=AD+AE=12,‎ ‎∴==6,‎ ‎∴BA∇BC=BD2﹣CD2==216;‎ ‎(3)作BD⊥CD,如图4,‎ ‎∵S△ABC=24,AC=8,‎ ‎∴=6,‎ ‎∵AB∇AC=﹣64,AO是BC边上的中线,‎ ‎∴AO2﹣OC2=﹣64,‎ ‎∴OC2﹣AO2=64,‎ 又∵AC2=82=64,‎ ‎∴OC2﹣AO2=AC2,‎ ‎∴∠AOC=90°,‎ ‎∴OA=2×=3,‎ ‎∴==.‎ ‎∴,‎ 在Rt△BCD中,==16,‎ ‎∴AD=CD﹣AC=16﹣8,‎ ‎∴==10.‎ ‎11.解:(1)∵△ABC为等边三角形,‎ ‎∴∠B=∠BAC=60°,AB=AC,‎ ‎∵点M是BC的中点,‎ ‎∴∠MAN=30°,∠AMB=90°,‎ ‎∵∠AMN=60°,‎ ‎∴∠BMN=30°,‎ ‎∴BM=2BN,AB=2BM,‎ 设BN=x,则BM=2x,AB=4x,‎ ‎∴AN=3x,‎ ‎∴;‎ ‎(2)证明:如图2,过点M作MG∥NC交AC于点G,‎ ‎∴∠A=∠AMG=∠AGM=60°,‎ ‎∴△AMG为等边三角形,‎ ‎∴AM=AG,‎ ‎∴BM=CG,‎ ‎∵∠AGM=∠ABC=60°,‎ ‎∴∠MGC=∠NBM=120°,‎ ‎∵MG∥BC,‎ ‎∴∠GMC=∠MCB,‎ ‎∵∠MNB=∠MCB,‎ ‎∴∠GMC=∠MNB,‎ ‎∴△MGC≌△NBM(AAS),‎ ‎∴MG=BN,‎ ‎∵△AMG为等边三角形,‎ ‎∴AM=MG,‎ ‎∴AM=BN;‎ ‎(3)如图3,过点P作PM∥BC交AB于点M,‎ ‎∴△AMP为等边三角形,‎ ‎∴AP=MP,∠AMP=60°,‎ ‎∵P为AC的中点,‎ ‎∴AP=PC,‎ ‎∴MP=PC,‎ ‎∵∠ACB=60°,‎ ‎∴∠EMP=∠PCF=120°,‎ ‎∵∠AEP=∠PFC,‎ ‎∴△PCF≌△PME(AAS),‎ ‎∴CF=ME,‎ ‎∴BF﹣BE=BC+CF﹣ME+MB,‎ 又∵P为AC的中点,MP∥BC,‎ ‎∴MB=,‎ ‎∴BF﹣BE=BC+BC=,‎ ‎∴.‎ ‎12.解:(1)设运动t秒,M、N两点重合,‎ 根据题意得:2t﹣t=15,‎ ‎∴t=15,‎ 答:点M,N运动15秒后,M、N两点重合;‎ ‎(2)如图1,设点M、N运动x秒后,△AMN为等边三角形,‎ ‎∴AN=AM,‎ 由运动知,AN=15﹣2x,AM=x,‎ ‎∴15﹣2x=x,‎ 解得:x=5,‎ ‎∴点M、N运动5秒后,△AMN是等边三角形;‎ ‎(3)假设存在,‎ 如图2,设M、N运动y秒后,得到以MN为底边的等腰三角形AMN,‎ ‎∴AM=AN,‎ ‎∴∠AMN=∠ANM,‎ ‎∵△ABC是等边三角形,‎ ‎∴AB=AC,∠C=∠B=60°,‎ ‎∴△ACN≌△ABM(AAS),‎ ‎∴CN=BM,‎ ‎∴CM=BN,‎ 由运动知,CM=y﹣15,BN=15×3﹣2y,‎ ‎∴y﹣15=15×3﹣2y,‎ ‎∴y=20,‎ 故点M,N在BC边上运动时,能得到以MN为底边的等腰三角形AMN,此时M,N运动的时间为20秒.‎ ‎13.解:(1)根据正对定义,‎ 当顶角为60°时,等腰三角形底角为60°,‎ 则三角形为等边三角形,‎ 则sad60°==1.‎ 故答案为:1.‎ ‎(2)当∠A接近0°时,sadA接近0,‎ 当∠A接近180°时,等腰三角形的底接近于腰的二倍,故sadA接近2.‎ 于是sadA的取值范围是0<sadA<2.‎ 故答案为:0<sadA<2.‎ ‎(3)在AB上取点D,使AD=AC,过点D作DE⊥AC于E,连接CD,如图.‎ ‎∵在Rt△ADE中,=sin A=,‎ 设AD=AC=5x,则DE=3x,AE=4x.‎ ‎∴CE=x.‎ ‎∴在Rt△CDE中,CD==x.‎ ‎∴sad A===.‎ ‎14.解:(1)∵∠ACB=90°,BC=4,sin∠ABC=,‎ ‎∴设AC=3x,AB=5x,‎ ‎∴(3x)2+16=(5x)2,‎ ‎∴x=1,‎ 即AC=3,‎ ‎∵BE⊥AD,‎ ‎∴∠AEF=90°,‎ ‎∵∠AFE=∠CFB,‎ ‎∴∠DAC=∠FBC,‎ ‎∴tan∠FBC=tan∠DAC==;‎ ‎(2)∵AG∥BD,‎ ‎∴∠AGF=∠CBF,‎ ‎∴tan∠AGF=tan∠CBF,‎ ‎∴,‎ ‎,‎ ‎∴,‎ ‎∴.‎ ‎∴=.‎ ‎∵∠EAF=∠CBF,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∴S△DAF==;‎ ‎(3)①当点D在BC的延长线上时,如图1,‎ ‎∵AG=8,BC=4,AG∥BD,‎ ‎∴,‎ ‎∴AF=2CF,‎ ‎∵AC=3,‎ ‎∴AF=2,CF=1,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ 设AE=x,GE=4x,‎ ‎∴x2+16x2=82,‎ 解得x=,‎ 即AE=.‎ 同理tan∠DAC=tan∠CBF,‎ ‎∴,‎ ‎∴DC=,‎ ‎∴AD===.‎ ‎∴=.‎ ‎②当点D在BC的边上时,如图2,‎ ‎∵AG∥BD,AG=8,BC=4,‎ ‎∴.‎ ‎∴AF=6,‎ ‎∵∠EAF=∠CBF=∠ABC,‎ ‎∴cos∠EAF=cos∠ABC,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ 同理,‎ ‎∴,‎ ‎∴.‎ ‎∴DE=AE﹣AD=.‎ 综合以上可得DE的长为或.‎ ‎15.解:(1)∵|m﹣3|+(n﹣5)2=0.‎ ‎∴|m﹣3|=0,(n﹣5)2=0.‎ ‎∴m=3,n=5,‎ ‎∴B(1,3),C(5,0),‎ ‎∴AB=3,AC=4,‎ ‎∴三角形ABC的面积=;‎ ‎(2)①如图1,当点P在线段AC上时,PC=t,AP=4﹣t,‎ 三角形ABP的面积为==6﹣.‎ ‎②如图2,当点P在线段AC的延长线上时,PC=t,AP=t﹣4,‎ 三角形ABP的面积为3=.‎ ‎(3)①当点P在线段AC上时,6﹣.‎ 解得t=﹣1(舍去).‎ ‎②如图3,当点P在线段AC的延长线上时,.‎ 解得t=9.‎ ‎∴OP=4,PA=5,‎ ‎∵∠BAC=90°=∠DOA,‎ ‎∴OD∥AB,‎ ‎∴.‎ 解得OD=.‎ ‎∵点D在y轴上且在原点O的上方,‎ ‎∴点D的坐标为(0,).‎ ‎16.(1)①证明:如图1,‎ ‎∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形,∠ACB=∠ECD=90°.‎ ‎∴AC=BC,CD=CE,∠A=∠ABC=45°,∠ACB﹣∠DCB=∠ECD﹣∠DCB,‎ ‎∴∠ACD=∠BCE,‎ ‎∴△ACD≌△BCE(SAS).‎ ‎②解:∵△ACD≌△BCE.‎ ‎∴AD=BE,∠CBE=∠A=45°,‎ ‎∴∠DBE=90°,‎ ‎∴BD2+BE2=DE2,即BD2+AD2=DE2,‎ ‎(2)①证明:如图2,‎ ‎∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形,∠ACB=∠ECD=90°.‎ ‎∴由(1)易知△ACD≌△BCE.‎ ‎∴∠DAC=∠CBE,‎ ‎∴∠ABF+∠BAF=∠ABC+∠CBE+∠BAF=∠ABC+∠BAF+∠DAC=∠ABC+∠BAC=90°.‎ ‎∴∠AFB=90°,‎ 即AF⊥BE.‎ ‎②如图3,∵△BDE为等边三角形,DF⊥BE,‎ ‎∴∠DEF=60°,‎ 设EF=BF=a,则DE=2a,‎ ‎∴a,‎ ‎∵BD=BE,DC=CE,‎ ‎∴BC是DE的垂直平分线,‎ ‎∴NE=a,BN=a,‎ ‎∴BC=.‎ ‎∴.‎ 即△DCE与△ABC的边长之比为.‎ ‎17.(1)解:∵B(0,2),‎ ‎∴OB=2,‎ 在Rt△AOB中,∠BAO=30°,‎ ‎∴AB=2OB=4;‎ ‎(2)证明:,‎ ‎∵AM⊥AB,‎ ‎∴∠BAM=90°,‎ ‎∴∠MAN=90°﹣∠BAO=60°,‎ ‎∵MN垂直平分OA,‎ ‎∴∠ANM=90°,‎ ‎∴∠AMN=30°,‎ ‎∴MA=2AN=OA,‎ ‎∵△ABC是等边三角形,‎ ‎∴AC=AB,∠BAC=60°,‎ ‎∴∠OAC=90°=∠MAB,‎ ‎∴△MAB≌△OAC(SAS),‎ ‎∴MB=OC;‎ ‎(3)解:P是MC的中点.理由如下:‎ 如图2,过点C作CH⊥AB于H,‎ ‎∴∠AHC=90°=∠HAM,‎ ‎∵△ABC是等边三角形,‎ ‎∴BC=AB,∠BCH=∠ACH=30°=∠BAO,‎ ‎∴△BCH≌△BAO(AAS),‎ ‎∴OA=CH,‎ 由(2)知,AM=OA,‎ ‎∴AM=CH,‎ ‎∵∠CPH=∠MPA,‎ ‎∴△CHP≌△MAP(AAS),‎ ‎∴CP=MP,‎ 即点P为MC的中点.‎ ‎18.解:(1)∵AB=BC,‎ ‎∴∠A=∠BCA=40°,‎ ‎∴∠ABC=180°﹣∠A﹣∠BCA=180°﹣40°﹣40°=100°‎ 故答案为:100.‎ ‎(2)①在△ABC中,AB=BC,BD⊥AC,‎ ‎∴AD=DC,∠ABF=50°,‎ ‎∵EC=EF,∠CEF=80°,点F在BD上,‎ ‎∴∠DFC=50°,‎ 又∠ADB=∠CDF=90°,‎ ‎∴△ABD≌△CFD(AAS),‎ ‎∴BD=DF,‎ ‎∴BE+EC=BE+EF=2BD=2=2‎ ‎=2.‎ ‎②连结AE并延长交BC于M.‎ 若点F在直线BD上,BF是AC的垂直平分线,‎ ‎∵∠AFD=∠DFC=50°,又∠ABF=50°,‎ ‎∴AF∥BC,‎ 若点F在直线BD的左侧,如图2,‎ ‎∵EC=EF=AE,‎ ‎∴∠MEF=2∠EAF,‎ ‎∵∠MEC=2∠EAD,‎ ‎∴2∠DAF=∠CEF,‎ ‎∴∠DAF=40°,∠BCA=40°.‎ ‎∴AF∥BC.‎ 若点F在直线BD的右侧,如图3.‎ ‎∵EC=EF=AE,‎ ‎∴∠MEF=2∠EAF,‎ ‎∵∠MEC=2∠EAD,‎ ‎∴2∠DAF=∠CEF,‎ ‎∴∠DAF=40°,∠BCA=40°.‎ ‎∴AF∥BC.‎ ‎19.解:(1)∵2a2+2ab+b2﹣8a+16=0,‎ ‎∴(a+b)2+(a﹣4)2=0,‎ ‎∴a+b=0,a﹣4=0,‎ 即a=4,b=﹣4,‎ 故答案为:4,﹣4;‎ ‎(2)过点P作PM⊥AP交y轴于点M,过P作PN⊥y轴于点N,‎ ‎∵∠OPC=∠MPA=∠OAC=90°,‎ ‎∴∠OPM=∠APC,∠POM=∠C,‎ ‎∵∠PAM=45°,‎ ‎∴PA=PM,‎ ‎∴△ACP≌△MOP(AAS),‎ ‎∴AC=MO,‎ 又∵,‎ ‎∴,‎ ‎∴AC=MO=1,‎ ‎∴C(1,4);‎ ‎(3)△BOD的面积不发生变化,理由,‎ ‎∵点A(0,4),B(﹣4,0),‎ ‎∴直线AB的解析式为y=x+4,‎ ‎①当点P的横坐标大于等于﹣2而小于0时,设D(m,n)如图2,‎ 过点D作DF⊥x轴于F,过点P作PE⊥DF,交FD的延长线于E,‎ ‎∴∠PED=∠DFO=90°,OF=m,DF=n,‎ ‎∴∠DPE+∠PDE=90°,‎ ‎∵∠ODP=90°,‎ ‎∴∠PDE+∠ODF=90°,‎ ‎∴∠DPE=∠ODE,‎ ‎∵DP=OD,‎ ‎∴△PDE≌△DOF(AAS),‎ ‎∴DE=OF=m,PE=DF=n,‎ ‎∴EF=DE+DF=m+n,PE﹣OF=n﹣m,‎ ‎∴P(m﹣n,m+n),‎ 而点P在线段AB上,‎ ‎∴m+n=m﹣n+4,‎ ‎∴n=2,‎ ‎∴点D的纵坐标为2,‎ ‎②当点P的横坐标小于﹣2而大于﹣4时,如图3,‎ 同①的方法得出点D的纵坐标为2,‎ 即:点P从点B向点A运动的过程中,点D的纵坐标始终为2,‎ ‎∴S△BOD=OB•|yD|=×4×2=4,‎ 即:点P从点B向点A运动的过程中,△BOD的面积始终不变,是4.‎ ‎20.解:如图1,过I点分别作IM,IN,IK垂直于AB,BC,AC于点M,N,K,连接IC,‎ ‎∵AI平分∠BAC,IM⊥AB,IK⊥AC,‎ ‎∴IM=IK,同理IM=IN,‎ ‎∴IK=IN,‎ 又∵IK⊥AC,IN⊥BC,‎ ‎∴CI平分∠BCA;‎ ‎(2)如图2,过C点作CE⊥AB于点E,则d的最大值为CE长,‎ ‎∵AC=5,BC=12,‎ ‎∴=,‎ 又∵=30,‎ ‎∴CE=,‎ ‎∴d的最大值为.‎ ‎∴小季正确;‎ 假设此时AI平分∠BAC,如图3,连接BI,过I点作IG,IH,IF分别垂直于AC,BC,AB于点G,H,F,‎ ‎∵AI平分∠BAC,CD平分∠ACB,‎ ‎∴BI平分∠CBA,‎ ‎∵IG⊥AC,IH⊥BC,ID⊥AB,‎ ‎∴IG=IH=IF=d,‎ ‎∵S△ACB=S△AIC+S△BIC+S△ABI,‎ ‎∴,‎ ‎∴=,‎ ‎∴d=2,‎ ‎∴假设成立,当d=2时,连接AI,则AI平分∠BAC,‎ ‎∴小何正确.‎
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