2019年湖北省鄂州市中考数学试卷含答案

2019年湖北省鄂州市中考数学试卷含答案

‎2019年湖北省鄂州市中考数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分）‎ ‎1．（3分）﹣2019的绝对值是（　　）‎ A．2019 B．﹣2019 C．‎1‎‎2019‎ D．‎‎-‎‎1‎‎2019‎ ‎2．（3分）下列运算正确的是（　　）‎ A．a3•a2 ＝a6 B．a7÷a3 ＝a4 ‎ C．（﹣3a）2 ＝﹣6a2 D．（a﹣1）2＝a2 ﹣1‎ ‎3．（3分）据统计，2019年全国高考人数再次突破千万，高达1031万人．数据1031万用科学记数法可表示为（　　）‎ A．0.1031×106 B．1.031×107 C．1.031×108 D．10.31×109‎ ‎4．（3分）如图是由7个小正方体组合成的几何体，则其左视图为（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎5．（3分）如图，一块直角三角尺的一个顶点落在直尺的一边上，若∠2＝35°，则∠1的度数为（　　）‎ A．45° B．55° C．65° D．75°‎ ‎6．（3分）已知一组数据为7，2，5，x，8，它们的平均数是5，则这组数据的方差为（　　）‎ A．3 B．4.5 C．5.2 D．6‎ ‎7．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0的两实数根分别为x1、x2，且x1+3x2＝5，则m的值为（　　）‎ A．‎7‎‎4‎ B．‎7‎‎5‎ C．‎7‎‎6‎ D．0‎ ‎8．（3分）在同一平面直角坐标系中，函数y＝﹣x+k与y‎=‎kx（k为常数，且k≠0）的图象大致是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎9．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1．下列结论：①abc＜0；②3a+c＞0；③（a+c）2﹣b2＜0；④a+b≤m（am+b）（m为实数）．其中结论正确的个数为（　　）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A1、A2、A3…An在x轴上，B1、B2、B3…Bn在直线y‎=‎‎3‎‎3‎x上，若A1（1，0），且△A1B1A2、△A2B2A3…△AnBnAn+1都是等边三角形，从左到右的小三角形（阴影部分）的面积分别记为S1、S2、S3…Sn．则Sn可表示为（　　）‎ A．22n‎3‎ B．22n﹣1‎3‎ C．22n﹣2‎3‎ D．22n﹣3‎‎3‎ 二.填空题（每小题3分，共18分）‎ ‎11．（3分）因式分解：4ax2﹣4ax+a＝　 　．‎ ‎12．（3分）若关于x、y的二元一次方程组x-3y=4m+3‎x+5y=5‎的解满足x+y≤0，则m的取值范围是　 　．‎ ‎13．（3分）一个圆锥的底面半径r＝5，高h＝10，则这个圆锥的侧面积是　 　．‎ ‎14．（3分）在平面直角坐标系中，点P（x0，y0）到直线Ax+By+C＝0的距离公式为：d‎=‎‎|Ax‎0‎+By‎0‎+C|‎A‎2‎‎+‎B‎2‎，则点P（3，﹣3）到直线y‎=-‎‎2‎‎3‎x‎+‎‎5‎‎3‎的距离为　 　．‎ ‎15．（3分）如图，已知线段AB＝4，O是AB的中点，直线l经过点O，∠1＝60°，P 点是直线l上一点，当△APB为直角三角形时，则BP＝　 　．‎ ‎16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知C（3，4），以点C为圆心的圆与y轴相切．点A、B在x轴上，且OA＝OB．点P为⊙C上的动点，∠APB＝90°，则AB长度的最大值为　 　．‎ 三.解答题（17～21题每题8分，22、23题每题10分，24题12分，共72分）‎ ‎17．（8分）先化简，再从﹣1、2、3、4中选一个合适的数作为x的值代入求值．‎ ‎（x‎2‎‎-2xx‎2‎‎-4x+4‎‎-‎‎4‎x-2‎）‎‎÷‎x-4‎x‎2‎‎-4‎ ‎18．（8分）如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点O是对角线BD的中点，过点O的直线分别交AB、CD边于点E、F．‎ ‎（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；‎ ‎（2）当DE＝DF时，求EF的长．‎ ‎19．（8分）某校为了解全校学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情况，随机选取该校部分学生进行调查，要求每名学生从中选出一类最喜爱的电视节目，以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分．‎ 类别 A B C D E 类型 新闻 体育 动画 娱乐 戏曲 人数 ‎11‎ ‎20‎ ‎40‎ m ‎4‎ 请你根据以上信息，回答下列问题：‎ ‎（1）统计表中m的值为　 　，统计图中n的值为　 　，A类对应扇形的圆心角为　 　度；‎ ‎（2）该校共有1500名学生，根据调查结果，估计该校最喜爱体育节目的学生人数；‎ ‎（3）样本数据中最喜爱戏曲节目的有4人，其中仅有1名男生．从这4人中任选2名同学去观赏戏曲表演，请用树状图或列表求所选2名同学中有男生的概率．‎ ‎20．（8分）已知关于x的方程x2﹣2x+2k﹣1＝0有实数根．‎ ‎（1）求k的取值范围；‎ ‎（2）设方程的两根分别是x1、x2，且x‎2‎x‎1‎‎+x‎1‎x‎2‎=‎x1•x2，试求k的值．‎ ‎21．（8分）为积极参与鄂州市全国文明城市创建活动，我市某校在教学楼顶部新建了一块大型宣传牌，如下图．小明同学为测量宣传牌的高度AB，他站在距离教学楼底部E处6米远的地面C处，测得宣传牌的底部B的仰角为60°，同时测得教学楼窗户D处的仰角为30°（A、B、D、E在同一直线上）．然后，小明沿坡度i＝1：1.5的斜坡从C走到F处，此时DF正好与地面CE平行．‎ ‎（1）求点F到直线CE的距离（结果保留根号）；‎ ‎（2）若小明在F处又测得宣传牌顶部A的仰角为45°，求宣传牌的高度AB（结果精确到0.1米，‎2‎‎≈‎1.41，‎3‎‎≈‎1.73）．‎ ‎22．（10分）如图，PA是⊙O的切线，切点为A，AC是⊙O的直径，连接OP交⊙O于E．过A点作AB⊥PO于点D，交⊙O于B，连接BC，PB．‎ ‎（1）求证：PB是⊙O的切线；‎ ‎（2）求证：E为△PAB的内心；‎ ‎（3）若cos∠PAB‎=‎‎10‎‎10‎，BC＝1，求PO的长．‎ ‎23．（10分）“互联网+”时代，网上购物备受消费者青睐．某网店专售一款休闲裤，其成本为每条40元，当售价为每条80元时，每月可销售100条．为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降1元，则每月可多销售5条．设每条裤子的售价为x元（x为正整数），每月的销售量为y条．‎ ‎（1）直接写出y与x的函数关系式；‎ ‎（2）设该网店每月获得的利润为w元，当销售单价降低多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？‎ ‎（3）该网店店主热心公益事业，决定每月从利润中捐出200元资助贫困学生．为了保证捐款后每月利润不低于4220元，且让消费者得到最大的实惠，该如何确定休闲裤的销售单价？‎ ‎24．（12分）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，AB＝4，交y轴于点C，对称轴是直线x＝1．‎ ‎（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；‎ ‎（2）连接BC，E是线段OC上一点，E关于直线x＝1的对称点F正好落在BC上，求点F的坐标；‎ ‎（3）动点M从点O出发，以每秒2个单位长度的速度向点B运动，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，交线段BC于点Q．设运动时间为t（t＞0）秒．‎ ‎①若△AOC与△BMN相似，请直接写出t的值；‎ ‎②△BOQ能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．‎ ‎2019年湖北省鄂州市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（每小题3分，共30分）‎ ‎1．（3分）﹣2019的绝对值是（　　）‎ A．2019 B．﹣2019 C．‎1‎‎2019‎ D．‎‎-‎‎1‎‎2019‎ ‎【解答】解：﹣2019的绝对值是：2019．‎ 故选：A．‎ ‎2．（3分）下列运算正确的是（　　）‎ A．a3•a2 ＝a6 B．a7÷a3 ＝a4 ‎ C．（﹣3a）2 ＝﹣6a2 D．（a﹣1）2＝a2 ﹣1‎ ‎【解答】解：A、原式＝a5，不符合题意；‎ B、原式＝a4，符合题意；‎ C、原式＝9a2，不符合题意；‎ D、原式＝a2﹣2a+1，不符合题意，‎ 故选：B．‎ ‎3．（3分）据统计，2019年全国高考人数再次突破千万，高达1031万人．数据1031万用科学记数法可表示为（　　）‎ A．0.1031×106 B．1.031×107 C．1.031×108 D．10.31×109‎ ‎【解答】解：将1031万用科学记数法可表示为1.031×107．‎ 故选：B．‎ ‎4．（3分）如图是由7个小正方体组合成的几何体，则其左视图为（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【解答】解：从左面看易得其左视图为：‎ 故选：A．‎ ‎5．（3分）如图，一块直角三角尺的一个顶点落在直尺的一边上，若∠2＝35°，则∠1的度数为（　　）‎ A．45° B．55° C．65° D．75°‎ ‎【解答】解：如图，‎ 作EF∥AB∥CD，‎ ‎∴∠2＝∠AEF＝35°，∠1＝∠FEC，‎ ‎∵∠AEC＝90°，‎ ‎∴∠1＝90°﹣35°＝55°，‎ 故选：B．‎ ‎6．（3分）已知一组数据为7，2，5，x，8，它们的平均数是5，则这组数据的方差为（　　）‎ A．3 B．4.5 C．5.2 D．6‎ ‎【解答】解：∵一组数据7，2，5，x，8的平均数是5，‎ ‎∴5‎=‎‎1‎‎5‎（7+2+5+x+8），‎ ‎∴x＝5×5﹣7﹣2﹣5﹣8＝3，‎ ‎∴s2‎=‎‎1‎‎5‎[（7﹣5）2+（2﹣5）2+（5﹣5）2+（3﹣5）2+（8﹣5）2]＝5.2，‎ 故选：C．‎ ‎7．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0的两实数根分别为x1、x2，且x1+3x2＝5，则m的值为（　　）‎ A．‎7‎‎4‎ B．‎7‎‎5‎ C．‎7‎‎6‎ D．0‎ ‎【解答】解：∵x1+x2＝4，‎ ‎∴x1+3x2＝x1+x2+2x2＝4+2x2＝5，‎ ‎∴x2‎=‎‎1‎‎2‎，‎ 把x2‎=‎‎1‎‎2‎代入x2﹣4x+m＝0得：（‎1‎‎2‎）2﹣4‎×‎1‎‎2‎+‎m＝0，‎ 解得：m‎=‎‎7‎‎4‎，‎ 故选：A．‎ ‎8．（3分）在同一平面直角坐标系中，函数y＝﹣x+k与y‎=‎kx（k为常数，且k≠0）的图象大致是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【解答】解：∵函数y＝﹣x+k与y‎=‎kx（k为常数，且k≠0），‎ ‎∴当k＞0时，y＝﹣x+k经过第一、二、四象限，y‎=‎kx经过第一、三象限，故选项A、B错误，‎ 当k＜0时，y＝﹣x+k经过第二、三、四象限，y‎=‎kx经过第二、四象限，故选项C正确，选项D错误，‎ 故选：C．‎ ‎9．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1．下列结论：①abc＜0；②3a+c＞0；③（a+c）2﹣b2＜0；④a+b≤m（am+b）（m为实数）．其中结论正确的个数为（　　）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎【解答】解：①∵抛物线开口向上，∴a＞0，‎ ‎∵抛物线的对称轴在y轴右侧，∴b＜0‎ ‎∵抛物线与y轴交于负半轴，‎ ‎∴c＞0，‎ ‎∴abc＜0，①正确；‎ ‎②当x＝﹣1时，y＞0，∴a﹣b+c＞0，‎ ‎∵‎-b‎2a=1‎，∴b＝﹣2a，‎ 把b＝﹣2a代入a﹣b+c＞0中得3a+c＞0，所以②正确；‎ ‎③当x＝1时，y＜0，∴a+b+c＜0，‎ ‎∴a+c＜﹣b，‎ ‎∵a＞0，c＞0，﹣b＞0，‎ ‎∴（a+c）2＜（﹣b）2，即（a+c）2﹣b2＜0，所以③正确；‎ ‎④∵抛物线的对称轴为直线x＝1，‎ ‎∴x＝1时，函数的最小值为a+b+c，‎ ‎∴a+b+c≤am2+mb+c，‎ 即a+b≤m（am+b），所以④正确．‎ 故选：D．‎ ‎10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A1、A2、A3…An在x轴上，B1、B2、B3…Bn在直线y‎=‎‎3‎‎3‎x上，若A1（1，0），且△A1B1A2、△A2B2A3…△AnBnAn+1都是等边三角形，从左到右的小三角形（阴影部分）的面积分别记为S1、S2、S3…Sn．则Sn可表示为（　　）‎ A．22n‎3‎ B．22n﹣1‎3‎ C．22n﹣2‎3‎ D．22n﹣3‎‎3‎ ‎【解答】解：∵△A1B1A2、△A2B2A3…△AnBnAn+1都是等边三角形，‎ ‎∴A1B1∥A2B2∥A3B3∥…∥AnBn，B1A2∥B2A3∥B3A4∥…∥BnAn+1，△A1B1A2、△A2B2A3…△AnBnAn+1都是等边三角形，‎ ‎∵直线y‎=‎‎3‎‎3‎x与x轴的成角∠B1OA1＝30°，∠OA1B1＝120°，‎ ‎∴∠OB1A1＝30°，‎ ‎∴OA1＝A1B1，‎ ‎∵A1（1，0），‎ ‎∴A1B1＝1，‎ 同理∠OB2A2＝30°，…，∠OBnAn＝30°，‎ ‎∴B2A2＝OA2＝2，B3A3＝4，…，BnAn＝2n﹣1，‎ 易得∠OB1A2＝90°，…，∠OBnAn+1＝90°，‎ ‎∴B1B2‎=‎‎3‎，B2B3＝2‎3‎，…，BnBn+1＝2n‎3‎，‎ ‎∴S1‎=‎1‎‎2‎×‎1‎×‎3‎=‎‎3‎‎2‎，S2‎=‎1‎‎2‎×‎2×2‎3‎‎=‎2‎3‎，…，Sn‎=‎1‎‎2‎×‎2n﹣1×2n‎3‎‎=‎‎2‎‎2n-3‎‎3‎；‎ 故选：D．‎ 二.填空题（每小题3分，共18分）‎ ‎11．（3分）因式分解：4ax2﹣4ax+a＝　a（2x﹣1）2　．‎ ‎【解答】解：原式＝a（4x2﹣4x+1）＝a（2x﹣1）2，‎ 故答案为：a（2x﹣1）2‎ ‎12．（3分）若关于x、y的二元一次方程组x-3y=4m+3‎x+5y=5‎的解满足x+y≤0，则m的取值范围是　m≤﹣2　．‎ ‎【解答】解：x-3y=4m+3①‎x+5y=5②‎，‎ ‎①+②得2x+2y＝4m+8，‎ 则x+y＝2m+4，‎ 根据题意得2m+4≤0，‎ 解得m≤﹣2．‎ 故答案是：m≤﹣2．‎ ‎13．（3分）一个圆锥的底面半径r＝5，高h＝10，则这个圆锥的侧面积是　‎25‎5‎π　．‎ ‎【解答】解：∵圆锥的底面半径r＝5，高h＝10，‎ ‎∴圆锥的母线长为‎5‎‎2‎‎+1‎‎0‎‎2‎‎=‎5‎5‎，‎ ‎∴圆锥的侧面积为π×5‎5‎‎×‎5‎=25‎5‎π，‎ 故答案为：‎25‎5‎π．‎ ‎14．（3分）在平面直角坐标系中，点P（x0，y0）到直线Ax+By+C＝0的距离公式为：d‎=‎‎|Ax‎0‎+By‎0‎+C|‎A‎2‎‎+‎B‎2‎，则点P（3，﹣3）到直线y‎=-‎‎2‎‎3‎x‎+‎‎5‎‎3‎的距离为　‎8‎‎13‎‎13‎　．‎ ‎【解答】解：∵y‎=-‎‎2‎‎3‎x‎+‎‎5‎‎3‎ ‎∴2x+3y﹣5＝0‎ ‎∴点P（3，﹣3）到直线y‎=-‎‎2‎‎3‎x‎+‎‎5‎‎3‎的距离为：‎|2×3+3×(-3)-5|‎‎2‎‎2‎‎+‎‎3‎‎2‎‎=‎‎8‎‎13‎‎13‎，‎ 故答案为：‎8‎‎13‎‎13‎．‎ ‎15．（3分）如图，已知线段AB＝4，O是AB的中点，直线l经过点O，∠1＝60°，P点是直线l上一点，当△APB为直角三角形时，则BP＝　‎2或2‎3‎或2‎‎7‎　．‎ ‎【解答】解：∵AO＝OB＝2，‎ ‎∴当BP＝2时，∠APB＝90°，‎ 当∠PAB＝90°时，∵∠AOP＝60°，‎ ‎∴AP＝OA•tan∠AOP＝2‎3‎，‎ ‎∴BP‎=AB‎2‎+AP‎2‎=‎2‎7‎，‎ 当∠PBA＝90°时，∵∠AOP＝60°，‎ ‎∴BP＝OB•tan∠1＝2‎3‎，‎ 故答案为：2或2‎3‎或2‎7‎．‎ ‎16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知C（3，4），以点C为圆心的圆与y轴相切．点A、B在x轴上，且OA＝OB．点P为⊙C上的动点，∠APB＝90°，则AB长度的最大值为　16　．‎ ‎【解答】解：连接OC并延长，交⊙C上一点P，以O为圆心，以OP为半径作⊙O，交x轴于A、B，此时AB的长度最大，‎ ‎∵C（3，4），‎ ‎∴OC‎=‎3‎‎2‎‎+‎‎4‎‎2‎=‎5，‎ ‎∵以点C为圆心的圆与y轴相切．‎ ‎∴⊙C的半径为3，‎ ‎∴OP＝OA＝OB＝8，‎ ‎∵AB是直径，‎ ‎∴∠APB＝90°，‎ ‎∴AB长度的最大值为16，‎ 故答案为16．‎ 三.解答题（17～21题每题8分，22、23题每题10分，24题12分，共72分）‎ ‎17．（8分）先化简，再从﹣1、2、3、4中选一个合适的数作为x的值代入求值．‎ ‎（x‎2‎‎-2xx‎2‎‎-4x+4‎‎-‎‎4‎x-2‎）‎‎÷‎x-4‎x‎2‎‎-4‎ ‎【解答】解：原式＝[x(x-2)‎‎(x-2‎‎)‎‎2‎‎-‎‎4‎x-2‎]‎‎÷‎x-4‎x‎2‎‎-4‎ ‎＝[xx-2‎‎-‎‎4‎x-2‎]）‎‎÷‎x-4‎x‎2‎‎-4‎ ‎=‎x-4‎x-2‎‎•‎(x-2)(x+2)‎x-4‎ ‎ ‎＝x+2‎ ‎∵x﹣2≠0，x﹣4≠0，‎ ‎∴x≠2且x≠4，‎ ‎∴当x＝﹣1时，‎ 原式＝﹣1+2＝1．‎ ‎18．（8分）如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点O是对角线BD的中点，过点O的直线分别交AB、CD边于点E、F．‎ ‎（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；‎ ‎（2）当DE＝DF时，求EF的长．‎ ‎【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴AB∥CD，‎ ‎∴∠DFO＝∠BEO，‎ 又因为∠DOF＝∠BOE，OD＝OB，‎ ‎∴△DOF≌△BOE（ASA），‎ ‎∴DF＝BE，‎ 又因为DF∥BE，‎ ‎∴四边形BEDF是平行四边形；‎ ‎（2）解：∵DE＝DF，四边形BEDF是平行四边形 ‎∴四边形BEDF是菱形，‎ ‎∴DE＝BE，EF⊥BD，OE＝OF，‎ 设AE＝x，则DE＝BE＝8﹣x 在Rt△ADE中，根据勾股定理，有AE2+AD2＝DE2‎ ‎∴x2+62＝（8﹣x）2，‎ 解之得：x‎=‎‎7‎‎4‎，‎ ‎∴DE＝8‎-‎7‎‎4‎=‎‎25‎‎4‎，‎ 在Rt△ABD中，根据勾股定理，有AB2+AD2＝BD2‎ ‎∴BD‎=‎6‎‎2‎‎+‎‎8‎‎2‎=10‎，‎ ‎∴OD‎=‎‎1‎‎2‎ BD＝5，‎ 在Rt△DOE中，根据勾股定理，有DE2 ﹣OD2＝OE2，‎ ‎∴OE‎=‎(‎25‎‎4‎‎)‎‎2‎-‎‎5‎‎2‎=‎‎15‎‎4‎，‎ ‎∴EF＝2OE‎=‎‎15‎‎2‎．‎ ‎19．（8分）某校为了解全校学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情况，随机选取该校部分学生进行调查，要求每名学生从中选出一类最喜爱的电视节目，以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分．‎ 类别 A B C D E 类型 新闻 体育 动画 娱乐 戏曲 人数 ‎11‎ ‎20‎ ‎40‎ m ‎4‎ 请你根据以上信息，回答下列问题：‎ ‎（1）统计表中m的值为　25　，统计图中n的值为　25　，A类对应扇形的圆心角为　39.6　度；‎ ‎（2）该校共有1500名学生，根据调查结果，估计该校最喜爱体育节目的学生人数；‎ ‎（3）样本数据中最喜爱戏曲节目的有4人，其中仅有1名男生．从这4人中任选2名同学去观赏戏曲表演，请用树状图或列表求所选2名同学中有男生的概率．‎ ‎【解答】解：（1）∵样本容量为20÷20%＝100，‎ ‎∴m＝100﹣（11+20+40+4）＝25，n%‎=‎25‎‎100‎×‎100%＝25%，A类对应扇形的圆心角为360°‎×‎11‎‎100‎=‎39.6°，‎ 故答案为：25、25、39.6．‎ ‎（2）1500‎×‎20‎‎100‎=‎300（人）‎ 答：该校最喜爱体育节目的人数约有300人；‎ ‎（3）画树状图如下：‎ 共有12种情况，所选2名同学中有男生的有6种结果，‎ 所以所选2名同学中有男生的概率为‎1‎‎2‎．‎ ‎20．（8分）已知关于x的方程x2﹣2x+2k﹣1＝0有实数根．‎ ‎（1）求k的取值范围；‎ ‎（2）设方程的两根分别是x1、x2，且x‎2‎x‎1‎‎+x‎1‎x‎2‎=‎x1•x2，试求k的值．‎ ‎【解答】（1）解：∵原方程有实数根，‎ ‎∴b2﹣4ac≥0∴（﹣2）2﹣4（2k﹣1）≥0‎ ‎∴k≤1‎ ‎（2）∵x1，x2是方程的两根，根据一元二次方程根与系数的关系，得：‎ ‎ x1+x2 ＝2，x1 •x2 ＝2k﹣1‎ 又∵x‎2‎x‎1‎‎+x‎1‎x‎2‎=‎x1•x2，‎ ‎∴‎x‎1‎‎2‎‎+‎x‎2‎‎2‎x‎1‎‎⋅x‎2‎‎=‎x‎1‎‎⋅x‎2‎ ‎∴（x1+x2）2﹣2x1 x2 ＝（x1 •x2）2 ‎ ‎∴22﹣2（2k﹣1）＝（2k﹣1）2 ‎ 解之，得：k‎1‎‎=‎5‎‎2‎，k‎2‎=-‎‎5‎‎2‎．经检验，都符合原分式方程的根 ‎∵k≤1‎ ‎∴k=-‎‎5‎‎2‎．‎ ‎21．（8分）为积极参与鄂州市全国文明城市创建活动，我市某校在教学楼顶部新建了一块大型宣传牌，如下图．小明同学为测量宣传牌的高度AB，他站在距离教学楼底部E处6米远的地面C处，测得宣传牌的底部B的仰角为60°，同时测得教学楼窗户D处的仰角为30°（A、B、D、E在同一直线上）．然后，小明沿坡度i＝1：1.5的斜坡从C走到F处，此时DF正好与地面CE平行．‎ ‎（1）求点F到直线CE的距离（结果保留根号）；‎ ‎（2）若小明在F处又测得宣传牌顶部A的仰角为45°，求宣传牌的高度AB（结果精确到0.1米，‎2‎‎≈‎1.41，‎3‎‎≈‎1.73）．‎ ‎【解答】解：（1）过点F作FG⊥EC于G，‎ 依题意知FG∥DE，DF∥GE，∠FGE＝90° ；‎ ‎∴四边形DEFG是矩形；‎ ‎∴FG＝DE；‎ 在Rt△CDE中，‎ DE＝CE•tan∠DCE；‎ ‎＝6×tan30 o ＝2‎3‎ （米）；‎ ‎∴点F到地面的距离为2‎3‎ 米；‎ ‎（2）∵斜坡CF i＝1：1.5．‎ ‎∴Rt△CFG中，CG＝1.5FG＝2‎3‎‎×‎1.5＝3‎3‎，‎ ‎∴FD＝EG＝3‎3‎‎+‎6．‎ 在Rt△BCE中，‎ BE＝CE•tan∠BCE＝6×tan60 o ＝6‎3‎．‎ ‎∴AB＝AD+DE﹣BE．‎ ‎＝3‎3‎‎+‎6+2‎3‎‎-‎6‎3‎‎=‎6‎-‎3‎≈‎4.3 （米）．‎ 答：宣传牌的高度约为4.3米．‎ ‎22．（10分）如图，PA是⊙O的切线，切点为A，AC是⊙O的直径，连接OP交⊙O于E．过A点作AB⊥PO于点D，交⊙O于B，连接BC，PB．‎ ‎（1）求证：PB是⊙O的切线；‎ ‎（2）求证：E为△PAB的内心；‎ ‎（3）若cos∠PAB‎=‎‎10‎‎10‎，BC＝1，求PO的长．‎ ‎【解答】（1）证明：连结OB，‎ ‎∵AC为⊙O的直径，‎ ‎∴∠ABC＝90°，‎ ‎∵AB⊥PO，‎ ‎∴PO∥BC ‎∴∠AOP＝∠C，∠POB＝∠OBC，‎ OB＝OC，‎ ‎∴∠OBC＝∠C，‎ ‎∴∠AOP＝∠POB，‎ 在△AOP和△BOP中，‎ OA=OB‎∠AOP=∠POBPO=PO‎，‎ ‎∴△AOP≌△BOP（SAS），‎ ‎∴∠OBP＝∠OAP，‎ ‎∵PA为⊙O的切线，‎ ‎∴∠OAP＝90°，‎ ‎∴∠OBP＝90°，‎ ‎∴PB是⊙O的切线；‎ ‎（2）证明：连结AE，‎ ‎∵PA为⊙O的切线，‎ ‎∴∠PAE+∠OAE＝90°，‎ ‎∵AD⊥ED，‎ ‎∴∠EAD+∠AED＝90°，‎ ‎∵OE＝OA，‎ ‎∴∠OAE＝∠AED，‎ ‎∴∠PAE＝∠DAE，即EA平分∠PAD，‎ ‎∵PA、PD为⊙O的切线，‎ ‎∴PD平分∠APB ‎∴E为△PAB的内心；‎ ‎（3）解：∵∠PAB+∠BAC＝90°，∠C+∠BAC＝90°，‎ ‎∴∠PAB＝∠C，‎ ‎∴cos∠C＝cos∠PAB‎=‎‎10‎‎10‎，‎ 在Rt△ABC中，cos∠C‎=BCAC=‎1‎AC=‎‎10‎‎10‎，‎ ‎∴AC‎=‎‎10‎，AO‎=‎‎10‎‎2‎，‎ ‎∵△PAO∽△ABC，‎ ‎∴POAC‎=‎AOBC，‎ ‎∴PO‎=AOBC⋅AC=‎10‎‎2‎‎1‎⋅‎10‎=‎5．‎ ‎23．（10分）“互联网+”时代，网上购物备受消费者青睐．某网店专售一款休闲裤，其成本为每条40元，当售价为每条80元时，每月可销售100条．为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降1元，则每月可多销售5条．设每条裤子的售价为x元（x为正整数），每月的销售量为y条．‎ ‎（1）直接写出y与x的函数关系式；‎ ‎（2）设该网店每月获得的利润为w元，当销售单价降低多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？‎ ‎（3）该网店店主热心公益事业，决定每月从利润中捐出200元资助贫困学生．为了保证捐款后每月利润不低于4220元，且让消费者得到最大的实惠，该如何确定休闲裤的销售单价？‎ ‎【解答】解：（1）由题意可得：y＝100+5（80﹣x）整理得 y＝﹣5x+500；‎ ‎（2）由题意，得：‎ w＝（x﹣40）（﹣5x+500）‎ ‎＝﹣5x2+700x﹣20000‎ ‎＝﹣5（x﹣70）2+4500‎ ‎∵a＝﹣5＜0∴w有最大值 即当x＝70时，w最大值＝4500‎ ‎∴应降价80﹣70＝10（元）‎ 答：当降价10元时，每月获得最大利润为4500元；‎ ‎（3）由题意，得：‎ ‎﹣5（x﹣70）2+4500＝4220+200‎ 解之，得：x1＝66，x2 ＝74，‎ ‎∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝70，‎ ‎∴当66≤x≤74时，符合该网店要求 而为了让顾客得到最大实惠，故x＝66‎ ‎∴当销售单价定为66元时，即符合网店要求，又能让顾客得到最大实惠．‎ ‎24．（12分）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，AB＝4，交y轴于点C，对称轴是直线x＝1．‎ ‎（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；‎ ‎（2）连接BC，E是线段OC上一点，E关于直线x＝1的对称点F正好落在BC上，求点F的坐标；‎ ‎（3）动点M从点O出发，以每秒2个单位长度的速度向点B运动，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，交线段BC于点Q．设运动时间为t（t＞0）秒．‎ ‎①若△AOC与△BMN相似，请直接写出t的值；‎ ‎②△BOQ能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．‎ ‎【解答】解：（1））∵点A、B关于直线x＝1对称，AB＝4，‎ ‎∴A（﹣1，0），B（3，0），‎ 代入y＝﹣x2+bx+c中，得：‎-9+3b+c=0‎‎-1-b+c=0‎，解得b=2‎c=3‎，‎ ‎∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，‎ ‎∴C点坐标为（0，3）；‎ ‎（2）设直线BC的解析式为y＝mx+n，‎ 则有：n=3‎‎3m+n=0‎，解得m=-1‎n=3‎，‎ ‎∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，‎ ‎∵点E、F关于直线x＝1对称，‎ 又E到对称轴的距离为1，‎ ‎∴EF＝2，‎ ‎∴F点的横坐标为2，将x＝2代入y＝﹣x+3中，‎ 得：y＝﹣2+3＝1，‎ ‎∴F（2，1）；‎ ‎（3）①如下图，‎ MN＝﹣4t2+4t+3，MB＝3﹣2t，‎ ‎△AOC与△BMN相似，则MBMN‎=OAOC或OCOA，‎ 即：‎3-2t‎-4t‎2‎+4t+3‎‎=3或‎1‎‎3‎，‎ 解得：t‎=‎‎3‎‎2‎或‎-‎‎1‎‎3‎或3或1（舍去‎3‎‎2‎、‎-‎‎1‎‎3‎、3），‎ 故：t＝1；‎ ‎②∵M（2t，0），MN⊥x轴，∴Q（2t，3﹣2t），‎ ‎∵△BOQ为等腰三角形，∴分三种情况讨论，‎ 第一种，当OQ＝BQ时，‎ ‎∵QM⊥OB ‎∴OM＝MB ‎∴2t＝3﹣2t ‎∴t‎=‎‎3‎‎4‎；‎ 第二种，当BO＝BQ时，在Rt△BMQ中 ‎∵∠OBQ＝45°，‎ ‎∴BQ‎=‎2‎BM，‎ ‎∴BO‎=‎2‎BM，‎ 即3‎=‎2‎(3-2t)‎，‎ ‎∴t‎=‎‎6-3‎‎2‎‎4‎；‎ 第三种，当OQ＝OB时，‎ 则点Q、C重合，此时t＝0‎ 而t＞0，故不符合题意 综上述，当t‎=‎3‎‎4‎秒或‎6-3‎‎2‎‎4‎秒时，△BOQ为等腰三角形．‎ 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布 日期：2019/6/30 10:04:39；用户：中考培优辅导；邮箱：p5193@xyh.com；学号：27411521‎