2019年浙江省湖州市中考数学试卷含答案

2019年浙江省湖州市中考数学试卷含答案

‎2019年浙江省湖州市中考数学试卷 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的。请选出各题中一个最符合题意的选项，并在答题卷上将相应题次中对应字母的方框涂黑，不选、多选、错选均不给分。‎ ‎1．（3分）数2的倒数是（　　）‎ A．﹣2 B．2 C．‎-‎‎1‎‎2‎ D．‎‎1‎‎2‎ ‎2．（3分）据统计，龙之梦动物世界在2019年“五一”小长假期间共接待游客约238000人次．用科学记数法可将238000表示为（　　）‎ A．238×103 B．23.8×104 C．2.38×105 D．0.238×106‎ ‎3．（3分）计算a-1‎a‎+‎‎1‎a，正确的结果是（　　）‎ A．1 B．‎1‎‎2‎ C．a D．‎‎1‎a ‎4．（3分）已知∠α＝60°32′，则∠α的余角是（　　）‎ A．29°28′ B．29°68′ C．119°28′ D．119°68′‎ ‎5．（3分）已知圆锥的底面半径为5cm，母线长为13cm，则这个圆锥的侧面积是（　　）‎ A．60πcm2 B．65πcm2 C．120πcm2 D．130πcm2‎ ‎6．（3分）已知现有的10瓶饮料中有2瓶已过了保质期，从这10瓶饮料中任取1瓶，恰好取到已过了保质期的饮料的概率是（　　）‎ A．‎1‎‎10‎ B．‎9‎‎10‎ C．‎1‎‎5‎ D．‎‎4‎‎5‎ ‎7．（3分）如图，已知正五边形ABCDE内接于⊙O，连结BD，则∠ABD的度数是（　　）‎ A．60° B．70° C．72° D．144°‎ ‎8．（3分）如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，BC＝9，CD＝4，则四边形ABCD的面积是（　　）‎ A．24 B．30 C．36 D．42‎ ‎9．（3分）在数学拓展课上，小明发现：若一条直线经过平行四边形对角线的交点，则这条直线平分该平行四边形的面积．如图是由5个边长为1的小正方形拼成的图形，P是其中4个小正方形的公共顶点，小强在小明的启发下，将该图形沿着过点P的某条直线剪一刀，把它剪成了面积相等的两部分，则剪痕的长度是（　　）‎ A．2‎2‎ B．‎5‎ C．‎3‎‎5‎‎2‎ D．‎‎10‎ ‎10．（3分）已知a，b是非零实数，|a|＞|b|，在同一平面直角坐标系中，二次函数y1＝ax2+bx与一次函数y2＝ax+b的大致图象不可能是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ 二、填空题（本题有6小题,每小题4分,共24分)‎ ‎11．（4分）分解因式：x2﹣9＝　 　．‎ ‎12．（4分）已知一条弧所对的圆周角的度数是15°，则它所对的圆心角的度数是　 　．‎ ‎13．（4分）学校进行广播操比赛，如图是20位评委给某班的评分情况统计图，则该班的平均得分是　 　分．‎ ‎14．（4分）有一种落地晾衣架如图1所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调整晾衣杆的高度．图2是支撑杆的平面示意图，AB和CD分别是两根不同长度的支撑杆，夹角∠BOD＝α．若AO＝85cm，BO＝DO＝65cm．问：当α＝74°时，较长支撑杆的端点A离地面的高度h约为　 　cm．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，sin53°≈0.8，cos53°≈0.6．）‎ ‎15．（4分）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，直线y‎=‎‎1‎‎2‎x﹣1分别交x轴，y轴于点A和点B，分别交反比例函数y1‎=‎kx（k＞0，x＞0），y2‎=‎‎2kx（x＜0）的图象于点C和点D，过点C作CE⊥x轴于点E，连结OC，OD．若△COE的面积与△DOB的面积相等，则k的值是　 　．‎ ‎16．（4分）七巧板是我国祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”．由边长为4‎2‎的正方形ABCD可以制作一副如图1所示的七巧板，现将这副七巧板在正方形EFGH内拼成如图2所示的“拼搏兔”造型（其中点Q、R分别与图2中的点E、G重合，点P在边EH上），则“拼搏兔”所在正方形EFGH的边长是　 　．‎ 三、解答题（本题有8小题，共66分）‎ ‎17．（6分）计算：（﹣2）3‎+‎1‎‎2‎×‎8．‎ ‎18．（6分）化简：（a+b）2﹣b（2a+b）．‎ ‎19．（6分）已知抛物线y＝2x2﹣4x+c与x轴有两个不同的交点．‎ ‎（1）求c的取值范围；‎ ‎（2）若抛物线y＝2x2﹣4x+c经过点A（2，m）和点B（3，n），试比较m与n的大小，并说明理由．‎ ‎20．（8分）我市自开展“学习新思想，做好接班人”主题阅读活动以来，受到各校的广泛关注和同学们的积极响应，某校为了解全校学生主题阅读的情况，随机抽查了部分学生在某一周主题阅读文章的篇数，并制成下列统计图表．‎ 某校抽查的学生文章阅读的篇数统计表 ‎ 文章阅读的篇数（篇）‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7及以上 人数（人）‎ ‎20‎ ‎28‎ m ‎16‎ ‎12‎ 请根据统计图表中的信息，解答下列问题：‎ ‎（1）求被抽查的学生人数和m的值；‎ ‎（2）求本次抽查的学生文章阅读篇数的中位数和众数；‎ ‎（3）若该校共有800名学生，根据抽查结果，估计该校学生在这一周内文章阅读的篇数为4篇的人数．‎ ‎21．（8分）如图，已知在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，连结DF，EF，BF．‎ ‎（1）求证：四边形BEFD是平行四边形；‎ ‎（2）若∠AFB＝90°，AB＝6，求四边形BEFD的周长．‎ ‎22．（10分）某校的甲、乙两位老师同住一小区，该小区与学校相距2400米．甲从小区步行去学校，出发10分钟后乙再出发，乙从小区先骑公共自行车，途经学校又骑行若干米到达还车点后，立即步行走回学校．已知甲步行的速度比乙步行的速度每分钟快5米．设甲步行的时间为x（分），图1中线段OA和折线B﹣C﹣D 分别表示甲、乙离开小区的路程y（米）与甲步行时间x（分）的函数关系的图象；图2表示甲、乙两人之间的距离s（米）与甲步行时间x（分）的函数关系的图象（不完整）．‎ 根据图1和图2中所给信息，解答下列问题：‎ ‎（1）求甲步行的速度和乙出发时甲离开小区的路程；‎ ‎（2）求乙骑自行车的速度和乙到达还车点时甲、乙两人之间的距离；‎ ‎（3）在图2中，画出当25≤x≤30时s关于x的函数的大致图象．（温馨提示：请画在答题卷相对应的图上）‎ ‎23．（10分）已知在平面直角坐标系xOy中，直线l1分别交x轴和y轴于点A（﹣3，0），B（0，3）．‎ ‎（1）如图1，已知⊙P经过点O，且与直线l1相切于点B，求⊙P的直径长；‎ ‎（2）如图2，已知直线l2：y＝3x﹣3分别交x轴和y轴于点C和点D，点Q是直线l2上的一个动点，以Q为圆心，2‎2‎为半径画圆．‎ ‎①当点Q与点C重合时，求证：直线l1与⊙Q相切；‎ ‎②设⊙Q与直线l1相交于M，N两点，连结QM，QN．问：是否存在这样的点Q，使得△QMN是等腰直角三角形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎24．（12分）如图1，已知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是矩形，点A，C分别在x轴和y轴的正半轴上，连结AC，OA＝3，tan∠OAC‎=‎‎3‎‎3‎，D是BC的中点．‎ ‎（1）求OC的长和点D的坐标；‎ ‎（2）如图2，M是线段OC上的点，OM‎=‎‎2‎‎3‎OC，点P是线段OM上的一个动点，经过P，D，B三点的抛物线交x轴的正半轴于点E，连结DE交AB于点F．‎ ‎①将△DBF沿DE所在的直线翻折，若点B恰好落在AC上，求此时BF的长和点E的坐标；‎ ‎②以线段DF为边，在DF所在直线的右上方作等边△DFG，当动点P从点O运动到点M时，点G也随之运动，请直接写出点G运动路径的长．‎ ‎2019年浙江省湖州市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的。请选出各题中一个最符合题意的选项，并在答题卷上将相应题次中对应字母的方框涂黑，不选、多选、错选均不给分。‎ ‎1．（3分）数2的倒数是（　　）‎ A．﹣2 B．2 C．‎-‎‎1‎‎2‎ D．‎‎1‎‎2‎ ‎【解答】解：2的倒数是‎1‎‎2‎；‎ 故选：D．‎ ‎2．（3分）据统计，龙之梦动物世界在2019年“五一”小长假期间共接待游客约238000人次．用科学记数法可将238000表示为（　　）‎ A．238×103 B．23.8×104 C．2.38×105 D．0.238×106‎ ‎【解答】解：238000＝2.38×105‎ 故选：C．‎ ‎3．（3分）计算a-1‎a‎+‎‎1‎a，正确的结果是（　　）‎ A．1 B．‎1‎‎2‎ C．a D．‎‎1‎a ‎【解答】解：原式‎=a-1+1‎a=‎1．‎ 故选：A．‎ ‎4．（3分）已知∠α＝60°32′，则∠α的余角是（　　）‎ A．29°28′ B．29°68′ C．119°28′ D．119°68′‎ ‎【解答】解：∵∠α＝60°32′，‎ ‎∠α的余角是为：90°﹣60°32′＝29°28′，‎ 故选：A．‎ ‎5．（3分）已知圆锥的底面半径为5cm，母线长为13cm，则这个圆锥的侧面积是（　　）‎ A．60πcm2 B．65πcm2 C．120πcm2 D．130πcm2‎ ‎【解答】解：这个圆锥的侧面积‎=‎1‎‎2‎×‎2π×5×13＝65π（cm2）．‎ 故选：B．‎ ‎6．（3分）已知现有的10瓶饮料中有2瓶已过了保质期，从这10瓶饮料中任取1瓶，恰好取到已过了保质期的饮料的概率是（　　）‎ A．‎1‎‎10‎ B．‎9‎‎10‎ C．‎1‎‎5‎ D．‎‎4‎‎5‎ ‎【解答】解：从这10瓶饮料中任取1瓶，恰好取到已过了保质期的饮料的概率‎=‎2‎‎10‎=‎‎1‎‎5‎．‎ 故选：C．‎ ‎7．（3分）如图，已知正五边形ABCDE内接于⊙O，连结BD，则∠ABD的度数是（　　）‎ A．60° B．70° C．72° D．144°‎ ‎【解答】解：∵五边形ABCDE为正五边形，‎ ‎∴∠ABC＝∠C‎=‎(5-2)×180°‎‎5‎=‎108°，‎ ‎∵CD＝CB，‎ ‎∴∠CBD‎=‎180°-108°‎‎2‎=‎36°，‎ ‎∴∠ABD＝∠ABC﹣∠CBD＝72°，‎ 故选：C．‎ ‎8．（3分）如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，BC＝9，CD＝4，则四边形ABCD的面积是（　　）‎ A．24 B．30 C．36 D．42‎ ‎【解答】解：过D作DH⊥AB交BA的延长线于H，‎ ‎∵BD平分∠ABC，∠BCD＝90°，‎ ‎∴DH＝CD＝4，‎ ‎∴四边形ABCD的面积＝S△ABD+S△BCD‎=‎‎1‎‎2‎AB•DH‎+‎‎1‎‎2‎BC•CD‎=‎1‎‎2‎×‎6×4‎+‎1‎‎2‎×‎9×4＝30，‎ 故选：B．‎ ‎9．（3分）在数学拓展课上，小明发现：若一条直线经过平行四边形对角线的交点，则这条直线平分该平行四边形的面积．如图是由5个边长为1的小正方形拼成的图形，P是其中4个小正方形的公共顶点，小强在小明的启发下，将该图形沿着过点P的某条直线剪一刀，把它剪成了面积相等的两部分，则剪痕的长度是（　　）‎ A．2‎2‎ B．‎5‎ C．‎3‎‎5‎‎2‎ D．‎‎10‎ ‎【解答】解：如图，经过P、Q的直线则把它剪成了面积相等的两部分，‎ 由图形可知△AMC≌△FPE≌△BPD，‎ ‎∴AM＝PB，‎ ‎∴PM＝AB，‎ ‎∵PM‎=‎3‎‎2‎‎+‎‎1‎‎2‎=‎‎10‎，‎ ‎∴AB‎=‎‎10‎，‎ 故选：D．‎ ‎10．（3分）已知a，b是非零实数，|a|＞|b|，在同一平面直角坐标系中，二次函数y1＝ax2+bx与一次函数y2＝ax+b的大致图象不可能是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【解答】解：y=ax‎2‎+bxy=ax+b解得x=-‎bay=0‎或x=1‎y=a+b．‎ 故二次函数y＝ax2+bx与一次函数y＝ax+b（a≠0）在同一平面直角坐标系中的交点在x 轴上为（0，‎-‎ba）或点（1，a+b）．‎ 在A中，由一次函数图象可知a＞0，b＞0，二次函数图象可知，a＞0，b＞0，‎-ba＜‎0，a+b＞0，故选项A错误；‎ 在B中，由一次函数图象可知a＞0，b＜0，二次函数图象可知，a＞0，b＜0，由|a|＞|b|，则a+b＞0，故选项B错误；‎ 在C中，由一次函数图象可知a＜0，b＜0，二次函数图象可知，a＜0，b＜0，a+b＜0，故选项C错误；‎ 在D中，由一次函数图象可知a＜0，b＞0，二次函数图象可知，a＜0，b＞0，由|a|＞|b|，则a+b＜0，故选项D正确；‎ 故选：D．‎ 二、填空题（本题有6小题,每小题4分,共24分)‎ ‎11．（4分）分解因式：x2﹣9＝　（x+3）（x﹣3）　．‎ ‎【解答】解：x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）．‎ 故答案为：（x+3）（x﹣3）．‎ ‎12．（4分）已知一条弧所对的圆周角的度数是15°，则它所对的圆心角的度数是　30°　．‎ ‎【解答】解：∵一条弧所对的圆周角的度数是15°，‎ ‎∴它所对的圆心角的度数为2×15°＝30°．‎ 故答案为30°．‎ ‎13．（4分）学校进行广播操比赛，如图是20位评委给某班的评分情况统计图，则该班的平均得分是　9.1　分．‎ ‎【解答】解：该班的平均得分是：‎1‎‎20‎‎×‎（5×8+8×9+7×10）‎ ‎＝9.1（分）．‎ 故答案为：9.1．‎ ‎14．（4分）有一种落地晾衣架如图1所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调整晾衣杆的高度．图2是支撑杆的平面示意图，AB和CD分别是两根不同长度的支撑杆，夹角∠BOD＝α．若AO＝85cm，BO＝DO＝65cm．问：当α＝74°时，较长支撑杆的端点A离地面的高度h约为　120　cm．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，sin53°≈0.8，cos53°≈0.6．）‎ ‎【解答】解：过O作OE⊥BD，过A作AF⊥BD，可得OE∥AF，‎ ‎∵BO＝DO，‎ ‎∴OE平分∠BOD，‎ ‎∴∠BOE‎=‎‎1‎‎2‎∠BOD‎=‎1‎‎2‎×‎74°＝37°，‎ ‎∴∠FAB＝∠BOE＝37°，‎ 在Rt△ABF中，AB＝85+65＝150cm，‎ ‎∴h＝AF＝AB•cos∠FAB＝150×0.8＝120cm，‎ 故答案为：120‎ ‎15．（4分）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，直线y‎=‎‎1‎‎2‎x﹣1分别交x轴，y轴于点A和点B，分别交反比例函数y1‎=‎kx（k＞0，x＞0），y2‎=‎‎2kx（x＜0）的图象于点C和点D，过点C作CE⊥x轴于点E，连结OC，OD．若△COE的面积与△DOB的面积相等，则k的值是　2　．‎ ‎【解答】解：令x＝0，得y‎=‎‎1‎‎2‎x﹣1＝﹣1，‎ ‎∴B（0，﹣1），‎ ‎∴OB＝1，‎ 把y‎=‎‎1‎‎2‎x﹣1代入y2‎=‎‎2kx（x＜0）中得，‎1‎‎2‎x﹣1‎=‎‎2kx（x＜0），‎ 解得，x＝1‎-‎‎4k+1‎，‎ ‎∴xD‎=1-‎‎4k+1‎，‎ ‎∴S‎△OBD‎=‎1‎‎2‎OB⋅|xD|=‎1‎‎2‎‎4k+1‎-‎‎1‎‎2‎，‎ ‎∵CE⊥x轴，‎ ‎∴S‎△OCE‎=‎1‎‎2‎k，‎ ‎∵△COE的面积与△DOB的面积相等，‎ ‎∴‎1‎‎2‎‎4k+1‎‎-‎1‎‎2‎=‎1‎‎2‎k，‎ ‎∴k＝2，或k＝0（舍去）．‎ 故答案为：2．‎ ‎16．（4分）七巧板是我国祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”．由边长为4‎2‎的正方形ABCD可以制作一副如图1所示的七巧板，现将这副七巧板在正方形EFGH内拼成如图2所示的“拼搏兔”造型（其中点Q、R分别与图2中的点E、G重合，点P在边EH上），则“拼搏兔”所在正方形EFGH的边长是　4‎5‎　．‎ ‎【解答】解：如图2中，连接EG，作GM⊥EN交EN的延长线于M．‎ 在Rt△EMG中，∵GM＝4，EM＝2+2+4+4＝12，‎ ‎∴EG‎=EM‎2‎+GM‎2‎=‎1‎2‎‎2‎+‎‎4‎‎2‎=‎4‎10‎，‎ ‎∴EH‎=EG‎2‎=‎4‎5‎，‎ 故答案为4‎5‎．‎ 三、解答题（本题有8小题，共66分）‎ ‎17．（6分）计算：（﹣2）3‎+‎1‎‎2‎×‎8．‎ ‎【解答】解：（﹣2）3‎+‎1‎‎2‎×‎8＝﹣8+4＝﹣4；‎ ‎18．（6分）化简：（a+b）2﹣b（2a+b）．‎ ‎【解答】解：原式＝a2+2ab+b2﹣2ab﹣b2‎ ‎＝a2．‎ ‎19．（6分）已知抛物线y＝2x2﹣4x+c与x轴有两个不同的交点．‎ ‎（1）求c的取值范围；‎ ‎（2）若抛物线y＝2x2﹣4x+c经过点A（2，m）和点B（3，n），试比较m与n的大小，并说明理由．‎ ‎【解答】解：（1）∵抛物线y＝2x2﹣4x+c与x轴有两个不同的交点，‎ ‎∴△＝b2﹣4ac＝16﹣8c＞0，‎ ‎∴c＜2；‎ ‎（2）抛物线y＝2x2﹣4x+c的对称轴为直线x＝1，‎ ‎∴A（2，m）和点B（3，n）都在对称轴的右侧，‎ 当x≥1时，y随x的增大而增大，‎ ‎∴m＜n；‎ ‎20．（8分）我市自开展“学习新思想，做好接班人”主题阅读活动以来，受到各校的广泛关注和同学们的积极响应，某校为了解全校学生主题阅读的情况，随机抽查了部分学生在某一周主题阅读文章的篇数，并制成下列统计图表．‎ 某校抽查的学生文章阅读的篇数统计表 ‎ 文章阅读的篇数（篇）‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7及以上 人数（人）‎ ‎20‎ ‎28‎ m ‎16‎ ‎12‎ 请根据统计图表中的信息，解答下列问题：‎ ‎（1）求被抽查的学生人数和m的值；‎ ‎（2）求本次抽查的学生文章阅读篇数的中位数和众数；‎ ‎（3）若该校共有800名学生，根据抽查结果，估计该校学生在这一周内文章阅读的篇数为4篇的人数．‎ ‎【解答】解：（1）被调查的总人数为16÷16%＝100人，‎ m＝100﹣（20+28+16+12）＝24；‎ ‎（2）由于共有100个数据，其中位数为第50、51个数据的平均数，‎ 而第50、51个数据均为5篇，‎ 所以中位数为5篇，‎ 出现次数最多的是4篇，‎ 所以众数为4篇；‎ ‎（3）估计该校学生在这一周内文章阅读的篇数为4篇的人数为800‎×‎28‎‎100‎=‎224人．‎ ‎21．（8分）如图，已知在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，连结DF，EF，BF．‎ ‎（1）求证：四边形BEFD是平行四边形；‎ ‎（2）若∠AFB＝90°，AB＝6，求四边形BEFD的周长．‎ ‎【解答】（1）证明：∵D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，‎ ‎∴DF∥BC，EF∥AB，‎ ‎∴DF∥BE，EF∥BD，‎ ‎∴四边形BEFD是平行四边形；‎ ‎（2）解：∵∠AFB＝90°，D是AB的中点，AB＝6，‎ ‎∴DF＝DB＝DA‎=‎‎1‎‎2‎AB＝3，‎ ‎∵四边形BEFD是平行四边形，‎ ‎∴四边形BEFD是菱形，‎ ‎∵DB＝3，‎ ‎∴四边形BEFD的周长为12．‎ ‎22．（10分）某校的甲、乙两位老师同住一小区，该小区与学校相距2400米．甲从小区步行去学校，出发10分钟后乙再出发，乙从小区先骑公共自行车，途经学校又骑行若干米到达还车点后，立即步行走回学校．已知甲步行的速度比乙步行的速度每分钟快5米．设甲步行的时间为x（分），图1中线段OA和折线B﹣C﹣D分别表示甲、乙离开小区的路程y（米）与甲步行时间x（分）的函数关系的图象；图2表示甲、乙两人之间的距离s（米）与甲步行时间x（分）的函数关系的图象（不完整）．‎ 根据图1和图2中所给信息，解答下列问题：‎ ‎（1）求甲步行的速度和乙出发时甲离开小区的路程；‎ ‎（2）求乙骑自行车的速度和乙到达还车点时甲、乙两人之间的距离；‎ ‎（3）在图2中，画出当25≤x≤30时s关于x的函数的大致图象．（温馨提示：请画在答题卷相对应的图上）‎ ‎【解答】解：（1）由图可得，‎ 甲步行的速度为：2400÷30＝80（米/分），‎ 乙出发时甲离开小区的路程是10×80＝800（米），‎ 答：甲步行的速度是80米/分，乙出发时甲离开小区的路程是800米；‎ ‎（2）设直线OA的解析式为y＝kx，‎ ‎30k＝2800，得k＝80，‎ ‎∴直线OA的解析式为y＝80x，‎ 当x＝18时，y＝80×18＝1440，‎ 则乙骑自行车的速度为：1440÷（18﹣10）＝180（米/分），‎ ‎∵乙骑自行车的时间为：25﹣10＝15（分钟），‎ ‎∴乙骑自行车的路程为：180×15＝2700（米），‎ 当x＝25时，甲走过的路程为：80×25＝2000（米），‎ ‎∴乙到达还车点时，甲乙两人之间的距离为：2700﹣2000＝700（米），‎ 答：乙骑自行车的速度是180米/分，乙到达还车点时甲、乙两人之间的距离是700米；‎ ‎（3）乙步行的速度为：80﹣5＝75（米/分），‎ 乙到达学校用的时间为：25+（2700﹣2400）÷75＝29（分），‎ 当25≤x≤30时s关于x的函数的大致图象如右图所示．‎ ‎23．（10分）已知在平面直角坐标系xOy中，直线l1分别交x轴和y轴于点A（﹣3，0），B（0，3）．‎ ‎（1）如图1，已知⊙P经过点O，且与直线l1相切于点B，求⊙P的直径长；‎ ‎（2）如图2，已知直线l2：y＝3x﹣3分别交x轴和y轴于点C和点D，点Q是直线l2上的一个动点，以Q为圆心，2‎2‎为半径画圆．‎ ‎①当点Q与点C重合时，求证：直线l1与⊙Q相切；‎ ‎②设⊙Q与直线l1相交于M，N两点，连结QM，QN．问：是否存在这样的点Q，使得△QMN是等腰直角三角形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【解答】解：（1）如图1，连接BC，‎ ‎∵∠BOC＝90°，∴点P在BC上，‎ ‎∵⊙P与直线l1相切于点B，‎ ‎∴∠ABC＝90°，而OA＝OB，‎ ‎∴△ABC为等腰直角三角形，‎ 则⊙P的直径长＝BC＝AB＝3‎2‎；‎ ‎（2）过点作CM⊥AB，‎ 由直线l2：y＝3x﹣3得：点C（1，0），‎ 则CM＝ACsin45°＝4‎×‎2‎‎2‎=‎2‎2‎‎=‎圆的半径，‎ 故点M是圆与直线l1的切点，‎ 即：直线l1与⊙Q相切；‎ ‎（3）如图3，‎ ‎①当点M、N在两条直线交点的下方时，‎ 由题意得：MQ＝NQ，∠MQN＝90°，‎ 设点Q的坐标为（m，3m﹣3），则点N（m，m+3），‎ 则NQ＝m+3﹣3m+3＝2‎2‎，‎ 解得：m＝3‎-‎‎2‎；‎ ‎②当点M、N在两条直线交点的上方时，‎ 同理可得：m＝3‎+‎‎2‎；‎ 故点P的坐标为（3‎-‎‎2‎，6﹣3‎2‎）或（3‎+‎‎2‎，6+3‎2‎）．‎ ‎24．（12分）如图1，已知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是矩形，点A，C分别在x轴和y轴的正半轴上，连结AC，OA＝3，tan∠OAC‎=‎‎3‎‎3‎，D是BC的中点．‎ ‎（1）求OC的长和点D的坐标；‎ ‎（2）如图2，M是线段OC上的点，OM‎=‎‎2‎‎3‎OC，点P是线段OM上的一个动点，经过P，D，B三点的抛物线交x轴的正半轴于点E，连结DE交AB于点F．‎ ‎①将△DBF沿DE所在的直线翻折，若点B恰好落在AC上，求此时BF的长和点E的坐标；‎ ‎②以线段DF为边，在DF所在直线的右上方作等边△DFG，当动点P从点O运动到点 M时，点G也随之运动，请直接写出点G运动路径的长．‎ ‎【解答】解：（1）∵OA＝3，tan∠OAC‎=OCOA=‎‎3‎‎3‎，‎ ‎∴OC‎=‎‎3‎，‎ ‎∵四边形OABC是矩形，‎ ‎∴BC＝OA＝3，‎ ‎∵D是BC的中点，‎ ‎∴CD‎=‎‎1‎‎2‎BC‎=‎‎3‎‎2‎，‎ ‎∴D（‎3‎‎2‎，‎3‎）；‎ ‎（2）①∵tan∠OAC‎=‎‎3‎‎3‎，‎ ‎∴∠OAC＝30°，‎ ‎∴∠ACB＝∠OAC＝30°，‎ 设将△DBF沿DE所在的直线翻折后，点B恰好落在AC上的B'处，‎ 则DB'＝DB＝DC，∠BDF＝∠B'DF，‎ ‎∴∠DB'C＝∠ACB＝30°‎ ‎∴∠BDB'＝60°，‎ ‎∴∠BDF＝∠B'DF＝30°，‎ ‎∵∠B＝90°，‎ ‎∴BF＝BD•tan30°‎=‎‎3‎‎2‎，‎ ‎∵AB‎=‎‎3‎，‎ ‎∴AF＝BF‎=‎‎3‎‎2‎，‎ ‎∵∠BFD＝∠AEF，‎ ‎∴∠B＝∠FAE＝90°，‎ ‎∴△BFD≌△AFE（ASA），‎ ‎∴AE＝BD‎=‎‎3‎‎2‎，‎ ‎∴OE＝OA+AE‎=‎‎9‎‎2‎，‎ ‎∴点E的坐标（‎9‎‎2‎，0）；‎ ‎②动点P在点O时，‎ ‎∵抛物线过点P（0，0）、D（‎3‎‎2‎，‎3‎）、B（3，‎3‎）‎ 求得此时抛物线解析式为y‎=-‎‎2‎‎9‎x2‎+‎‎3‎x，‎ ‎∴E（‎9‎‎2‎，0），‎ ‎∴直线DE：y‎=-‎‎3‎‎3‎x‎+‎‎3‎‎2‎，‎ ‎∴F1（3，‎1‎‎2‎‎3‎）；‎ 当动点P从点O运动到点M时，‎ ‎∵抛物线过点P（0，‎2‎‎3‎‎3‎）、D（‎3‎‎2‎，‎3‎）、B（3，‎3‎）‎ 求得此时抛物线解析式为y‎=-‎‎2‎‎27‎‎3‎x2‎+‎‎3‎‎3‎x‎+‎‎2‎‎3‎‎3‎，‎ ‎∴E（6，0），‎ ‎∴直线DE：y‎=-‎‎2‎‎3‎‎9‎x‎+‎‎4‎‎3‎‎3‎，‎ ‎∴F2（3，‎2‎‎3‎‎3‎）；‎ ‎∴点F运动路径的长为F1F2‎=‎2‎‎3‎‎3‎-‎3‎‎2‎=‎‎3‎‎6‎，‎ ‎∵△DFG为等边三角形，‎ ‎∴G运动路径的长为‎3‎‎6‎．‎ 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布 日期：2019/6/30 10:03:00；用户：中考培优辅导；邮箱：p5193@xyh.com；学号：27411521‎