2019年江西省中考数学试卷含答案

2019年江西省中考数学试卷含答案

‎2019年江西省中考数学试卷 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分每小题只有一个正确选项）‎ ‎1．（3分）2的相反数是（　　）‎ A．2 B．﹣2 C．‎1‎‎2‎ D．‎‎-‎‎1‎‎2‎ ‎2．（3分）计算‎1‎a‎÷‎（‎-‎‎1‎a‎2‎）的结果为（　　）‎ A．a B．﹣a C．‎-‎‎1‎a‎3‎ D．‎‎1‎a‎3‎ ‎3．（3分）如图是手提水果篮抽象的几何体，以箭头所指的方向为主视图方向，则它的俯视图为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．（3分）根据《居民家庭亲子阅读消费调查报告》中的相关数据制成扇形统计图，由图可知，下列说法错误的是（　　）‎ A．扇形统计图能反映各部分在总体中所占的百分比 ‎ B．每天阅读30分钟以上的居民家庭孩子超过50% ‎ C．每天阅读1小时以上的居民家庭孩子占20% ‎ D．每天阅读30分钟至1小时的居民家庭孩子对应扇形的圆心角是108°‎ ‎5．（3分）已知正比例函数y1的图象与反比例函数y2的图象相交于点A（2，4），下列说法正确的是（　　）‎ A．反比例函数y2的解析式是y2‎=-‎‎8‎x ‎ B．两个函数图象的另一交点坐标为（2，﹣4） ‎ C．当x＜﹣2或0＜x＜2时，y1＜y2 ‎ D．正比例函数y1与反比例函数y2都随x的增大而增大 ‎6．（3分）如图，由10根完全相同的小棒拼接而成，请你再添2根与前面完全相同的小棒，拼接后的图形恰好有3个菱形的方法共有（　　）‎ A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）‎ ‎7．（3分）因式分解：x2﹣1＝　 　．‎ ‎8．（3分）我国古代数学名著《孙子算经》有估算方法：“方五，邪（通“斜”）七．见方求邪，七之，五而一．”译文为：如果正方形的边长为五，则它的对角线长为七．已知正方形的边长，求对角线长，则先将边长乘以七再除以五．若正方形的边长为1，由勾股定理得对角线长为‎2‎，依据《孙子算经》的方法，则它的对角线的长是　 　．‎ ‎9．（3分）设x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两根，则x1+x2+x1x2＝　 　．‎ ‎10．（3分）如图，在△ABC中，点D是BC上的点，∠BAD＝∠ABC＝40°，将△ABD沿着AD翻折得到△AED，则∠CDE＝　 　°．‎ ‎11．（3分）斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度．如图，某路口的斑马线路段A﹣B﹣C横穿双向行驶车道，其中AB＝BC＝6米，在绿灯亮时，小明共用11秒通过AC，其中通过BC的速度是通过AB速度的1.2倍，求小明通过AB时的速度．设小明通过AB时的速度是x米/秒，根据题意列方程得：　 　．‎ ‎12．（3分）在平面直角坐标系中，A，B，C三点的坐标分别为（4，0），（4，4），（0，4），点P在x轴上，点D在直线AB上，若DA＝1，CP⊥DP于点P，则点P的坐标为　 　．‎ 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）‎ ‎13．（6分）（1）计算：﹣（﹣1）+|﹣2|+（‎2019‎‎-‎2）0；‎ ‎（2）如图，四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OD．求证：四边形ABCD是矩形．‎ ‎14．（6分）解不等式组：‎2(x+1)＞x‎1-2x≥‎x+7‎‎2‎并在数轴上表示它的解集．‎ ‎15．（6分）在△ABC中，AB＝AC，点A在以BC为直径的半圆内．请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）．‎ ‎（1）在图1中作弦EF，使EF∥BC；‎ ‎（2）在图2中以BC为边作一个45°的圆周角．‎ ‎16．（6分）为纪念建国70周年，某校举行班级歌咏比赛，歌曲有：《我爱你，中国》，《歌唱祖国》，《我和我的祖国》（分别用字母A，B，C依次表示这三首歌曲）．比赛时，将A，B，C这三个字母分别写在3张无差别不透明的卡片正面上，洗匀后正面向下放在桌面上，八（1）班班长先从中随机抽取一张卡片，放回后洗匀，再由八（2）班班长从中随机抽取一张卡片，进行歌咏比赛．‎ ‎（1）八（1）班抽中歌曲《我和我的祖国》的概率是　 　；‎ ‎（2）试用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果，并求出八（1）班和八（2）班抽中不同歌曲的概率．‎ ‎17．（6分）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（‎-‎‎3‎‎2‎，0），（‎3‎‎2‎，1），连接AB，以AB为边向上作等边三角形ABC．‎ ‎（1）求点C的坐标；‎ ‎（2）求线段BC所在直线的解析式．‎ 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）‎ ‎18．（8分）某校为了解七、八年级学生英语听力训练情况（七、八年级学生人数相同），某周从这两个年级学生中分别随机抽查了30名同学，调查了他们周一至周五的听力训练情况，根据调查情况得到如下统计图表：‎ 周一至周五英语听力训练人数统计表 年级 参加英语听力训练人数 周一 周二 周三 周四 周五 七年级 ‎15‎ ‎20‎ a ‎30‎ ‎30‎ 八年级 ‎20‎ ‎24‎ ‎26‎ ‎30‎ ‎30‎ 合计 ‎35‎ ‎44‎ ‎51‎ ‎60‎ ‎60‎ ‎（1）填空：a＝　 　；‎ ‎（2）根据上述统计图表完成下表中的相关统计量：‎ 年级 平均训练时间的中位数 参加英语听力训练人数的方差 七年级 ‎24‎ ‎34‎ 八年级 ‎　 　‎ ‎14.4‎ ‎（3）请你利用上述统计图表对七、八年级英语听力训练情况写出两条合理的评价；‎ ‎（4）请你结合周一至周五英语听力训练人数统计表，估计该校七、八年级共480名学生中周一至周五平均每天有多少人进行英语听力训练．‎ ‎19．（8分）如图1，AB为半圆的直径，点O为圆心，AF为半圆的切线，过半圆上的点C作CD∥AB交AF于点D，连接BC．‎ ‎（1）连接DO，若BC∥OD，求证：CD是半圆的切线；‎ ‎（2）如图2，当线段CD与半圆交于点E时，连接AE，AC，判断∠AED和∠ACD的数量关系，并证明你的结论．‎ ‎20．（8分）图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线B﹣A﹣O表示固定支架，AO垂直水平桌面OE于点O，点B为旋转点，BC可转动，当BC绕点B顺时针旋转时，投影探头CD始终垂直于水平桌面OE，经测量：AO＝6.8cm，CD＝8cm，AB＝30cm，BC＝35cm．（结果精确到0.1）．‎ ‎（1）如图2，∠ABC＝70°，BC∥OE．‎ ‎①填空：∠BAO＝　 　°．‎ ‎②求投影探头的端点D到桌面OE的距离．‎ ‎（2）如图3，将（1）中的BC向下旋转，当投影探头的端点D到桌面OE的距离为6cm时，求∠ABC的大小．‎ ‎（参考数据：sin70°≈0.94，cos20°≈0.94，sin36.8°≈0.60，cos53.2°≈0.60）‎ 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）‎ ‎21．（9分）数学活动课上，张老师引导同学进行如下探究：‎ 如图1，将长为12cm的铅笔AB斜靠在垂直于水平桌面AE的直尺FO的边沿上，一端A固定在桌面上，图2是示意图．‎ 活动一 如图3，将铅笔AB绕端点A顺时针旋转，AB与OF交于点D，当旋转至水平位置时，铅笔AB的中点C与点O重合．‎ 数学思考 ‎（1）设CD＝xcm，点B到OF的距离GB＝ycm．‎ ‎①用含x的代数式表示：AD的长是　 　cm，BD的长是　 　cm；‎ ‎②y与x的函数关系式是　 　，自变量x的取值范围是　 　．‎ 活动二 ‎（2）①列表：根据（1）中所求函数关系式计算并补全表格 x（cm）‎ ‎6‎ ‎5‎ ‎4‎ ‎3.5‎ ‎3‎ ‎2.5‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎0.5‎ ‎0‎ y（cm）‎ ‎0‎ ‎0.55‎ ‎1.2‎ ‎1.58‎ ‎　 　‎ ‎2.47‎ ‎3‎ ‎4.29‎ ‎5.08‎ ‎　 　‎ ‎②描点：根据表中数值，继续描出①中剩余的两个点（x，y）．‎ ‎③连线：在平面直角坐标系中，请用平滑的曲线画出该函数的图象．‎ 数学思考 ‎（3）请你结合函数的图象，写出该函数的两条性质或结论．‎ ‎22．（9分）在图1，2，3中，已知▱ABCD，∠ABC＝120°，点E为线段BC上的动点，连接AE，以AE为边向上作菱形AEFG，且∠EAG＝120°．‎ ‎（1）如图1，当点E与点B重合时，∠CEF＝　 　°；‎ ‎（2）如图2，连接AF．‎ ‎①填空：∠FAD　 　∠EAB（填“＞”，“＜“，“＝”）；‎ ‎②求证：点F在∠ABC的平分线上；‎ ‎（3）如图3，连接EG，DG，并延长DG交BA的延长线于点H，当四边形AEGH是平行四边形时，求BCAB的值．‎ 六、（本大题共12分）‎ ‎23．（12分）特例感知 ‎（1）如图1，对于抛物线y1＝﹣x2﹣x+1，y2＝﹣x2﹣2x+1，y3＝﹣x2﹣3x+1，下列结论正确的序号是　 　；‎ ‎①抛物线y1，y2，y3都经过点C（0，1）；‎ ‎②抛物线y2，y3的对称轴由抛物线y1的对称轴依次向左平移‎1‎‎2‎个单位得到；‎ ‎③抛物线y1，y2，y3与直线y＝1的交点中，相邻两点之间的距离相等．‎ 形成概念 ‎（2）把满足yn＝﹣x2﹣nx+1（n为正整数）的抛物线称为“系列平移抛物线”．‎ 知识应用 在（2）中，如图2．‎ ‎①“系列平移抛物线”的顶点依次为P1，P2，P3，…，Pn，用含n的代数式表示顶点Pn的坐标，并写出该顶点纵坐标y与横坐标x之间的关系式；‎ ‎②“系列平移抛物线”存在“系列整数点（横、纵坐标均为整数的点）”：C1，C2，C3，…，∁n，其横坐标分别为﹣k﹣1，﹣k﹣2，﹣k﹣3，…，﹣k﹣n（k为正整数），判断相邻两点之间的距离是否都相等，若相等，直接写出相邻两点之间的距离；若不相等，说明理由．‎ ‎③在②中，直线y＝1分别交“系列平移抛物线”于点A1，A2，A3，…，An，连接∁nAn，Cn﹣1An﹣1，判断∁nAn，Cn﹣1An﹣1是否平行？并说明理由．‎ ‎2019年江西省中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分每小题只有一个正确选项）‎ ‎1．（3分）2的相反数是（　　）‎ A．2 B．﹣2 C．‎1‎‎2‎ D．‎‎-‎‎1‎‎2‎ ‎【解答】解：2的相反数为：﹣2．‎ 故选：B．‎ ‎2．（3分）计算‎1‎a‎÷‎（‎-‎‎1‎a‎2‎）的结果为（　　）‎ A．a B．﹣a C．‎-‎‎1‎a‎3‎ D．‎‎1‎a‎3‎ ‎【解答】解：原式‎=‎‎1‎a•（﹣a2）＝﹣a，‎ 故选：B．‎ ‎3．（3分）如图是手提水果篮抽象的几何体，以箭头所指的方向为主视图方向，则它的俯视图为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：它的俯视图为 故选：A．‎ ‎4．（3分）根据《居民家庭亲子阅读消费调查报告》中的相关数据制成扇形统计图，由图可知，下列说法错误的是（　　）‎ A．扇形统计图能反映各部分在总体中所占的百分比 ‎ B．每天阅读30分钟以上的居民家庭孩子超过50% ‎ C．每天阅读1小时以上的居民家庭孩子占20% ‎ D．每天阅读30分钟至1小时的居民家庭孩子对应扇形的圆心角是108°‎ ‎【解答】解：A．扇形统计图能反映各部分在总体中所占的百分比，此选项正确；‎ B．每天阅读30分钟以上的居民家庭孩子的百分比为1﹣40%＝60%，超过50%，此选项正确；‎ C．每天阅读1小时以上的居民家庭孩子占30%，此选项错误；‎ D．每天阅读30分钟至1小时的居民家庭孩子对应扇形的圆心角是360°×（1﹣40%﹣10%﹣20%）＝108°，此选项正确；‎ 故选：C．‎ ‎5．（3分）已知正比例函数y1的图象与反比例函数y2的图象相交于点A（2，4），下列说法正确的是（　　）‎ A．反比例函数y2的解析式是y2‎=-‎‎8‎x ‎ B．两个函数图象的另一交点坐标为（2，﹣4） ‎ C．当x＜﹣2或0＜x＜2时，y1＜y2 ‎ D．正比例函数y1与反比例函数y2都随x的增大而增大 ‎【解答】解：∵正比例函数y1的图象与反比例函数y2的图象相交于点A（2，4），‎ ‎∴正比例函数y1＝2x，反比例函数y2‎‎=‎‎8‎x ‎∴两个函数图象的另一个角点为（﹣2，﹣4）‎ ‎∴A，B选项错误 ‎∵正比例函数y1＝2x中，y随x的增大而增大，反比例函数y2‎=‎‎8‎x中，在每个象限内y随x的增大而减小，‎ ‎∴D选项错误 ‎∵当x＜﹣2或0＜x＜2时，y1＜y2‎ ‎∴选项C正确 故选：C．‎ ‎6．（3分）如图，由10根完全相同的小棒拼接而成，请你再添2根与前面完全相同的小棒，拼接后的图形恰好有3个菱形的方法共有（　　）‎ A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 ‎【解答】解：共有6种拼接法，如图所示．‎ 故选：D．‎ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）‎ ‎7．（3分）因式分解：x2﹣1＝　（x+1）（x﹣1）　．‎ ‎【解答】解：原式＝（x+1）（x﹣1）．‎ 故答案为：（x+1）（x﹣1）．‎ ‎8．（3分）我国古代数学名著《孙子算经》有估算方法：“方五，邪（通“斜”）七．见方求邪，七之，五而一．”译文为：如果正方形的边长为五，则它的对角线长为七．已知正方形的边长，求对角线长，则先将边长乘以七再除以五．若正方形的边长为1，由勾股定理得对角线长为‎2‎，依据《孙子算经》的方法，则它的对角线的长是　1.4　．‎ ‎【解答】解：根据题意可得：正方形边长为1的对角线长‎=‎1×7‎‎5‎=‎1.4‎ 故答案为：1.4‎ ‎9．（3分）设x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两根，则x1+x2+x1x2＝　0　．‎ ‎【解答】解：∵x1、x2是方程x2﹣x﹣1＝0的两根，‎ ‎∴x1+x2＝1，x1×x2＝﹣1，‎ ‎∴x1+x2+x1x2＝1﹣1＝0．‎ 故答案为：0．‎ ‎10．（3分）如图，在△ABC中，点D是BC上的点，∠BAD＝∠ABC＝40°，将△ABD沿着AD翻折得到△AED，则∠CDE＝　20　°．‎ ‎【解答】解：∵∠BAD＝∠ABC＝40°，将△ABD沿着AD翻折得到△AED，‎ ‎∴∠ADC＝40°+40°＝80°，∠ADE＝∠ADB＝180°﹣40°﹣40°＝100°，‎ ‎∴∠CDE＝100°﹣80°＝20°，‎ 故答案为：20‎ ‎11．（3分）斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度．如图，某路口的斑马线路段A﹣B﹣C横穿双向行驶车道，其中AB＝BC＝6米，在绿灯亮时，小明共用11秒通过AC，其中通过BC的速度是通过AB速度的1.2倍，求小明通过AB时的速度．设小明通过AB时的速度是x米/秒，根据题意列方程得：　‎6‎x‎+‎6‎‎1.2x=11‎　．‎ ‎【解答】解：设小明通过AB时的速度是x米/秒，可得：‎6‎x‎+‎6‎‎1.2x=11‎，‎ 故答案为：‎6‎x‎+‎6‎‎1.2x=11‎，‎ ‎12．（3分）在平面直角坐标系中，A，B，C三点的坐标分别为（4，0），（4，4），（0，4），点P在x轴上，点D在直线AB上，若DA＝1，CP⊥DP于点P，则点P的坐标为 ‎　（2，0）或（2﹣2‎2‎，0）或（2+2‎2‎，0）　．‎ ‎【解答】解：∵A，B两点的坐标分别为（4，0），（4，4）‎ ‎∴AB∥y轴 ‎∵点D在直线AB上，DA＝1‎ ‎∴D1（4，1），D2（4，﹣1）‎ 如图：‎ ‎（Ⅰ）当点D在D1处时，要使CP⊥DP，即使△COP1≌△P1AD1‎ ‎∴‎COP‎1‎A‎=‎OP‎1‎AD‎1‎ 即‎4‎‎4-OP‎=‎OP‎1‎ 解得：OP1＝2‎ ‎∴P1（2，0）‎ ‎（Ⅱ）当点D在D2处时，‎ ‎∵C（0，4），D2（4，﹣1）‎ ‎∴CD2的中点E（2，‎3‎‎2‎）‎ ‎∵CP⊥DP ‎∴点P为以E为圆心，CE长为半径的圆与x轴的交点 设P（x，0），则PE＝CE 即‎(2-x‎)‎‎2‎+(‎3‎‎2‎-0‎‎)‎‎2‎‎=‎‎2‎‎2‎‎+(‎3‎‎2‎-4‎‎)‎‎2‎ 解得：x＝2±2‎‎2‎ ‎∴P2（2﹣2‎2‎，0），P3（2+2‎2‎，0）‎ 综上所述：点P的坐标为（2，0）或（2﹣2‎2‎，0）或（2+2‎2‎，0）．‎ 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）‎ ‎13．（6分）（1）计算：﹣（﹣1）+|﹣2|+（‎2019‎‎-‎2）0；‎ ‎（2）如图，四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OD．求证：四边形ABCD是矩形．‎ ‎【解答】解：（1）﹣（﹣1）+|﹣2|+（‎2019‎‎-‎2）0‎ ‎＝1+2+1‎ ‎＝4；‎ ‎（2）证明：∵四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，‎ ‎∴四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AC＝2AO，BD＝2OD，‎ ‎∵OA＝OD，‎ ‎∴AC＝BD，‎ ‎∴四边形ABCD是矩形．‎ ‎14．（6分）解不等式组：‎2(x+1)＞x‎1-2x≥‎x+7‎‎2‎并在数轴上表示它的解集．‎ ‎【解答】解：‎2(x+1)＞x①‎‎1-2x≥x+7‎‎2‎②‎，‎ 解①得：x＞﹣2，‎ 解②得：x≤﹣1，‎ 故不等式组的解为：﹣2＜x≤﹣1，‎ 在数轴上表示出不等式组的解集为：‎ ‎．‎ ‎15．（6分）在△ABC中，AB＝AC，点A在以BC为直径的半圆内．请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）．‎ ‎（1）在图1中作弦EF，使EF∥BC；‎ ‎（2）在图2中以BC为边作一个45°的圆周角．‎ ‎【解答】解：（1）如图1，EF为所作；‎ ‎（2）如图2，∠BCD为所作．‎ ‎16．（6分）为纪念建国70周年，某校举行班级歌咏比赛，歌曲有：《我爱你，中国》，《歌唱祖国》，《我和我的祖国》（分别用字母A，B，C依次表示这三首歌曲）．比赛时，将A，B，C这三个字母分别写在3张无差别不透明的卡片正面上，洗匀后正面向下放在桌面上，八（1）班班长先从中随机抽取一张卡片，放回后洗匀，再由八（2）班班长从中随机抽取一张卡片，进行歌咏比赛．‎ ‎（1）八（1）班抽中歌曲《我和我的祖国》的概率是　‎1‎‎3‎　；‎ ‎（2）试用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果，并求出八（1）班和八（2）班抽中不同歌曲的概率．‎ ‎【解答】解：（1）因为有A，B，C3种等可能结果，‎ 所以八（1）班抽中歌曲《我和我的祖国》的概率是‎1‎‎3‎；‎ 故答案为‎1‎‎3‎．‎ ‎（2）树状图如图所示：‎ 共有9种可能，八（1）班和八（2）班抽中不同歌曲的概率‎=‎6‎‎9‎=‎‎2‎‎3‎．‎ ‎17．（6分）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（‎-‎‎3‎‎2‎，0），（‎3‎‎2‎，1），连接AB，以AB为边向上作等边三角形ABC．‎ ‎（1）求点C的坐标；‎ ‎（2）求线段BC所在直线的解析式．‎ ‎【解答】解：（1）如图，过点B作BH⊥x轴 ‎∵点A坐标为（‎-‎‎3‎‎2‎，0），点B坐标为（‎3‎‎2‎，1）‎ ‎∴|AB|‎=‎(0-1‎)‎‎2‎+(-‎3‎‎2‎-‎‎3‎‎2‎‎)‎‎2‎=‎2‎ ‎∵BH＝1‎ ‎∴sin∠BAH‎=BHAB=‎‎1‎‎2‎ ‎∴∠BAH＝30°‎ ‎∵△ABC为等边三角形 ‎∴AB＝AC＝2‎ ‎∴∠CAB+∠BAH＝90°‎ ‎∴点C的纵坐标为2‎ ‎∴点C的坐标为（‎-‎‎3‎‎2‎，2）‎ ‎（2）由（1）知点C的坐标为（‎-‎‎3‎‎2‎，2），点B的坐标为（‎3‎‎2‎，1），设直线BC的解析式为：y＝kx+b 则‎1=‎3‎‎2‎k+b‎2=-‎3‎‎2‎k+b，解得k=-‎‎3‎‎3‎b=‎‎3‎‎2‎ 故直线BC的函数解析式为y‎=-‎‎3‎‎3‎x‎+‎‎3‎‎2‎ 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）‎ ‎18．（8分）某校为了解七、八年级学生英语听力训练情况（七、八年级学生人数相同），某周从这两个年级学生中分别随机抽查了30名同学，调查了他们周一至周五的听力训练情况，根据调查情况得到如下统计图表：‎ 周一至周五英语听力训练人数统计表 年级 参加英语听力训练人数 周一 周二 周三 周四 周五 七年级 ‎15‎ ‎20‎ a ‎30‎ ‎30‎ 八年级 ‎20‎ ‎24‎ ‎26‎ ‎30‎ ‎30‎ 合计 ‎35‎ ‎44‎ ‎51‎ ‎60‎ ‎60‎ ‎（1）填空：a＝　25　；‎ ‎（2）根据上述统计图表完成下表中的相关统计量：‎ 年级 平均训练时间的中位数 参加英语听力训练人数的方差 七年级 ‎24‎ ‎34‎ 八年级 ‎　27　‎ ‎14.4‎ ‎（3）请你利用上述统计图表对七、八年级英语听力训练情况写出两条合理的评价；‎ ‎（4）请你结合周一至周五英语听力训练人数统计表，估计该校七、八年级共480名学生中周一至周五平均每天有多少人进行英语听力训练．‎ ‎【解答】解：（1）由题意得：a＝51﹣26＝25；‎ 故答案为：25；‎ ‎（2）按照从小到大的顺序排列为：18、25、27、30、30，‎ ‎∴八年级平均训练时间的中位数为：27；‎ 故答案为：27；‎ ‎（3）参加训练的学生人数超过一半；训练时间比较合理；‎ ‎（4）抽查的七、八年级共60名学生中，周一至周五训练人数的平均数为‎1‎‎5‎（35+44+51+60+60）＝50，‎ ‎∴该校七、八年级共480名学生中周一至周五平均每天进行英语听力训练的人数为480‎×‎50‎‎60‎=‎400（人）．‎ ‎19．（8分）如图1，AB为半圆的直径，点O为圆心，AF为半圆的切线，过半圆上的点C作CD∥AB交AF于点D，连接BC．‎ ‎（1）连接DO，若BC∥OD，求证：CD是半圆的切线；‎ ‎（2）如图2，当线段CD与半圆交于点E时，连接AE，AC，判断∠AED和∠ACD的数量关系，并证明你的结论．‎ ‎【解答】（1）证明：连接OC，‎ ‎∵AF为半圆的切线，AB为半圆的直径，‎ ‎∴AB⊥AD，‎ ‎∵CD∥AB，BC∥OD，‎ ‎∴四边形BODC是平行四边形，‎ ‎∴OB＝CD，‎ ‎∵OA＝OB，‎ ‎∴CD＝OA，‎ ‎∴四边形ADCO是平行四边形，‎ ‎∴OC∥AD，‎ ‎∵CD∥BA，‎ ‎∴CD⊥AD，‎ ‎∵OC∥AD，‎ ‎∴OC⊥CD，‎ ‎∴CD是半圆的切线；‎ ‎（2）解：∠AED+∠ACD＝90°，‎ 理由：如图2，连接BE，‎ ‎∵AB为半圆的直径，‎ ‎∴∠AEB＝90°，‎ ‎∴∠EBA+∠BAE＝90°，‎ ‎∵∠DAE+∠BAE＝90°，‎ ‎∴∠ABE+∠DAE，‎ ‎∵∠ACE＝∠ABE，‎ ‎∴∠ACE＝∠DAE，‎ ‎∵∠ADE＝90°，‎ ‎∴∠DAE+∠AED＝∠AED+∠ACD＝90°．‎ ‎20．（8分）图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线B﹣A﹣O表示固定支架，AO垂直水平桌面OE于点O，点B为旋转点，BC可转动，当BC绕点B顺时针旋转时，投影探头CD始终垂直于水平桌面OE，经测量：AO＝6.8cm，CD＝8cm，AB＝30cm，BC＝35cm．（结果精确到0.1）．‎ ‎（1）如图2，∠ABC＝70°，BC∥OE．‎ ‎①填空：∠BAO＝　160　°．‎ ‎②求投影探头的端点D到桌面OE的距离．‎ ‎（2）如图3，将（1）中的BC向下旋转，当投影探头的端点D到桌面OE的距离为6cm时，求∠ABC的大小．‎ ‎（参考数据：sin70°≈0.94，cos20°≈0.94，sin36.8°≈0.60，cos53.2°≈0.60）‎ ‎【解答】解：（1）①过点A作AG∥BC，如图1，则∠BAG＝∠ABC＝70°，‎ ‎∵BC∥OE，‎ ‎∴AG∥OE，‎ ‎∴∠GAO＝∠AOE＝90°，‎ ‎∴∠BAO＝90°+70°＝160°，‎ 故答案为：160；‎ ‎②过点A作AF⊥BC于点F，如图2，‎ 则AF＝AB•sin∠ABE＝30sin70°≈28.2（cm），‎ ‎∴投影探头的端点D到桌面OE的距离为：AF+0A﹣CD＝28.2+6.8﹣8＝27（cm）；‎ ‎（2）过点DE⊥OE于点H，过点B作BM⊥CD，与DC延长线相交于点M，过A作AF⊥BM于点F，如图3，‎ 则∠MBA＝70°，AF＝28.2cm，DH＝6cm，BC＝30cm，CD＝8cm，‎ ‎∴CM＝AF+AO﹣DH﹣CD＝28.2+6.8﹣6﹣8＝21（cm），‎ ‎∴sin∠MBC‎=CMBC=‎21‎‎35‎=0.6‎，‎ ‎∴∠MBC＝36.8°，‎ ‎∴∠ABC＝∠ABM﹣∠MBC＝33.2°．‎ 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）‎ ‎21．（9分）数学活动课上，张老师引导同学进行如下探究：‎ 如图1，将长为12cm的铅笔AB斜靠在垂直于水平桌面AE的直尺FO的边沿上，一端A固定在桌面上，图2是示意图．‎ 活动一 如图3，将铅笔AB绕端点A顺时针旋转，AB与OF交于点D，当旋转至水平位置时，铅笔AB的中点C与点O重合．‎ 数学思考 ‎（1）设CD＝xcm，点B到OF的距离GB＝ycm．‎ ‎①用含x的代数式表示：AD的长是　（6+x）　cm，BD的长是　（6﹣x）　cm；‎ ‎②y与x的函数关系式是　y‎=‎‎36-6x‎6+x　，自变量x的取值范围是　0≤x≤6　．‎ 活动二 ‎（2）①列表：根据（1）中所求函数关系式计算并补全表格 x（cm）‎ ‎6‎ ‎5‎ ‎4‎ ‎3.5‎ ‎3‎ ‎2.5‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎0.5‎ ‎0‎ y（cm）‎ ‎0‎ ‎0.55‎ ‎1.2‎ ‎1.58‎ ‎　2　‎ ‎2.47‎ ‎3‎ ‎4.29‎ ‎5.08‎ ‎　6　‎ ‎②描点：根据表中数值，继续描出①中剩余的两个点（x，y）．‎ ‎③连线：在平面直角坐标系中，请用平滑的曲线画出该函数的图象．‎ 数学思考 ‎（3）请你结合函数的图象，写出该函数的两条性质或结论．‎ ‎【解答】解：（1）①如图3中，由题意AC＝OA‎=‎‎1‎‎2‎AB＝6（cm），‎ ‎∵CD＝xcm，‎ ‎∴AD＝（6+x）（cm），BD＝12﹣（6+x）＝（6﹣x）（cm），‎ 故答案为：（6+x），（6﹣x）．‎ ‎②作BG⊥OF于G．‎ ‎∵OA⊥OF，BG⊥OF，‎ ‎∴BG∥OA，‎ ‎∴BGOA‎=‎BDAD，‎ ‎∴y‎6‎‎=‎‎6-x‎6+x，‎ ‎∴y‎=‎‎36-6x‎6+x（0≤x≤6），‎ 故答案为：y‎=‎‎36-6x‎6+x，0≤x≤6．‎ ‎（2）①当x＝3时，y＝2，当x＝0时，y＝6，‎ 故答案为2，6．‎ ‎②点（0，6），点（3，2）如图所示．‎ ‎③函数图象如图所示．‎ ‎（3）性质1：函数值y的取值范围为0≤y≤6．‎ 性质2：函数图象在第一象限，y随x的增大而减小．‎ ‎22．（9分）在图1，2，3中，已知▱ABCD，∠ABC＝120°，点E为线段BC上的动点，连接AE，以AE为边向上作菱形AEFG，且∠EAG＝120°．‎ ‎（1）如图1，当点E与点B重合时，∠CEF＝　60　°；‎ ‎（2）如图2，连接AF．‎ ‎①填空：∠FAD　＝　∠EAB（填“＞”，“＜“，“＝”）；‎ ‎②求证：点F在∠ABC的平分线上；‎ ‎（3）如图3，连接EG，DG，并延长DG交BA的延长线于点H，当四边形AEGH是平行四边形时，求BCAB的值．‎ ‎【解答】解：（1）∵四边形AEFG是菱形，‎ ‎∴∠AEF＝180°﹣∠EAG＝60°，‎ ‎∴∠CEF＝∠AEC﹣∠AEF＝60°，‎ 故答案为：60°；‎ ‎（2）①∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴∠DAB＝180°﹣∠ABC＝60°，‎ ‎∵四边形AEFG是菱形，∠EAG＝120°，‎ ‎∴∠FAE＝60°，‎ ‎∴∠FAD＝∠EAB，‎ 故答案为：＝；‎ ‎②作FM⊥BC于M，FN⊥BA交BA的延长线于N，‎ 则∠FNB＝∠FMB＝90°，‎ ‎∴∠NFM＝60°，又∠AFE＝60°，‎ ‎∴∠AFN＝∠EFM，‎ ‎∵EF＝EA，∠FAE＝60°，‎ ‎∴△AEF为等边三角形，‎ ‎∴FA＝FE，‎ 在△AFN和△EFM中，‎ ‎∠AFN=∠EFM‎∠FNA=∠FMEFA=FE‎，‎ ‎∴△AFN≌△EFM（AAS）‎ ‎∴FN＝FM，又FM⊥BC，FN⊥BA，‎ ‎∴点F在∠ABC的平分线上；‎ ‎（3）∵四边形AEFG是菱形，∠EAG＝120°，‎ ‎∴∠AGF＝60°，‎ ‎∴∠FGE＝∠AGE＝30°，‎ ‎∵四边形AEGH为平行四边形，‎ ‎∴GE∥AH，‎ ‎∴∠GAH＝∠AGE＝30°，∠H＝∠FGE＝30°，‎ ‎∴∠GAN＝90°，又∠AGE＝30°，‎ ‎∴GN＝2AN，‎ ‎∵∠DAB＝60°，∠H＝30°，‎ ‎∴∠ADH＝30°，‎ ‎∴AD＝AH＝GE，‎ ‎∵四边形ABCD为平行四边形，‎ ‎∴BC＝AD，‎ ‎∴BC＝GE，‎ ‎∵四边形ABEH为平行四边形，∠HAE＝∠EAB＝30°，‎ ‎∴平行四边形ABEN为菱形，‎ ‎∴AB＝AN＝NE，‎ ‎∴GE＝3AB，‎ ‎∴BCAB‎=‎3．‎ 六、（本大题共12分）‎ ‎23．（12分）特例感知 ‎（1）如图1，对于抛物线y1＝﹣x2﹣x+1，y2＝﹣x2﹣2x+1，y3＝﹣x2﹣3x+1，下列结论正确的序号是　①②③　；‎ ‎①抛物线y1，y2，y3都经过点C（0，1）；‎ ‎②抛物线y2，y3的对称轴由抛物线y1的对称轴依次向左平移‎1‎‎2‎个单位得到；‎ ‎③抛物线y1，y2，y3与直线y＝1的交点中，相邻两点之间的距离相等．‎ 形成概念 ‎（2）把满足yn＝﹣x2﹣nx+1（n为正整数）的抛物线称为“系列平移抛物线”．‎ 知识应用 在（2）中，如图2．‎ ‎①“系列平移抛物线”的顶点依次为P1，P2，P3，…，Pn，用含n的代数式表示顶点Pn的坐标，并写出该顶点纵坐标y与横坐标x之间的关系式；‎ ‎②“系列平移抛物线”存在“系列整数点（横、纵坐标均为整数的点）”：C1，C2，C3，…，∁n，其横坐标分别为﹣k﹣1，﹣k﹣2，﹣k﹣3，…，﹣k﹣n（k为正整数），判断相邻两点之间的距离是否都相等，若相等，直接写出相邻两点之间的距离；若不相等，说明理由．‎ ‎③在②中，直线y＝1分别交“系列平移抛物线”于点A1，A2，A3，…，An，连接∁nAn，Cn﹣1An﹣1，判断∁nAn，Cn﹣1An﹣1是否平行？并说明理由．‎ ‎【解答】解：（1）①当x＝0时，分别代入抛物线y1，y2，y3，即可得y1＝y2＝y3＝1；①正确；‎ ‎②y2＝﹣x2﹣2x+1，y3＝﹣x2﹣3x+1的对称轴分别为x＝﹣1，x‎=-‎‎3‎‎2‎，‎ y1＝﹣x2﹣x+1的对称轴x‎=-‎‎1‎‎2‎，‎ 由x‎=-‎‎1‎‎2‎向左移动‎1‎‎2‎得到x＝﹣1，再向左移动‎1‎‎2‎得到x‎=-‎‎3‎‎2‎，‎ ‎②正确；‎ ‎③当y＝1时，则﹣x2﹣x+1＝1，‎ ‎∴x＝0或x＝﹣1；‎ ‎﹣x2﹣2x+1＝1，‎ ‎∴x＝0或x＝﹣2；‎ ‎﹣x2﹣3x+1＝1，‎ ‎∴x＝0或x＝﹣3；‎ ‎∴相邻两点之间的距离都是1，‎ ‎③正确；‎ 故答案为①②③；‎ ‎（2）①yn＝﹣x2﹣nx+1的顶点为（‎-‎n‎2‎，n‎2‎‎+4‎‎4‎），‎ 令x‎=-‎n‎2‎，y‎=‎n‎2‎‎+4‎‎4‎，‎ ‎∴y＝x2+1；‎ ‎②∵横坐标分别为﹣k﹣1，﹣k﹣2，﹣k﹣3，…，﹣k﹣n（k为正整数），‎ 当x＝﹣k﹣n时，y＝﹣k2﹣nk+1，‎ ‎∴纵坐标分别为﹣k2﹣k+1，﹣k2﹣2k+1，﹣k2﹣3k+1，…，﹣k2﹣nk+1，‎ ‎∴相邻两点间距离分别为‎1+‎k‎2‎；‎ ‎∴相邻两点之间的距离都相等；‎ ‎③当y＝1时，﹣x2﹣nx+1＝1，‎ ‎∴x＝0或x＝﹣n，‎ ‎∴A1（﹣1，1），A2（﹣2，1），A3（﹣3，1），…，An（﹣n，1），‎ C1（﹣k﹣1，﹣k2﹣k+1），C2（﹣k﹣2，﹣k2﹣2k+1），C3（﹣k﹣3，﹣k2﹣3k+1），…，∁n（﹣k﹣n，﹣k2﹣nk+1），‎ ‎∵‎-k‎2‎-k+1-1‎‎-k-1+1‎‎=‎k+1，‎-k‎2‎-2k+1-1‎‎-k-2+2‎‎=‎k+1，‎-k‎2‎-3k+1-1‎‎-k-3+3‎‎=‎k+1，…，‎-k‎2‎-nk+1-1‎‎-k-n+n‎=‎k+1，‎ ‎∴∁nAn∥Cn﹣1An﹣1；‎ 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布 日期：2019/6/30 10:00:02；用户：中考培优辅导；邮箱：p5193@xyh.com；学号：27411521‎