2020年山西省中考数学试卷【含答案】

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2020年山西省中考数学试卷【含答案】

1 / 12 2020 年山西省中考数学试卷 一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 3 分,共 30 分.在每个小题给出的四个选 项中,只有一项符合题目要求,请选出并在答题卡上将该项涂黑) 1. 计算(−6) ÷ (− 1 3)的结果是( ) A.−18 B.2 C.18 D.−2 2. 自 XXXXXX 发生以来,全国人民共同抗疫,各地积极普及科学防控知识,下面是 科学防控知识的图片,图片上有图案和文字说明,其中的图案是轴对称图形的是( ) A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是( ) A.3푎 + 2푎=5푎2 B.−8푎2 ÷ 4푎=2푎 C.(−2푎2)3=−8푎6 D.4푎3 ⋅ 3푎2=12푎6 4. 下列几何体都是由4个大小相同的小正方体组成的,其中主视图与左视图相同的 几何体是( ) A. B. C. D. 5. 泰勒斯是古希腊时期的思想家,科学家,哲学家,他最早提出了命题的证明.泰 勒斯曾通过测量同一时刻标杆的影长,标杆的高度,金字塔的影长,推算出金字塔的 高度,这种测量原理,就是我们所学的( ) A.图形的平移 B.图形的旋转 C.图形的轴对称 D.图形的相似 6. 不等式组{2푥 − 6 > 0, 4 − 푥 < −1 的解集是( ) A.푥 > 5 B.3 < 푥 < 5 C.푥 < 5 D.푥 > −5 7. 已知点퐴(푥1, 푦1),퐵(푥2, 푦2),퐶(푥3, 푦3)都在反比例函数푦 = 푘 푥 (푘 < 0)的图象上, 且푥1 < 푥2 < 0 < 푥3,则푦1,푦2,푦3的大小关系是( ) A.푦2 > 푦1 > 푦3 B.푦3 > 푦2 > 푦1 C.푦1 > 푦2 > 푦3 D.푦3 > 푦1 > 푦2 8. 中国美食讲究色香味美,优雅的摆造型出会让美食锦上添花.图①中的摆盘,其 形状是扇形的一部分,图②是其几何示意图(阴影部分为摆盘),通过测量得到퐴퐶= 퐵퐷=12푐푚,퐶,퐷两点之间的距离为4푐푚,圆心角为60∘,则图中摆盘的面积是( ) A.80휋푐푚2 B.40휋푐푚2 C.24휋푐푚2 D.2휋푐푚2 9. 竖直上抛物体离地面的高度ℎ(푚)与运动时间푡(푠)之间的关系可以近似地用公式ℎ =−5푡2 + 푣0푡 + ℎ0表示,其中ℎ0(푚)是物体抛出时离地面的高度,푣0(푚/푠)是物体抛出 时的速度.某人将一个小球从距地面1.5푚的高处以20푚/푠的速度竖直向上抛出,小球 达到的离地面的最大高度为( ) A.23.5푚 B.22.5푚 C.21.5푚 D.20.5푚 10. 如图是一张矩形纸板,顺次连接各边中点得到菱形,再顺次连接菱形各边中点 得到一个小矩形.将一个飞镖随机投掷到大矩形纸板上,则飞镖落在阴影区域的概率 是( ) 2 / 12 A.1 3 B.1 4 C.1 6 D.1 8 二、填空题(本大题共 5 个小题,每小题 3 分,共 15 分) 11. 计算:(√3 + √2)2 − √24 =________. 12. 如图是一组有规律的图案,它们是由边长相等的正三角形组合而成,第1个图案 有4个三角形,第2个图案有7个三角形,第3个图案有10个三角形…按此规律摆下去, 第푛个图案有________个三角形(用含푛的代数式表示). 13. 某校为了选拔一名百米赛跑运动员参加市中学生运动会,组织了6次预选赛,其 中甲,乙两名运动员较为突出,他们在6次预选赛中的成绩(单位:秒)如下表所示: 甲 12.0 12.0 12.2 11.8 12.1 11.9 乙 12.3 12.1 11.8 12.0 11.7 12.1 由于甲,乙两名运动员的成绩的平均数相同,学校决定依据他们成绩的稳定性进行选 拔,那么被选中的运动员是________. 14. 如图是一张长12푐푚,宽10푐푚的矩形铁皮,将其剪去两个全等的正方形和两个全 等的矩形,剩余部分(阴影部分)可制成底面积是24푐푚2的有盖的长方体铁盒.则剪 去的正方形的边长为 2 푐푚. 15. 如图,在푅푡 △ 퐴퐵퐶中,∠퐴퐶퐵=90∘,퐴퐶=3,퐵퐶=4,퐶퐷 ⊥ 퐴퐵,垂足为퐷,퐸 为퐵퐶的中点,퐴퐸与퐶퐷交于点퐹,则퐷퐹的长为________. 三、解答题(本大题共 8 个小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算 步骤) 16. (1)计算:(−4)2 × (− 1 2)3 − (−4 + 1). (2)下面是小彬同学进行分式化简的过程,请认真阅读并完成相应任务. 푥2 − 9 푥2 + 6푥 + 9 − 2푥 + 1 2푥 + 6 = (푥+3)(푥−3) (푥+3)2 − 2푥+1 2(푥+3) ⋯第一步 = 푥−3 푥+3 − 2푥+1 2(푥+3) ⋯第二步 = 2(푥−3) 2(푥+3) − 2푥+1 2(푥+3) ⋯第三步 = 2푥−6−(2푥+1) 2(푥+3) ⋯第四步 = 2푥−6−2푥+1 2(푥+3) ⋯第五步 3 / 12 = − 5 2푥+6 ⋯第六步 任务一:填空: ①以上化简步骤中,第________步是进行分式的通分,通分的依据是________.或填 为:________; ②第________步开始出现错误,这一步错误的原因是________; 任务二:请直接写出该分式化简后的正确结果; 任务三:除纠正上述错误外,请你根据平时的学习经验,就分式化简时还需要注意的 事项给其他同学提一条建议. 17. 2020年5月份,省城太原开展了“活力太原•乐购晋阳”消费暖心活动,本次活 动中的家电消费券单笔交易满600元立减128元(每次只能使用一张).某品牌电饭煲 按进价提高50%后标价,若按标价的八折销售,某顾客购买该电饭煲时,使用一张家 电消费券后,又付现金568元.求该电饭煲的进价. 18. 如图,四边形푂퐴퐵퐶是平行四边形,以点푂为圆心,푂퐶为半径的⊙ 푂与퐴퐵相切于 点퐵,与퐴푂相交于点퐷,퐴푂的延长线交⊙ 푂于点퐸,连接퐸퐵交푂퐶于点퐹.求∠퐶和∠퐸 的度数. 4 / 12 19. 2020年国家提出并部署了“新基建”项目,主要包含“特高压,城际高速铁路和 城市轨道交通,5퐺基站建设,工业互联网,大数据中心,人工智能,新能源汽车充电 桩”等.《2020新基建中高端人才市场就业吸引力报告》重点刻画了“新基建”中五 大细分领域(5퐺基站建设,工业互联网,大数据中心,人工智能,新能源汽车充电桩) 总体的人才与就业机会.如图是其中的一个统计图. 请根据图中信息,解答下列问题: (1)填空:图中2020年“新基建”七大领域预计投资规模的中位数是________亿元; (2)甲,乙两位待业人员,仅根据上面统计图中的数据,从五大细分领域中分别选 择了“5퐺基站建设”和“人工智能”作为自己的就业方向.请简要说明他们选择就业 方向的理由各是什么; (3)小勇对“新基建”很感兴趣,他收集到了五大细分领域的图标,依次制成编号 为푊,퐺,퐷,푅,푋的五张卡片(除编号和内容外,其余完全相同),将这五张卡片背 面朝上,洗匀放好,从中随机抽取一张(不放回),再从中随机抽取一张.请用列表 或画状图的方法求抽到的两张卡片恰好是编号为푊(5퐺基站建设)和푅(人工智能) 的概 率. 20. 阅读与思考 如图是小宇同学的数学日记,请仔细阅读,并完成相应的任务. ×年×月×日星期日 没有直角尺也能作出直角 今天,我在书店一本书上看到下面材料:木工师傅有一块如图①所示的四边形木板, 他已经在木板上画出一条裁割线퐴퐵,现根据木板的情况,要过퐴퐵上的一点퐶,作出 퐴퐵的垂线,用锯子进行裁割,然而手头没有直角尺,怎么办呢? 办法一:如图①,可利用一把有刻度的直尺在퐴퐵上量出퐶퐷=30푐푚,然后分别以퐷, 퐶为圆心,以50푐푚与40푐푚为半径画圆弧,两弧相交于点퐸,作直线퐶퐸,则∠퐷퐶퐸必为 5 / 12 90∘. 办法二:如图②,可以取一根笔直的木棒,用铅笔在木棒上点出푀,푁两点,然后把 木棒斜放在木板上,使点푀与点퐶重合,用铅笔在木板上将点푁对应的位置标记为点푄, 保持点푁不动,将木棒绕点푁旋转,使点푀落在퐴퐵上,在木板上将点푀对应的位置标 记为点푅.然后将푅푄延长,在延长线上截取线段푄푆=푀푁,得到点푆,作直线푆퐶,则 ∠푅퐶푆=90∘. 我有如下思考:以上两种办法依据的是什么数学原理呢?我还有什么办法不用直角尺 也能作出垂线呢?…… 任务: (1)填空:“办法一”依据的一个数学定理是________; (2)根据“办法二”的操作过程,证明∠푅퐶푆=90∘; (3)①尺规作图:请在图③的木板上,过点퐶作出퐴퐵的垂线(在木板上保留作图痕 迹,不写作法); ②说明你的作法所依据的数学定理或基本事实. 21. 图①是某车站的一组智能通道闸机,当行人通过时智能闸机会自动识别行人身份, 识别成功后,两侧的圆弧翼闸会收回到两侧闸机箱内,这时行人即可通过.图②是两 圆弧翼展开时的截面图,扇形퐴퐵퐶和퐷퐸퐹是闸机的“圆弧翼”,两圆弧翼成轴对称, 퐵퐶和퐸퐹均垂直于地面,扇形的圆心角∠퐴퐵퐶=∠퐷퐸퐹=28∘,半径퐵퐴=퐸퐷=60푐푚,点 퐴与点퐷在同一水平线上,且它们之间的距离为10푐푚. (1)求闸机通道的宽度,即퐵퐶与퐸퐹之间的距离(参考数据:sin28∘ ≈ 0.47, cos28∘ ≈ 0.88,tan28∘ ≈ 0.53); (2)经实践调查,一个智能闸机的平均检票速度是一个人工检票口平均检票速度的2 倍,180人的团队通过一个智能闸机口比通过一个人工检票口可节约3分钟,求一个智 能闸机平均每分钟检票通过的人数. 6 / 12 22. 综合与实践 问题情境: 如图①,点퐸为正方形퐴퐵퐶퐷内一点,∠퐴퐸퐵=90∘,将푅푡 △ 퐴퐵퐸绕点퐵按顺时针方向旋 转90∘,得到△ 퐶퐵퐸′(点퐴的对应点为点퐶).延长퐴퐸交퐶퐸′于点퐹,连接퐷퐸. 猜想证明: (1)试判断四边形퐵퐸′퐹퐸的形状,并说明理由; (2)如图②,若퐷퐴=퐷퐸,请猜想线段퐶퐹与퐹퐸′的数量关系并加以证明; 解决问题: (3)如图①,若퐴퐵=15,퐶퐹=3,请直接写出퐷퐸的长. 7 / 12 23. 综合与探究 如图,抛物线푦 = 1 4 푥2 − 푥 − 3与푥轴交于퐴,퐵两点(点퐴在点퐵的左侧),与푦轴交于点 퐶.直线푙与抛物线交于퐴,퐷两点,与푦轴交于点퐸,点퐷的坐标为(4, −3). (1)请直接写出퐴,퐵两点的坐标及直线푙的函数表达式; (2)若点푃是抛物线上的点,点푃的横坐标为푚(푚 ≥ 0),过点푃作푃푀 ⊥ 푥轴,垂足为 푀.푃푀与直线푙交于点푁,当点푁是线段푃푀的三等分点时,求点푃的坐标; (3)若点푄是푦轴上的点,且∠퐴퐷푄=45∘,求点푄的坐标. 8 / 12 参考答案与试题解析 2020 年山西省中考数学试卷 一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 3 分,共 30 分.在每个小题给出的四个选 项中,只有一项符合题目要求,请选出并在答题卡上将该项涂黑) 1.C 2.D 3.C 4.B 5.D 6.A 7.A 8.B 9.C 10.B 二、填空题(本大题共 5 个小题,每小题 3 分,共 15 分) 11.5 12.(3푛 + 1) 13.甲 14.2 15.54 85 三、解答题(本大题共 8 个小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算 步骤) 16.(−4)2 × (− 1 2)3 − (−4 + 1) =16 × (− 1 8) + 3 =−2 + 3 =1; 三,分式的基本性质,分式的分子分母都乘(或除以)同一个不为0的整式,分式的值 不变,五,括号前面是“-”,去掉括号后,括号里面的第二项没有变号 17.该电饭煲的进价为580元 18.连接푂퐵,如图, ∵ ⊙ 푂与퐴퐵相切于点퐵, ∴ 푂퐵 ⊥ 퐴퐵, ∵ 四边形퐴퐵퐶푂为平行四边形, ∴ 퐴퐵 // 푂퐶,푂퐴 // 퐵퐶, ∴ 푂퐵 ⊥ 푂퐶, ∴ ∠퐵푂퐶=90∘, ∵ 푂퐵=푂퐶, ∴ △ 푂퐶퐵为等腰直角三角形, ∴ ∠퐶=∠푂퐵퐶=45∘, ∵ 퐴푂 // 퐵퐶, ∴ ∠퐴푂퐵=∠푂퐵퐶=45∘, ∴ ∠퐸 = 1 2 ∠퐴푂퐵=22.5∘. 19.300 甲更关注在线职位的增长率,在“新基建”五大细分领域中,2020年一季度“5퐺基 站建设”在线职位与2019年同期相比增长率最高; 乙更关注预计投资规模,在“新基建”五大细分领域中,“人工智能”在2020年预计 投资规模最大; 9 / 12 列表如下: 푊 퐺 퐷 푅 푋 푊 (퐺,  푊) (퐷,  푊) (푅,  푊) (푋,  푊) 퐺 (푊,  퐺) (퐷,  퐺) (푅,  퐺) (푋,  퐺) 퐷 (푊,  퐷) (퐺,  퐷) (푅,  퐷) (푋,  퐷) 푅 (푊,  푅) (퐺,  푅) (퐷,  푅) (푋,  푅) 푋 (푊,  푋) (퐺,  푋) (퐷,  푋) (푅,  푋) 由表可知,共有20种等可能结果,其中抽到“푊”和“푅”的结果有2种, ∴ 抽到的两张卡片恰好是编号为푊(5퐺基站建设)和푅(人工智能)的概率 2 20 = 1 10 . 20.勾股定理的逆定理 由作图方法可知,푄푃=푄퐶,푄푆=푄퐶, ∴ ∠푄퐶푅=∠푄푅퐶,∠푄퐶푆=∠푄푆퐶, ∵ ∠푆푅퐶 + ∠푅퐶푆 + ∠푄푅퐶 + ∠푄푆퐶=180∘, ∴ 2(∠푄퐶푅 + ∠푄퐶푆)=180∘, ∴ ∠푄퐶푅 + ∠푄퐶푆=90∘, 即∠푅퐶푆=90∘; ①如图③所示,直线푃퐶即为所求; ②答案不唯一,到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上. 21.连接퐴퐷,并向两方延长,分别交퐵퐶,퐸퐹于푀,푁, 由点퐴,퐷在同一条水平线上,퐵퐶,퐸퐹 均垂直于地面可知,푀푁 ⊥ 퐵퐶,푀푁 ⊥ 퐸퐹, 所以푀푁的长度就是퐵퐶与퐸퐹之间的距离, 同时,由两圆弧翼成轴对称可得,퐴푀=퐷푁, 在푅푡 △ 퐴퐵푀中,∠퐴푀퐵=90∘,∠퐴퐵푀=28∘,퐴퐵=60푐푚, ∵ sin∠퐴퐵푀 = 퐴푀 퐴퐵 , ∴ 퐴푀=퐴퐵 ⋅ sin∠퐴퐵푀=60 ⋅ sin28∘ ≈ 60 × 0.47=28.2, ∴ 푀푁=퐴푀 + 퐷푁 + 퐴퐷=2퐴푀 + 퐴퐷=28.2 × 2 + 10=66.4, ∴ 퐵퐶与퐸퐹之间的距离为66.4푐푚; 设一个人工检票口平均每分钟检票通过的人数为푥人, 根据题意得,180 푥 − 3 = 180 2푥 , 解得:푥=30, 经检验,푥=30是原方程的根, 当푥=30时,2푥=60, 答:一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数为60人. 22.四边形퐵퐸′퐹퐸是正方形, 理由如下: ∵ 将푅푡 △ 퐴퐵퐸绕点퐵按顺时针方向旋转90∘, ∴ ∠퐴퐸퐵=∠퐶퐸′퐵=90∘,퐵퐸=퐵퐸′,∠퐸퐵퐸′=90∘, 10 / 12 又∵ ∠퐵퐸퐹=90∘, ∴ 四边形퐵퐸′퐹퐸是矩形, 又∵ 퐵퐸=퐵퐸′, ∴ 四边形퐵퐸′퐹퐸是正方形; 퐶퐹=퐸′퐹; 理由如下:如图②,过点퐷作퐷퐻 ⊥ 퐴퐸于퐻, ∵ 퐷퐴=퐷퐸,퐷퐻 ⊥ 퐴퐸, ∴ 퐴퐻 = 1 2 퐴퐸,퐷퐻 ⊥ 퐴퐸, ∴ ∠퐴퐷퐻 + ∠퐷퐴퐻=90∘, ∵ 四边形퐴퐵퐶퐷是正方形, ∴ 퐴퐷=퐴퐵,∠퐷퐴퐵=90∘, ∴ ∠퐷퐴퐻 + ∠퐸퐴퐵=90∘, ∴ ∠퐴퐷퐻=∠퐸퐴퐵, 又∵ 퐴퐷=퐴퐵,∠퐴퐻퐷=∠퐴퐸퐵=90∘, ∴ △ 퐴퐷퐻 ≅△ 퐵퐴퐸(퐴퐴푆), ∴ 퐴퐻=퐵퐸 = 1 2 퐴퐸, ∵ 将푅푡 △ 퐴퐵퐸绕点퐵按顺时针方向旋转90∘, ∴ 퐴퐸=퐶퐸′, ∵ 四边形퐵퐸′퐹퐸是正方形, ∴ 퐵퐸=퐸′퐹, ∴ 퐸′퐹 = 1 2 퐶퐸′, ∴ 퐶퐹=퐸′퐹; 如图①,过点퐷作퐷퐻 ⊥ 퐴퐸于퐻, ∵ 四边形퐵퐸′퐹퐸是正方形, ∴ 퐵퐸′=퐸′퐹=퐵퐸, ∵ 퐴퐵=퐵퐶=15,퐶퐹=3,퐵퐶2=퐸′퐵2 + 퐸′퐶2, ∴ 225=퐸′퐵2 + (퐸′퐵 + 3)2, ∴ 퐸′퐵=9=퐵퐸, ∴ 퐶퐸′=퐶퐹 + 퐸′퐹=12, 由(2)可知:퐵퐸=퐴퐻=9,퐷퐻=퐴퐸=퐶퐸′=12, ∴ 퐻퐸=3, ∴ 퐷퐸 = √퐷퐻2 + 퐻퐸2 = √144 + 9 = 3√17. 23.令푦=0,得푦 = 1 4 푥2 − 푥 − 3=0, 解得,푥=−2,或푥=6, ∴ 퐴(−2,  0),퐵(6,  0), 设直线푙的解析式为푦=푘푥 + 푏(푘 ≠ 0),则 {−2푘 + 푏 = 0 4푘 + 푏 = −3 , 解得,{푘 = − 1 2 푏 = −1 , 11 / 12 ∴ 直线푙的解析式为푦 = − 1 2 푥 − 1; 如图1,根据题意可知,点푃与点푁的坐标分别为 푃(푚, 1 4 푚2 − 푚 − 3),푁(푚, − 1 2 푚 − 1), ∴ 푃푀 = − 1 4 푚2 + 푚 + 3,푀푁 = 1 2 푚 + 1,푁푃 = − 1 4 푚2 + 1 2 푚 + 2, 分两种情况: ①当푃푀=3푀푁时,得− 1 4 푚2 + 푚 + 3=3(1 2 푚 + 1), 解得,푚=0,或푚=−2(舍), ∴ 푃(0, −3); ②当푃푀=3푁푃时,得− 1 4 푚2 + 푚 + 3=3(− 1 4 푚2 + 1 2 푚 + 2), 解得,푚=3,或푚=−2(舍), ∴ 푃(3, − 15 4 ); ∴ 当点푁是线段푃푀的三等分点时,点푃的坐标为(3, − 15 4 )或(0, −3); ∵ 直线푙: 푦 = − 1 2 푥 − 1与푦轴于点퐸, ∴ 点퐸的坐标为(0, −1), 分再种情况:①如图2,当点푄在푦轴的正半轴上时,记为点푄1, 过푄1作푄1퐻 ⊥ 퐴퐷于点퐻,则∠푄1퐻퐸=∠퐴푂퐸=90∘, ∵ ∠푄1퐸퐻=∠퐴퐸푂, ∴ △ 푄1퐸퐻 ∽△ 퐴퐸푂, ∴ 푄1퐻 퐴푂 = 퐸퐻 퐸푂 ,即푄1퐻 2 = 퐸퐻 1 ∴ 푄1퐻=2퐻퐸, ∵ ∠푄1퐷퐻=45∘,∠푄1퐻퐷=90∘, ∴ 푄1퐻=퐷퐻, ∴ 퐷퐻=2퐸퐻, ∴ 퐻퐸=퐸퐷, 连接퐶퐷, ∵ 퐶(0, −3),퐷(4, −3), ∴ 퐶퐷 ⊥ 푦轴, ∴ 퐸퐷 = √퐶퐸2 + 퐶퐷2 = √22 + 42 = 2√5, ∴ 퐻퐸 = 퐸퐷 = 2√5,푄1퐻 = 2퐸퐻 = 4√5, ∴ 푄1퐸 = √푄1퐻2 + 퐸퐻2 = 10, ∴ 푄1푂=푄1퐸 − 푂퐸=9, ∴ 푄1(0,  9); 12 / 12 ②如图3,当点푄在푦轴的负半轴上时,记为点푄2,过푄2作푄2퐺 ⊥ 퐴퐷于퐺,则∠푄2퐺퐸= ∠퐴푂퐸=90∘, ∵ ∠푄2퐸퐺=∠퐴퐸푂, ∴ △ 푄2퐺퐸 ∽△ 퐴푂퐸, ∴ 푄2퐺 퐴푂 = 퐸퐺 푂퐸 ,即푄2퐺 2 = 퐸퐺 1 , ∴ 푄2퐺=2퐸퐺, ∵ ∠푄2퐷퐺=45∘,∠푄2퐺퐷=90∘, ∴ ∠퐷푄2퐺=∠푄2퐷퐺=45∘, ∴ 퐷퐺=푄2퐺=2퐸퐺, ∴ 퐸퐷=퐸퐺 + 퐷퐺=3퐸퐺, 由①可知,퐸퐷=2√5, ∴ 3퐸퐺=2√5, ∴ 퐸퐺 = 2√5 3 , ∴ 푄2퐺 = 4√5 3 , ∴ 퐸푄2 = √퐸퐺2 + 푄2퐺2 = 10 3 , ∴ 푂푄2 = 푂퐸 + 퐸푄2 = 13 3 , ∴ 푄2(0, − 13 3 ), 综上,点푄的坐标为(0,  9)或(0, − 13 3 ).
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