- 2021-11-11 发布 |
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文档介绍
中考卷-2020中考数学试题(解析版) (5)
2020 年河南省普通高中招生考试试卷 数 学 考生须知: 1.本试卷满分 120 分,考试时间为 120 分钟. 2.答题前,考生先将自己的“姓名”、“考号”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚,将“条 形码”准确粘贴在条形码区域内. 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的区域内作答,超出答题区域的答案无效;在草稿纸上、 试题纸上答案无效. 4.选择题必须使用 2B 铅笔填涂;非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写,字体 工整、笔迹清楚. 5.保持卡面整洁,不要折叠、不要弄脏、弄皱,不准使用涂改液、刮纸刀. 一、选择题(每小题 3 分 ,共 30 分)下列各小题均有四个答案,其中只有一个是正确的. 的相反数是( ) 1 2 1 2 2 2 【答案】 【解析】 【分析】 根据相反数的概念解答即可. 【详解】2 的相反数是-2, 故选 D. 如下摆放的几何体中,主视图与左视图有可能不同的是( ) A. B. C. D. 【答案】 【解析】 【分析】 分别确定每个几何体的主视图和左视图即可作出判断. 【详解】A.圆柱的主视图和左视图都是长方形,故此选项不符合题意; B.圆锥的主视图和左视图都是三角形,故此选项不符合题意; C.球的主视图和左视图都是圆,故此选项不符合题意; D.长方体的主视图是长方形,左视图可能是正方形,故此选项符合题意, 故选:D. 【点睛】本题考查了简单几何体的三视图,熟练掌握确定三视图的方法是解答的关键. 要调查下列问题,适合采用全面调查(普查)的是( ) A. 中央电视台《开学第--课》 的收视率 B. 某城市居民 6 月份人均网上购物的次数 C. 即将发射的气象卫星的零部件质量 D. 某品牌新能源汽车的最大续航里程 【答案】 【解析】 【分析】 根据普查得到的调查结果比较准确,但所费人力、物力和时间较多,而抽样调查得到的调查结果比较近似 解答即可. 【详解】A、中央电视台《开学第--课》 的收视率适合采用抽样调查方式,故不符合题意; B、某城市居民 6 月份人均网上购物的次数适合采用抽样调查方式,故不符合题意; C、即将发射的气象卫星的零部件质量适合采用全面调查方式,故符合题意; D、某品牌新能源汽车的最大续航里程适合采用抽样调查方式,故不符合题意, 故选:C. 【点睛】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别,选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征 灵活选用,一般来说,对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大,应选择抽样调查, 对于精确度要求高的调查,事关重大的调查往往选用普查. 如图, 1 2 3 4/ / , / /l l l l ,若 1 70 ,则 2 的度数为( ) A. 100 B. 110 C. 120 D. 130 【答案】 【解析】 【分析】 利用平行线的性质即可求解. 【详解】如图,∵ 3 4/ /l l , ∴∠1+∠3=180º, ∵∠1=70º, ∴∴∠3=180º-70º=110º, ∵ 1 2l l// , ∴∠2=∠3=110º, 故选:B. 【点睛】本题考查了平行线的性质,熟练掌握平行线的性质是解答的关键. 电子文件的大小常用 , , ,B KB MB GB 等作为单位,其中 10 10 101 2 ,1 2 ,1 2GB MB MB KB KB B ,某视 频文件的大小约为1 ,1GB GB 等于( ) A. 302 B B. 308 B C. 108 10 B D. 302 10 B 【答案】 【解析】 【分析】 根据题意及幂的运算法则即可求解. 【详解】依题意得 10 10 10 10 10 101 2 2 2 2 2 2GB MB KB B = 302 B 故选 A. 【点睛】此题主要考查幂的运算,解题的关键是熟知同底数幂的运算法则. 若点 1 1 31, , 2, , 3,A y B y C y 在反比例函数 6y x 的图像上,则 1 2 3, ,y y y 的大小关系为( ) A. 1 2 3y y y B. 2 3 1y y y C. 1 3 2y y y D. 3 2 1y y y 【答案】 【解析】 【分析】 根据点 1 1 31, , 2, , 3,A y B y C y 在反比例函数 6y x 的图象上,可以求得 1 2 3, ,y y y 的值,从而可以 比较出 1 2 3, ,y y y 的大小关系. 【详解】解:∵点 1 1 31, , 2, , 3,A y B y C y 在反比例函数 6y x 的图象上, ∴ 1 6 61y , 2 6 32y , 3 6 23y , ∵ 3 2 6 < < , ∴ 1 3 2y y y , 故选:C. 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征,解答本题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条 件,利用反比例函数的性质解答. 定义运算: 2 1m n mn mn ☆ .例如 2: 4 2 4 2 4 2 1 7 ☆ .则方程1 0x ☆ 的根的情况为( ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 只有一个实数根 【答案】 【解析】 【分析】 先根据新定义得出方程,再根据一元二次方程的根的判别式可得答案. 【详解】解:根据定义得: 21 1 0,x x x ☆ 1, 1, 1,a b c 22 4 1 4 1 1 5b ac > 0, 原方程有两个不相等的实数根, 故选 .A 【点睛】本题考查了新定义,考查学生的学习与理解能力,同时考查了一元二次方程的根的判别式,掌握 以上知识是解题的关键. 国家统计局统计数据 显示,我国快递业务收入逐年增加.2017 年至 2019 年我国快递业务收入由 5000 亿 元增加到 7500 亿元.设我国 2017 年至 2019 年快递业务收入的年平均增长率为 x .则可列方程为( ) A. 5000 1 2 7500x B. 5000 2 1 7500x C. 25000 1 7500x D. 2 5000 5000 1 5000 1 7500x x 【答案】 【解析】 【分析】 设我国 2017 年至 2019 年快递业务收入的年平均增长率为 x ,根据增长率的定义即可列出一元二次方程. 【详解】设我国 2017 年至 2019 年快递业务收入的年平均增长率为 x , ∵2017 年至 2019 年我国快递业务收入由500 亿元增加到 7500 亿元 ∴可列方程: 2 5000 5000 1 5000 1 7500x x , 故选 D. 【点睛】此题主要考查一元二次方程的应用,解题的关键是根据题意找到等量关系得到方程. 如图,在 ABC 中, 90ACB .边 BC 在 x 轴上,顶点 ,A B 的坐标分别为 2,6 和 7,0 .将正方形 OCDE 沿 x 轴向右平移当点 E 落在 AB 边上时,点 D 的坐标为( ) A. 3 ,22 B. 2,2 C. 11,24 D. 4,2 【答案】 【解析】 【分析】 先画出 E 落在 AB 上的示意图,如图,根据锐角三角函数求解O B 的长度,结合正方形的性质,从而可得 答案. 【详解】解:由题意知: 2,0 ,C 四边形COED 为正方形, ,CO CD OE 90 ,DCO 2,2 , 0,2 ,D E 如图,当 E 落在 AB 上时, 2,6 , 7,0 ,A B 6, 9,AC BC 由 tan ,AC EOABC BC O B 6 2 ,9 O B 3,O B 7 3 4, 2,OO OC 2,2 .D 故选 .B 【点睛】本题考查的是平移的性质的应用,同时考查了正方形的性质,图形与坐标,锐角三角函数,掌握 以上知识是解题的关键. 如图,在 ABC 中, 3 , 30AB BC BAC ,分别以点 ,A C 为圆心, AC 的长为半径作弧, 两弧交于点 D ,连接 , ,DA DC 则四边形 ABCD 的面积为( ) A. 6 3 B. 9 C. 6 D. 3 3 【答案】 【解析】 【分析】 连接 BD 交 AC 于 O,由已知得△ACD 为等边三角形且 BD 是 AC 的垂直平分线,然后解直角三角形解得 AC、BO、BD 的值,进而代入三角形面积公式即可求解. 【详解】连接 BD 交 AC 于 O, 由作图过程知,AD=AC=CD, ∴△ACD 为等边三角形, ∴∠DAC=60º, ∵AB=BC,AD=CD, ∴BD 垂直平分 AC 即:BD⊥AC,AO=OC, 在 Rt△AOB 中, 3, 30AB BAC ∴BO=AB·sin30º= 3 2 , AO=AB·cos30º= 3 2 ,AC=2AO=3, 在 Rt△AOD 中,AD=AC=3,∠DAC=60º, ∴DO=AD·sin60º= 3 3 2 , ∴ ABC ADCABCDS S S 四边形 = 1 3 1 3 33 3 3 32 2 2 2 , 故选:D. 【点睛】本题考查了作图-基本作图、等边三角形的判定与性质、垂直平分线、解直角三角形、三角形的面 积等知识,解题的关键是灵活运用所学知道解决问题,属于中考常考题型. 二、填空题:(每题 3 分,共 15 分) 请写出一个大于 且小于 的无理数: . 【答案】 2 (答案不唯一). 【解析】 【分析】 由于所求无理数大于 1 且小于 2,两数平方得大于 2 小于 4,所以可选其中的任意一个数开平方即可. 【详解】大于 1 且小于 2 的无理数可以是 2, 3, 2 等, 故答案为: 2 (答案不唯一). 考点:1.开放型;2.估算无理数的大小. 已知关于 x 的不等式组 x a x b ,其中 ,a b 在数轴上的对应点如图所示,则这个不等式组的解集为 __________. 【答案】x>a. 【解析】 【分析】 先根据数轴确定 a,b 的大小,再根据确定不等式组的解集原则:大大取大,小小取小,大小小大中间找, 小小大大找不了(无解)确定解集即可. 【详解】∵由数轴可知,a>b, ∴关于 x 的不等式组 x a x b 的解集为 x>a, 故答案为:x>a. 【点睛】本题考查的是由数轴确定不等式组的解集,根据“大大取大,小小取小,大小小大中间找,小小 大大找不了(无解)”得出不等式组的解集是解答此题的关键. 如图所示的转盘,被分成面积相等的四个扇形,分别涂有红、黄、蓝、绿四种颜色.固定指针,自由转 动转盘两次,每次停止后,记下指针所指区域(指针指向区域分界线时,忽略不计)的颜色,则两次颜色相同 的概率是__________. 【答案】 1 4 【解析】 【分析】 首先根据题意画出树状图,然后由树状图求得所有等可能的结果与两次颜色相同的情况数,再利用概率公 式求解即可求得答案. 【详解】画树状图得: ∵共有 16 种等可能的结果,两次颜色相同的有 4 种情况, ∴两个数字都是正数的概率是 4 1 16 4 , 故答案为: 1 4 . 【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率.注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有 可能的结果,列表法适合于两步完成的事件;树状图法适合两步或两步以上完成的事件,解题时注意:概 率=所求情况数与总情况数之比. 如图,在边长为 2 2 的正方形 ABCD 中,点 ,E F 分别是边 ,AB BC 的中点,连接 , ,EC FD 点 ,G H 分 别是 ,EC FD 的中点,连接GH ,则GH 的长度为__________. 【答案】1 【解析】 【分析】 过 E 作 EP DC ,过 G 作GQ DC ,过 H 作 HR BC ,HR与GQ 相交于 I,分别求出 HI 和 GI 的长, 利用勾股定理即可求解. 【详解】过 E 作 EP DC ,过 G 作GQ DC ,过 H 作 HR BC ,垂足分别为 P,R,R,HR 与GQ 相 交于 I,如图, ∵四边形 ABCD 是正方形, ∴ 2 2AB AD DC BC , 90A ADC , ∴四边形 AEPD 是矩形, ∴ 2 2EP AD , ∵点 E,F 分别是 AB,BC 边的中点, ∴ 1 22PC DC , 1 22FC BC EP DC ,GQ DC , GQ EP // ∵点 G 是 EC 的中点, GQ 是 EPC 的中位线, 1 22GQ EP , 同理可求: 2HR , 由作图可知四边形 HIQP 是矩形, 又 HP= 1 2 FC,HI= 1 2 HR= 1 2 PC, 而 FC=PC, ∴ HI HP , ∴四边形 HIQP 是正方形, ∴ 2 2IQ HP , ∴ 2 22 2 2GI GQ IQ HI HIG 是等腰直角三角形, 2 1GH HI 故答案为:1. 【点睛】此题主要考查了正方形的判定与性质,三角形的中位线与勾股定理等知识,正确作出辅助线是解 答此题的关键. 如图,在扇形 BOC 中, 60 ,BOC OD 平分 BOC 交狐 BC 于点 D .点 E 为半径 OB 上一动点若 2OB ,则阴影部分周长的最小值为__________. 【答案】 2 2 .3 【解析】 【分析】 如图,先作扇形OCB 关于 OB 对称的扇形 ,OAB 连接 AD 交 OB 于 E ,再分别求解 ,AD CD 的长即可得 到答案. 【详解】解: C 阴影= ,CE DE CD C阴影 最短,则 CE DE 最短, 如图,作扇形OCB 关于OB 对称的扇形 ,OAB 连接 AD 交 OB 于 E , 则 ,CE AE ,CE DE AE DE AD 此时 E 点满足CE DE 最短, 60 ,COB AOB OD 平分 ,CB 30 , 90 ,DOB DOA 2,OB OA OD 2 22 2 2 2,AD 而 CD 的长为: 30 2 ,180 3 C阴影 最短为 2 2 .3 故答案为: 2 2 .3 【点睛】本题考查的是利用轴对称求最短周长,同时考查了圆的基本性质,扇形弧长的计算,勾股定理的 应用,掌握以上知识是解题的关键. 三、解答题(本大题共 8 个小题,满分 75 分) 先化简,再求值: 2 11 1 1 a a a ,其中 5 1a 【答案】 1a , 5 【解析】 【分析】 先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式,再将 a 值代入计算即可. 【详解】原式= ( 1)( 1) 1 a a a a a = 1a , 当 5 1a 时,原式= 5 1 1 5 . 【点睛】本题考查的是分式的化简求值,解答的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则,注意运 算结果要化成最简分式或整式. 为发展乡村经济,某村根据本地特色,创办了山药粉加工厂.该厂需购置一台分装机,计划从商家推荐 试用的甲、乙两台不同品牌的分装机中选择.试用时,设定分装的标准质量为每袋 500g ,与之相差大于10g 为不合格.为检验分装效果,工厂对这两台机器分装的成品进行了抽样和分析,过程如下: [收集数据]从甲、乙两台机器分装的成品中各随机抽取 20 袋,测得实际质量(单位: g ) 如下: 甲: 501 497 498 502 513 489 506 490 505 486 502 503 498 497 491 500 505 502 504 505 乙:505 499 502 491 487 506 493 505 499 498 502 503 501 490 501 502 512 499 499 501 [整理数据]整理以上数据,得到每袋质量 x g 的频数分布表. [分析数据]根据以上数据,得到以下统计量. 根据以上信息,回答下列问题: 1 表格中的 a b 2 综合上表中的统计量,判断工厂应选购哪一台分装机,并说明理由. 【答案】(1) 501a , =15%b .(2)选择乙分装机,理由见解析; 【解析】 【分析】 (1)把乙的数据从小到大进行排序,选出 10、11 两项,求出他们的平均数即为乙组数据的中位数;由题 可得合格产品的范围是 490 510x ,根据这个范围,选出不合格的产品,除以样本总量就可得到结 果; (2)根据方差的意义判断即可; 【详解】(1)把乙组数据从下到大排序为: 487 490 491 493 498 499 499 499 499 501 501 501 502 502 502 503 505 505 506 512 ,可得中位数 = 501+501 =5012 ; 根据已知条件可得出产品合格的范围是 490 510x ,甲生产的产品有 3 袋不合格,故不合格率为 3 100%=15%20 . 故 501a , =15%b . (2)选择乙分装机;根据方差的意义可知:方差越小,数据越稳定,由于 2 2 甲 乙=42.01> =31.81S S ,所以 乙分装机. 【点睛】本题主要考查了根据图标数据进行中位数的求解,准确理解表中各项数据是解题的关键. 位于河南省登封市境内的元代观星台,是中国现存最早的天文台,也是世界文化遗产之一. 某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度.如图所示,他们在地面一条水 平步道 MP 上架设测角仪,先在点 M 处测得观星台最高点 A 的仰角为 22,然后沿 MP 方向前进16m到达点 N 处,测得点 A 的仰角为 45.测角仪的高度为1.6m , 1 求观星台最高点 A 距离地面的高度(结果精确到 0.1m .参考数据: 22 0.37, 22 0. 93 , 22 0.40, 2 1.41sin cos tan ); 2 “景点简介”显示,观星台的高度为12.6m ,请计算本次测量结果的误差,并提出一条减小误差的合理化 建议. 【答案】(1)12.3m;(2)0.3m,多次测量,求平均值 【解析】 【分析】 (1)过点 A 作 AE⊥MN 交 MN 的延长线于点 E,交 BC 的延长线于点 D,根据条件证出四边形 BMNC 为 矩形、四边形 CNED 为矩形、三角形 ACD 与三角形 ABD 均为直角三角形,设 AD 的长为 xm,则 CD=AD=xm, BD=BC+CD=(16+x)m,在 Rt△ABD 中,解直角三角形求得 AD 的长度,再加上 DE 的长度即可; (2)根据(1)中算的数据和实际高度计算误差,建议是多次测量求平均值. 【详解】解:(1)如图,过点 A 作 AE⊥MN 交 MN 的延长线于点 E,交 BC 的延长线于点 D, 设 AD 的长为 xm, ∵AE⊥ME,BC∥MN, ∴AD⊥BD,∠ADC=90°, ∵∠ACD=45°, ∴CD=AD=xm,BD=BC+CD=(16+x)m, 由题易得,四边形 BMNC 为矩形, ∵AE⊥ME, ∴四边形 CNED 为矩形, ∴DE=CN=BM=1.6m , 在 Rt△ABD 中, tan ABD= 0.4016 AD x BD x ∠ , 解得: 10.7x , 即 AD=10.7m,AE=AD+DE=10.7+1.6=12.3m, 答:观星台最高点 A 距离地面的高度为 12.3m. (2)本次测量结果的误差为:12.6-12.3=0.3m, 减小误差的合理化建议:多次测量,求平均值. 【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形是解答此题的关键. 暑期将至,某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动,活动方案如下. 方案一:购买一张学生暑期专享卡,每次健身费用按六折优惠; 方案二:不购买学生暑期专享卡,每次健身费用按八折优惠; 设某学生暑期健身 x (次),按照方案一所需费用为 1y ,(元),且 1 1y k x b ;按照方案二所需费用为 2y (元) , 且 2 2 .y k x 其函数图象如图所示. 1 求 1k 和b 的值,并说明它们的实际意义; 2 求打折前的每次健身费用和 2k 的值; 3 八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身8 次,应选择哪种方案所需费用更少?说明理由. 【答案】(1)k1=15,b=30;k1=15 表示的是每次健身费用按六折优惠是 15 元,b=30 表示购买一张学生暑期 专享卡的费用是 30 元; (2)打折前的每次健身费用为 25 元,k2=20; (3)方案一所需费用更少,理由见解析. 【解析】 【分析】 (1)用待定系数法代入(0,30)和(10,180)两点计算即可求得 1k 和b 的值,再根据函数表示的实际意 义说明即可; (2)设打折前的每次健身费用为 a 元,根据(1)中算出的 1k 为打六折之后的费用可算得打折前的每次健 身费用,再算出打八折之后的费用,即可得到 2k 的值; (3)写出两个函数关系式,分别代入 x=8 计算,并比较大小即可求解. 【详解】解:(1)由图象可得: 1 1y k x b 经过(0,30)和(10,180)两点,代入函数关系式可得: 1 30 180 10 b k b , 解得: 1 30 15 b k , 即 k1=15,b=30, k1=15 表示的是每次健身费用按六折优惠是 15 元,b=30 表示购买一张学生暑期专享卡的费用是 30 元; (2)设打折前的每次健身费用为 a 元, 由题意得:0.6a=15, 解得:a=25, 即打折前的每次健身费用为 25 元, k2 表示每次健身按八折优惠的费用,故 k2=25×0.8=20; (3)由(1)(2)得: 1 15 30y x , 2 20y x , 当小华健身8 次即 x=8 时, 1 15 8 30 150y , 2 20 8 160y , ∵150<160, ∴方案一所需费用更少, 答:方案一所需费用更少. 【点睛】本题考查一次函数的实际应用,用待定系数法求解函数关系式并结合题意计算出原价是解题的关 键. 我们学习过利用用尺规作图平分一个任意角,而“利用尺规作图三等分一个任意角”曾是数学史上一大难 题,之后被数学家证明是不可能完成的人们根据实际需爱,发明了一种简易操作工具--------三分角器.图 1 是它的示意图,其中 AB 与半圆O 的直径 BC 在同一直线 上,且 AB 的长度与半圆的半径相等;DB 与 AC 重直 F 点 ,B DB 足够长. 使用方法如图 2 所示,若要把 MEN 三等分,只需适当放置三分角器,使 DB 经过 MEN 的顶点 E ,点 A 落在边 EM 上,半圆O 与另一边 EN 恰好相切,切点为 F ,则 ,EB EO 就把 MEN 三等分了. 为了说明这一方法的正确性,需要对其进行证明.如下给出了不完整的“已知”和“求证”,请补充完整,并写 出“证明”过程. 已知:如图 2,点在 , , ,A B O C 同一直线上, ,EB AC 垂足为点 B , 求证: 【答案】E 在 BD 上,ME 过点 A , ,AB OB OC EN 为半圆O 的切线,切点为 F ;EB,EO 为∠MEN 的三等分线.证明见解析. 【解析】 【分析】 如图,连接 OF.则∠OFE=90°,只要证明 EAB EOB ≌ , OBE OFE ≌ ,即可解决问题; 【详解】已知:如图 2,点在 , , ,A B O C 同一直线上, ,EB AC 垂足为点 B , E 在 BD 上,ME 过点 A , ,AB OB OC EN 为半圆O 的切线,切点为 F . 求证: EB,EO 为∠MEN 的三等分线. . 证明:如图,连接 OF.则∠OFE=90°, ∵EB⊥AC,EB 与半圆相切于点 B, ∴∠ABE=∠OBE=90°, ∵BA=BO.EB=EB, EAB EOB ≌ ∴∠AEB=∠BEO, ∵EO=EO.OB=OF,∠OBE=∠OFE 90 , ∴ OBE OFE ≌ , ∴∠OEB=∠OEF, ∴∠AEB=∠BEO=∠OEF, ∴EB,EO 为∠MEN 的三等分线. 故答案为: E 在 BD 上, ME 过点 A , ,AB OB OC EN 为半圆O 的切线,切点为 F . EB,EO 为∠MEN 的三等分线. 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、切线的性质等知识,解题的关键学会添加常用辅助线, 构造全等三角形解决问题. 如图,抛物线 2 2y x x c 与 x 轴正半轴, y 轴正半轴分别交于点 ,A B ,且 ,OA OB 点G 为抛物 线的顶点. 1 求抛物线的解析式及点 G 的坐标; 2 点 ,M N 为抛物线上两点(点 M 在点 N 的左侧) ,且到对称轴的距离分别为 3 个单位长度和 5 个单位长 度,点Q 为抛物线上点 ,M N 之间(含点 ,M N )的一个动点,求点Q 的纵坐标 Qy 的取值范围. 【答案】(1) 2y x 2x 3 ,G(1,4);(2)﹣21≤ Qy ≤4. 【解析】 【分析】 (1)根据 ,OA OB 用 c 表示出点 A 的坐标,把 A 的坐标代入函数解析式,得到一个关于 c 的一元二次方 程,解出 c 的值,从而求出函数解析式,求出顶点 G 的坐标. (2)根据函数解析式求出函数图像对称轴,根据点 M,N 到对称轴的距离,判断出 M,N 的横坐标,进一步 得出 M,N 的纵坐标,求出 M,N 点的坐标后可确定 Qy 的取值范围. 【详解】解:(1)∵抛物线 2 2y x x c 与 y 轴正半轴分别交于点 B, ∴B 点坐标为(c,0), ∵抛物线 2 2y x x c 经过点 A, ∴﹣c2+2c+c=0, 解得 c1=0(舍去),c2=3, ∴抛物线的解析式为 2y x 2x 3 ∵ 2y x 2x 3 =﹣(x-1)2+4, ∴抛物线顶点 G 坐标为(1,4). (2)抛物线 2y x 2x 3 的对称轴为直线 x=1, ∵点 M,N 到对称轴的距离分别为 3 个单位长度和 5 个单位长度 , ∴点 M 的横坐标为﹣2 或 4,点 N 的横坐标为﹣4 或 6, 点 M 的纵坐标为﹣5,点 N 的纵坐标为﹣21, 又∵点 M 在点 N 的左侧, ∴当 M 坐标为(﹣2,﹣5)时,点 N 的坐标为(6,﹣21), 则﹣21≤ Qy ≤4 当当 M 坐标为(4,﹣5)时,点 N 的坐标为(6,﹣21), 则﹣21≤ Qy ≤﹣5, ∴ Qy 的取值范围为﹣21≤ Qy ≤4. 【点睛】本题考查的是二次函数的基本的图像与性质,涉及到的知识点有二次函数与坐标轴交点问题,待 定系数法求函数解析式,对称轴性质等,解题关键在于利用数形结合思想正确分析题意,进行计算. 小亮在学习中遇到这样一个问题: 如图,点 D 是弧 BC 上一动点,线段 8 ,BC cm 点 A 是线段 BC 的中点,过点 C 作 / /CF BD ,交 DA 的 延长线于点 F .当 DCF 为等腰三角形时,求线段 BD 的长度. 小亮分析发现,此问题很难通过常规的推理计算彻底解决,于是尝试结合学习函数的经验研究此问题,请 将下面的探究过程补充完整: 1 根据点 D 在弧 BC 上的不同位置,画出相应的图形,测量线段 , ,BD CD FD的长度,得到下表的几组对 应值. 操作中发现: ①"当点 D 为弧 BC 的中点时, 5.0BD cm ".则上中 a 的值是 ②"线段CF 的长度无需测量即可得到".请简要说明理由; 2 将线段 BD 的长度作为自变量 x CD, 和 FD 的长度都是 x 的函数,分别记为 CDy 和 FDy ,并在平面直角 坐标系 xOy 中画出了函数 FDy 的图象,如图所示.请在同一坐标系中画出函数 CDy 的图象; 3 继续在同一坐标系中画出所需的函数图象,并结合图象直接写出:当 DCF 为等腰三角形时,线段 BD 长度的近似值.(结果保留一位小数). 【答案】(1)①5.0;②见解析;(2)图象见解析;(3)图象见解析;3.5cm 或 5.0cm 或 6.3cm; 【解析】 【分析】 (1)①点 D 为弧 BC 的中点时,△ABD≌△ACD,即可得到 CD=BD;②由题意得△ACF≌△ABD,即可 得到 CF=BD; (2)根据表格数据运用描点法即可画出函数图象; (3)画出 CFy 的图象,当 DCF 为等腰三角形时,分情况讨论,任意两边分别相等时,即任意两个函数图 象相交时的交点横坐标即为 BD 的近似值. 【详解】解:(1)①点 D 为弧 BC 的中点时,由圆的性质可得: AB AC BAD CAD AD AD , ∴△ABD≌△ACD, ∴CD=BD=5.0, ∴ 5.0a ; ②∵ / /CF BD , ∴ BDA CFA , ∵ BDA CFA BAD CAF AD AF , ∴△ACF≌△ABD, ∴CF=BD, ∴线段 CF 的长度无需测量即可得到; (2)函数 CDy 的图象如图所示: (3)由(1)知 =CF BD x , 画出 CFy 的图象,如上图所示,当 DCF 为等腰三角形时, ① CF CD ,BD 为 CFy 与 CDy 函数图象的交点横坐标,即 BD=5.0cm; ②CF DF ,BD 为 CFy 与 DFy 函数图象的交点横坐标,即 BD=6.3cm; ③CD DF ,BD 为 CDy 与 DFy 函数图象的交点横坐标,即 BD=3.5cm; 综上:当 DCF 为等腰三角形时,线段 BD 长度的近似值为 3.5cm 或 5.0cm 或 6.3cm. 【点睛】本题考查一次函数结合几何的应用,学会用描点法画出函数图象,熟练掌握一次函数的性质以及 三角形全等的判定及性质是解题的关键. 将正方形 ABCD 的边 AB 绕点 A 逆时针旋转至 AB ,记旋转角为 .连接 BB,过点 D 作 DE 垂直于 直线 BB,垂足为点 E ,连接 ,DB CE , 1 如图 1,当 60 时, DEB 的形状为 ,连接 BD ,可求出 BB CE 的值为 ; 2 当 0 360 且 90 时, ① 1 中的两个结论是否仍然成立?如果成立,请仅就图 2 的情形进行证明;如果不成立,请说明理由; ②当以点 , , ,B E C D 为顶点的四边形是平行四边形时,请直接写出 ' BE B E 的值. 【答案】(1)等腰直角三角形, 2 2 ;(2)①结论不变,理由见解析;②3 或 1. 【解析】 【分析】 (1)根据题意,证明 ABB 是等边三角形,得 60AB B ,计算出 45DB E ,根据 DE BB , 可得 DEB 为等腰直角三角形;证明 BDB CDE △ △ ,可得 BB CE 的值; (2)①连接 BD,通过正方形性质及旋转,表示出 45EB D AB D AB B ,结合 DE BB , 可得 DEB 为等腰直角三角形;证明 B DB EDC △ △ ,可得 BB CE 的值; ②分为以 CD 为边和 CD 为对角线两种情况进行讨论即可. 【详解】(1)由题知 60BAB °, 90BAD °, AB AD AB ∴ 30B AD °,且 ABB 为等边三角形 ∴ 60AB B °, 1 (180 30 ) 752AB D ∴ 180 60 75 45DB E ∵ DE BB ∴ 90DEB ° ∴ 45B DE ° ∴ DEB△ 为等腰直角三角形 连接 BD,如图所示 ∵ 45BDC B DE ° ∴ BDC B DC B DE B DC 即 BDB CDE ∵ 2 2 CD DE BD DB ∴ BDB CDE △ △ ∴ 2 2 BB CE 故答案为:等腰直角三角形, 2 2 (2)①两个结论仍然成立 连接 BD,如图所示: ∵ AB AB , BAB ∴ 90 2ABB ∵ 90 ,B AD AD AB ∴ 135 2AB D ∴ 45EB D AB D AB B ∵ DE BB ∴ 45EDB EB D ∴ DEB△ 是等腰直角三角形 ∴ 2DB DE ∵四边形 ABCD 为正方形 ∴ 2, 45BD BDCCD ∴ BD DB CD DE ∵ EDB BDC ∴ B DB EDC ∴ B DB EDC △ △ ∴ 2BB BD CE CD ∴结论不变,依然成立 ②若以点 , , ,B E C D 为顶点的四边形是平行四边形时,分两种情况讨论 第一种:以 CD 为边时,则 //CD B E ,此时点 B在线段 BA 的延长线上, 如图所示: 此时点 E 与点 A 重合, ∴ BE CE B E ,得 1BE B E ; ②当以 CD 为对角线时,如图所示: 此时点 F 为 CD 中点, ∵ DE BB ∴CB BB ∵ 90BCD ∴ BCF CB F BB C △ △ △ ∴ 2BC CB BB CF B F CB ∴ 4BB B F ∴ 6 , 2BE B F B E B F ∴ 3BE B E 综上: BE B E 的值为 3 或 1. 【点睛】本题考查了正方形与旋转综合性问题,能准确的确定相似三角形,是解决本题的关键.查看更多