数学华东师大版九年级上册教案24-4 解直角三角形 第1课时

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数学华东师大版九年级上册教案24-4 解直角三角形 第1课时

1 24.4 解直角三角形 第 1 课时 教学目标 1.理解解直角三角形的意义和条件,能根据元素间的关系,选择适当的关系式,求出所有 未知元素;(重点) 2.能够把实际问题转化为数学问题,建立数学模型,并运用解直角三角形求解,通过生活 中的实际问题体会锐角三角函数在解题过程中的作用.(难点) 教学重难点 【教学重点】 解直角三角形的意义和条件. 【教学难点】 运用解直角三角形求解实际问题. 课前准备 无 教学过程 一、情境导入 世界遗产意大利比萨斜塔在 1350 年落成时就已倾斜.设塔顶中心点为 B, 塔身中心线与垂 直中心线夹角为∠A,过点 B 向垂直中心线引垂线,垂足为点 C.在 Rt△ABC 中,∠C=90°, BC=5.2m,AB=54.5m,求∠A 的度数. 在上述的 Rt△ABC 中,你还能求其他未知的边和角吗? 二、合作探究 探究点一:解直角三角形 【类型一】 利用解直角三角形求边或角 已知在 Rt△ABC 中,∠C=90°,∠A、∠B、∠C 的对边分别为 a,b,c,按下列条件 解直角三角形. (1)若 a=36,∠B=30°,求∠A 的度数和边 b、c 的长; (2)若 a=6 2,b=6 6,求∠A、∠B 的度数和边 c 的长. 解析:(1)已知直角边和一个锐角,解直角三角形;(2)已知两条直角边,解直角三角形. 解:(1)在 Rt△ABC 中,∵∠B=30°,a=36,∴∠A=90°-∠B=60°,∵cosB=a c ,即 c = a cosB = 36 3 2 =24 3,∴b=sinB·c=1 2 ×24 3=12 3; 2 (2)在 Rt△ABC 中,∵a=6 2,b=6 6,∴tanA=a b = 3 3 ,∴∠A=30°,∴∠B=60°,∴ c=2a=12 2. 方法总结:解直角三角形时应求出所有未知元素,解题时尽可能地选择包含所求元素与两个 已知元素的关系式求解. 【类型二】 构造直角三角形解决长度问题 一副直角三角板如图放置,点 C 在 FD 的延长线上,AB∥CF,∠F=∠ACB=90°,∠E =30°,∠A=45°,AC=12 2,试求 CD 的长. 解析:过点 B 作 BM⊥FD 于点 M,求出 BM 与 CM 的长度,然后在△EFD 中可求出∠EDF=60°, 利用解直角三角形解答即可. 解:过点 B 作 BM⊥FD 于点 M,在△ACB 中,∠ACB=90°,∠A=45°,AC=12 2,∴BC= AC=12 2.∵AB∥CF,∴BM=sin45°BC=12 2× 2 2 =12,CM=BM=12.在△EFD 中,∠F= 90°,∠E=30°,∴∠EDF=60°,∴MD= BM tan60° =4 3,∴CD=CM-MD=12-4 3. 方法总结:解答此类题目的关键是根据题意构造直角三角形,然后利用所学的三角函数的关 系进行解答. 【类型三】 运用解直角三角形解决面积问题 如图,在△ABC 中,已知∠C=90°,sinA=3 7 ,D 为边 AC 上一点,∠BDC=45°,DC =6.求△ABC 的面积. 解析:首先利用正弦的定义设 BC=3k,AB=7k,利用 BC=CD=3k=6,求得 k 值,从而求得 AB 的长,然后利用勾股定理求得 AC 的长,再进一步求解. 解:∵∠C=90°,∴在 Rt△ABC 中,sinA=BC AB =3 7 ,设 BC=3k,则 AB=7k(k>0),在 Rt△ BCD 中,∵∠BCD=90°,∴∠BDC=45°,∴∠CBD=∠BDC=45°,∴BC=CD=3k=6,∴k =2,∴AB=14.在 Rt△ABC 中,AC= AB2-BC2= 142-62=4 10,∴S△ABC=1 2 AC·BC=1 2 ×4 10 ×6=12 10.所以△ABC 的面积是 12 10. 方法总结:若已知条件中有线段的比或可利用的三角函数,可设出一个辅助未知数,列方程 解答. 探究点二:解直角三角形的简单应用 【类型一】 求河的宽度 根据网上消息,益阳市为了改善市区交通状况,计划在康富路的北端修建通往资江北 岸的新大桥.如图,新大桥的两端位于 A、B 两点,小张为了测量 A、B 之间的河宽,在垂直 于新大桥 AB 的直线型道路 l 上测得如下数据:∠BDA=76.1°,∠BCA=68.2°,CD=82 米.求 3 AB 的长(精确到 0.1 米).参考数据:sin76.1°≈0.97,cos76.1°≈0.24,tan76.1°≈4.0; sin68.2°≈0.93,cos68.2°≈0.37,tan68.2°≈2.5. 解析:设 AD=xm,则 AC=(x+82)m.在 Rt△ABC 中,根据三角函数得到 AB=2.5(x+82)m, 在 Rt△ABD 中,根据三角函数得到 AB=4x,依此得到关于 x 的方程,进一步即可求解. 解:设 AD=xm,则 AC=(x+82)m.在 Rt△ABC 中,tan∠BCA=AB AC ,∴AB=AC·tan∠BCA=2.5(x +82).在 Rt△ABD 中,tan∠BDA=AB AD ,∴AB=AD·tan∠BDA=4x,∴2.5(x+82)=4x,解 得 x=410 3 .∴AB=4x=4×410 3 ≈546.7m. 答:AB 的长约为 546.7m. 方法总结:解题的关键在于构造出直角三角形,通过测量角的度数和测量边的长度,计算出 所要求的物体的高度或长度. 【类型二】 求不可到达的两点的高度 如图,放置在水平桌面上的台灯的灯臂 AB 长为 30cm,灯罩 BC 长为 20cm,底座厚度为 2cm,灯臂与底座构成的∠BAD=60°.使用发现,光线最佳时灯罩 BC 与水平线所成的角为 30°,此时灯罩顶端 C 到桌面的高度 CE 是多少(结果精确到 0.1cm,参考数据: 3≈1.732)? 解析:首先过点 B 作 BF⊥CD 于点 F,作 BG⊥AD 于点 G,进而求出 FC 的长,再求出 BG 的长, 即可得出答案. 解:过点 B 作 BF⊥CD 于点 F,作 BG⊥AD 于点 G,∴四边形 BFDG 是矩形,∴BG=FD. 在 Rt△BCF 中,∠CBF=30°,∴CF=BC·sin30°=20×1 2 =10cm.在 Rt△ABG 中,∵∠BAG =60°,∴BG=AB·sin60°=30× 3 2 =15 3cm,∴CE=CF+FD+DE=10+15 3+2=12+ 15 3≈38.0(cm). 答:此时灯罩顶端 C 到桌面的高度 CE 约是 38.0cm. 方法总结:将实际问题抽象为数学问题,画出平面图形,构造出直角三角形转化为解直角三 角形问题. 三、板书设计 1.解直角三角形的基本类型及其解法; 2.解直角三角形的简单应用. 4 四、教学反思 本节课为了充分发挥学生的主观能动性,可引导学生通过小组讨论,大胆地发表意见, 提高学生学习数学的兴趣.能够使学生自己构造实际问题中的直角三角形模型,并通过解直 角三角形解决实际问题.
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