华师版九年级数学下册第26章 二次函数 教学课件

华师版九年级数学下册第26章 二次函数 教学课件

26.1 二次函数 第 26 章 二次函数 学习目标 1. 理解掌握二次函数的概念和一般形式 . （重点） 2. 会利用二次函数的概念解决问题 . 3. 会列二次函数表达式解决实际问题 . （难点） 雨后天空的彩虹，公园里的喷泉，跳绳等都会形成一条曲线 . 这些曲线能否用函数关系式表示？ 情境引入 1. 什么叫函数 ? 一般地，在一个变化的过程中，如果有两个变量 x 与 y ，并且对于 x 的每一个确定的值， y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 x 是自变量， y 是 x 的函数 . 3 . 一元二次方程的一般形式是什么？ 一般地，形如 y = kx + b （ k,b 是常数， k ≠0 ）的函数叫做一次函数 . 当 b =0 时，一次函数 y = kx 就叫做正比例函数 . 2 . 什么是一次函数？正比例函数？ ax 2 + bx + c =0 ( a ≠0 ) 问题 1 正方体六个面是全等的正方形，设正方体棱长为 x ，表面积为 y ，则 y 关于 x 的关系式为 . y =6 x 2 此式表示了正方体表面积 y 与正方体棱长 x 之间的关系，对于 x 的每一个值， y 都有唯一的一个对应值，即 y 是 x 的函数 . 二次函数的定义 探究归纳 问题 2 用总长为 20m 的围栏材料，一面靠墙，围成一个矩形花圃 . 怎样围才能使花圃的面积最大？ 如图，设围成的矩形花圃为 ABCD ，靠墙的 一边为 AD ，垂直于墙面的两边分别为 AB 和 CD . 设 AB 长为 x m (0 ＜ x ＜ 10), 先取 x 的一些值，进而 可以求出 BC 边的长，从而可得矩形的面积 y . 将计算结果写在下表的空格中： A D B C AB 长 ( x ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 BC 长 12 面积 ( y ) 48 单位： m 18 16 14 10 8 6 4 2 18 32 42 50 48 42 32 18 我们发现 , 当 AB 的长 ( x ) 确定后 , 矩形的面积 ( y ) 也就随之确定 , 即 y 是 x 的函数 , 试写出这个函数的关系式 . （ 0 ＜ x ＜ 10 ） 即 （ 0 ＜ x ＜ 10 ） 问题 3 某商店将每件进价为 8 元的某种商品按每件 10 元出售 , 一天可售出 100 件 . 该店想通过降低售价 , 增加销售量的办法来提高利润 . 经过市场调查 , 发现这种商品单价每降低 0.1 元 , 其销售量可增加约 10 元 . 将这种商品的售价降低多少时 , 能使销售利润最大 ? 分析：销售利润 = （售价 - 进价）×销售量 . 根据题意，求出这个函数关系式 . 想一想，为什么要限定 ？ 问题 1-3 中函数关系式有什么共同点? 函数都是用 自变量的二次整式表示 的 y =6 x 2 想一想 （ 0 ＜ x ＜ 10 ） 二次函数的定义： 形如 y = ax ²+ bx + c ( a , b , c 是常数, a ≠ 0 )的函数叫做 二次函数 . 温馨提示： （1） 等号左边是变量 y ，右边是关于自变量 x 的整式； （2） a , b , c 为常数，且 a ≠ 0; （3） 等式的右边最高次数为 2 ，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项. 归纳总结 例 1 下列函数中哪些是二次函数？为什么？（ x 是自变量） ① y = ax 2 + bx + c ② s =3-2 t ² ③ y = x 2 ④ ⑤ y = x ²+ x ³+25 ⑥ y =( x +3)²- x ² 不一定是，缺少 a ≠0 的条件. 不是，右边是分式. 不是， x 的最高次数是 3. y =6 x +9 典例精析 判断一个函数是不是二次函数，先看原函数和整理化简后的形式再作判断.除此之外，二次函数除有一般形式 y = ax 2 + bx + c ( a ≠0) 外， 还有其特殊形式如 y = ax 2 , y = ax 2 + bx , y = ax 2 + c 等. 方法归纳 想一想 : 二次函数的一般式 y = ax ２ ＋ bx ＋ c （ a ≠ 0） 与一元二次方程 ax ２ ＋ bx ＋ c ＝0（ a ≠ 0） 有什么联系和区别？ 联系 ： (1) 等式一边都是 ax 2 ＋ bx ＋ c 且 a ≠ 0； (2) 方程 ax 2 ＋ bx ＋ c =0 可以看成是函数 y = ax 2 ＋ bx ＋ c 中 y =0 时得到的. 区别 : 前者是函数 . 后者是方程 . 等式另一边前者是 y , 后者是 0. 二次函数定义的应用 例 2 （1） m 取什么值时，此函数是正比例函数？ （2） m 取什么值时，此函数是二次函数？ 解： （1）由题 可知, 解得 （2）由题 可知, 解得 m =3 . 第 （2） 问易忽略二次项系数 a ≠0 这一限制条件，从而得出 m =3 或 -3 的错误答案，需要引起同学们的重视 . 1. 已知 : ， m 取什么值时， y 是 x 的二次函数？ 解：当 =2 且 k+2≠0 ，即 k=-2 时 , y 是 x 的二次函数 . 解： 由题意得： ∴m≠±3 解： 由题意得： 【解题小结】 本题考查正比例函数和二次函数的概念，这类题需紧扣概念的特征进行解题. 例 3 ： 某工厂生产的某种产品按质量分为 10 个档次，第 1 档次 ( 最低档次 ) 的产品一天能生产 95 件，每件利润 6 元．每提高一个档次，每件利润增加 2 元，但一天产量减少 5 件． (1) 若生产第 x 档次的产品一天的总利润为 y 元 ( 其中 x 为正整数，且 1≤ x ≤10) ，求出 y 关于 x 的函数关系式； 解： ∵ 第一档次的产品一天能生产 95 件，每件利润 6 元，每提高一个档次，每件利润加 2 元，但一天产量减少 5 件， ∴ 第 x 档次，提高了 ( x － 1) 档，利润增加了 2( x － 1) 元． ∴ y ＝ [6 ＋ 2( x － 1)][95 － 5( x － 1)] ， 即 y ＝－ 10 x 2 ＋ 180 x ＋ 400( 其中 x 是正整数，且 1≤ x ≤10) ； (2) 若生产第 x 档次的产品一天的总利润为 1120 元，求该产品的质量档次． 解：由题意可得 － 10 x 2 ＋ 180 x ＋ 400 ＝ 1120 ， 整理得 x 2 － 18 x ＋ 72 ＝ 0 ， 解得 x 1 ＝ 6 ， x 2 ＝ 12( 舍去 ) ． 所以，该产品的质量档次为第 6 档． 【方法总结】 解决此类问题的关键是要吃透题意，确定变量，建立函数模型． 思考： 1. 已知二次函数 y ＝－ 10 x 2 ＋ 180 x ＋ 400 , 自变量 x 的取值范围是什么？ 2. 在例 3 中，所得出 y 关于 x 的函数关系式 y ＝－ 10 x 2 ＋ 180 x ＋ 400 ，其自变量 x 的取值范围与 1 中相同吗？ 【总结】 二次函数自变量的取值范围一般是 全体实数 ，但是在实际问题中，自变量的取值范围应 使实际问题有意义 . 二次函数的值 例 4 一个二次函数 . （ 1 ）求 k 的值 . （ 2 ）当 x = 0.5 时， y 的值是多少？ 解： （ 1 ）由题意，得 解得 （ 2 ）当 k = 2 时， . 将 x = 0.5 代入函数关系式中， . 此类型题考查二次函数的概念，要抓住二次项系数不为 0 及自变量指数为 2 这两个关键条件，求出字母参数的值，得到函数解析式，再用代入法将 x 的值代入其中，求出 y 的值 . 归纳总结 2. 函数 y =( m - n ) x 2 + mx + n 是二次函数的条件是 ( ) A . m , n 是常数 , 且 m ≠0 B . m , n 是常数 , 且 n ≠0 C . m , n 是常数 , 且 m ≠ n D . m , n 为任何实数 C 1 . 把 y=(2-3 x )(6+ x ) 变成一般式，二次项为_____,一次项 系数为______，常数项为 . 3 ． 下列函数是二次函数的是 ( ) A ． y ＝ 2 x ＋ 1 B ． C ． y ＝ 3 x 2 ＋ 1 D ． C -3 x 2 -16 12 4. 已知函 数 y=3x 2m-1 － 5 ① 当 m= ＿＿时， y 是关于 x 的一次函数； ② 当 m= ＿＿时， y 是关于 x 的反比例函数； ③ 当 m= ＿＿时， y 是关于 x 的二次函数 . 1 0 5. 若函数 是二次函数，求 ： （ 1 ）求 a 的值 . (2) 求函数关系式 . （ 3 ）当 x = - 2 时， y 的值是多少？ 解： （ 1 ）由题意，得 解得 （ 2 ）当 a =- 1 时，函数关系式为 . （ 3 ）将 x = - 2 代入函数关系式中，有 6. （ 1 ） n 个球队参加比赛，每两个队之间进行一场比赛，比赛的场次数 m 与球队数 n 有什么关系？ （ 2 ）假 设人民币一年定期储蓄的年利率是 x, 一年到期后 , 银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存 . 如果存款是 10 （万元） , 那么请你写出两年后的本息和 y( 万元 ) 的表达式 ( 不考虑利息税 ). y=10(x+1)²=10x²+20x+10. 7. 矩形的周长为 16cm , 它的一边长为 x （ cm), 面积为 y （ cm 2 ). 求 （ 1 ） y 与 x 之间的函数解析式及自变量 x 的取值范围； （ 2 ） 当 x =3 时矩形的面积 . 解 ：(1) y ＝(8－ x ) x ＝－ x 2 ＋8 x (0＜ x ＜8)； (2) 当 x ＝3 时 ， y ＝－3 2 ＋8×3＝15 cm 2 . 二次函数 定 义 y = ax 2 + bx +c( a ≠0 ， a , b , c 是常数 ） 一般形式 右边是整式； 自变量的指数是 2 ； 二次项系数 a ≠0. 特殊形式 y = ax 2 ； y = ax 2 + bx ； y = ax 2 + c ( a ≠0 ， a , b , c 是常数） . 1. 二次函数 y = ax 2 的图象与性质 26.2 二次函数的图象与性质 学习目标 1. 正确理解抛物线的有关概念 . （重点） 2. 会用描点法画出二次函数 y=ax² 的图象，概括出图象的特点 . （难点） 3. 掌握形如 y=ax ² 的二次函数图象的性质，并会应用 . （难点） 情境引入 二次函数 y = ax 2 的图象 x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y = x 2 … 　 　 　 　 　 　 　 … 　 例 1 画出二次函数 y = x 2 的图象 . 9 4 1 0 1 9 4 典例精析 1. 列表： 在 y = x 2 中自变量 x 可以是任意实数，列表表示几组对应值： 2 4 -2 -4 o 3 6 9 x y 2. 描点： 根据表中 x , y 的数值在坐标平面中描点 （ x,y ） 3. 连线： 如图，再用平滑曲线顺次连接各点，就得到 y = x 2 的图象． -3 3 o 3 6 9 当取更多个点时，函数 y = x 2 的图象如下： x y 二次函数 y = x 2 的图象形如物体抛射时所经过的路线 , 我们把它叫做 抛物线 . 这条抛物线关于 y 轴对称 , y 轴就是它的对称轴 . 对称轴与抛物线的交 点叫做抛物线的 顶点 . 练一练： 画出函数 y =- x 2 的图象 . y 2 4 -2 -4 0 -3 -6 -9 x x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y =- x 2 … -9 　 -4 　 -1 　 0 　 -1 　 -4 　 -9 　 … 　 根据你以往学习函数图象性质的经验，说说二次函数 y=x 2 的图象有哪些性质，并与同伴交流 . x o y = x 2 议一议 1 .y ＝ x 2 是一条抛物线 ; 2. 图象开口向上 ; 3. 图象关于 y 轴对称 ; 4. 顶 点（ 0 ， 0 ） ; 5. 图象 有最低点． y 说说二次函数 y =- x 2 的图象有哪些性质 , 与同伴交流 . o x y y =- x 2 1 .y ＝ - x 2 是一条抛物线 ; 2. 图象开口向下 ; 3. 图象关于 y 轴对称 ; 4. 顶 点（ 0 ， 0 ） ; 5. 图象 有最高点． 1. 顶点都在 原点 ; 3. 当 a >0 时，开口向 上 ； 当 a <0 时，开口向 下 ． 二次函数 y=ax 2 的图象性质： 知识要点 2. 图像关于 y 轴 对称 ; 观察下列图象，抛物线 y = ax 2 与 y =- ax 2 （ a ＞ 0 ) 的关系是什么？ 二次项系数互为相反数，开口相反，大小相同，它们关于 x 轴对称 . x y O y=ax 2 y =- ax 2 交流讨论 二次函数 y = ax 2 的性质 问题 1 ： 观察图形， y 随 x 的变化如何变化？ (-2,4) (-1,1) (2,4) (1,1) 对于 抛物线 y = ax 2 （ a ＞ 0 ） 当 x ＞ 0 时， y 随 x 取值的增大而增大； 当 x <0时， y 随 x 取值的增大而减小 . 知识要点 (-2,-4) (-1,-1) (2,-4) (1,-1) 问题 2 ： 观察图形， y 随 x 的变化如何变化？ 对于 抛物线 y = ax 2 （ a ＜ 0 ） 当 x ＞ 0 时， y 随 x 取值的增大而减小； 当 x <0时， y 随 x 取值的增大而增大 . 知识要点 解：分别填表，再画出它们的图象，如图 x ··· － 4 － 3 － 2 － 1 0 1 2 3 4 ··· ··· ··· x ··· － 2 － 1.5 － 1 － 0.5 0 0.5 1 1.5 2 ··· ··· ··· 8 4.5 2 0.5 0 8 4.5 2 0.5 8 4.5 2 0.5 0 8 4.5 2 0.5 例 2 在同一直角坐标系中，画出函数 的图象． x y O -2 2 2 4 6 4 -4 8 思考 1 ： 从二次函数 开口大小与 a 的大小有什么关系？ 当 a >0 时， a 越大，开口越小 . 练一练： 在同一直角坐标系中，画出函数 的图象． x ··· － 4 － 3 － 2 － 1 0 1 2 3 4 ··· ··· ··· x ··· － 2 － 1.5 － 1 － 0.5 0 0.5 1 1.5 2 ··· ··· ··· -8 -4.5 -2 -0.5 0 -8 -4.5 -2 -0.5 -8 -4.5 － 2 － 0.5 0 － 8 － 4.5 － 2 － 0.5 x y O － 2 2 － 2 － 4 － 6 4 － 4 － 8 当 a <0 时， a 越小（即 a 的绝对值 越大），开口越小 . 思考 2 从二次函数 开口大小与 a 的大小有什么关系？ 对于 抛物线 y = ax 2 ，｜ a ｜越大，抛物线的开口越小． y ＝ ax 2 a >0 a <0 图象 位置开 口方向 对称性 顶点最值 增减性 开口向上 , 在 x 轴上方 开口向下 , 在 x 轴下方 a 的绝对值越大，开口越小 关于 y 轴对称，对称轴是直线 x ＝ 0 顶点坐标是原点（ 0 ， 0 ） 当 x =0 时， y 最小值 =0 当 x =0 时， y 最大值 =0 在对称轴左侧递减 在对称轴右侧递增 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递减 知识要点 y O x y O x 例 1 已知二次函数 y = x 2 ． （1）判断点A（2，4）在二次函数图象上吗？ （2）请分别写出点A关于x轴的对称点B的坐标 ，关 于y轴的对称点C的坐标，关于原点O的对称点D的坐标； （3）点B、C、D在二次函数 y = x 2 的图象上吗 ？在 二次函数 y =－ x 2 的图象上吗？ 典例精析 （1）判断点A（2，4）在二次函数图象上吗？ 解：（1）当 x =2时， y = x 2 =4， 所以A（2，4）在二次函数图象上； （2）请分别写出点A关于x轴的对称点B的坐标 ，关 于y轴的对称点C的坐标，关于原点O的对称点D的坐标； （2）点A关于x轴的对称点B的坐标为（2，-4），点A关于y轴的对称点C的坐标为（-2，4），点A关于原点O的对称点D的坐标为（-2，-4）； （3）点B、C、D在二次函数 y = x 2 的图象上吗 ？在 二次函数 y = － x 2 的图象上吗？ 当 x = － 2时， y = x 2 =4， 所以C点在二次函数 y = x 2 的图象上； 当 x =2时， y = － x 2 = － 4， 所以B点在二次函数 y = － x 2 的图象上； 当 x = － 2时， y = － x 2 = － 4， 所以D点在二次函数 y = － x 2 的图象上． 已知 是二次函数，且当 x ＞ 0 时， y 随 x 增大而增大，则 k = . 分析： 是二次函数，即二次项的系数不为 0 ， x 的指数等于 2. 又因 当 x ＞ 0 时， y 随 x 增大而增大 , 即说明二次项的系数大于 0. 因此， 解得 k = 2 2 练一练 例 3. 已知二次函数 y ＝ 2 x 2 . (1) 若点 ( － 2 ， y 1 ) 与 (3 ， y 2 ) 在此二次函数的图象上，则 y 1 _____ y 2 ； ( 填“ >”“ ＝”或“ <”) ； (2) 如图，此二次函数的图象经过点 (0 ， 0) ，长方形 ABCD 的顶点 A 、 B 在 x 轴上， C 、 D 恰好在二次函数的图象上， B 点的横坐标为 2 ，求图中阴影部分的面积之和． 分析： (1) 把两点的横坐标代入二次函数表达式求出纵坐标，再比较大小即可得解； (2) 由于函数图象经过点 B ，根据点 B 的横坐标为 2 ，代入表达式可求出点 C 的纵坐标，再根据二次函数图象关于 y 轴对称求出 OA ＝ OB ，即图象左边部分与右边部分对称，两个阴影部分面积相加等于右边第一象限内的矩形面积． < (2) 解： ∵ 二次函数 y ＝ 2 x 2 的图象经过点 B ， ∴ 当 x ＝ 2 时， y ＝ 2×2 2 ＝ 8. ∵ 抛物线和长方形都是轴对称图形，且 y 轴为它 们的对称轴， ∴ OA ＝ OB ， ∴ 在长方形 ABCD 内，左边阴影部分面积等于右边空白部分面积， ∴ S 阴影部分面积之和 ＝ 2×8 ＝ 16. 二次函数 y ＝ ax 2 的图象关于 y 轴对称，因此 左右两部分折叠可以重合 ，在二次函数比较大小中，我们根据图象 中点具有的对称性 转变到同一变化区域中 ( 全部为升或全部为降 ) ，根据图象中函数值高低去比较；对于求不规则的图形面积，采用 等面积割补法 ，将不规则图形转化为规则图形以方便求解． 方法总结 当堂练习 1. 函数 y =2 x 2 的图象的开口 , 对称轴 , 顶点是 ; 在对称轴的左侧， y 随 x 的增大而 , 在对称轴的右侧 , y 随 x 的增大而 . 2. 函数 y = - 3 x 2 的图象的开口 , 对称轴 , 顶点是 ; 在对称轴的左侧 , y 随 x 的增大而 , 在对称轴的右侧 , y 随 x 的增大而 . 向上 向下 y 轴 y 轴 (0,0) (0,0) 减小 减小 增大 增大 x x y y O O 3 、 如右图，观察函数 y = （ k -1 ） x 2 的图象 , 则 k 的取值范围是 . x y k >1 4 、 说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点： 开口方向 对称轴 顶点 向上 向下 向下 向上 y 轴 y 轴 y 轴 y 轴 （0,0） （0,0） （0,0） （0,0） O 5. 若抛物线 y = ax 2 （ a ≠ 0 ）， 过点 （ -1 ， 2 ） . （ 1 ） 则 a 的值是 ； （ 2 ） 对称轴是 ，开口 . （ 3 ） 顶点坐标是 ，顶点是抛物线上的最 值 . 抛物线在 x 轴的 方（除顶点外） . (4) 若 A （ x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ) 在这条抛物线上，且 x 1 < x 2 <0, 则 y 1 y 2. 2 y 轴 向上 （ 0,0 ） 小 上 > 6. 已知二次函数 y = x 2 ，若 x ≥ m 时， y 最小值为0，求实数 m 的取值范围 ． 解：∵二次函数 y = x 2 ， ∴当 x =0时， y 有最小值，且 y 最小值 =0， ∵当 x ≥ m 时， y 最小值 =0， ∴ m ≤0． 7. 已知：如图，直线 y ＝ 3 x ＋ 4 与抛物线 y ＝ x 2 交于 A 、 B 两点，求出 A 、 B 两点的坐标，并求出两交点与原点所围成的三角形的面积． 解：由题意得 解得 所以此两函数的交点坐标为 A (4 ， 16) 和 B ( － 1 ， 1) ． ∵ 直线 y ＝ 3 x ＋ 4 与 y 轴相交于点 C (0 ， 4) ，即 CO ＝ 4. ∴ S △ ACO ＝ · CO ·4 ＝ 8 ， S △ BOC ＝ ×4×1 ＝ 2 ， ∴ S △ ABO ＝ S △ ACO ＋ S △ BOC ＝ 10. 板书设计 二次函数 y=ax 2 的 图象及性质 画法 描点法 以对称轴为中心对称取点 图象 抛物线 轴对称图形 性质 重点关注 4 个方面 开口方向及大小 对称轴 顶点坐标 增减性 26.2 二次函数的图象与性质 第 1 课时 二次函数 y = ax 2 + k 的图象与性质 2. 二次函数 y=ax 2 +bx+c 的图象与性质 学习目标 1. 会画二次函数 y = ax 2 + k 的图象 . （重点） 2. 掌握二次函数 y = ax 2 + k 的性质并会应用 . （难点） 3. 理解 y=ax² 与 y=ax²+k 之间的联系 . （重点） 已知二次函数 ① y =- x 2 ; ② y = x 2 ; ③ y =15 x 2 ; ④ y =-4 x 2 ; ⑤ y =- x 2 ; ⑥ y =4 x 2 . (1) 其中开口向上的有 ( 填题号 ) ； (2) 其中开口向下，且开口最大的是 ( 填题号 ) ； (3) 当自变量由小到大变化时，函数值先逐渐变大，然后逐渐变小的有 ( 填题号 ). ②③⑥ ⑤ ①④⑤ 复习引入 这个函数的图象是如何画出来的？ 情境引入 x y 二次函数 y = ax 2 + k 的图象与性质 探究归纳 解：先列表： x · · · － 3 － 2 － 1 0 1 2 3 · · · · · · · · · · · · · · · 例1 在同一直角坐标系中，画出二次函数 与 的图象． x y -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 描点、连线，画出这两个函数的图象 抛物线 ， 的开口方向、对称轴和顶点各是什么？ 二次函数 开口方向 顶点坐标 对称轴 向上 向上 （ 0,0 ） （ 0,1 ） y 轴 y 轴 想一想： 通过上述例子，函数 y = ax 2 +k 的性质是什么？ y -2 -2 4 2 2 -4 x 0 二次函数 y = ax 2 + k 的图象和性质 ( a ＜ 0) 做一做 在同一坐标系内画出 下列二次函数的图象： 根据图象回答下列问题 : (1) 图象的形状都是 . (2) 三条抛物线的开口方向 _______ ; (3) 对称轴都是 __________ (4) 从上而下顶点坐标分别是 _____________________ (5) 顶点都是最 ____ 点，函数都有 最 ____ 值，从上而下最大值分别 为 _______ 、 _______﹑________ (6) 函数的增减性都相同： ____________________________ _____________________________ 抛物线 向下 直线 x=0 ( 0,0) ( 0 ， 2) ( 0,-2) 高 大 y=0 y= -2 y=2 y -2 -2 2 2 -4 x 0 对称轴左侧 y 随 x 增大而增大 对称轴右侧 y 随 x 增大而减小 二次函数 y = ax 2 + k （ a ≠ 0 ）的性质 y = ax 2 + k a ＞ 0 a ＜ 0 开口方向 向上 向下 对称轴 y 轴 y 轴 顶点坐标 （ 0, k ） （ 0, k ） 最值 当 x =0 时， y 最小值 = k 当 x =0 时， y 最大值 = k 增减性 当 x ＜ 0 时， y 随 x 的增大而减小； x ＞ 0 时， y 随 x 的增大而增大 . 当 x ＞ 0 时， y 随 x 的增大而减小； x ＜ 0 时， y 随 x 的增大而增大 . 知识要点 例 2 ： 已知二次函数 y ＝ ax 2 + c, 当 x 取 x 1 ， x 2 （ x 1 ≠ x 2 ）时，函数值相等，则当 x ＝ x 1 + x 2 时，其函数值为 ________. 解析：由二次函数 y ＝ ax 2 + c 图象的性质可知， x 1 ， x 2 关于 y 轴对称，即 x 1 + x 2 ＝ 0. 把 x ＝ 0 代入二次函数表达式求出纵坐标为 c . c 方法总结 ： 二次函数 y ＝ ax 2 + c 的图象关于 y 轴对称，因此左右两部分折叠可以重合，函数值相等的两点的对应横坐标互为相反数． 二次函数 y = ax 2 + c 的图象及平移 探究归纳 做一做： 在同一直角坐标系中，画出二函数 y =2 x 2 +1 与 y =2 x 2 -1 的图象． 解：先列表： x · · · － 2 － 1.5 － 1 0 1 1.5 2 · · · y =2 x 2 ＋ 1 · · · · · · y = 2 x 2 － 1 · · · · · · 9 5.5 3 1 3 5.5 9 7 3.5 1 － 1 1 3.5 7 4 x y O － 2 2 2 4 6 － 4 8 10 － 2 y = 2 x 2 ＋ 1 y = 2 x 2 － 1 (1) 抛物线 y =2 x 2 +1, y =2 x 2 -1 的开口方向、对称轴和顶点各是什么？ y =2 x 2 向上 (0,0) y 轴 y =2 x 2 ＋ 1 y = 2 x 2 － 1 二次函数 开口方向 顶点坐标 对称轴 向上 向上 (0,1) (0,-1) y 轴 y 轴 4 x y O － 2 2 2 4 6 － 4 8 10 － 2 y = 2 x 2 ＋ 1 y = 2 x 2 － 1 (2) 抛物线 y =2 x 2 +1, y =2 x 2 -1 与抛物线 y =2 x 2 有什么关系？ 可以发现，把抛物线 y =2 x 2 向 平移 1 个单位长度，就得到抛物线 ；把抛物线 y =2 x 2 向 平移 1 个单位长度，就得到抛物线 y =2 x 2 -1. 下 y =2 x 2 +1 上 解析式 y =2 x 2 2 x 2 +1 y =2 x 2 +1 y =2 x 2 - 1 +1 -1 点的坐标 函数对应值表 x … … y =2 x 2 -1 … … y =2 x 2 … … y =2 x 2 +1 … … 4.5 -1.5 3.5 5.5 -1 2 1 3 x 2 x 2 2 x 2 -1 ( x , ) ( x , ) ( x , ) 2 x 2 -1 2 x 2 2 x 2 +1 从数的角度探究 二次函数 y = ax 2 + k 的图象及平移 可以看出， y=2x 2 向 ___ 平移一个单位长度得到 抛物线 y=2x 2 +1 5 3 2 1 -6 -4 -2 2 4 6 4 o -1 可以看出， y=2x 2 向 ___ 平移一个单位长度 得到抛物线 y=2x 2 -1 x y 从形的角度探究 上 下 二次函数 y = ax 2 + c 的图象可以由 y = ax 2 的图象平移得到： 当 c > 0 时 , 向上平移 c 个单位长度得到 . 当 c < 0 时 , 向下平移 - c 个单位长度得到 . 二次函数 y = ax 2 与 y = ax 2 + c （ a ≠ 0 ）的图象的关系 上下平移规律： 平方项不变，常数项上加下减 . 知识要点 二次函数 y ＝－ 3 x 2 ＋ 1 的图象是将 ( 　　 ) A ．抛物线 y ＝－ 3 x 2 向左平移 3 个单位得到 B ．抛物线 y ＝－ 3 x 2 向左平移 1 个单位得到 C ．抛物线 y ＝ 3 x 2 向上平移 1 个单位得到 D ．抛物线 y ＝－ 3 x 2 向上平移 1 个单位得到 解析：二次函数 y ＝－ 3 x 2 ＋ 1 的图象是将抛物线 y ＝－ 3 x 2 向上平移 1 个单位得到的．故选 D. 练一练 D 想一想 1. 画抛物线 y = ax 2 + c 的图象有几步？ 2. 抛物线 y = ax 2 + c 中的 a 决定什么？怎样决定的？ k 决定什么？它的对称轴是什么？顶点坐标怎样表示？ 第一种方法：平移法，两步即第一步画 y = ax 2 的图象，再向上（或向下）平移 ︱ c ︱ 单位 . 第二种方法：描点法，三步即列表、描点和连线 . a 决定开口方向和大小； c 决定顶点的纵坐标 . 例 2 ： 如图，抛物线 y ＝ x 2 － 4 与 x 轴交于 A 、 B 两点，点 P 为抛物线上一点，且 S △ PAB ＝ 4 ，求 P 点的坐标． 解：抛物线 y ＝ x 2 － 4 ，令 y ＝ 0 ，得到 x ＝ 2 或－ 2 ， 即 A 点的坐标为 ( － 2 ， 0) ， B 点的坐标为 (2 ， 0) ， ∴ AB ＝ 4. ∵ S △ PAB ＝ 4 ，设 P 点纵坐标为 b ， ∴ ×4| b | ＝ 4 ， ∴| b | ＝ 2 ，即 b ＝ 2 或－ 2. 当 b ＝ 2 时， x 2 － 4 ＝ 2 ，解得 x ＝ ± ， 此时 P 点坐标为 ( ， 2) ， ( － ， 2) ； 当 b ＝－ 2 时， x 2 － 4 ＝－ 2 ，解得 x ＝ ± ， 此时 P 点坐标为 ( ， 2) ， ( － ， 2) ． 1 、 抛物线 y =2 x 2 向下平移 4 个单位，就得到抛物线 ． 　　 2 、 填表： y = 2 x 2 －４ 函数 开口方向 顶点 对称轴 有最高（低）点 y = ３ x 2 y = 3 x 2 ＋ 1 y = -4 x 2 － 5 向上 向上 向下 （ 0,0 ） (0,1) (0,-5) y 轴 y 轴 y 轴 有最低点 有最低点 有最高点 3. 已知 （ m , n ) 在 y = ax 2 + a （ a 不为 0 ）的图象上， (- m , n ) ___ （填“在”或“不在”） y = ax 2 + a （ a 不为 0 ）的图象上 . 4. 若 y = x 2 + （ k -2 ） 的顶点是原点，则 k ____ ；若顶点位于 x 轴上方，则 k ____ ；若顶点位于 x 轴下方，则 k . 在 =2 >2 <2 5. 不画 函数 y =- x 2 和 y =- x 2 +1 的图象回答下面的问题： （ 1 ） 抛物线 y =- x 2 +1 经过怎样的平移才能得到抛物线 y =- x 2 . （ 2 ） 函数 y =- x 2 +1 ，当 x 时， y 随 x 的增大而减小； 当 x 时，函数 y 有最大值，最大值 y 是 ，其图象与 y 轴的交点坐标是 ，与 x 轴的交点坐标是 . （ 3 ） 试说出抛物线 y = x 2 -3 的开口方向、对称轴和顶点坐标 . 向下平移 1 个单位 . >0 =0 1 (0,1) (-1,0),(1,0) 开口方向向上，对称轴是 y 轴，顶点坐标 （ 0 ， -3 ） . 能力提升 6. 对于二次函数 y =( m +1) x m 2 - m +3, 当 x >0 时 y 随 x 的增大而增大，则 m =____. 7. 已知二次函数 y =( a -2) x 2 + a 2 -2 的最高点为（ 0 ， 2 ）则 a =____. 8. 抛物线 y = ax 2 + c 与 x 轴交于 A （ -2,0 ） ﹑ B 两点，与 y 轴交于点 C (0 ， -4), 则三角形 ABC 的面积是 _______. 9. 二次函数 y=ax 2 +c 与一次函数 y = ax + c 的图象在同一坐标系中的是 ( ) x y 0 x y 0 x y 0 x y 0 A B C D 2 -2 8 B 二次函数 y = ax 2 + k （ a ≠0) 的图象和性质 图象 性质 与 y = ax 2 的关系 开口方向由 a 的符号决定； k 决定顶点位置； 对称轴是 y 轴 . 增减性结合开口方向和对称轴才能确定 . 平移规律： k 正向上； k 负向下 . 2. 二次函数 y = ax 2 + bx+c 的图象与性质 第 2 课时 二次函数 y = a ( x - h ) 2 的图象与性质 26.2 二次函数的图象与性质 情境引入 学习目标 1. 会画二次函数 y = a ( x - h ) 2 的图象 . （重点） 2. 掌握二次函数 y = a ( x - h ) 2 的性质 .( 难点） 3. 比较函数 y = ax 2 与 y = a ( x - h ) 2 的联系 . 复习引入 a ,c 的符号 a>0, c> 0 a>0,c< 0 a<0, c> 0 a<0,c< 0 图象 开口方向 对称轴 顶点坐标 函数的增减性 最值 向上 向下 y 轴（直线 x =0 ） y 轴（直线 x =0 ） （ 0, c ） （ 0, c ） 当 x <0 时， y 随 x 增大而减小；当 x >0 时， y 随 x 增大而增大 . 当 x <0 时， y 随 x 增大而增大；当 x >0 时， y 随 x 增大而减小 . x= 0 时， y 最小值 =c x= 0 时， y 最大值 =c 问题 1 说说 二次函数 y = ax 2 +c (a ≠ 0) 的图象的特征 . 问题 2 二次函数 y = ax 2 + c （ a ≠0）与 y = ax 2 （ a ≠ 0） 的图象有何关系？ 答：二次函数 y = ax 2 + c （ a ≠ 0 ）的图象可以由 y = ax 2 （ a ≠ 0） 的图象平移得到： 当 c > 0 时，向上平移 c 个单位长度得到 . 当 c < 0 时，向下平移 - c 个单位长度得到 . 问题 3 函数 的图象，能否也可以由函数 平移得到？ 答：应该可以 . 二次函数 y = a （ x - h ） 2 的图象和性质 互动探究 引例： 在如图所示的坐标系中，画出二次函数 与 的图象． 解：先列表： x · · · － 3 － 2 － 1 0 1 2 3 · · · · · · · · · · · · · · · x y -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 描点、连线，画出这两个函数的图象 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 向上 向上 y 轴 x =2 (0,0) (2,0) 根据所画图象，填写下表： 想一想： 通过上述例子，函数 y = a ( x-h ) 2 的性质是什么？ 试一试： 画出二次函数 的图象，并考虑它们的开口方向、对称轴和顶点． x ··· －3 －2 －1 0 1 2 3 ··· ··· ··· ··· ··· － 2 － 4.5 － 2 0 0 － 2 － 2 － 2 2 － 2 － 4 － 6 4 － 4 － 4.5 0 x y － 8 x y O － 2 2 － 2 － 4 － 6 4 － 4 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 向下 直线 x =- 1 ( - 1 , 0 ) 直线 x = 0 直线 x = 1 向下 向下 ( 0 , 0 ) ( 1 , 0) 二次函数 y = a ( x-h ) 2 （ a ≠ 0 ）的性质 y = a ( x-h ) 2 a ＞ 0 a ＜ 0 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 x=h 直线 x=h 顶点坐标 （ h , 0 ） （ h , 0 ） 最值 当 x = h 时， y 最小值 = 0 当 x = h 时， y 最大值 = 0 增减性 当 x ＜ h 时， y 随 x 的增大而减小； x ＞ h 时， y 随 x 的增大而增大 . 当 x ＞ h 时， y 随 x 的增大而减小； x ＜ h 时， y 随 x 的增大而增大 . 知识要点 若抛物线 y ＝ 3( x ＋ ) 2 的图象上的三个点， A ( － 3 ， y 1 ) ， B ( － 1 ， y 2 ) ， C (0 ， y 3 ) ，则 y 1 ， y 2 ， y 3 的大小关系为 ________________ ． 解析： ∵ 抛物线 y ＝ 3( x ＋ ) 2 的对称轴为 x ＝－ ， a ＝ 3 ＞ 0 ， ∴ x ＜－ 时， y 随 x 的增大而减小； x ＞－ 时， y 随 x 的增大而增大． ∵ 点 A 的坐标为 ( － 3 ， y 1 ) ， ∴ 点 A 在抛物线上的对称点 A ′ 的坐标为 ( ， y 1 ) ． ∵ － 1 ＜ 0 ＜ ， ∴ y 2 ＜ y 3 ＜ y 1 . 故答案为 y 2 ＜ y 3 ＜ y 1 . 练一练 y 2 ＜ y 3 ＜ y 1 向右平移 1 个单位 二次函数 y = ax 2 与 y = a ( x - h ) 2 的关系 想一想 抛物线 ， 与抛物线 有什么关系？ x y O － 2 2 － 2 － 4 － 6 4 － 4 向左平移 1 个单位 知识要点 二次函数 y = a （ x - h ) 2 的图象 与 y = ax 2 的图象的关系 可以看作互相平移得到 . 左右平移规律： 括号内左加右减；括号外不变 . y = a ( x - h ) 2 当向 左 平移 ︱ h ︱ 时 y = a ( x + h ) 2 当向 右 平移 ︱ h ︱ 时 y = ax 2 例 1. 抛物线y＝ ax 2 向右平移3个单位后经过点(－1，4)，求 a 的值和平移后的函数关系式． 解：二次函数 y ＝ ax 2 的图象向右平移 3 个单位后的二次函数关系式可表示为 y ＝ a ( x － 3) 2 ， 把 x ＝－ 1 ， y ＝ 4 代入，得 4 ＝ a ( － 1 － 3) 2 ， ， ∴ 平移后二次函数关系式为 y ＝ ( x － 3) 2 . 方法总结： 根据抛物线左右平移的规律，向右平移3个单位后， a 不变，括号内应“减去3”；若向左平移3个单位，括号内应“加上3”，即“左加右减”． 将二次函数 y ＝－ 2 x 2 的图象平移后，可得到二次函数 y ＝－ 2( x ＋ 1) 2 的图象，平移的方法是 ( 　　 ) A ．向上平移 1 个单位　　 B ．向下平移 1 个单位 C ．向左平移 1 个单位　　 D ．向右平移 1 个单位 解析：抛物线 y ＝－ 2 x 2 的顶点坐标是 (0 ， 0) ，抛物线 y ＝－ 2( x ＋ 1) 2 的顶点坐标是 ( － 1 ， 0) ．则由二次函数 y ＝－ 2 x 2 的图象向左平移 1 个单位即可得到二次函数 y ＝－ 2( x ＋ 1) 2 的图象．故选 C. 练一练 C 1. 把抛物线 y =- x 2 沿着 x 轴方向平移 3 个单位长度，那么平移后抛物线的解析式是 . 2. 二次函数 y =2( x - ) 2 图象的对称轴是直线 __ __ ，顶点是 ________. 3 . 若 （ - ， y 1 ）（ - ， y 2 ）（ ， y 3 ）为二次函数 y =( x -2) 2 图象上的三点，则 y 1 ， y 2 ， y 3 的大小关系为 _______________. y =-( x +3) 2 或 y =-( x -3) 2 y 1 ＞ y 2 ＞ y 3 4. 指出下列函数图象的开口方向 , 对称轴和顶点坐标 . 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 向上 直线 x = 3 ( 3 , 0 ) 直线 x = 2 直线 x = 1 向下 向上 (2 , 0 ) ( 1 , 0) 5. 在同一坐标系中，画出函数 y ＝ 2 x 2 与 y ＝ 2( x -2) 2 的图象，分别指出两个图象之间的相互关系． 解：图象如图 . 函数 y =2( x -2) 2 的图象由函数 y =2 x 2 的图象向右平移 2 个单位得到 . y O x y = 2 x 2 2 复习 y = ax 2 + k 探索 y = a ( x-h ) 2 的图象及性质 图象的画法 图象的特征 描点法 平移法 开口方向 顶点坐标 对称轴 平移关系 直线 x = h （ h ,0 ） a >0, 开口向上 a <0, 开口向下 y = ax 2 板书设计 平移规律： 括号内：左加右减；括号外不变 . 2. 二次函数 y = ax 2 + bx+c 的图象 与 性质 第 3 课时 二次函数 y = a ( x - h ) 2 + k 的图象与性质 26.2 二次函数的图象与性质 学习目标 1. 会用描点法画出 y = a ( x - h ) 2 + k ( a ≠0) 的图象 . 2. 掌握二次函数 y = a ( x - h ) 2 + k ( a ≠0) 的图象的性质并会应用 .( 重点） 3 . 理解二次函数 y = a ( x - h ) 2 + k ( a ≠0) 与 y = ax 2 ( a ≠0) 之间的联系 . （难点） 复习引入 1. 说出下列函数图象的开口方向,对称轴,顶点,最值和增减变化情况: ( 1) y = ax 2 ( 2) y = ax 2 + c ( 3) y = a ( x - h ) 2 y y y y x x x x O O O O y y y y x x x x O O O O y y x x O O 2. 请说出二次函数y=-2x 2 的开口方向、顶点坐标、 对称轴及最值？ 3. 把y=-2x 2 的图像 向上平移3个单位 y=-2x 2 +3 向左平移2个单位 y=-2(x+2) 2 4. 请猜测一下，二次函数y=-2(x+2) 2 +3的图象是否可以由y=-2x 2 平移得到？你认为该如何平移呢？ O X y 3 -2 O y 3 -2 X 二次函数 y = a （ x - h ） 2 + k 的图象和性质 例 1 画出函数 的图像 . 指出它的开口方向、顶点与对称轴 . 探究归纳 … … … … 2 1 0 -1 -2 -3 -4 x 解 : 先列表 再描点、连线 -5.5 -3 -1.5 -1 -1.5 -3 -5.5 1 2 3 4 5 x -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 1 y O -1 -2 -3 -4 -5 -10 直线 x = － 1 开口方向向下； 对称轴是直线 x =-1 ; 顶点坐标是 (-1,-1) 试一试 画出函数 y = 2 （ x +1 ） 2 -2 图象，并说出抛物线的开口方向、对称轴、顶点 . 开口方向向下； 对称轴是直线 x =-1 ; 顶点坐标是 (-1,-2) -2 2 x y O -2 4 6 8 -4 2 4 二次函数 y = a ( x-h ) 2 + k （ a ≠ 0 ）的性质 y = a ( x-h ) 2 + k a ＞ 0 a ＜ 0 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 x=h 直线 x=h 顶点坐标 （ h , k ） （ h , k ） 最值 当 x = h 时， y 最小值 = k 当 x = h 时， y 最大值 = k 增减性 当 x ＜ h 时， y 随 x 的增大而减小； x ＞ h 时， y 随 x 的增大而增大 . 当 x ＞ h 时， y 随 x 的增大而减小； x ＜ h 时， y 随 x 的增大而增大 . 知识要点 顶点式 例 1. 已知二次函数 y ＝ a ( x － 1) 2 － c 的图象如图所示，则一次函数 y ＝ ax ＋ c 的大致图象可能是 ( 　　 ) 解析：根据二次函数开口向上则 a ＞ 0 ，根据－ c 是二次函数顶点坐标的纵坐标，得出 c ＞ 0 ，故一次函数 y ＝ ax ＋ c 的大致图象经过第一、二、三象限．故选 A. 典例精析 A 例 2. 已知二次函数 y ＝ a ( x －1) 2 －4的图象经过点(3，0)． (1)求 a 的值； (2)若 A ( m ， y 1 )、 B ( m ＋ n ， y 2 )( n ＞0)是该函数图象上的两点，当 y 1 ＝ y 2 时，求 m 、 n 之间的数量关系． 解： (1) 将 (3 ， 0) 代入 y ＝ a ( x － 1) 2 － 4 ， 得 0 ＝ 4 a － 4 ，解得 a ＝ 1 ； (2) 方法一： 根据题意，得 y 1 ＝ ( m － 1) 2 － 4 ， y 2 ＝ ( m ＋ n － 1) 2 － 4 ， ∵ y 1 ＝ y 2 ， ∴( m － 1) 2 － 4 ＝ ( m ＋ n － 1) 2 － 4 ，即 ( m － 1) 2 ＝ ( m ＋ n － 1) 2 . ∵ n ＞ 0 ， ∴ m － 1 ＝－ ( m ＋ n － 1) ，化简，得 2 m ＋ n ＝ 2 ； 方法二： ∵ 函数 y ＝ ( x － 1) 2 － 4 的图象的对称轴是经过点 (1 ，－ 4) ，且平行于 y 轴的直线， ∴ m ＋ n － 1 ＝ 1 － m ，化简，得 2 m ＋ n ＝ 2. 方法总结： 已知函数图象上的点，则这点的坐标必满足函数的表达式，代入即可求得函数解析式． 例 3 要修建一个圆形喷水池 , 在池中心竖直安装一根水管 . 在水管的顶端安装一个喷水头 , 使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为 1m 处达到最高 , 高度为 3m , 水柱落地处离池中心 3m , 水管应多长 ? C(3,0) B(1 ， 3) A x O y 1 2 3 1 2 3 解 : 如图建立直角坐标系 , 点 (1,3) 是图中这段抛物线的顶点 . 因此可设这段抛物线对应的函数是 ∵ 这段抛物线经过点 (3,0) ， ∴ 0= a (3 － 1) 2 ＋ 3. 解得 : 因此抛物线的解析式为 : y = a ( x － 1) 2 ＋ 3 (0≤ x ≤3). 当 x =0 时 , y =2.25. 答 : 水管长应为 2.25m . 3 4 a = － y = ( x － 1) 2 ＋ 3 (0≤ x ≤3) 3 4 － 向左平移 1 个单位 二次函数 y = a ( x - h ) 2 + k 与 y = ax 2 的关系 1 2 3 4 5 x -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 1 y O -1 -2 -3 -4 -5 -10 探究归纳 怎样移动抛物线 就可以得到抛物线 ？ 平移方法 1 向下平移 1 个单位 1 2 3 4 5 x -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 1 y O -1 -2 -3 -4 -5 -10 怎样移动抛物线 就可以得到抛物线 ？ 平移方法 2 向左平移 1 个单位 向下平移 1 个单位 二次函数 y = ax 2 与 y = a （ x - h ) 2 + k 的关系 可以看作互相平移得到的 . y = ax 2 y = ax 2 + k y = a ( x - h ) 2 y = a ( x - h ) 2 + k 上下平移 左右平移 上下平移 左右平移 平移规律 简记为： 上下平移， 括号外上加下减； 左右平移， 括号内左加右减 . 二次项系数 a 不变 . 要点归纳 1. 请回答抛物线 y = 4( x － 3) 2 ＋ 7 由抛物线 y =4 x 2 怎样平移得到 ? 由抛物线向上平移 7 个单位再向右平移 3 个单位得到的 . 2. 如果一条抛物线的形状与 形状相同，且顶点坐标是 （ 4 ， -2 ）， 试求这个函数关系式 . 练一练 二次函数 开口方向 对称轴 顶点坐标 y =2( x +3) 2 +5 向上 ( 1, － 2 ) 向下 向下 ( 3 , 7) ( 2 , － 6 ) 向上 直线 x = － 3 直线 x =1 直线 x =3 直线 x =2 ( － 3, 5 ) y = － 3( x － 1) 2 － 2 y = 4( x － 3) 2 ＋ 7 y= － 5(2 － x ) 2 － 6 1. 完成下列表格 : 2. 把抛物线y=-3x 2 先向上平移 2 个单位，再向右平移 1 个单位，那么所得抛物线是 ___________________. 4. 抛物线y=-3(x-1) 2 +2的图象如何得到y=-3x 2 . 3. 抛物线y=-3x 2 +2的图象向右平移 2 个单位，再向上平移 1 个单位，得到抛物线的解析式为 ______________ 5. 已知一个二次函数图象的顶点为A(-1,3),且它是由二次函数y=5x 2 平移得到，请直接写出该二次函数的解析式 . y=a(x-h) 2 +k 一般地，抛物线 y = a ( x - h ) 2 + k 与 y = ax 2 形状相同，位置不同 . 二次函数 y = a ( x - h ) 2 + k 的图象和性质 图象特点 当 a >0 , 开口向上；当 a <0, 开口向下 . 对称轴是 x = h , 顶点坐标是 （ h , k ). 平移规律 左右平移：括号内左加右减； 上下平移：括号外上加下减 . 2. 二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图象与性质 第 4 课时 二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图象与性质 26.2 二次函数的图象与性质 情境引入 学习目标 1. 会用配方法或公式法将一般式 y ＝ ax 2 ＋ bx ＋ c 化成顶点式 y = a ( x - h ) 2 + k .( 难点） 2. 会熟练求出二次函数一般式 y ＝ ax 2 ＋ bx ＋ c 的顶点坐标、对称轴 . （重点） 复习引入 y = a ( x - h ) 2 + k a >0 a <0 开口方向 顶点坐标 对称轴 增 减 性 极值 向上 向下 ( h ,k ) ( h ,k ) x = h x = h 当 xh 时， y 随着 x 的增大而增大 . 当 x < h 时 , y 随着 x 的增大而增大；当 x>h 时， y 随着 x 的增大而减小 . x = h 时 , y 最小 = k x = h 时 , y 最大 = k 抛物线 y = a ( x - h ) 2 + k 可以看作是由抛物线 y = ax 2 经过平移得到的 . 顶点坐标 对称轴 最值 y =-2 x 2 y =-2 x 2 -5 y =-2( x +2) 2 y =-2( x +2) 2 -4 y =( x -4) 2 +3 y =- x 2 + 2 x y =3 x 2 + x -6 (0,0) y 轴 0 (0,-5) y 轴 -5 (-2,0) 直线 x =-2 0 (-2,-4) 直线 x =-2 -4 (4,3) 直线 x =4 3 ? ? ? ? ? ? 二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图象和性质 探究归纳 我们 已经 知道 y = a ( x - h ) 2 + k 的图象和性质，能否利用这些知识来讨论 的图象和性质？ 问题 1 怎样将 化成 y = a ( x - h ) 2 + k 的形式？ 配方可得 想一想：配方的方法及步骤是什么？ 配方 你知道是怎样配方的吗？ (1)“ 提”：提出二次项系数； ( 2 ) “ 配”：括号内配成完全平方； ( 3 )“化”：化成顶点式. 提示 : 配方后的表达式通常称为 配方式 或 顶点式 . 问题 2 你能说出 的对称轴及顶点坐标吗？ 答：对称轴是直线 x =6 , 顶点坐标是 （ 6 ， 3 ） . 问题 3 二次函数 可以看作是由 怎样平移得到的？ 答：平移方法 1 ： 先向上平移 3 个单位，再向右平移 6 个单位得到的； 平移方法 2 ： 先向右平移 6 个单位，再向上平移 3 个单位得到的 . 问题 4 如何用描点法画二次函数 的图象？ … … … … 9 8 7 6 5 4 3 x 解 : 先利用图形的对称性列表 7.5 5 3.5 3 3.5 5 7.5 5 10 x y 5 10 然后描点画图，得到图象如右图 . O 问题 5 结合 二次函数 的图象，说出其性质 . 5 10 x y 5 10 x =6 当 x <6 时， y 随 x 的增大而减小； 当 x >6 时， y 随 x 的增大而增大 . O 例 1 画出函数 的图象，并说明这个函数具有哪些性质 . x · · · -2 -1 0 1 2 3 4 · · · y · · · · · · - 6.5 -4 -2.5 -2 -2.5 -4 -6.5 解 : 函数 通过配方可得 ， 先列表： 2 x y -2 0 4 -2 -4 -4 -6 -8 然后描点、连线，得到图象如下图 . 由图象可知，这个函数具有如下性质： 当 x ＜ 1 时，函数值 y 随 x 的增大而增大； 当 x ＞ 1 时，函数值 y 随 x 的增大而减小； 当 x =1 时，函数取得最大值，最大值 y =-2. 求二次函数 y =2 x 2 -8 x +7 图象的对称轴和顶点坐标 . 因此，二次函数 y =2 x 2 -8 x +7 图象的对称轴是直线 x= 2 ， 顶点坐标为 (2,-1). 解： 练一练 将一般式 y = ax 2 + bx + c 化成顶点式 y = a ( x - h ) 2 + k 我们如何用配方法将一般式 y = ax 2 + bx + c （ a ≠0) 化成顶点式 y = a ( x - h ) 2 + k ？ y = ax ² + bx + c 归纳总结 二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图象和性质 1. 一般地， 二次函数 y = ax 2 + bx + c 的 可以通过配方化成 y = a ( x - h ) 2 + k 的形式，即 因此，抛物线 y = ax 2 + bx + c 的顶点坐标是： 对称轴是：直线 归纳总结 二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图象和性质 (1) (2) x y O x y O 如果 a >0, 当 x < 时， y 随 x 的增大而减小；当 x > 时， y 随 x 的增大而增大 . 如果 a <0 , 当 x < 时， y 随 x 的增大而增大；当 x > 时， y 随 x 的增大而减小 . 例 2 已知二次函数 y = － x 2 ＋2 bx ＋ c ，当 x ＞1 时， y 的值随 x 值的增大而减小，则实数 b 的取值范围是（ ） A ． b ≥ － 1 B ． b ≤ － 1 C ． b ≥1 D ． b ≤1 解析： ∵ 二次项系数为 －1 ＜ 0 ，∴ 抛物线开口向下，在对称轴右侧， y 的值随 x 值的增大而减小，由题设可知，当 x ＞1 时， y 的值随 x 值的增大而减小， ∴ 抛物线 y = － x 2 ＋2 bx ＋ c 的对称轴应在直线 x =1 的左侧而抛物线 y = － x 2 ＋2 bx ＋ c 的对称轴 ，即 b ≤1 ，故选择 D . D 填一填 顶点坐标 对称轴 最值 y =- x 2 + 2 x y =-2 x 2 - 1 y = 9 x 2 + 6 x -5 ( 1 , 3 ) x =1 最大值 1 (0,- 1 ) y 轴 最大值 -1 最小值 -6 ( , -6 ) 直线 x = 二次函数字母系数与图象的关系 合作探究 问题 1 一次函数 y = kx + b 的图象如下图所示，请根据一次函数图象的性质填空： x y O y = k 1 x + b 1 x y O y = k 2 x + b 2 y = k 3 x + b 3 k 1 ___ 0 b 1 ___ 0 k 2 ___ 0 b 2 ___ 0 ＞ ＞ ＜ ＜ k 3 ___ 0 b 3 ___ 0 ＜ ＞ x y O 问题 2 二次函数 的图象如下图所示，请根据二次函数的性质填空： a 1 ___ 0 b 1 ___ 0 c 1 ___ 0 a 2 ___ 0 b 2 ___ 0 c 2 ___ 0 ＞ ＞ ＞ ＞ ＜ ＝ 开口向上， a ＞ 0 对称轴在 y 轴左侧， x ＜ 0 对称轴在 y 轴右侧， x ＞ 0 x =0 时 ， y = c . x y O a 3 ___ 0 b 3 ___ 0 c 3 ___ 0 a 4 ___ 0 b 4 ___ 0 c 4 ___ 0 ＜ ＝ ＞ ＜ ＞ ＜ 开口向下， a ＜ 0 对称轴是 y 轴， x= 0 对称轴在 y 轴右侧， x ＞ 0 x =0 时 ， y = c . 二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图象与 a 、 b 、 c 的关系 字母符号 图象的特征 a ＞ 0 开口 _____________________ a ＜ 0 开口 _____________________ b= 0 对称轴为 _____ 轴 a 、 b 同号 对称轴在 y 轴的 ____ 侧 a 、 b 异号 对称轴在 y 轴的 ____ 侧 c= 0 经过原点 c ＞ 0 与 y 轴交于 _____ 半轴 c ＜ 0 与 y 轴交于 _____ 半轴 向上 向下 y 左 右 正 负 知识要点 例 3 已知二次函数 y ＝ ax 2 ＋ bx ＋ c 的图象如图所示，下列结论： ① abc ＞ 0 ； ②2 a － b ＜ 0 ； ③4 a － 2 b ＋ c ＜ 0 ； ④ ( a ＋ c ) 2 ＜ b 2 . 其中正确的个数是 ( 　　 ) A ． 1 　　　 B ． 2 　　　　 C ． 3 　　　 D ． 4 D 由图象上横坐标为 x ＝－ 2 的点在第三象限可得 4 a － 2 b ＋ c ＜ 0 ，故 ③ 正确； 由图象上 x ＝ 1 的点在第四象限得 a ＋ b ＋ c ＜ 0 ，由图象上 x ＝－ 1 的点在第二象限得出 a － b ＋ c ＞ 0 ，则 ( a ＋ b ＋ c )( a － b ＋ c ) ＜ 0 ，即 ( a ＋ c ) 2 － b 2 ＜ 0 ，可得 ( a ＋ c ) 2 ＜ b 2 ，故 ④ 正确． 【解析】 由图象开口向下可得 a ＜ 0 ，由对称轴在 y 轴左侧可得 b ＜ 0 ，由图象与 y 轴交于正半轴可得 c ＞ 0 ，则 abc ＞ 0 ，故 ① 正确； 由对称轴 x > － 1 可得 2 a － b ＜ 0 ，故 ② 正确； 练一练 二次函数 的图象如图，反比例函数 与正比例函数 在同一坐标系内的大致图象是（ ） 解析：由二次函数的图象得知： a ＜ 0 ， b ＞ 0 . 故反比例函数的图象在二、四象限，正比例函数的图象经过一、三象限 . 即正确答案是 C . C 1. 已知二次函数 y = ax 2 + bx + c 的 x 、 y 的部分对应值如下表： x -1 0 1 2 3 y 5 1 -1 -1 1 A .y 轴 B. 直线 x = C. 直线 x =2 D. 直线 x = 则该二次函数图象的对称轴为 ( ) D O y x –1 –2 3 2. 已知二次函数 y = ax 2 + bx + c ( a ≠ 0 ) 的图象如图所示，则下列结论： （ 1 ） a 、 b 同号； （ 2 ） 当 x =–1 和 x =3 时，函数值相等； （ 3 ） 4 a + b =0 ； （ 4 ） 当 y =–2 时， x 的值只能取 0 ； 其中正确的是 . 直线 x =1 （ 2 ） 3. 如图是二次函数 y = ax 2 + bx + c ( a≠ 0) 图象的一部分， x =-1 是对称轴，有下列判断： ① b -2 a =0；②4 a -2 b + c <0；③ a - b + c = -9 a ； ④若 （-3， y 1 ）,（ ， y 2 ） 是抛物线上两点，则 y 1 > y 2 .其中正确的是（ ） A ．①②③ 　　 B ．①③④ C ．①②④ 　 D ．②③④ x y O 2 x =-1 B 4. 根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标： 直线 x =3 直线 x =8 直线 x =1.25 直线 x = 0.5 顶点： 对称轴： y = ax 2 + bx + c （ a ≠0) ( 一般式 ) 配方法 公式 法 ( 顶点式 ) 26.2 二次函数的图象与性质 第 5 课时 图形面积的最大值 2. 二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图象与性质 学习目标 1. 分析实际问题中变量之间的二次函数关系 . （难点） 2. 能应用二次函数的性质求出图形面积的最大值 . （重点） 复习引入 y = ax 2 + bx + c a ＞ 0 a ＜ 0 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值 增减性 向上 向下 当 x 位于对称轴左侧 时， y 随 x 的增大而减小； x 位于对称轴右侧 时， y 随 x 的增大而增大 . 当 x 位于对称轴右侧 时， y 随 x 的增大而减小； x 位于对称轴左侧 时， y 随 x 的增大而增大 . 直线 直线 做一做 写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，并写出其最值 . （ 1 ） y = x 2 -4 x -5; ( 配方法 ) (2) y =- x 2 -3 x +4. ( 公式法 ) 解：（ 1 ）开口方向：向上；对称轴： x =2 ； 顶点坐标：（ 2 ， -9 ）；最小值： -9 ； （2）开口方向：向下；对称轴： x = ； 顶点坐标：（ ， ）；最大值： . 求二次函数的最大（或最小）值 合作探究 问题 1 二次函数 的最值由什么决定？ x y O x y O 最小值 最大值 二次函数 的最值由 a 及自变量的取值范围决定 . 问题 2 当自变量 x 为全体实数时，二次函数 的最值是多少？ 当 a ＞ 0 时，有 ，此时 . 当 a ＜ 0 时，有 ，此时 . 问题 3 当自变量 x 有限制时，二次函数 的最值如何确定？ 例 1 求下列函数的最大值与最小值 x 0 y 解： - 3 1 （ 1 ） 当 时， 当 时， 典例精析 解： 0 x y 1 -3 （ 2 ） 即 x 在对称轴的右侧 . 当 时， 函数的值随着 x 的增大而减小 . 当 时， 方法归纳 当自变量的范围有限制时，二次函数 的最值可以根据以下步骤来确定： 1. 配方，求二次函数的顶点坐标及对称轴 . 2. 画出函数图象，标明对称轴，并在横坐标上标明 x 的取值范围 . 3. 判断，判断 x 的取值范围与对称轴的位置关系 . 根据二次函数的性质，确定当 x 取何值时函数有最大或最小值 . 然后根据 x 的值，求出函数的最值 . 例 2 用长为 6 米的铝合金材料做一个形状如图所示的矩形窗框 . 窗框的高于宽各位多少时，它的透光面积最大？最大透光面积是多少？（铝合金型材宽度不计） x 解：设矩形窗框的宽为 x m ，则高为 m. 这里应有 x ＞ 0 ， 故 0 ＜ x ＜ 2. 矩形窗框的透光面积 y 与 x 之间的函数关系式是： 几何图形的最大面积 即 配方得 所以，当 x =1 时，函数取得最大值，最大值 y =1.5. x =1 满足 0 ＜ x ＜ 2 ，这时 因此，所做矩形窗框的宽为 1 m 、高为 1.5 m 时，它的透光面积最大，最大面积是 1.5 m 2 . 例 1 用总长为 60m 的篱笆围成矩形场地，矩形面积 S 随矩形一边长 l 的变化而变化 . 当 l 是多少时，场地的面积 S 最大？ 问题 1 矩形面积公式是什么？ 典例精析 问题 2 如何用 l 表示另一边？ 问题 3 面积 S 的函数关系式是什么？ 例 1 用总长为 60m 的篱笆围成矩形场地，矩形面积 S 随矩形一边长 l 的变化而变化 . 当 l 是多少时，场地的面积 S 最大？ 解 : 根据题意得 S = l (30- l ), 即 S =- l 2 +30 l (0 0 有一个交点 有两个相等的实数根 b 2 - 4 ac = 0 没有交点 没有实数根 b 2 - 4 ac < 0 二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图象与 x 轴交点的坐标与一元二次 方程 ax 2 + bx + c =0 根的关系 例 1 ： 已知关于 x 的二次函数 y ＝ mx 2 － ( m ＋ 2) x ＋ 2( m ≠0) ． (1) 求证：此抛物线与 x 轴总有两个交点； (2) 若此抛物线与 x 轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数，求正整数 m 的值． (1) 证明： ∵ m ≠0 ， ∴Δ ＝ ( m ＋ 2) 2 － 4 m ×2 ＝ m 2 ＋ 4 m ＋ 4 － 8 m ＝ ( m － 2) 2 . ∵( m － 2) 2 ≥0 ， ∴Δ≥0 ， ∴ 此抛物线与 x 轴总有两个交点； (2) 解：令 y ＝ 0 ，则 ( x － 1)( mx － 2) ＝ 0 ， 所以 x － 1 ＝ 0 或 mx － 2 ＝ 0 ， 解得 x 1 ＝ 1 ， x 2 ＝ . 当 m 为正整数 1 或 2 时， x 2 为整数，即抛物线与 x 轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数． 所以正整数 m 的值为 1 或 2. 例 1 ： 已知关于 x 的二次函数 y ＝ mx 2 － ( m ＋ 2) x ＋ 2( m ≠0) ． (1) 求证：此抛物线与 x 轴总有两个交点； (2) 若此抛物线与 x 轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数，求正整数 m 的值． 变式： 已知：抛物线 y ＝ x 2 ＋ ax ＋ a － 2. (1) 求证：不论 a 取何值时，抛物线 y ＝ x 2 ＋ ax ＋ a － 2 与 x 轴都有两个不同的交点； (2) 设这个二次函数的图象与 x 轴相交于 A ( x 1 ， 0) ， B ( x 2 ， 0) ，且 x 1 、 x 2 的平方和为 3 ，求 a 的值． (1) 证明： ∵Δ ＝ a 2 － 4( a － 2) ＝ ( a － 2) 2 ＋ 4 ＞ 0 ， ∴ 不论 a 取何值时，抛物线 y ＝ x 2 ＋ ax ＋ a － 2 与 x 轴都有两个不同的交点； (2) 解： ∵ x 1 ＋ x 2 ＝－ a ， x 1 · x 2 ＝ a － 2 ， ∴ x 1(2) ＋ x 2(2) ＝ ( x 1 ＋ x 2 ) 2 － 2 x 1 · x 2 ＝ a 2 － 2 a ＋ 4 ＝ 3 ， ∴ a ＝ 1. 例 2 ： 求一元二次方程 的根的近似值（精确到0.1） . 分析：一元二次方程 x ²-2 x -1=0 的根就是抛物线 y=x ²-2 x -1 与 x 轴的交点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图上找出它与 x 轴的交点的横坐标，这种解一元二次方程的方法叫作图象法. 利用二次函数求一元二次方程的近似解 解：画出函数 y=x ²-2 x -1 的图象（如下图），由图象可知，方程有两个实数根，一个在-1与0之间,另一个在2与3之间 . 先求位于 -1 到 0 之间的根，由图象可估计这个根是 -0.4 或 -0.5 ，利用计算器进行探索，见下表： x … -0.4 -0.5 … y … -0.04 0.25 … 观察上表可以发现，当 x 分别取 -0.4 和 -0.5 时，对应的 y 由负变正，可见在 -0.5 与 -0.4 之间肯定有一个 x 使 y =0 ，即有 y = x 2 -2 x -1 的一个根，题目只要求 精确到 0.1 ，这时取 x =-0.4 或 x =-0.5 都符合要求 . 但当 x =-0.4 时更为接近 0. 故 x 1 ≈-0.4 . 同理可得另一近似值为 x 2 ≈2.4 . 一元二次方程的图象解法 利用二次函数的 图象 求一元二次方程 2 x 2 + x -15=0 的近似根 . (1) 用描点法作二次函数 y =2 x 2 + x -15 的图象； (2) 观察估计二次函数 y =2 x 2 + x -15 的图象与 x 轴的交点的横坐标； 由图象可知 , 图象与 x 轴有两个交点 , 其横坐标一个是 -3, 另一个在 2 与 3 之间 , 分别约为 -3 和 2.5 ( 可将单位长再十等分 , 借助计算器确定其近似值 ); (3) 确定方程 2 x 2 + x -15=0 的解 ; 由此可知 , 方程 2 x 2 + x -15=0 的近似根为 : x 1 ≈-3, x 2 ≈2.5. 方法归纳 例 3: 已知二次函数 y ＝ ax 2 ＋ bx ＋ c 的图象如图所示，则一元二次方程 ax 2 ＋ bx ＋ c ＝ 0 的近似根为 ( 　　 ) A ． x 1 ≈ － 2.1 ， x 2 ≈0.1 B ． x 1 ≈ － 2.5 ， x 2 ≈0.5 C ． x 1 ≈ － 2.9 ， x 2 ≈0.9 D ． x 1 ≈ － 3 ， x 2 ≈1 解析：由图象可得二次函数 y ＝ ax 2 ＋ bx ＋ c 图象的对称轴为 x ＝－ 1 ，而对称轴右侧图象与 x 轴交点到原点的距离约为 0.5 ， ∴ x 2 ≈0.5 ；又 ∵ 对称轴为 x ＝－ 1 ，则 ＝－ 1 ， ∴ x 1 ＝ 2×( － 1) － 0.5 ＝－ 2.5. 故 x 1 ≈ － 2.5 ， x 2 ≈0.5. 故选 B. B 解答本题首先需要根据图象估计出一个根，再根据对称性计算出另一个根，估计值的精确程度，直接关系到计算的准确性，故估计尽量要准确． 方法总结 利用函数图象求方程 x 2 -2 x -2=0 的实数根 ( 精确到 0.1 ). x y O 　 -2 2 2 4 6 4 -4 8 -2 -4 y = x 2 － 2 x － 2 解：作 y = x 2 -2 x -2 的图象 ( 如右图所示 ) ，它与 x 轴的公共点的横坐标大约是 - 0.7 ， 2.7. 所以方程 x 2 -2 x -2=0 的实数根为 x 1 ≈-0.7 ， x 2 ≈2.7. 练一练 一元二次方程 ax 2 + bx + c = m 的根就是二次函数 y = ax 2 + bx + c 与直线 y = m （ m 是实数）图象交点的横坐标 . 既可以用求根公式求二次方程的根，也可以通过画二次函数图象来估计一元二次方程的根 . 说一说 二次函数与一元二次不等式的关系 问题 1 函数 y = ax 2 + bx + c 的图象如图，那么 方程 ax 2 + bx + c =0 的根是 _____ _____; 不等式 ax 2 + bx + c >0 的解集 是 ___________; 不等式 ax 2 + bx + c <0 的解集 是 _________. 3 -1 O x y x 1 =-1 ， x 2 =3 x <-1 或 x >3 -1< x <3 合作探究 拓广探索： 函数 y = ax 2 + bx + c 的图象如图，那么 方程 ax 2 + bx + c =2 的根是 ______________; 不等式 ax 2 + bx + c >2 的解集是 ___________; 不等式 ax 2 + bx + c <2 的解集是 _________. 3 -1 O x 2 (4,2) (-2,2) x 1 =-2 ， x 2 =4 x <-2 或 x >4 -2< x <4 y 问题 2 ： 如果不等式 ax 2 + bx + c >0 （ a ≠0 ）的解集是 x ≠2 的一切实数，那么函数 y = ax 2 + bx + c 的图象与 x 轴有 ____ 个交点，坐标是 ______. 方程 ax 2 + bx + c =0 的根是 ______. 1 (2,0) x =2 2 O x 问题 3 ： 如果方程 ax 2 + bx + c =0 （ a ≠0 ）没有实数根，那么函数 y = ax 2 + bx + c 的图象与 x 轴有 ______ 个交点； 不等式 ax 2 + bx + c <0 的解集是多少？ 0 解：（ 1 ）当 a >0 时 , ax 2 + bx + c <0 无解； （ 2 ）当 a ＜ 0 时 , ax 2 + bx + c <0 的解集是一切实数 . 3 -1 O x 试一试： 利用函数图象解下列方程和不等式 : (1) ①- x 2 + x +2=0; ②- x 2 + x +2>0; ③- x 2 + x +2<0. (2) ① x 2 -4 x +4=0; ② x 2 -4 x +4>0; ③ x 2 -4 x +4<0. (3) ①- x 2 + x -2=0; ②- x 2 + x -2>0; ③- x 2 + x -2<0. x y 0 2 0 x y -1 2 x y 0 y = - x 2 + x +2 x 1 =-1 , x 2 =2 1 ＜ x ＜ 2 x 1 ＜ -1 , x 2 ＞ 2 x 2 -4 x +4=0 x =2 x ≠2 的一切实数 x 无解 -x 2 + x -2=0 x 无解 x 无解 x 为全体实数 知识要点 二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图象与 x 轴交点 a ＞ 0 a ＜ 0 有两个交点 x 1 , x 2 （ x 1 ＜ x 2 ） 有一个交点 x 0 没有交点 二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图象与 x 轴交点的坐标与一元二次不等式的关系 y ＜ 0 ， x 1 ＜ x ＜ x 2 . y ＞ 0 ， x 2 ＜ x 或 x ＜ x 2 . y ＞ 0 ， x 1 ＜ x ＜ x 2 . y ＜ 0 ， x 2 ＜ x 或 x ＜ x 2 . y ＞ 0. x 0 之外的所有实数； y ＜ 0 ，无解 y ＜ 0. x 0 之外的所有实数； y ＞ 0 ，无解 . y ＞ 0 ， 所有实数； y ＜ 0 ，无解 y ＜ 0 ， 所有实数； y ＞ 0 ，无解 判断方程 ax 2 + bx + c =0 ( a ≠ 0 , a,b,c 为常数 ) 一个解 x 的范围是（ ） A. 3< x < 3.23 B. 3.23 < x < 3.24 C. 3.24 < x < 3.25 D. 3.25 < x < 3.26 x 3.23 3.24 3.25 3.26 y = ax 2 + bx +c -0.06 -0.02 0.03 0.09 C 1. 根据下列表格的对应值 : 2 ． 若二次函数 y =- x 2 +2 x + k 的部分图象如图所示，且关于 x 的一元二次方程 - x 2 +2 x + k =0 的一个解 x 1 =3 ，则另一个解 x 2 = ； -1 y O x 1 3 3. 一元二次方程 3 x 2 + x － 10=0 的两个根是 x 1 = － 2 ， x 2 = ， 那么二次函数 y = 3 x 2 + x － 10 与 x 轴的交点坐标是 . (-2 ， 0) ( ， 0) 4 . 若一元二次方程 无实根， 则抛物线 的图象位于（ ） A. x 轴上方 B. 第一、二、三象限 C. x 轴下方 D .第二、三、四象限 A 5. 已知函数 y ＝ (k － 3)x 2 ＋ 2x ＋ 1 的图象与 x 轴有交点，求 k 的取值范围． 解：当k＝3时，函数y＝2x＋1是一次函数． ∵一次函数y＝2x＋1与x轴有一个交点， ∴k＝3； 当k≠3时，y＝(k－3)x 2 ＋2x＋1是二次函数． ∵二次函数y＝(k－3)x 2 ＋2x＋1的图象与x轴有交点， ∴Δ＝b 2 －4ac≥0. ∵b 2 －4ac＝2 2 －4(k－3)＝－4k＋16， ∴－4k＋16≥0.∴k≤4且k≠3. 综上所述，k的取值范围是k≤4. 能力提升 已知二次函数 的图象，利用图象回答问题： （ 1 ） 方程 的解是什么？ （ 2 ） x 取什么值时， y >0 ？ （ 3 ） x 取什么值时， y <0 ？ x y O 2 4 8 解 ：（ 1 ） x 1 =2, x 2 =4; （ 2 ） x < 2 或 x >4; （ 3 ） 2< x <4. 判别式△ = b 2 -4 ac 二次函数 y = ax 2 + bx + c （ a >0 ） 的图象 一元二次方程 ax 2 + bx + c =0 （ a ≠0 ）的根 不等式 ax 2 + bx + c >0 （ a >0 ）的解集 不等式 ax 2 + bx + c <0 （ a >0 ）的解集 x 2 x 1 x y O O x 1 = x 2 x y x O y △ >0 △＝ 0 △＜ 0 x 1 ; x 2 x 1 = x 2 ＝－ b /2 a 没有实数根 x < x 1 或 x > x 2 x ≠ x 1 的一切实数 所有实数 x 1 < x < x 2 无解 无解 26.3 实践与探索 第 3 课时 利用两个函数的图象求方程 ( 组 ) 和不等式的解集 学习目标 1. 能利用两个函数图象求方程或方程组的解 .( 重点） 2. 能利用两个函数的图象，求不等式的解集 . （重点） 3. 通过研究函数图象与方程（组）的解和不等式的解集，联系体会数形结合思想的应用 . 复习引入 1. 已知一次函数 y = ax + b 的图象经过 A (2 ， 0) ， B (0 ， - 1) 两点，则关于 x 的一元一次方程 ax + b =0 的解为 _________ ；关于 x 的一元一次不等式 ax + b ≤0 的解集为 _________. x =2 x ≤2 1 1 2 x y A B 1 1 2 y 2 y 1 x y A B C 2. 已知一次函数 y 1 = ax + b 的图象经过 A(2 ， 0) ， B(0 ， - 1) 两点， y 2 = kx + c 的图象经过 A(2 ， 0) ， C(0 ， 2) 两点， 则关于 x 、 y 的 二元一次方程组 关于 x 的一元一次不等式 ax + b ≤ kx + c 的解集为 _________. 的解为 _______ ； 3. 已知二次函数 ，该函数图象与 y 轴的交点坐标为 _______, 与 x 轴的交点坐标为 _________________; 画出该函数草图，根据图象可知当 ______________ 时， y ＞ 0. x -6 1 y (0 ， - 6) (-6 ， 0) ， (1 ， 0) x <-6 或 x >1 4. 已知二次函数 的图象如图所示，则一元二次方程 的解为 ___________; 当 ____________ 时 y ＜ 0; 当 __________ 时 y 随 x 的增大而减小 . -4 2 x y x 1 = - 4 ， x 2 =2 x < - 4 或 x >2 -1 x >-1 利用两个函数图象求方程或方程组的解 合作探究 x y k 2 k 1 已知二次函数 的图象如图所示： 通过观察以下图象，一元二次方程 的解是 _______________. x 1 = k 1 ， x 2 = k 2 二次函数的图象与 x 轴的交点 . y =0 ( x 2 , h ) x y k 2 k 1 问题 1 二次函数 的图象与 x 轴（直线 y =0 ）的交点的横坐标是一元二次方程 的根，那么，二次函数 与直线 y = h 的交点的横坐标是否也是某一个一元二次方程的根呢？ 这个点的坐标有几种表示方式？ 方程 的实数根 . x y x 1 x 2 问题 2 如图，二次函数 的图象与一次函数 的图象交于两点，观察以下图象，你能得到哪些信息？ x 1 , x 2 可以看做是方程 的解 . ( x 1 ， y 1 ), ( x 2 ， y 2 ) 也可以看做是方程组 的解 . 2 x y -2 0 4 -2 -4 -4 -6 -8 典例精析 例 1 利用二次函数的图象求一元二次方程 x 2 +2 x - 1=3 的近似根 . 解： (1) 原方程可变形为 x 2 +2 x - 4=0 ； (3) 观察估计抛物线 y = x 2 +2 x - 4 和 x 轴的交点的横坐标； (2) 用描点法作二次函数 y = x 2 +2 x - 4 的图象； 由图象可知 , 它们有两个交点 , 其横坐标一个在 -4 与 -3 之间 , 另一个在 1 与 2 之间 , 分别约为 -3.2 和 1.2. （ 4 ）由此可知 , 一元二次方程 x 2 +2 x - 1=3 的近似根为： x 1 ≈3.2, x 2 ≈1.2. 想一想： 还有没有别的办法求这个方程的近似根？ (1) 用描点法作二次函数 y = x 2 +2 x - 1 的图象； (3) 观察估计抛物线 y = x 2 +2 x - 1 和直线 y =3 的交点的横坐标； (2) 作直线 y =3 ； 方法二： 2 x y 2 4 4 -2 -4 0 -2 -4 由图象可知 , 它们有两个交点 , 其横坐标一个在 -4 与 -3 之间 , 另一个在 1 与 2 之间 , 分别约为 -3.2 和 1.2. （ 4 ）由此可知 , 一元二次方程 x 2 +2 x - 1=3 的近似根为 x 1 ≈3.2, x 2 ≈1.2. 方法三： (1) 作二次函数 y = x 2 的图象； (2) 作一次函数 y = - 2 x +4 的图象 ； (3) 观察估计抛物线 y = x 2 +2 x - 1 和直线 y =3 的交点的横坐标； 由图象可知 , 它们有两个交点 , 其横坐标一个在 -4 与 -3 之间 , 另一个在 1 与 2 之间 , 分别约为 -3.2 和 1.2. （ 4 ）由此可知 , 一元二次方程 x 2 +2 x -1=3 的近似根为 x 1 ≈3.2, x 2 ≈1.2. 2 x y 2 4 4 -2 -4 o -2 两个函数图象的交点坐标就是对应函数解析式所组成的方程组的解. 函数解析式对应方程的根，就是该函数图象与 x 轴交点的横坐标； 归纳总结 利用两个函数图象求不等式的解集 例 2 已知抛物线 ( a ＞ 0 ）与直线 相交于点 O （ 0,0 ） 和点 A （ 3,2 ），求不等式 的解集 . 分析：根据题目提供的条件，无法求出抛物线的解析式 . 因此，我们可以换一个思路，利用函数的图象来判求不等式的解集 . 解：根据题目提供的条件，画出草图： x y O 3 2 由图可知，不等式 的解集为 或 . 方法归纳 已知函数 y 1 ＝ x 2 与函数 的图象大致如图，若 y 1 ＜ y 2 ，则自变量 x 的取值范围是 ( ) 做一做 A. C. B. 或 D. 或 C 解析：先根据方程 算出图象交点的横坐标，然后再结合图象，得出答案 . 1. 若二次函数 y = x 2 +bx 的图象的对称轴是经过点（ 2,0 ） 且平行于 y 轴的直线，则关于 x 的方程 x 2 + bx =5 的解为（ ） A. x 1 =0, x 2 =4 B. x 1 =1, x 2 =5 C. x 1 =1, x 2 =-5 D. x 1 =-1, x 2 =5 2. 若二次函数 y = ax 2 +bx+c ( a ＜ 0 ） 的图象经过点（ 2,0 ）， 且其对称轴为 x =-1 ，则使函数值 y ＞ 0 成立的 x 的取值范围是 （ ） A. x ＜ -4 或 x ＞ 2 B.-4 ≤ x ≤2 C. x ≤ -4 或 x ≥ 2 D.-4 ＜ x ＜ 2 D D 3. 二次函数 y = ax 2 +bx+c ( a ≠0 ， a,b,c 为常数） 的图象如图所示，则方程 ax 2 +bx+c=m 有实数根的条件 是 （ ） A. m ≥- 2 B. m ≥ 5 C. m ≥ 0 D. m ≥ 4 解析： 方程 ax 2 +bx+c=m 有实数根，即表示二次函数 y = ax 2 +bx+c 的图象与直线 y=m 有交点 . A 4. 如图，一次函数 y 1 =kx +1 与二次函数 y 2 = ax 2 +bx -2 交于 A 、 B 两点，且 A （ 1,0 ），抛物线的对称轴是 . （ 1 ） 求 k 和 a 、 b 的值； （ 2 ）求不等式 kx +1 ＞ ax 2 +bx -2 的解集 . x y A O B 解：（ 1 ） y 1 =kx +1 经过点 A （ 1,0 ），则 0= k +1 ，得 k= -1. y = ax 2 +bx -2 经过点 A （ 1,0 ），则 0= a+b -2 ① ， 抛物线的对称轴是 ，故 ② ， 联立 ① ②， 解得 （ 2 ）根据对称性，可知 y 2 道与 x 轴的另一个交点为（ -4,0 ）， 根据图象可以看出， kx +1 ＞ ax 2 +bx -2 的解集为 -4 ＜ x ＜ 1. x y A O B 变 形 函数图象交点的横坐标 变 形 函数图象交点的横坐标 变 形 变 形 解集是抛物线图象在直线下方的点的横坐标所组成的取值范围 解集是抛物线图象在直线上方的点的横坐标所组成的取值范围 第 26 章 二次函数 小结与复习 1. 二次函数的概念 一般地，形如 　 　 ( a ， b ， c 是常数， 　 　 ) 的函数，叫做二次函数． y ＝ ax 2 ＋ bx ＋ c a ≠０ [ 注意 ] (1) 等号右边必须是整式； (2) 自变量的最高次数是 2 ； (3) 当 b ＝ 0 ， c ＝ 0 时， y ＝ ax 2 是特殊的二次函数． 2. 二次函数的图象 二次函数的图象是一条 　 ，它是 　 　 对称图形，其对称轴平行于 _____ 轴 . [ 注意 ] 二次函数 y ＝ ax 2 ＋ bx ＋ c 的图象的形状、大小、开口方向只与 a 有关． 抛物线 轴 y (1) 一般式： ____________________ ; 3. 二次函数的解析式 y = ax 2 + bx + c ( a ≠0 ) (2) 顶点式： ____________________ ; y = a ( x - h ) 2 + k ( a≠ 0) (3) 交点式： ____________________ ; y = a ( x - x 1 )( x - x 2 ) ( a≠ 0) 4. 二次函数的平移 一般地，平移二次函数 y ＝ ax 2 的图象可得到二次函数 y ＝ a ( x － h ) 2 ＋ k 的图象． y ＝ ax 2 上、下平移 y ＝ ax 2 左、右平移 左、右平移 上、下平移 上、下移且左、右移 [ 注意 ] 抓住顶点坐标的变化，熟记平移规律：左加右减，上加下减． 二次函数 y = a ( x - h ) 2 + k y ＝ ax 2 ＋ bx ＋ c 开口 方向 对称轴 顶点坐标 最值 a ＞ 0 a ＜ 0 增减性 a ＞ 0 a ＜ 0 5. 二次函数的 y ＝ ax 2 ＋ bx ＋ c 的图象与性质： a ＞ 0 开口向上 a ＜ 0 开口向下 x = h ( h , k ) y 最小 = k y 最大 = k 在对称轴左边， x ↗ y ↘ ；在对称轴右边， x ↗ y ↗ 在对称轴左边， x ↗ y ↗ ；在对称轴右边， x ↗ y ↘ y 最小 = y 最大 = 6. 二次函数与一元二次方程及一元二次不等式的关系： 判别式△ = b 2 -4 ac 二次函数 y = ax 2 + bx + c （ a >0 ） 的图象 一元二次方程 ax 2 + bx + c =0 （ a ≠0 ）的根 不等式 ax 2 + bx + c >0 （ a >0 ）的解集 不等式 ax 2 + bx + c <0 （ a >0 ）的解集 x 2 x 1 O x y O x 1 = x 2 x y x O y △ >0 △＝ 0 △＜ 0 x=x 1 ; x = x 2 没有实数根 x < x 1 或 x > x 2 x ≠ x 1 的一切实数 所有实数 x 1 < x < x 2 无解 无解 x= 考点一 求抛物线的顶点、对称轴、最值 例 1 抛物线 y ＝ x 2 － 2 x ＋ 3 的顶点坐标为 ______ ． 【解析】 方法 一： 配 方，得 y ＝ x 2 － 2 x ＋ 3 ＝ ( x － 1) 2 ＋ 2 ，则顶点坐标为 (1 , 2) ． 方 法 二： 代 入公式 ， ， 则顶点坐标为 (1 , 2) ． 解决此类题目可以先把二次函数 y ＝ ax 2 ＋ bx ＋ c 配方为顶点式 y ＝ a ( x － h ) 2 ＋ k 的形式，得到：对称轴是直线 x ＝ h ，最值为 y ＝ k ，顶点坐标为 ( h ， k ) ；也可以直接利用公式求解 . 方法总结 针对训练 1 ．对于 y ＝ 2 ( x － 3 ) 2 ＋ 2 的 图象下 列叙述正确的是 ( 　　 ) A ．顶点坐标为 ( － 3,2 ) B ．对称轴为 y ＝ 3 C ．当 x ≥3 时， y 随 x 的增大而增大 D ．当 x ≥3 时， y 随 x 的增大而减小 C 考点二 二次函数的图象与性质及函数值的大小比较 例 2 二次函数 y ＝－ x 2 ＋ bx ＋ c 的 图象如 图所示，若点 A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) 在此函数 图象上 ，且 x 1 y 2 【解析】由 图象看 出，抛物线开口向下，对称轴 是直线 x ＝ 1 ，当 x ＜ 1 时， y 随 x 的增大而增大． ∵ x 1 < x 2 <1 ， ∴ y 1 < y 2 . 故选 B. B 当二次函数的表达式与已知点的坐标中含有未知字母时，可以用如下方法比较函数值的大小： (1) 用含有未知字母的代数式表示各函数值，然后进行比较； (2) 在相应的范围内取未知字母的特殊值，采用特殊值法求解； (3) 根据二次函数的性质，结合函数 图象比 较 . 方法总结 针对训练 2. 下列函数中，当 x ＞0时， y 值随 x 值增大而减小的是（ ） A. y = x 2 B. y = x -1 C. D. y =-3x 2 D 考点三 二次函数 y ＝ ax 2 ＋ bx ＋ c ( a ≠ 0) 的 图象与 系数 a ， b ， c 的关系 例 3 已知二次函数 y ＝ ax 2 ＋ bx ＋ c 的 图象如 图所示，下列结论： ① abc ＞ 0 ； ②2 a － b ＜ 0 ； ③4 a － 2 b ＋ c ＜ 0 ； ④ ( a ＋ c ) 2 ＜ b 2 . 其中正确的个数是 ( 　　 ) A ． 1 　　　　　 B ． 2 　　　　 C ． 3 　　　　　 D ． 4 D 【解析】由 图象开 口向下可得 a ＜ 0 ，由对称轴在 y 轴左侧可得 b ＜ 0 ，由 图象与 y 轴交于正半轴可得 c ＞ 0 ，则 abc ＞ 0 ，故 ① 正确；由对称轴 x > － 1 可得 2 a － b ＜ 0 ，故 ② 正确；由 图象上 横坐标为 x ＝－ 2 的点在第三象限可得 4 a － 2 b ＋ c ＜ 0 ，故 ③ 正确； 由 图象上 横坐标为 x ＝ 1 的点在第四象限得出 a ＋ b ＋ c ＜ 0 ，由 图象上 横坐标为 x ＝－ 1 的点在第二象限得出 a － b ＋ c ＞ 0 ，则 ( a ＋ b ＋ c )( a － b ＋ c ) ＜ 0 ， 即 ( a ＋ c ) 2 － b 2 ＜ 0 ，可得 ( a ＋ c ) 2 ＜ b 2 ，故 ④ 正确．故选 D. 【答案】 D 方法总结 1. 可根据对称轴的位置确定 b 的符号： b ＝ 0⇔ 对称轴是 y 轴； a 、 b 同号 ⇔ 对称轴在 y 轴左侧； a 、 b 异号 ⇔ 对称轴在 y 轴右侧 . 这个规律可简记为“左同右异” . 2. 当 x ＝ 1 时，函数 y ＝ a ＋ b ＋ c . 当 图象上 横坐标 x ＝ 1 的点在 x 轴上方时， a ＋ b ＋ c ＞ 0 ；当 图象上 横坐标 x ＝ 1 的点在 x 轴上时， a ＋ b ＋ c ＝ 0 ；当 图象上 横坐标 x ＝ 1 的点在 x 轴下方时， a ＋ b ＋ c ＜ 0. 同理，可由 图象上 横坐标 x ＝－ 1 的点判断 a － b ＋ c 的符号 . 针对训练 3. 已知二次函数 y = － x 2 ＋2 bx ＋ c ，当 x ＞1 时， y 的值随 x 值的增大而减小，则实数 b 的取值范围是（ ） A ． b ≥ － 1 B ． b ≤ － 1 C ． b ≥1 D ． b ≤1 解析： ∵ 二次项系数为 －1 ＜ 0 ，∴ 抛物线开口向下，在对称轴右侧， y 的值随 x 值的增大而减小，由题设可知，当 x ＞1 时， y 的值随 x 值的增大而减小， ∴ 抛物线 y = － x 2 ＋2 bx ＋ c 的对称轴应在直线 x =1 的左侧而抛物线 y = － x 2 ＋2 bx ＋ c 的对称轴 ，即 b ≤1 ，故选择 D . D 抛物线平移的规律可总结如下口诀：左加右减自变量，上加下减常数项. 考点四 抛物线的几何变换 例 4 将抛物线 y ＝ x 2 － 6 x ＋ 5 向上平移 2 个单位长度，再向右平移 1 个单位长度后，得到的抛物线表达式是 ( 　　 ) A ． y ＝ ( x － 4 ) 2 － 6 B ． y ＝ ( x － 4 ) 2 － 2 C ． y ＝ ( x － 2 ) 2 － 2 D ． y ＝ ( x － 1 ) 2 － 3 【解析】因为 y ＝ x 2 － 6 x ＋ 5 ＝ ( x － 3) 2 － 4 ，所以向上平移 2 个单位长度，再向右平移 1 个单位长度后，得到的表达式为 y ＝ ( x － 3 － 1) 2 － 4 ＋ 2 ，即 y ＝ ( x － 4) 2 － 2. 故选 B. 方法总结 B 针对训练 4. 若抛物线 y = － 7( x +4) 2 － 1 平移得到 y = － 7 x 2 ，则必须（ ） A. 先向左平移 4 个单位，再向下平移 1 个单位 B. 先向右平移 4 个单位，再向上平移 1 个单位 C. 先向左平移 1 个单位，再向下平移 4 个单位 D. 先向右平移 1 个单位，再向下平移 4 个单位 B 考点五 二次函数表达式的确定 例 5: 已知关于 x 的二次函数 , 当 x = － 1 时 , 函数值为 10, 当 x =1 时 , 函数值为 4, 当 x =2 时 , 函数值为 7, 求这个二次函数的表达式 . 待定系数法 解：设所求的二次函数为 y ＝ ax 2 + b x ＋ c , 由题意得： 解得 , a = 2, b =－3, c =5. ∴ 所求的二次函数表达式为 y ＝ 2 x 2 － 3 x ＋ 5. 方法总结 1. 若已知 图象上 的任意三个点，则设一般式求表达式； 2. 若已知抛物线的顶点坐标或对称轴与最值时，则可设顶点式求表达式，最后化为一般式； 3. 若已知二次函数 图象与 x 轴的交点坐标为 ( x 1 ， 0) 、 ( x 2 ， 0) 时，可设交点式求表达式，最后化为一般式 . 针对训练 5. 已知抛物线 y=ax 2 +bx+c 与抛物线 y= － x 2 － 3 x+ 7 的形状相同 , 顶点在直线 x =1 上 , 且顶点到 x 轴的距离为 5, 请写出满足此条件的抛物线的表达式 . 解 :∵ 抛物线 y=ax 2 +bx+c 与抛物线 y= － x 2 － 3 x+ 7 的形状 相同  a =1 或 － 1. 又 ∵ 顶点在直线 x =1 上 , 且顶点到 x 轴的距离为 5,  顶点为 (1,5) 或 (1, － 5). 所以其解析式为 : (1) y= ( x － 1) 2 +5 (2) y =( x － 1) 2 － 5 (3) y= － ( x － 1) 2 +5 (4) y= － ( x － 1) 2 － 5 例 6 若二次函数 y=x 2 +mx 的对称轴是 x =3 ，则关于 x 的方程 x 2 +mx =7 的解为（　　） A ． x 1 =0 ， x 2 =6 B ． x 1 =1 ， x 2 =7 C ． x 1 =1 ， x 2 = ﹣ 7 D ． x 1 = ﹣ 1 ， x 2 =7 【解答】 ∵ 二次函数 y=x 2 +mx 的对称轴是 x =3 ， ∴ － =3 ，解得 m = － 6 ， ∴ 关于 x 的方程 x 2 +mx =7 可化为 x 2 － 6 x － 7=0 ， 即 ( x +1)( x － 7) =0 ，解得 x 1 = － 1 ， x 2 =7 ． 故选 D ． 考点六 二次函数与一元二次方程 D 例 7 某广告公司设计一幅周长为 12m 的矩形广告牌，广告设计费用每平方米 1000 元，设矩形的一边长为 x (m ) , 面积为 S (m 2 ) . (1) 写出 S 与 x 之间的关系式，并写出自变量 x 的取值范围； （ 2 ）请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个费用 . 解 ： （ 1 ） 设矩形一边长为 x ，则另一边长为 （ 6- x ), ∴ S = x (6- x )=- x 2 +6 x , 其中 0 ＜ x < 6. (2) S =- x 2 +6 x =-( x -3) 2 +9; ∴当 x = 3 时，即矩形的一边长为 3m 时，矩形面积最大，为 9m 2 . 这时设计费最多，为 9×1000=9000 （元） . 考点七 二次函数的应用 方法总结 利用二次函数的知识常解决以下几类问题：最大利润问题，求几何图形面积的最值问题，拱桥问题，运动型几何问题，方案设计问题等. 二次函数 图象画法 抛物线 开口方向 抛物线的顶点坐标和对称轴 二次函数的性质 抛物线的平移 最值 确定 解析式 应用