中考卷-2020中考数学试题(解析版)(114)

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中考卷-2020中考数学试题(解析版)(114)

娄底市 2020 年初中毕业学业考试试题卷 数学 温馨提示: 1、本学科试卷分试题卷和答题卡两部分,考试时量 120 分钟,满分 120 分. 2、请你将姓名、准考证号等相关信息按要求填涂在答题卡上. 3、请你在答题卡规定区域内作答,答在本试题卷上无效. 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 3 分,满分 36 分,每小题给出的四个选项中,只有 一个选项是符合题目要求的,请把你认为符合题目要求的选项填涂在答题卡上相应题号下的 方框里) 1. 2020 的倒数是( ) A. 2020 B. 2020 C. 1 2020 D. 1 2020  【答案】D 【解析】 【分析】 由乘积为1的两个数互为倒数,可得答案. 【详解】解:   11 2020 ,2020     2020 的倒数是: 1 2020  , 故选 D. 【点睛】本题考查的是求一个数的倒数,掌握倒数的定义是解题的关键. 2.下列运算正确的是( ) A. 2 3 6a a a  B. 2 2 2( )a b a b   C. 3 3( 2 ) 8a a   D. 2 2 4a a a  【答案】C 【解析】 【分析】 根据同底数幂的乘法、完全平方公式、积的乘方、整式的加法:合并同类项逐项判断即可. 【详解】A、 2 3 2 3 5a a a a   ,此项错误 B、 2 2 2( ) 2a b a ab b    ,此项错误 C、 3 3( 2 ) 8a a   ,此项正确 D、 2 2 22a a a  ,此项错误 故选:C. 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法、完全平方公式、积的乘方、整式的加法,熟记各运算法则是解题关 键. 3.如图,将直尺与三角尺叠放在一起,如果 1 28  ,那么 2 的度数为( ) A. 62° B. 56° C. 28° D. 72° 【答案】A 【解析】 【分析】 利用两锐角互余求解 ,ABD 再利用平行线的性质可得答案. 【详解】解:如图,标注字母, 由题意得: 90 , 1 28 , / /EBD AB CD      , 90 28 62 ,ABD      2 62 ,ABD     故选 A. 【点睛】本题考查平行线的性质,两锐角互余的性质,掌握以上知识是解题的关键. 4.一组数据 7,8,10,12,13 的平均数和中位数分别是( ) A. 7、10 B. 9、9 C. 10、10 D. 12、11 【答案】C 【解析】 【分析】 先根据平均数的算法进行计算,求得这组数据的平均数,再将这组数据按从小到大排列的顺序排列,找出 最中间的数即可得出答案. 【详解】解:这组数据的平均数是:  1 7 8 10 12 13 10,5      把这些数从小到大排列为:7,8,10,12,13,最中间的数是 10,则中位数是 10; 故选:C. 【点睛】本题主要考查了平均数与中位数,平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数;将 一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列,如果这组数据的个数是偶数,则中间两个数据的平均 数就是这组数据的中位数. 5.我国汽车工业迅速发展,国产汽车技术成熟,下列汽车图标是中心对称图形的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据中心对称图形的概念求解. 【详解】解:A、不是中心对称图形.故错误; B、是中心对称图形.故正确; C、不是中心对称图形.故错误; D、不是中心对称图形.故错误. 故选:B. 【点睛】本题考查了中心对称图形的概念:中心对称图形是要寻找对称中心,旋转 180 度后与原图重合. 6.2020 年中央财政下达义务教育补助经费 1695.9 亿元,比上年增长 8.3%.其中 1695.9 亿元用科学记数法表 示为( ) A. 1016.959 10 元 B. 81695.9 10 元 C. 101.6959 10 元 D. 111.6959 10 元 【答案】D 【解析】 【分析】 根据科学记数法的定义即可得. 【详解】科学记数法:将一个数表示成 10 na  的形式,其中1 10a  ,n 为整数,这种记数的方法叫做 科学记数法 则1695.9亿 3 8 111.6959 10 10 1.6959 10     故选:D. 【点睛】本题考查了科学记数法的定义,熟记定义是解题关键. 7.正多边形的一个外角为 60°,则这个多边形的边数为( ) A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】 根据正多边形的外角和以及一个外角的度数,求得边数. 【详解】解:正多边形的一个外角等于 60°,且外角和为 360°, 则这个正多边形的边数是:360°÷60°=6, 故选:B. 【点睛】本题主要考查了多边形的外角和定理,解决问题的关键是掌握多边形的外角和等于 360 度. 8.如图,撬钉子的工具是一个杠杆,动力臂 1 cosL L   ,阻力臂 2 cosL l   ,如果动力 F 的用力方向 始终保持竖直向下,当阻力不变时,则杠杆向下运动时的动力变化情况是( ) A. 越来越小 B. 不变 C. 越来越大 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】 根据杠杆原理及 cos 的值随着 的减小而增大结合反比例函数的增减性即可求得答案. 【详解】解:∵动力×动力臂=阻力×阻力臂, ∴当阻力及阻力臂不变时,动力×动力臂为定值,且定值>0, ∴动力随着动力臂的增大而减小, ∵杠杆向下运动时 的度数越来越小,此时 cos 的值越来越大, 又∵动力臂 1 cosL L   , ∴此时动力臂也越来越大, ∴此时的动力越来越小, 故选:A. 【点睛】本题主要考查了杠杆原理以及锐角三角函数和反比例函数的增减性,熟练掌握相关知识是解决本 题的关键. 9.如图,平行于 y 轴的直线分别交 1ky x  与 2ky x  的图象(部分)于点 A、B,点 C 是 y 轴上的动点,则 ABC 的面积为( ) A. 1 2k k B.  1 2 1 2 k k C. 2 1k k D.  2 1 1 2 k k 【答案】B 【解析】 【分析】 设 A 的坐标为(x, 1k x ),B 的坐标为(x, 2k x ),然后根据三角形的面积公式计算即可. 【详解】解:设 A 的坐标为(x, 1k x ),B 的坐标为(x, 2k x ), ∴S△ABC= 1 21 2 k kx x x     =  1 2 1 2 k k , 故选:B. 【点睛】本题考查了反比例函数和几何综合,设出 A,B 的坐标是解题关键. 10.下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律,根据此规律,x 的值为() 1 4 2 6 3 8 …… a 18 2 9 3 20 4 35 b x A. 135 B. 153 C. 170 D. 189 【答案】C 【解析】 【分析】 由观察发现每个正方形内有: 2 2 4,2 3 6,2 4 8,      可求解b ,从而得到 a ,再利用 , ,a b x 之间的关 系求解 x 即可. 【详解】解:由观察分析:每个正方形内有: 2 2 4,2 3 6,2 4 8,      2 18,b  9,b  由观察发现: 8,a  又每个正方形内有: 2 4 1 9,3 6 2 20,4 8 3 35,         18 ,b a x   18 9 8 170.x     故选 C. 【点睛】本题考查的是数字类的规律题,掌握由观察,发现,总结,再利用规律是解题的关键. 11.函数的零点是指使函数值等于零的自变量的值,则下列函数中存在零点的是( ) A. 2 2y x x   B. 1y x  C. 1y x x   D. | | 1y x  【答案】D 【解析】 【分析】 把 0y  代入四个函数解析式,解方程即可得到答案. 【详解】解:当 2 2 0,y x x    1, 1, 2,a b c   2 4 1 4 1 2 7b ac         < 0 ,  原方程没有实数解,  2 2y x x   没有零点,故 A 不符合题意, 当 1 0,y x   1,x   显然,方程没有解, 所以 1y x  没有零点,故 B 不符合题意, 当 1y x 0,x    2 1 0,x   显然方程无解, 所以 1y x x   没有零点,故C 不符合题意, 当 | | 1 0,y x   1,x  1,x   所以 | | 1y x  有两个零点,故 D 符合题意, 故选 .D 【点睛】本题考查的是函数的零点,即函数与 x 轴的交点的情况,掌握令 0y  ,再解方程是解题的关键. 12.二次函数 y=(x﹣a)(x﹣b)﹣2,(a<b)的图象与 x 轴交点的横坐标为 m,n,且 m<n,则 a,b,m, n 的大小关系是( ) A. a<m<n<b B. a<m<b<n C. m<a<b<n D. m<a<n<b 【答案】C 【解析】 【分析】 依照题意画出二次函数 y=(x-a)(x-b)及 y=(x-a)(x-b)-2 的图象,观察图象即可得出结论. 【详解】解:二次函数 y=(x-a)(x-b)与 x 轴交点的横坐标为 a、b,将其图象往下平移 2 个单位长度可得 出二次函数 y=(x-a)(x-b)-2 的图象,如图所示. 观察图象,可知:m<a<b<n. 故选 C. 【点睛】本题考查了抛物线与 x 轴的交点以及二次函数的图象,依照题意画出图象,利用数形结合解决问 题是解题的关键. 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 3 分,满分 18 分) 13.一元二次方程 2 2 0x x c   有两个相等的实数根,则 c  ________. 【答案】1 【解析】 【分析】 由一元二次方程有两个相等的实数根,则 0, 从而列方程可得答案. 【详解】解: 方程 2 2 0x x c   有两个相等的实数根, 2 4 0,b ac     22 4 1 0,c      4 4,c  1,c  故答案为:1. 【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式,掌握根的判别式是解题的关键. 14.口袋内装有大小、质量和材料都相同的两种颜色的球,其中红色球 3 个,白色球 2 个,从中任意摸出一 球,摸出白色球的概率是_________. 【答案】 2 5 【解析】 【分析】 根据概率的计算公式,用白球的个数除以总个数即可得到结果. 【详解】由题可知,摸出白球的概率 2 5P  . 故答案为 2 5 . 【点睛】本题主要考查了概率的求解,准确计算是关键. 15.若 1 ( )2 b d a ca c    ,则 b d a c   ________. 【答案】 1 2 【解析】 【分析】 根据比例的基本性质进行化简,代入求职即可. 【详解】由 1 ( )2 b d a ca c    可得 2a b , 2c d , 代入   1= 2 2 2 2       b d b d b d a c b d b d . 故答案为 1 2 . 【点睛】本题主要考查了比例的基本性质化简,准确观察分析是解题的关键. 16.如图,公路弯道标志 R m 表示圆弧道路所在圆的半径为 m(米),某车在标有 300R  处的弯道上从 点 A 行驶了100 米到达点 B,则线段 AB _______米. 【答案】300 【解析】 【分析】 根据弧长公式求出∠AOB 的度数,根据等边三角形的性质即可求解. 【详解】∵100 = 300 180 180 n R n   ∴n=60° 又 AO=BO ∴△AOB 是等边三角形, ∴ AB AO=BO=300(米) 故答案为:300. 【点睛】此题主要考查弧长公式,解题的关键是熟知弧长公式的运用. 17.如图,四边形 ABDC 中, 3, 2AB AC BD CD    ,则将它以 AD 为轴旋转 180°后所得分别以 AB 、 BD 为母线的上下两个圆锥的侧面积之比为_________. 【答案】3∶2 【解析】 【分析】 根据两个圆锥的底面圆相同,设底面圆的周长为 l,根据圆锥的侧面积公式可得上面圆锥的侧面积为:π·AB·l, 下面圆锥的侧面积为:π·BD·l,即可得出答案. 【详解】解:∵两个圆锥的底面圆相同, ∴可设底面圆的周长为 l, ∴上面圆锥的侧面积为:π·AB·l, 下面圆锥的侧面积为:π·BD·l, ∴S 上:S 下=3:2, 故答案为:3:2. 【点睛】本题考查了圆锥的侧面积公式,掌握圆锥侧面积公式是解题关键. 18.由 4 个直角边长分别为 a,b 的直角三角形围成的“赵爽弦图”如图所示,根据大正方形的面积 2c 等于小正 方形的面积 2( )a b 与 4 个直角三角形的面积 2ab 的和证明了勾股定理 2 2 2 a b c ,还可以用来证明结论: 若 0a  、 0b  且 2 2a b 为定值,则当 a _______b 时, ab 取得最大值. 【答案】= 【解析】 【分析】 设 2 2a b 为定值 k ,则 2 2 2 kc a b  ,先根据“张爽弦图”得出 22 ( )ab k a b   ,再利用平方数的非负 性即可得. 【详解】设 2 2a b 为定值 k ,则 2 2 2 kc a b  由“张爽弦图”可知, 2 2 22 ( ) ( )ab c a b k a b      即 2( ) 2 k a bab   要使 ab 的值最大,则 2( )a b 需最小 又 2( ) 0a b  当 a b 时, 2( )a b 取得最小值,最小值为 0 则当 a b 时, ab 取得最大值,最大值为 2 k 故答案为:  . 【点睛】本题考查了勾股定理的应用、平方数的非负性,掌握勾股定理是解题关键. 三、解答题(本大题共 2 小题,每小题 6 分,共 12 分) 19.计算: 1 0 13 1 3tan30 (3.14 ) 2            【答案】2. 【解析】 【分析】 先计算绝对值运算、特殊角的正切函数值、零指数幂、负整数指数幂,再计算实数的混合运算即可得. 【详解】原式 33 1 3 1 23       3 1 3 1 2    2 . 【点睛】本题考查了绝对值运算、特殊角的正切函数值、零指数幂、负整数指数幂,熟记各运算法则是解 题关键. 20.先化简 2 2 3 3 9 m m m m m m        ,然后从 3 ,0,1,3 中选一个合适的数代入求值. 【答案】 9m  , 10 . 【解析】 【分析】 先计算括号内的分式减法,再计算分式的除法,然后选一个使得分式有意义的 x 的值代入求值即可. 【详解】原式 ( 3) 2 ( 3) ( 3)( 3) ( 3)( 3) ( 3)( 3) m m m m m m m m m m m             2 22 6 ( 3)( 3) ( 3)( 3 3) m m m m m m m m m       2 9m m m  ( 9)m m m   9m    分式的分母不能为 0 0, 3 0, 3 0m m m     解得:m 不能为 3 ,0,3 则选 1m  代入得:原式 9 1 9 10m        . 【点睛】本题考查了分式的减法与除法、分式有意义的条件等知识点,掌握分式的运算法则是解题关键. 四、解答题(本大题共 2 小题,每小题 8 分,共 16 分) 21.我市开展“温馨家园,创文同行”活动,某初中学校倡议学生利用双休日进社区参加义务劳动,为了 了解同学们的劳动情况,学校随机调查了部分同学的劳动时间  t h :A.0 0.5t  ,B.0.5 1t  , C.1 1.5t  ,D. 1.5t  , 将所得数据绘制成了如下不完整的统计图: (1)本次调查参加义务劳动的学生共_______人, a _______. (2)补全条形统计图. (3)扇形图中“ 0 0.5t  ”部分的圆心角是_______度. 【答案】(1)100,40;(2)详见解析;(3)18° 【解析】 【分析】 (1)利用 C 组的人数除以百分比,即可得到总人数,然后求出 a 的值即可; (2)求出 D 组的人数,然后补全条形图即可; (3)求出 A 组的百分比,乘以 360°,即可得到答案. 【详解】解:(1)35 35% 100  , 40 100 100% 40%   , ∴本次调查参加义务劳动的学生共 100 人, 40a  ; 故答案为:100;40; (2)补全条形统计图如图所示. (3) 5 100 360 18    , ∴扇形图中“ 0 0.5t  ”部分的圆心角为 18°. 【点睛】本题考查了扇形统计图,条形统计图,以及求扇形图中的圆心角,弄清题中的数据是解本题的关 键. 22.如实景图,由华菱涟钢集团捐建的早元街人行天桥于 2019 年 12 月 18 日动工,2020 年 2 月 28 日竣工, 彰显了国企的担当精神,展现了高效的“娄底速度”.该桥的引桥两端各由 2 个斜面和一个水平面构成,如示 意图所示:引桥一侧的桥墩顶端 E 点距地面 5m ,从 E 点处测得 D 点俯角为 30°,斜面 ED 长为 4m ,水平 面 DC 长为 2m ,斜面 BC 的坡度为 1∶4,求处于同一水平面上引桥底部 AB 的长.(结果精确到 0.1m , 2 1.41, 3 1.73  ). 【答案】引桥桥墩底端 A 点到起点 B 之间的距离为17.5m . 【解析】 【分析】 延长 CD ,与 AE 相交于 F,过点 D、C 两点分别作 AB 的垂线交 AB 于点 G、H,计算 AG,GH,BH 的 长度,再求和即可. 【详解】解:如图,延长CD ,与 AE 相交于 F,过点 D、C 两点分别作 AB 的垂线交 AB 于点 G、H,则 在 Rt DEF△ 中, 4, 30 , 2DE EDF EF     , 3cos30 4 2 32DF DE AG      2, 5 2 3GH DC CH AF      , 在 Rt BCH 中, : 1: 4, 12CH BH BH  2 3 2 12 17.46 17.5(m)AB AG GH BH        答:引桥桥墩底端 A 点到起点 B 之间的距离为17.5m . 【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用问题,熟练的构造直角三角形,并计算各边的计算是解题的 关键. 五、解答题(本大题共 2 小题,每小题 9 分,共 18 分) 23.为了预防新冠肺炎疫情的发生,学校免费为师生提供防疫物品.某校花 7200 元购进洗手液与 84 消毒液 共 400 瓶,已知洗手液的价格是 25 元瓶,84 消毒液的价格是 15 元瓶. 求:(1)该校购进洗手液和 84 消毒液各多少瓶? (2)若购买洗手液和 84 消毒液共 150 瓶,总费用不超过 2500 元,请问最多能购买洗手液多少瓶? 【答案】(1)该校购进洗手液 120 瓶,购进 84 消毒液 280 瓶;(2)最多能买洗手液 25 瓶. 【解析】 【分析】 (1)设购进洗手液 x 瓶,则购进 84 消毒液为  400 x 瓶,根据题意得到一元一次方程,故可求解; (2)设最多能购买洗手液 a 瓶,根据题意得到不等式,故可求解. 【详解】解:(1)设购进洗手液 x 瓶,则购进 84 消毒液为  400 x 瓶 依题意得: 25 15(400 ) 7200x x   解得 120x  400 280x  答:该校购进洗手液 120 瓶,购进 84 消毒液 280 瓶. (2)设最多能购买洗手液 a 瓶 25 15(150 ) 2500a a  „ 解得 25a  答:最多能买洗手液 25 瓶. 【点睛】此题主要考查一元一次方程与不等式的应用,解题的关键是根据题意找到等量关系或不等关系列 式求解. 24.如图, ABCD 中, 2BC AB , AB AC ,分别在边 BC 、 AD 上的点 E 与点 F 关于 AC 对称,连 接 EF 、 AE 、CF 、 DE . (1)试判定四边形 AECF 的形状,并说明理由; (2)求证: AE DE 【答案】(1)四边形 AECF 为菱形,理由详见解析;(2)详见解析 【解析】 【分析】 (1)根据题意可证明 AOF COE ≌ ,再由 ,OE OF EF AC  可得到四边形 AECF 是菱形; (2)根据直角三角形斜边上的中线的性质即可求解. 【详解】解:(1)四边形 AECF 为菱形,理由如下 由 ABCD 可得 //AD BC ,从而 CAF ACE   设 AC 与 EF 相交于点 O ∵点 E 与点 F 关于 AC 对称 ∴ OE OF 且 EF AC 在 AOF 和 COE 中 CAF ACE OE OF AOF COE         ∴ AOF COE ≌ ∴OA OC ,又 ,OE OF EF AC  ∴四边形 AECF 为菱形, (2)∵ AB AC ,据(1) EF A C ∴ //EF AB 又∵OA OC ∴ BE CE AF DF 1 1 2 2EF AB BC AD AF DF     ∴ AE DE . 【点睛】此题主要考查菱形的判定与性质,解题的关键是熟知全等三角形的判定与性质、菱形的判定定理 及直角三角形的性质. 六、综合题(本大题共 2 小题,每小题 10 分,共 20 分) 25.如图,点 C 在以 AB 为直径的 O 上, BD 平分 ABC 交 O 于点 D,过 D 作 BC 的垂线,垂足为 E. (1)求证: DE 与 O 相切; (2)若 5, 4 AB BE ,求 BD 的长; (3)请用线段 AB 、 BE 表示CE 的长,并说明理由. 【答案】(1)详见解析;(2) 2 5 ;(3)CE AB BE  ,理由详见解析 【解析】 【分析】 (1)连 OD ,据题意得 OB OD ,根据平分线的性质,得 CBD OBD   ,证明 //OD BC ,再根据 DE BC 可得结果; (2)根据 AB 为 O 的直径可得 90ADB   ,证出 DBE ABD ∽ ,得到 2BD AB BE  ,代入数值 求解即可; (3)由 EBD ABD   得CD AD ,根据 90 , 90ADB CED      ,得到 2 2 2 2CD AD AB BD   , 2 2 2DE BD BE  ,联立即可得到结果; 【详解】解:(1)连 OD ,据题意得OB OD , ODB OBD   , ∵ BD 平分 ABC , ∴ CBD OBD   , ∴ CBD ODB   , ∴ //OD BC , 又∵ DE BC , ∴ DE OD , ∴ DE 与 O 相切. (2) AB 为 O 的直径可得: 90ADB   , 据(1) CBD OBD   且 90DEB   , ∴在 DBE 和 ABD△ 中, EBD ABD DEB ADB     , , ∴ DBE ABD ∽ , ∴ 2BD AB BE  , 又∵ 5, 4 AB BE , ∴ 20 2 5BD   . (3)CE AB BE  . 由 EBD ABD   得CD AD , ∵ 90 , 90ADB CED      , ∴ 2 2 2 2CD AD AB BD   , 2 2 2DE BD BE  , 2 2 2 2 2 2 22 ( )CE CD DE AB BE BD AB BE       , 由 ,Rt DBE Rt ABD  得 AB BD BE  , ∴CE AB BE - . 【点睛】本题主要考查了圆的综合应用,结合三角形相似的知识点进行求解是解题的关键. 26.如图,抛物线经过点 ( 3,0)A  、 (1,0)B 、 (0,3)C . (1)求抛物线的解析式; (2)点  ,P m n 是抛物线上的动点,当 3 0m   时,试确定 m 的值,使得 PAC 的面积最大; (3)抛物线上是否存在不同于点 B 的点 D,满足 2 2 6DA DC  ,若存在,请求出点 D 的坐标;若不存 在,请说明理由. 【答案】(1) 2 2 3y x x    ;(2) 3 2m   ;(3)  2,3D  【解析】 【分析】 (1)据题意可设抛物线的解析式为 3 1y a x x  ( )( ),将点代入  0,3C 解出 a,即可求出抛物线的解析 式; (2)先求出直线 AC 的解析式,然后根据当 3 0m   时,点  ,P m n 在直线 AC 上方,过点 P 作 x 轴的 垂线与线段 AC 相交于点 Q,可将 x m 分别代入 2 2 3y x x    和 3y x= + 得  2, 2 3P m m m   , ( , 3)Q m m  ,从而得出 PQ 的代数式,从而可求出 m 的值; (3)由题意可得 4, 1, 3AB OB CO   ,根据 2 10BC  , 45CAO   ,可求出 2 2 6BA BC  ,连接 BC ,过B 作 AC 的垂线交抛物线于点 D,交 AC 于点 H,可得 2 2 2 2 2 2 6DA DC HA HC BA BC      , 根据 CAO DBA   ,可得 BD 与 AC 关于 AB 的垂直平分线对称,即关于抛物线的对称轴 1x   对称, 即点 D 与点 C 关于抛物线的对称轴 1x   对称,从而可求出点 D 的坐标. 【详解】解:(1)据题意可设抛物线的解析式为 3 1y a x x  ( )( ), 将点  0,3C 代入,可得 1a   ∴抛物线的解析式为 2 2 3y x x    ; (2)设直线 AC 的解析式为: y kx b  , 将 ( 3,0)A  、 (0,3)C 代入得 0 3 3 k b b      , 解得 1 3 k b    , ∴直线 AC 的解析式: 3y x= + , 当 3 0m   时,点  ,P m n 在直线 AC 上方, 过点 P 作 x 轴的垂线与线段 AC 相交于点 Q, 将 x m 分别代入 2 2 3y x x    和 3y x= + 得  2, 2 3P m m m   , ( , 3)Q m m  , ∴ 2 2 3 ( 3)PQ m m m      2 3m m   23 9 2 4m       ∵ 3 0m   , ∴当且仅当 3 2m   时, PQ 取得最大值, 此时 1 3 2 2PACS PQ AO PQ   最大, ∴ 3 2m   ; (3)由 ( 3,0)A  、 (1,0)B 、 (0,3)C 得 4, 1, 3AB OB CO   , ∵ 2 10BC  , 45CAO   , ∴ 2 2 6BA BC  , 连接 BC ,过 B 作 AC 的垂线交抛物线于点 D,交 AC 于点 H, 则 90 , 45AHB DBA CAO        , 2 2 2 2 2 2 6DA DC HA HC BA BC      , ∵ CAO DBA   , ∴ BD 与 AC 关于 AB 的垂直平分线对称,即关于抛物线的对称轴 1x   对称, ∴点 D 与点 C 关于抛物线的对称轴 1x   对称, 又∵  0,3C , ∴点 D 的坐标为(-2,3). 【点睛】本题是二次函数的综合题,考查二次函数的性质,求一次函数解析式,结合题意,正确添加辅助 线,灵活运用知识点是解题关键.
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