直接开平方法

直接开平方法

‎21.2.1 直接开平方法 ‎ 教学内容 ‎ 运用直接开平方法，即根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．‎ ‎ 教学目标 ‎ 理解一元二次方程“降次”──转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题．‎ ‎ 提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax2+c=0，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解a（ex+f）2+c=0型的一元二次方程．‎ ‎ 重难点关键 ‎ 1．重点：运用开平方法解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程；领会降次──转化的数学思想．‎ ‎ 2．难点与关键：通过根据平方根的意义解形如x2=n，知识迁移到根据平方根的意义解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程．‎ ‎ 教学过程 ‎ 一、复习引入 ‎ 学生活动：请同学们完成下列各题 ‎ 问题1．填空 ‎ （1）x2-8x+______=（x-______）2；（2）9x2+12x+_____=（3x+_____）2；（3）x2+px+_____=（x+______）2．‎ 问题2．如图，在△ABC中，∠B=90°，点P从点B开始，沿AB边向点B以‎1cm/s的速度移动，点Q从点B开始，沿BC边向点C以‎2cm/s的速度移动，如果AB=‎6cm，BC=‎12cm，P、Q都从B点同时出发，几秒后△PBQ的面积等于‎8cm2？‎ ‎ 老师点评：‎ ‎ 问题1：根据完全平方公式可得：（1）16 4；（2）4 2；（3）（）2 ．‎ ‎ 问题2：设x秒后△PBQ的面积等于‎8cm2‎ ‎ 则PB=x，BQ=2x ‎ 依题意，得：x·2x=8‎ ‎ x2=8‎ ‎ 根据平方根的意义，得x=±2‎ ‎ 即x1=2，x2=-2‎ 4‎ ‎ 可以验证，2和-2都是方程x·2x=8的两根，但是移动时间不能是负值．‎ ‎ 所以2秒后△PBQ的面积等于‎8cm2．‎ ‎ 二、探索新知 ‎ 上面我们已经讲了x2=8，根据平方根的意义，直接开平方得x=±2，如果x换元为2t+1，即（2t+1）2=8，能否也用直接开平方的方法求解呢？‎ ‎ （学生分组讨论）‎ ‎ 老师点评：回答是肯定的，把2t+1变为上面的x，那么2t+1=±2‎ ‎ 即2t+1=2，2t+1=-2‎ ‎ 方程的两根为t1=-，t2=--‎ ‎ 例1：解方程：x2+4x+4=1‎ ‎ 分析：很清楚，x2+4x+4是一个完全平方公式，那么原方程就转化为（x+2）2=1．‎ ‎ 解：由已知，得：（x+2）2=1‎ ‎ 直接开平方，得：x+2=±1‎ ‎ 即x+2=1，x+2=-1‎ ‎ 所以，方程的两根x1=-1，x2=-3‎ ‎ 例2．市政府计划2年内将人均住房面积由现在的‎10m2‎提高到‎14.4m，求每年人均住房面积增长率．‎ ‎ 分析：设每年人均住房面积增长率为x．一年后人均住房面积就应该是10+10x=10（1+x）；二年后人均住房面积就应该是10（1+x）+10（1+x）x=10（1+x）2‎ ‎ 解：设每年人均住房面积增长率为x，‎ ‎ 则：10（1+x）2=14.4‎ ‎ （1+x）2=1.44‎ ‎ 直接开平方，得1+x=±1.2‎ ‎ 即1+x=1.2，1+x=-1.2‎ ‎ 所以，方程的两根是x1=0.2=20%，x2=-2.2‎ ‎ 因为每年人均住房面积的增长率应为正的，因此，x2=-2.2应舍去．‎ ‎ 所以，每年人均住房面积增长率应为20%．‎ ‎ （学生小结）老师引导提问：解一元二次方程，它们的共同特点是什么？‎ ‎ 共同特点：把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．我们把这种思想称为“降次转化思想”．‎ ‎ 三、巩固练习 ‎ 教材练习．‎ ‎ 四、应用拓展 ‎ 例3．某公司一月份营业额为1万元，第一季度总营业额为3.31万元，求该公司二、三月份营业额平均增长率是多少？‎ ‎ 分析：设该公司二、三月份营业额平均增长率为x，那么二月份的营业额就应该是（1+x），三月份的营业额是在二月份的基础上再增长的，应是（1+x）2．‎ ‎ 解：设该公司二、三月份营业额平均增长率为x．‎ 4‎ ‎ 那么1+（1+x）+（1+x）2=3.31‎ ‎ 把（1+x）当成一个数，配方得：‎ ‎ （1+x+）2=2.56，即（x+）2=2．56‎ ‎ x+=±1.6，即x+=1.6，x+=-1.6‎ ‎ 方程的根为x1=10%，x2=-3.1‎ ‎ 因为增长率为正数，‎ ‎ 所以该公司二、三月份营业额平均增长率为10%．‎ ‎ 五、归纳小结 ‎ 本节课应掌握：‎ ‎ 由应用直接开平方法解形如x2=p（p≥0），那么x=±转化为应用直接开平方法解形如（mx+n）2=p（p≥0），那么mx+n=±，达到降次转化之目的．‎ ‎ 六、布置作业 ‎ 1．教材复习巩固1、2．‎ ‎ 2．选用作业设计:‎ 一、选择题 ‎ 1．若x2-4x+p=（x+q）2，那么p、q的值分别是（ ）．‎ ‎ A．p=4，q=2 B．p=4，q=‎-2 C．p=-4，q=2 D．p=-4，q=-2‎ ‎ 2．方程3x2+9=0的根为（ ）．‎ ‎ A．3 B．‎-3 C．±3 D．无实数根 ‎ 3．用配方法解方程x2-x+1=0正确的解法是（ ）．‎ ‎ A．（x-）2=，x=±‎ ‎ B．（x-）2=-，原方程无解 ‎ C．（x-）2=，x1=+，x2=‎ ‎ D．（x-）2=1，x1=，x2=-‎ ‎ 二、填空题 ‎ 1．若8x2-16=0，则x的值是_________．‎ ‎ 2．如果方程2（x-3）2=72，那么，这个一元二次方程的两根是________．‎ ‎ 3．如果a、b为实数，满足+b2-12b+36=0，那么ab的值是_______．‎ ‎ 三、综合提高题 ‎ 1．解关于x的方程（x+m）2=n．‎ 4‎ ‎ 2．某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长‎25m），另三边用木栏围成，木栏长‎40m．‎ ‎ （1）鸡场的面积能达到‎180m2‎吗？能达到‎200m吗？‎ ‎ （2）鸡场的面积能达到‎210m2‎吗？‎ ‎ 3．在一次手工制作中，某同学准备了一根长‎4米的铁丝，由于需要，现在要制成一个矩形方框，并且要使面积尽可能大，你能帮助这名同学制成方框，并说明你制作的理由吗？‎ 答案:‎ 一、1．B 2．D 3．B 二、1．± 2．9或-3 3．-8‎ 三、1．当n≥0时，x+m=±，x1=-m，x2=--m．当n<0时，无解 ‎2．（1）都能达到．设宽为x，则长为40-2x，‎ 依题意，得：x（40-2x）=180‎ 整理，得：x2-20x+90=0，x1=10+，x2=10-；‎ 同理x（40-2x）=200，x1=x2=10，长为40-20=20．‎ ‎ （2）不能达到．同理x（40-2x）=210，x2-20x+105=0，‎ b2‎-4ac=400-410=-10<0，无解，即不能达到．‎ ‎3．因要制矩形方框，面积尽可能大，‎ 所以，应是正方形，即每边长为‎1米的正方形．‎ 4‎