北京四中 2016~2017 学年度第二学期期中考试初二年级数学数学 数学试卷

北京四中 2016~2017 学年度第二学期期中考试初二年级数学数学 数学试卷

北京四中 2016~2017 学年度第二学期期中考试初二年级数学数学 数学试卷 一、选择（每小题 3 分，共 30 分） 1．直角三角形的两条直角边长分别为 2 和 3，则斜边长是（ ）． A． 4 B．5 C． 5 D． 13 【答案】D 【解析】设斜边长为 c ，两条直角边 2a  ， 3b  ， 则在直角三角形中， 2 2 2a b c  ，∴ 2 2 13c a b   ． 2．直线 2 23y x   不过以下哪个象限（ ）． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【解析】 2 23y x   ， 2 03k    ， y 随 x 增大而减小， 2 0b   ，在 y 轴正半轴，画图知不经过第三象限． 3．如图，公路 AC ，BC 互相垂直，公路 AB 的中点 M 与点 C 被湖隔开，若测得 AM 的长为1.2km ，则 M ， C 两点间的距离为（ ）． A． 0.5km B． 0.6km C． 0.9km D．1.2km 【答案】D 【解析】∵ AM BM 且 90ACB   ， ∴ 1.2CM AM MB   ． 4．下列判断错误的是（ ） A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B．四个内角都相等的四边形是矩形 C．四条边都相等的四边形是菱形 D．两条对角线垂直且平分的四边形是正方形 【答案】D 【解析】两条对角线垂直且平分的四边形是菱形． 5．某市 6 月份日平均气温统计如图所示，则在日平均气温这组数据中，众数和中位数分别是（ ）． A． 21， 21 B． 21 ， 21.5 C． 21 ， 22 D． 22， 22 【答案】C 【解析】根据统计图知，众数为 21，表示数据最多的． 中位数 22 ，中间两数相加除 2 ． 6．点 ( 2, )A a 与点 (2, )B b 都在一次函数 3 1y x   的图象上，则（ ）． A． a b B． a b C． a b D．无法比较 【答案】A 【解析】由函数 3 1y x   ， 3 0k    ， y 随 x 增大而减小， ∵ 2 2  ，∴ a b ． 7．菱形 ABCD 的边长为 5 ，一条对角线长为 6 ，则菱形面积为（ ）． A． 30 B． 20 C． 24 D． 48 【答案】C 【解析】∵菱形 ABCD ， ∴ AC BD 于O ， ∵ 6AC  ， 5BC  ， ∴ 3AO OC  ， 在 Rt BOC△ 中， 2 2 4BO BC OC   ， ∴ 8BD  ， ∴ 1 8 6 242ABCDS    菱形 ．【注意有数字】 8．如图，平行四边形 ABCD 中， BAD 的平分线 AE 交CD 于 E ， 5AB  ， 3BC  ，则 EC 的长是（ ）． A．1 B．1.5 C． 2 D． 3 【答案】C 【解析】∵平行四边形 ABCD ， ∴ DC AB∥ ， AD BC ． ∵ AE 平分 DAB ， ∴ DAE BAE   ， ∵ DC AB‖ ， ∴ DEA EAB   ， ∴ DAE DEA   ， ∴ 3AD DE  ， ∵ 5DC AB  ， ∴ 2EC CD DE   ． 9．如图，大拇指与小拇指尽量张开时，两指尖的距离称为指距．根据最近人体构造学的研究成果表明， 一般情况下人的指距 d 和身高 h 成某种关系．下表是测得的指距与身高的一组数据： 根据上表解决下面这个实际 问题：姚明的身高是 226 厘米， 可预测他的指距约为（ ）． A． 25.3厘米 B． 26.3 厘米 C． 27.3 厘米 D． 28.3厘米 【答案】C 【解析】根据数据得指距每增加1cm ，身高增高 9cm ． 所以 (226 160) 9 7.3 ≤ ≈ ， 7.3 20 27.3cm  ． 10．李阿姨每天早晨从家慢跑到小区公园，锻炼一阵后，再慢跑回家．表示李阿姨离开家的距离 y （单 位：米）与时间 t （单位：分）的函数关系的图象大致如下图所示，则李阿姨跑步的路线可能是（用 P 点表示李阿姨家的位置）（ ）． 指距 (cm)d 20 21 22 23 身高 (cm)h 160 169 178 187 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由函数图象知该分段函数分布三部分，第二段函数中 y 不变， 即第二段上李阿姨离家距离不变，选 D ． 二、填空（每小题 3 分，共 18 分） 11．如图，矩形 ABCD 的对角线 AC ，BD 交于点 D ， 4cmAC  ， 120AOD   ，则 BC 的长为__________ cm ． 【答案】 2 3 【解析】∵矩形 ABCD ， ∴ AC BD ， ∴ AO BO OC OD   ， ∵ 120AOD   ， ∴ 60AOB  ， ∴ AOB△ 为等边三角形， 又∵ 4AC  ， ∴ 2AO BO AB   ， 在直角三角形 ABC 中， 2 2 2 3BC AC AB   ． 12．直线 2 3y x  与 y 轴交点坐标为__________． 【答案】 (0, 3) 【解析】令 0x  ，得 3y   ，所以与 y 轴交点 (0, 3) ． 13．写出一个过点 (1, 1) 的一次函数解析式__________． 【答案】 y x  【解析】答案不唯一． 14．如图，在正方形 ABCD 中， ABE△ 和 CDF△ 为直角三角形， 90AEB CFD     ， 5AE CF  ， 12BE DF  ，则 EF 的长是___________． 【答案】 7 2 【解析】∵四边形 ABCD 是正方形， ∴ 90BAD ABC BCD ADC         ， AB BC CD AD   ， ∴ 90BAE DAG     ， 在 ABE△ 和 CDF△ 中， AB CD AE CF BE DF      ， ∴ ABE△ ≌ (SSS)CDF△ ， ∴ ABE CDF   ， ∵ 90AEB CFD     ， ∴ 90ABE BAE     ， ∴ ABE DAG CDF     ， 同理： ABE DAG CDF BCH       ， ∴ 90DAG ADG CDF ADG         ， 即 90DGA   ， 同理： 90CHB   ， 在 ABE△ 和 ADG△ 中， 90 ABE DAG AEB DGA AB DA           ， ∴ ABE△ ≌ (AAS)ADG△ ， ∴ AE DG ， BE AG ， 同理： 5AE DG CF BH    ， 12BE AG DF CH    ， ∴ 12 5 7EG GF FH EF      ， ∵ 180 90 90GEH       ， ∴四边形 EGFH 是正方形， ∴ 2 7 2EF EG  ． 15．已知，在平面直角坐标系中， (6,0)A ， (2, 2)B  ， (0,4)C ，四边形 ABCD 为平行四边形，则点 D 坐 标是__________． 【答案】 (4,6) ， (8, 6) ， ( 4,2) 【解析】如图有三种情况： ①平行四边形 ABCD ， 因为从 B 到 A 是向右移 4 个单位， 向上移 2 个单位，所以 C 到 D ，也向右移 4 个单位， 向上移 2 个单位得到 (4,6) ． ②平行四边形 2CBD A ， 因为从 C 到 B 向右移 2 个单位，向下移 6 个单位， 所以从 A 到 2D 向右移 2 个单位，向下移 6 个单位得到 (8, 6) ． ③平行四边形 3CD BA， 因为从 A 到 B 向左移 4 个单位，向下移 2 个单位， 所以从 C 到 3D 向左移 4 个单位，向下移 2 个单位，得到 ( 4,2) ． 16．在数学课上，老师提出如下问题： 尺规作图：过直线外一点作已知直线的平行线． 已知：直线l 及其外一点 A ． 求作：l 的平行线，使它经过点 A ． 小云的作法如下： （1）在直线 l 上任取一点 B ，以点 B 为圆心， AB 长为半径作弧，交直线 l 于点 C ． （ 2 ）分别以 A ， C 为圆心，以 AB 长为半径作弧，两弧相交于点 D ． （3）作直线 AD ． 所以直线 AD 即为所求． 老师说：“小云的作法正确．” 请回答：小云的作图依据是__________． 【答案】四条边都相等的四边形是菱形，菱形对边互相平行 【解析】由菱形性质得出 A ， B ， C ， D 为顶点的四边形是菱形． 三、解答（共 52 分） 17．已知：如图， E 、 F 分别是平行四边形 ABCD 的边 BC 、 AD 上的点，且 1 2   ． 求证： AE CF ． 【答案】见解析 【解析】∵平行四边形 ABCD ，∴ AB CD ， B D   ， 在 ABE△ 和 CDF△ 中， 1 2 B D AB CD         ， ∴ ABE△ ≌ (AAS)CDF△ ． 18．已知点 (6,6)A 在直线 1 : 3l y kx  上， （1）直线 1l 解析式为__________． （ 2 ）画出该一次函数的图象． （ 3）将直线 1l 向上平移 5 个单位长度得到直线 2l ， 2l 与 x 轴的交点 C 的坐标为__________． （ 4 ）直线 2l 与直线OA相交于点 B ， B 点坐标为__________． （ 5 ）三角形 ABC 的面积为__________． （ 6 ）由图象可知不等式 3kx x  的解集为__________． 【答案】（1） 3 32y x  ；（ 2 ）见解析；（3） 4 ,03     ；（ 4 ） ( 4, 4)  ；（ 5 ） 20 3 ；（ 6 ） 6x  【解析】解：（1）把 (6,6)A 代入 3y kx  中， 得 6 3 6k   ， 3 2k  ， 所以 1l 解析式为 3 32y x  （ 2 ）如图． （ 3） 2 3: 3 52l y x   ， 3 22 x  ， 令 0y  ， 3 2 02 x   ， 解得 4 3x   ， 所以 2l 与 x 轴交点坐标 4 ,03     ． （ 4 ）设直线 OA解析式 ( 0)y kx k  ， 把 (6,6)A 代入 y kx 中， 6 6k  ， 1k  ， 所以直线 :OA y x ， 则 3 22y x y x      ， 解得： 4 4 x y      ， ∴ B 点坐标 ( 4, 4)  ． （ 5 ） ABC ACO BCOS S S △ △ △ ， 1 1 4 6 42 2 3ACO AS CO y      △ ， 1 1 4 842 2 3 3BCO BS CO y      △ ， 8 204 3 3ABCS   △ ． （ 6 ） 由图知 6x  ． 19．如图，菱形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 交于点 O ，分别过点C 、 D 作CE BD‖ ， DE AC‖ ， CE 和 DE 交于点 E ． （1）求证：四边形 ODEC 是矩形． （ 2 ）当 60ADB  ， 2 3AD  时，求 EA 的长． 【答案】见解析 【解析】解：（1）证明：∵OC DE‖ ， OD CE‖ ， ∴四边形 ODEC 是平行四边形， ∵菱形 ABCD ， ∴ AC BD ， ∴ 90COD   ， ∴四边形 ODEC 是矩形． （ 2 ）∵菱形 ABCD ， ∴ AC BD ， ∴ AB BC CD AD   ， ∵ 60ADB  ， ∴ 60ADB CDB     ， ∵矩形 ODEC ， ∴ OD CE‖ ， ∴ 60DCE ODC     ， 又∵ 90CED   ， ∴ 30CDE   ， ∴ 1 32CE CD  ， 在 Rt CDE△ 中， 2 2 3DE CD CE   ， ∵ 3DE OC  ， ∴ 6AC  ， ∴ Rt AEC△ 中， 2 2 39AE AC CE   ． 20．如图1所示，某乘客乘高速列车从甲地经过乙地到丙地，列车匀速行驶，图 2 为列车离乙地路程 y （千米）与行驶时间 x （小时）时间的函数关系图象． （1）填空：甲、丙两地距离__________千米． （ 2 ）求高速列车离乙地的路程 y 与行驶时间 x 之间的函数关系式，并写出 x 的取值范围． 【答案】（1）1050 千米；（ 2 ）见解析 【解析】解：（1）根据函数图形得，甲、丙两地距离为： 900 150 1050  （千米）． （ 2 ）①设高速列车离乙地的路程 y 与行驶时间 x 之间， 的函数关系式： ( 0)y kx b k   ， 把 (0,900) ， (3,0) 代入得， 900 3 0 b k b     ， 解得： 300 900 k b     ， ∴ 300 900(0 3)y x x   ≤ ≤ ． ②当 3 3.5x ≤ 时，设 1 1y k x b  ， 把 (3,0) ， (3.5,150) 代入得， 3 0 3.5 150 k b k b      ， 解得： 1 1 300 900 k b     ， ∴ 300 900y x  ， ∴ 300 900(0 3) 300 900(3 3.5) x xy x x      ≤ ≤ ≤ ． 21．将正方形纸片 ABCD 折叠，使顶点 A 与 CD 边上的点 M 重合，折痕交 AD 于 E ，交 BC 于 F ，连 接 EF 、 EM ，边 AB 折叠后与 BC 边交于点 G ，连接 MG 、 AG ． （1）依题意补全图形． （ 2 ）猜想 MAG 的度数为__________（精确到1 ）． （ 3）比较在（1）中所作出的线段 EF 与 AM 的大小关系为 EF __________ AM ． 证明过程如下： 【答案】（1）见解析；（ 2 ） 45；（ 3）  【解析】解：（1） （ 2 ） 45MAG   ， （ 3） EF AM ， 证：过 F 作 FH AB‖ 交 AD 于 H ， ∵正方形 ABCD ， ∴ 90D DAB     ， ∴ DA AB ， ∵ FH AB‖ ， ∴ 90EHF   ， FH AB ， ∵ A 与 M 关于 EF 对称， ∴ AM EF 于 O ， ∴ 90EOA   ， ∵ 90EAO AEF    ， 90EAO OAB     ． ∴ AEO OAB   ， ∵ DC AB‖ ， ∴ DMA MAB   ， ∴ DMA AEO   ， 在 ADM△ 与 FHE△ 中， 90 AD FH D FHE DMA HEF          ， ∴ ADM△ ≌ (AAS)FHE△ ， ∴ AM EF ． 22．如图，在矩形 OABC 中，已知 A ， C 两点的坐标分别为 (4,0)A 、 (0,2)C ， D 为OA的中点，设点 P 是 AOC 平分线上的一个动点（不与点 O 重合）． （1）试证明：无论点 P 运动到何处， PC 总与 PD 相等． （ 2 ）当点 P 运动到与点 B 的距离最小时，求 P 的坐标． （3）己知 (1, 1)E  ，当点 P 运动到何处时， PDE△ 的周长最小？求出此时点 P 的坐标和 PDE△ 的周长． 【答案】见解析 【解析】解：（1）∵ (4,0)A ， (0,2)C ， D 为OA的中点， ∴ D 点坐标为 (2,0) ， ∴ OC OD ， 又∵点 P 是 AOC 平分线上的一个动点， ∴ 45COP DOP    ， ∴ POC△ ≌ POD△ ， ∴ PC PD ， 即无论点 P 运动到何处， PC PD ， （ 2 ）过 B 作 BP 垂直 AOC 的平分线于 P 点， 过 P 点作 PN x 轴于 N ，交 BC 于 M 点， OP 交 BC 于 H 点， ∵ OP 平分 AOC ， ∴ 45COP NOP     ， ∴ PHM△ 、 COH△ 和 PON△ 都是等腰直角三角形， ∴ PHB△ 是等腰直角三角形， ∴ PM 垂直平分 BH ， ∴ 2CH CO  ， ∴ 4 2 2BH    ， ∴ 1 12PM BH  ， ∴ 1 2 3ON PN    ， ∴ P 点坐标 (3,3) ． （ 3）解：连 CE 交 AOC 的平分线于 P 点， 连 PD 、 CD 、 ED ，如图， ∵ OC OD ， OP 平分直角 AOC ． ∴ OP 垂直平分 CD ， ∴ PC PD ， ∴ PD PE PC PE CE    ， 此时， PDE△ 周长最小， 设直线 CE 的解析式为 ( 0)y kx b k   ， 把 (0,2)C ， (1, 1)E  代入， 2 1 b k b      解得 3 2 k b     ， ∴直线 CE 的解析式为 3 2y x   ， 而 P 点的横纵坐标相等，设 ( , )P a a ． 把 P 点坐标代入 3 2y x   得 1 2a  ， ∴ 1 1,2 2P     ， ∵ 10CE  ， 2DE  ， ∴ PDE△ 周长为 2 10 ． 23．已知：如图，在 ABC△ 中， 2B C   ， AD BC 于点 D ， M 为 BC 中点，求证： 2AB DM ． 【答案】见解析 【解析】解：取 AC 的中点 N ，连接 MN ， DN ． ∵ M 为 BC 的中点， ∴ MN 为 ABC△ 的中位线， ∴ MN AB‖ ，且 1 2MN AB ， ∴ B NMC   ，又 2B C   ， ∴ 2NMC C   ， ∵ NMC 为 DMN△ 的外角， ∴ 2NMC MDN MND C       ， 又 DN 为 Rt ADC△ 斜边上中线， ∴ 1 2DN NC AN AC   ， ∴ MDN C   ， ∴ MND C MDN     ， ∴ DM MN ， ∴ 1 2DM AB ． 四、附加（共 20 分） 1．平行四边形 ABCD 中点 M 、 N 分别是 AD 边和 BC 边的中点，将 MNCD 沿 MN 翻折，点 C 落在点 C， 点 D 落在点 D处． （1）依题意补全图形． （ 2 ）若 70B  ，则 BNC  __________． （ 3）当平行四边形 ABCD 满足下列哪个条件时，点 C 刚好与点 A 重合__________． ① 2BC AB ② 60B   ③ AC BD ④ AC BA 【答案】（1）见解析（ 2 ） 40 （ 3）④ 【解析】（1）如图 （ 2 ） 40BNC   ， ∵平行四边形 ABCD ， ∴ 70B D     ， ∵ M 、 N 为 AD ， BC 中点， ∴ MN AB‖ ， ∴ 110MNB  ， ∴ 70MNC   ， ∵ C 与C 关于 MN 对称， ∴ 70MNC  ， ∴ 180 140 40BNC       ． （ 3）④ 当 C 与 A 重合， 则 m AC 于 O ， ∵ M ， N 是 AD ， BC 中点， ∴ MN AB∥ ， ∴ 90BAC NOC     ， ∴ AC BA ． 2．方成同学看到一则材料，甲开汽车，乙骑自行车从 M 地出发沿一条公路匀速前往 N 地，设乙行驶 的时间为 (h)t ，甲乙两人之间的距离为 (km)y ， y 与t 的函数关系如图1所示，方成思考后发现了图1的 部分正确信息，乙先出发1h ，甲出发 0.5 小时与乙相遇，请你帮助方成同学解决以下问题： （1）分别求出线段 BC ， CD 所在直线的函数表达式． （ 2 ）当 20 30y  时，求 t 的取值范围． （ 3）分别求出甲、乙行驶的路程 S甲 、 S乙 与时间t 的函数表达式，并在图 2 所给的直角坐标系中分别 画出它们的图象．【注意有文字】 （ 4 ）丙骑摩托车与乙同时出发，从 N 地沿同一条公路匀速前往 M 地，若丙经过 4 h3 与乙相遇，问丙 出发后多少时间与甲相遇． 【答案】见解析 【解析】解：（1）直线 BC 的函数解析式为 y kt b  ， 把 (1.5,0) ， 7 100,3 3      代入得 1.5 0 7 100 3 3 k b k b     ， 得 40 60 k b     ，∴直线 BC 解析式为 40 60y t  ． 设直线 CD 的函数解析式为 y m n  ． 把 7 100,3 3      ， (4,0) 代入得 7 100 3 3 4 0 m n m n       ， 解得 20 80 m n     ， ∴直线 CD 函数解析式为： 20 80y t   ， （ 2 ）设甲的速度为 km / ha ，乙的速度为 km / hb ， 0.5 1.5 7 7 10013 3 3 a b a b          ， 计算得 60 20 a b    ， ∴甲的速度为 60km / h ，乙的速度为 20km / h ， ∴ OA函数解析式为 20 (0 1)y t t ≤ ≤ ， 所以 A 的纵坐标为 20， 20 30y  时， 20 40 60 30t   ，将 93 4t  ． 20 20 80 30t    ，得 5 32 t  ， （ 3）由题意得： 760 60 1 3S t t     甲 ≤ ≤ ，【注意有文字】 20 (0 4)S t t乙 ≤ ≤ ，【注意有文字】 （ 4 ）当 4 3t  时， 80 3S △ ， 丙距 M 地的路程 S 与时间 t 的函数表达式为： 40 80(0 2)S t t  丙 ≤ ≤ ． 40 80 7 60 60 5 t S tt S        丙 甲 ， 所以丙出发 7 h5 与甲相遇． 3．在 Rt ABC△ 中， 90ACB   ， AC BC ，CD 为 AB 边上的中线．在 Rt AEF△ 中， 90AEF   ， AE EF ， AF AC ．连接 BF ， M ， N 分别为线段 AF ， BF 的中点，连接 MN ． （1）如图1，点 F 在 ABC△ 内，求证： CD MN ． （ 2 ）如图 2 ，点 F 在 ABC△ 外，依题意补全图 2 ，连接 CN ， EN ，判断 CN 与 EN 的数量关系 与位置关系，并加以证明． 【答案】见解析 【解析】解（1）∵ Rt ABC△ 中， CD 是 AB 边上的中线， ∴ 1 2CD AB ， ∵ M 、 N 分别为线段 AF ， BF 的中点， ∴ 1 2MN AB ， ∴ MN CD ． （ 2 ）如图． 连接 EM ， DN ， ∵ Rt AEF△ 是等腰直角三角形， ∴ EM AF 且 1 2EM AF ， 同理 CD AB 且 1 2CD AB ， 又∵ M ， N 是 AF ， FB 中点， ∴ MN AB‖ 且 1 2MN AB ， DN AF‖ 且 1 2DN AF ， ∴ EM DN ，CD MN ， 又∵ DN AF‖ ， MN AB‖ ， ∴ FMN FAB   ， NDA FAB   ， ∴ FMN NDA   ， ∵ 90CDB EMF     ， ∴ EMN CDN   ， ∴ EMN△ ≌ (SAS)NDC△ ， ∴ EN CN ， ∴ ENM DCN   ， ∵ CDN△ 中， 180CND NDB DCN CDB         ， ∵ 90CDB   ， ∴ 90CND NDB DCN      ， ∵ MN AB‖ ， AF DN‖ ， ∴四边形 ADNM 是平行四边形， ∴ MAD MND   ， ∴ MND BDN   ， ∴ 90CND DNM MNE       ， ∴ CN EN ．