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文档介绍
2021年中考数学专题复习 专题26 菱形(教师版含解析)
专题 26 菱形问题 1.菱形的定义 :有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 2.菱形的性质 (1)菱形的四条边都相等; (2)菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角。 3.菱形的判定定理 (1)一组邻边相等的平行四边形是菱形; (2)对角线互相垂直的平行四边形是菱形; (3)四条边相等的四边形是菱形。 4.菱形的面积:S=ah=mn/2(菱形底边长为 a,高为 h,两条对角线长分别为 m和 n) 【例题 1】(2020•牡丹江)如图,在平面直角坐标系中,O 是菱形 ABCD 对角线 BD 的中点,AD∥x 轴且 AD=4, ∠A=60°,将菱形 ABCD 绕点 O 旋转,使点 D 落在 x 轴上,则旋转后点 C 的对应点的坐标是( ) A.(0,2 ) B.(2,﹣4) C.(2 ,0) D.(0,2 )或(0,﹣2 ) 【答案】D 【解析】分点 C 旋转到 y 轴正半轴和 y 轴负半轴两种情况分别讨论,结合菱形的性质求解. 根据菱形的对称性可得:当点 D 在 x 轴上时, A、B、C 均在坐标轴上,如图, ∵∠BAD=60°,AD=4, ∴∠OAD=30°, ∴OD=2, ∴AO OC, ∴点 C 的坐标为(0, ), 同理:当点 C 旋转到 y 轴正半轴时, 点 C 的坐标为(0, ), ∴点 C 的坐标为(0, )或(0, ). 【对点练习】(2019 泸州)一个菱形的边长为 6,面积为 28,则该菱形的两条对角线的长度之和为( ) A.8 B.12 C.16 D.32 【答案】C 【解析】如图所示: ∵四边形 ABCD 是菱形, ∴AO=CO AC,DO=BO BD,AC⊥BD, ∵面积为 28, ∴ AC•BD=2OD•AO=28 ① ∵菱形的边长为 6, ∴OD2 +OA2 =36 ②, 由①②两式可得:(OD+AO)2=OD2+OA2+2OD•AO=36+28=64. ∴OD+AO=8, ∴2(OD+AO)=16,即该菱形的两条对角线的长度之和为 16. 【例题 2】(2020•营口)如图,在菱形 ABCD 中,对角线 AC,BD 交于点 O,其中 OA=1,OB=2,则菱形 ABCD 的面积为 . 【答案】4 【解析】根据菱形的面积等于对角线之积的一半可得答案. ∵OA=1,OB=2, ∴AC=2,BD=4, ∴菱形 ABCD 的面积为 ×2×4=4. 【对点练习】(2019 湖北十堰)如图,已知菱形 ABCD 的对角线 AC,BD 交于点 O,E 为 BC 的中点,若 OE=3, 则菱形的周长为 . 【答案】24 【解析】∵四边形 ABCD 是菱形, ∴AB=BC=CD=AD,BO=DO, ∵点 E 是 BC 的中点, ∴OE 是△BCD 的中位线, ∴CD=2OE=2×3=6, ∴菱形 ABCD 的周长=4×6=24 【例题 3】(2020•福建)如图,点 E,F 分别在菱形 ABCD 的边 BC,CD 上,且 BE=DF.求证:∠BAE=∠DAF. 【答案】见解析。 【解析】根据菱形的性质可得∠B=∠D,AB=AD,再证明△ABE≌△ADF,即可得∠BAE=∠DAF. 证明:四边形 ABCD 是菱形, ∴∠B=∠D,AB=AD, 在△ABE 和△ADF 中, ܤ ܤ∠ ∠ ܧܤ , ∴△ABE≌△ADF(SAS), ∴∠BAE=∠DAF. 【对点练习】(2019 湖南岳阳)如图,在菱形 ABCD 中,点 E、F分别为 AD、CD 边上的点,DE=DF, 求证:∠1=∠2. 【答案】见解析. 【解析】证明:∵四边形 ABCD 是菱形, ∴AD=CD, 在△ADF 和△CDE 中, , ∴△ADF≌△CDE(SAS), ∴∠1=∠2. 一、选择题 1.(2020•黄冈)若菱形的周长为 16,高为 2,则菱形两邻角的度数之比为( ) A.4:1 B.5:1 C.6:1 D.7:1 【答案】B 【解析】如图,AH 为菱形 ABCD 的高,AH=2,利用菱形的性质得到 AB=4,利用正弦的定义得到∠B=30°, 则∠C=150°,从而得到∠C:∠B 的比值. 如图,AH 为菱形 ABCD 的高,AH=2, ∵菱形的周长为 16, ∴AB=4, 在 Rt△ABH 中,sinB ܤ , ∴∠B=30°, ∵AB∥CD, ∴∠C=150°, ∴∠C:∠B=5:1. 2.(2020•盐城)如图,在菱形 ABCD 中,对角线 AC、BD 相交于点 O,H 为 BC 中点,AC=6,BD=8.则线段 OH 的长为( ) A. B. C.3 D.5 【答案】B 【解析】先根据菱形的性质得到 AC⊥BD,OB=OD BD=4,OC=OA AC=3,再利用勾股定理计算出 BC, 然后根据直角三角形斜边上的中线性质得到 OH 的长. ∵四边形 ABCD 为菱形, ∴AC⊥BD,OB=OD BD=4,OC=OA AC=3, 在 Rt△BOC 中,BC 5, ∵H 为 BC 中点, ∴OH BC . 3.(2020•乐山)如图,在菱形 ABCD 中,AB=4,∠BAD=120°,O 是对角线 BD 的中点,过点 O 作 OE⊥CD 于 点 E,连结 OA.则四边形 AOED 的周长为( ) A.9+2 B.9 C.7+2 D.8 【答案】B 【解析】先利用菱形的性质得 AD=AB=4,AB∥CD,∠ADB=∠CDB=30°,AO⊥BD,利用含 30 度的直角三 角形三边的关系得到 AO=2,OD=2 ,然后计算出 OE、DE 的长,最后计算四边形 AOED 的周长. ∵四边形 ABCD 为菱形, ∴AD=AB=4,AB∥CD, ∵∠BAD=120°,∴∠ADB=∠CDB=30°, ∵O 是对角线 BD 的中点,∴AO⊥BD, 在 Rt△AOD 中,AO AD=2, OD OA=2 , ∵OE⊥CD,∴∠DEO=90°, 在 Rt△DOE 中,OE OD , DE OE=3, ∴四边形 AOED 的周长=4+2 3=9 . 4.(2020•甘孜州)如图,菱形 ABCD 中,对角线 AC,BD 相交于点 O,E 为 AB 的中点.若菱形 ABCD 的周长为 32,则 OE 的长为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】B 【解析】由菱形的性质得出 AB=BC=CD=AD=8,AC⊥BD,则∠AOB=90°,由直角三角形斜边上的中线性 质即可得出答案. ∵四边形 ABCD 是菱形, ∴AB=BC=CD=AD,AC⊥BD, ∴∠AOB=90°, ∵菱形 ABCD 的周长为 32, ∴AB=8, ∵E 为 AB 边中点, ∴OE AB=4. 5.(2020•遵义)如图,在菱形 ABCD 中,AB=5,AC=6,过点 D 作 DE⊥BA,交 BA 的延长线于点 E,则线段 DE 的长为( ) A. B. C.4 D. 【答案】D 【解析】由在菱形 ABCD 中,AB=5,AC=6,利用菱形的性质以及勾股定理,求得 OB 的长,继而可求得 BD 的长,然后由菱形的面积公式可求得线段 DE 的长.如图. ∵四边形 ABCD 是菱形,AC=6, ∴AC⊥BD,OA AC=3,BD=2OB, ∵AB=5, ∴OB ܤ 4, ∴BD=2OB=8, ∵S 菱形ABCD=AB•DE AC•BD, ∴DE ܤ ܤ × × . 6.(2019 内蒙古赤峰)如图,菱形 ABCD 周长为 20,对角线 AC、BD 相交于点 O,E 是 CD 的中点,则 OE 的长 是( ) A.2.5 B.3 C.4 D.5 【答案】A 【解析】∵四边形 ABCD 为菱形, ∴CD=BC 5,且 O为 BD 的中点, ∵E 为 CD 的中点, ∴OE 为△BCD 的中位线, ∴OE CB=2.5 7.(2019•四川省绵阳市)如图,在平面直角坐标系中,四边形 OABC 为菱形,O(0,0),A(4,0),∠AOC=60°, 则对角线交点 E 的坐标为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】过点 E 作 EF⊥x 轴于点 F, ∵四边形 OABC 为菱形,∠AOC=60°, ∴ =30°,∠FAE=60°, ∵A(4,0), ∴OA=4, ∴ =2, ∴ ,EF= = = , ∴OF=AO-AF=4-1=3, ∴ . 8.(2019•四川省广安市)如图,在边长为 3的菱形 ABCD中, 30B ,过点 A作 BCAE 于点 E , 现将△ABE 沿直线 AE 翻折至△AFE 的位置,AF 与 CD 交于点 G则 CG 等于( ) A. 13 B.1 C. 2 1 D. . 2 3 【答案】A 【解析】因为∠B=30°,AB= 3,AE⊥BC, 所以 BE= 2 3 ,所以 EC= 3 - 2 3 , 则 CF=3- 3, 又因为 CG∥AB, 所以 CG CF AB BF , 所以 CG= 13 . 9.(2019 四川省雅安市)如图,在四边形 ABCD 中,AB=CD,AC、BD 是对角线 ,E、F、G、H分别是 AD、BD、 BC、AC 的中点,连接 EF、FG、GH、HE,则四边形 EFGH 的形状是( ) A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 【答案】C 【解析】由点 E、F、G、H 分别是任意四边形 ABCD 中 AD、BD、BC、CA 的中点,根据三角形中位线性质,得 EF=GH= AB,EH=FG= CD,又由 AB=CD,得 EF=FG=GH=EH 时,四边形 EFGH 是菱形. ∵点 E、F、G、H 分别是任意四边形 ABCD 中 AD、BD、BC、CA 的中点,∴EF=GH= AB,EH=FG= CD,∵ AB=CD,∴EF=FG=GH=EH 时,四边形 EFGH 是菱形,故选 C. 10. (2019·贵州安顺)如图,在菱形 ABCD 中,按以下步骤作图: ①分别以点 C 和点 D 为圆心,大于 CD 的长为半径作弧,两弧相交于 M、N两点; ②作直线 MN,且 MN 恰好经过点 A,与 CD 交于点 E,连接 BE. 则下列说法错误的是( ) A.∠ABC=60° B.S△ABE=2S△ADE C.若 AB=4,则 BE=4 D.sin∠CBE= 【答案】C 【解析】由作法得 AE 垂直平分 CD,即 CE=DE,AE⊥CD, ∵四边形 ABCD 为菱形, ∴AD=CD=2DE,AB∥DE, 在 Rt△ADE 中,cosD= = , ∴∠D=60°, ∴∠ABC=60°,所以 A 选项的结论正确; ∵S△ABE= AB•AE,S△ADE= DE•AE, 而 AB=2DE, ∴S△ABE=2S△ADE,所以 B选项的结论正确; 若 AB=4,则 DE=2, ∴AE=2 , 在 Rt△ABE 中,BE= =2 ,所以 C 选项的结论错误; 作 EH⊥BC 交 BC 的延长线于 H,如图, 设 AB=4a,则 CE=2a,BC=4a,BE=2 a, 在△CHE 中,∠ECH=∠D=60°, ∴CH=a,EH= a, ∴sin∠CBE= = = ,所以 D 选项的结论正确. 故选:C. 二、填空题 11.(2020•陕西)如图,在菱形 ABCD 中,AB=6,∠B=60°,点 E在边 AD 上,且 AE=2.若直线 l 经过点 E,将该菱形的面积平分,并与菱形的另一边交于点 F,则线段 EF 的长为 . 【答案】2 . 【解析】过点 A 和点 E 作 AG⊥BC,EH⊥BC 于点 G 和 H,可得矩形 AGHE,再根据菱形 ABCD 中,AB=6,∠B =60°,可得 BG=3,AG=3 EH,由题意可得,FH=FC﹣HC=2﹣1=1,进而根据勾股定理可得 EF 的长. 如图,过点 A 和点 E 作 AG⊥BC,EH⊥BC 于点 G和 H, 得矩形 AGHE, ∴GH=AE=2, ∵在菱形 ABCD 中,AB=6,∠B=60°, ∴BG=3,AG=3 EH, ∴HC=BC﹣BG﹣GH=6﹣3﹣2=1, ∵EF 平分菱形面积, ∴FC=AE=2, ∴FH=FC﹣HC=2﹣1=1, 在 Rt△EFH 中,根据勾股定理,得 EF ܧ 2 . 12.(2020•哈尔滨)如图,在菱形 ABCD 中,对角线 AC、BD 相交于点 O,点 E 在线段 BO 上,连接 AE,若 CD =2BE,∠DAE=∠DEA,EO=1,则线段 AE 的长为 . 【答案】2 . 【解析】设 BE=x,则 CD=2x,根据菱形的性质得 AB=AD=CD=2x,OB=OD,AC⊥BD,再证明 DE=DA=2x, 所以 1+x x,解得 x=2,然后利用勾股定理计算 OA,再计算 AE 的长. 设 BE=x,则 CD=2x, ∵四边形 ABCD 为菱形, ∴AB=AD=CD=2x,OB=OD,AC⊥BD, ∵∠DAE=∠DEA, ∴DE=DA=2x, ∴BD=3x, ∴OB=OD x, ∵OE+BE=BO, ∴1+x x,解得 x=2, 即 AB=4,OB=3, 在 Rt△AOB 中,OA , 在 Rt△AOE 中,AE 2 . 13.(2020•嘉兴)如图,▱ ABCD 的对角线 AC,BD 相交于点 O,请添加一个条件: ,使▱ ABCD 是菱 形. 【答案】AD=DC(答案不唯一). 【解析】根据菱形的定义得出答案即可. ∵邻边相等的平行四边形是菱形, ∴平行四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O,试添加一个条件:可以为:AD=DC. 14.(2019 广西北部湾)如图,在菱形 ABCD 中,对角线 AC,BD 交与点 O,过点 A 作 AH⊥BC 于点 H,已知 BO=4, S 菱形ABCD=24,则 AH= . 【答案】 24 5 . 【解析】本题考查了菱形的性质、勾股定理以及菱形面积公式,根据菱形面积=对角线积的一半可求 AC,再 根据勾股定理求出 BC,然后由菱形的面积即可得出结果. ∵四边形 ABCD 是菱形, ∴BO=DO=4,AO=CO,AC⊥BD, ∴BD=8. ∵S 菱形ABCD= 1 2 AC×BD=24,∴AC=6,∴OC= 1 2 AC=3, ∴BC= 2 2OB OC =5, ∵S 菱形ABCD=BC×AH=24,∴AH= 24 5 . 15.(2019 内蒙古通辽)如图,在边长为 3的菱形 ABCD 中,∠A=60°,M是 AD 边上的一点,且 AM= AD, N是AB边上的一动点,将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN,连接A′C.则A′C长度的最小值是 . 【答案】 ﹣1 【解析】过点 M 作 MH⊥CD 交 CD 延长线于点 H,连接 CM, ∵AM= AD,AD=CD=3 ∴AM=1,MD=2 ∵CD∥AB, ∴∠HDM=∠A=60° ∴HD= MD=1,HM= HD= ∴CH=4 ∴MC= = ∵将△AMN 沿 MN 所在直线翻折得到△A′MN, ∴AM=A'M=1, ∴点 A'在以 M为圆心,AM 为半径的圆上, ∴当点 A'在线段 MC 上时,A'C 长度有最小值 ∴A'C 长度的最小值=MC﹣MA'= ﹣1 16.(2019 湖南常德)规定:如果一个四边形有一组对边平行,一组邻边相等,那么称此四 边形为广义菱形.根据规定判断下面四个结论:①正方形和菱形都是广义菱形;②平行四边 形是广义菱形;③对角线互相垂直,且两组邻边分别相等的四边形是广义菱形;④若 M、N 的坐标分别为(0,1),(0,﹣1),P 是二次函数 y= x2 的图象上在第一象限内的任意一 点,PQ 垂直直线 y=﹣1于点 Q,则四边形 PMNQ 是广义菱形.其中正确的是 .(填 序号) 【答案】①②④. 【解析】①根据广义菱形的定义,正方形和菱形都有一组对边平行,一组邻边相等,①正确; ②平行四边形有一组对边平行,没有一组邻边相等,②错误; ③由给出条件无法得到一组对边平行,③错误; ④设点 P(m, m2 ),则 Q(m,﹣1), ∴MP= = ,PQ= +1, ∵点 P 在第一象限, ∴m>0, ∴MP= +1, ∴MP=PQ, 又∵MN∥PQ, ∴四边形 PMNQ 是广义菱形. ④正确; 故答案为①②④. 17.(2019 广西梧州)如图,在菱形 ABCD 中, 2AB , 60BAD ,将菱形 ABCD 绕点 A 逆时针方向旋转, 对应得到菱形 AEFG ,点 E 在 AC 上, EF 与CD交于点 P ,则 DP 的长是 . 【答案】 3 1 【解析】连接 BD 交 AC 于O ,如图所示: 四边形 ABCD 是菱形, 2CD AB , 60BCD BAD , 1 30 2 ACD BAC BAD ,OA OC , AC BD , 1 1 2 OB AB , 3 3OA OB , 2 3AC , 由旋转的性质得: 2AE AB , 60EAG BAD , 2 3 2CE AC AE , 四边形 AEFG 是菱形, / /EF AG , 60CEP EAG , 90CEP ACD , 90CPE , 1 3 1 2 PE CE , 3 3 3PC PE , 2 (3 3) 3 1DP CD PC 。 三、解答题 18.(2020•滨州)如图,过▱ ABCD 对角线 AC 与 BD 的交点 E 作两条互相垂直的直线,分别交边 AB、BC、CD、 DA 于点 P、M、Q、N. (1)求证:△PBE≌△QDE; (2)顺次连接点 P、M、Q、N,求证:四边形 PMQN 是菱形. 【答案】见解析。 【解析】(1)证明:∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴EB=ED,AB∥CD, ∴∠EBP=∠EDQ, 在△PBE 和△QDE 中, hܤܧ∠ hܧ∠ ܤܧ ܧ hܧܤ∠ hܧ ∠ , ∴△PBE≌△QDE(ASA); (2)证明:如图所示: ∵△PBE≌△QDE, ∴EP=EQ, 同理:△BME≌△DNE(ASA), ∴EM=EN, ∴四边形 PMQN 是平行四边形, ∵PQ⊥MN, ∴四边形 PMQN 是菱形. 19.(2020•郴州)如图,在菱形 ABCD 中,将对角线 AC 分别向两端延长到点 E 和 F,使得 AE=CF.连接 DE, DF,BE,BF.求证:四边形 BEDF 是菱形. 【答案】见解析。 【解析】四边形 ABCD 是菱形,可得 AB=BC=CD=DA,∠DCA=∠BCA,∠DAC=∠BAC,可以证明△CDF≌△ CBF,△DAE≌△BFC,△DCF≌△BEA,进而证明平行四边形 BEDF 是菱形. 证明:∵四边形 ABCD 是菱形, ∴BC=CD,∠DCA=∠BCA, ∴∠DCF=∠BCF, ∵CF=CF, ∴△CDF≌△CBF(SAS), ∴DF=BF, ∵AD∥BC, ∴∠DAE=∠BCF, ∵AE=CF,DA=AB, ∴△DAE≌△BFC(SAS), ∴DE=BF, 同理可证:△DCF≌△BEA(SAS), ∴DF=BE, ∴四边形 BEDF 是平行四边形, ∵DF=BF, ∴平行四边形 BEDF 是菱形. 20. (2019•海南省)如图,在边长为 l的正方形 ABCD 中,E 是边 CD 的中点,点 P 是边 AD 上一点(与点 A、D 不重合),射线 PE 与 BC 的延长线交于点 Q. (1)求证:△PDE≌△QCE; (2)过点 E作 EF∥BC 交 PB 于点 F,连结 AF,当 PB=PQ 时, ①求证:四边形 AFEP 是平行四边形; ②请判断四边形 AFEP 是否为菱形,并说明理由. 【解析】(1)由四边形 ABCD 是正方形知∠D=∠ECQ=90°,由 E 是 CD 的中点知 DE=CE,结合∠DEP=∠ CEQ 即可得证; (2)①由 PB=PQ 知∠PBQ=∠Q,结合 AD∥BC 得∠APB=∠PBQ=∠Q=∠EPD,由△PDE≌△QCE 知 PE=QE, 再由 EF∥BQ 知 PF=BF,根据 Rt△PAB 中 AF=PF=BF 知∠APF=∠PAF,从而得∠PAF=∠EPD,据此即可 证得 PE∥AF,从而得证; ②设 AP=x,则 PD=1﹣x,若四边形 AFEP 是菱形,则 PE=PA=x,由 PD2 +DE2 =PE2 得关于 x 的方程,解 之求得 x的值,从而得出四边形 AFEP 为菱形的情况. 【解答】(1)∵四边形 ABCD 是正方形,∴∠D=∠ECQ=90°, ∵E是 CD 的中点,∴DE=CE, 又∵∠DEP=∠CEQ, ∴△PDE≌△QCE(ASA); (2)①∵PB=PQ,∴∠PBQ=∠Q, ∵AD∥BC, ∴∠APB=∠PBQ=∠Q=∠EPD, ∵△PDE≌△QCE,∴PE=QE, ∵EF∥BQ,∴PF=BF, ∴在 Rt△PAB 中,AF=PF=BF, ∴∠APF=∠PAF, ∴∠PAF=∠EPD, ∴PE∥AF, ∵EF∥BQ∥AD, ∴四边形 AFEP 是平行四边形; ②当 AP= 时,四边形 AFEP 是菱形. 设 AP=x,则 PD=1﹣x, 若四边形 AFEP 是菱形,则 PE=PA=x, ∵CD=1,E 是 CD 中点,∴DE= , 在 Rt△PDE 中,由 PD2 +DE2 =PE2 得(1﹣x)2 +( ) 2 =x2 ,解得 x= , 即当 AP= 时,四边形 AFEP 是菱形. 21. (2019 北京市)如图 1,在菱形 ABCD 中,AC 为对角线,点 E,F分别在 AB,AD 上,BE=DF,连接 EF. (1)求证:AC⊥EF; (2)如图 2,延长 EF 交 CD 的延长线于点 G,连接 BD 交 AC 于点 O,若 BD=4,tanG= 1 2 ,求 AO 的长. 图 1 图 2 【答案】见解析。 【解析】由四边形 ABCD 为菱形易得 AB=AD,AC 平分∠BAD,结合 BE=DF,根据等腰△AEF 中的三线合一,证 得 AC⊥EF.;菱形 ABCD 中有 AC⊥BD,结合 AC⊥EF 得 BD∥EF.进而有 1tan tan 2 2 OC OCODC G OD ; 得出 OA 的值. (1)证明:∵四边形 ABCD 为菱形 ∴AB=AD,AC 平分∠BAD ∵BE=DF ∴ AB BE AD DF ∴AE=AF ∴△AEF 是等腰三角形 ∵AC 平分∠BAD ∴AC⊥EF (2)解:∵菱形 ABCD 中有 AC⊥BD,结合 AC⊥EF. ∴BD∥EF. 又∵BD=4,tanG= 1 2 ∴ 1tan tan 2 2 OC OCODC G OD ∴AO= 1 2 AC =OC=1.查看更多