2020年浙江省杭州市中考数学试卷

2020年浙江省杭州市中考数学试卷

2020 年浙江省杭州市中考数学试卷 一、选择题:本大题有 10 个小题,每小题 3 分,共 30 分。在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的。 1．（3 分） 2 3 (  ) A． 5 B． 6 C． 2 3 D． 3 2 2．（3 分） (1 )(1 ) (y y   ) A． 21 y B． 21 y  C． 21 y D． 21 y  3．（3 分）已知某快递公司的收费标准为：寄一件物品不超过 5 千克，收费 13 元；超过 5 千克的部分每千克加收 2 元．圆圆在该快递公司寄一件 8 千克的物品，需要付费 ( ) A．17 元 B．19 元 C．21 元 D．23 元 4．（3 分）如图，在 ABC 中， 90C  ，设 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ， 则 ( ) A． sinc b B B． sinb c B C． tana b B D． tanb c B 5．（3 分）若 a b ，则 ( ) A． 1a b … B． 1b a … C． 1 1a b   D． 1 1a b   6．（3 分）在平面直角坐标系中，已知函数 ( 0)y ax a a   的图象过点 (1,2)P ，则该函数的 图象可能是 ( ) A． B． C． D． 7．（3 分）在某次演讲比赛中，五位评委给选手圆圆打分，得到互不相等的五个分数．若去 掉一个最高分，平均分为 x ；去掉一个最低分，平均分为 y ；同时去掉一个最高分和一个最 低分，平均分为 z ，则 ( ) A． y z x  B． x z y  C． y x z  D． z y x  8．（3 分）设函数 2( ) (y a x h k a   ，h ，k 是实数， 0)a  ，当 1x  时， 1y  ；当 8x  时， 8y  ， ( ) A．若 4h  ，则 0a  B．若 5h  ，则 0a  C．若 6h  ，则 0a  D．若 7h  ，则 0a  9．（3 分）如图，已知 BC 是 O 的直径，半径 OA BC ，点 D 在劣弧 AC 上（不与点 A ， 点 C 重合）， BD 与 OA 交于点 E ．设 AED   ， AOD   ，则 ( ) A． 3 180    B． 2 180    C．3 90    D． 2 90    10．（3 分）在平面直角坐标系中，已知函数 2 1 1y x ax   ， 2 2 2y x bx   ， 2 3 4y x cx   ， 其中 a ， b ， c 是正实数，且满足 2b ac ．设函数 1y ， 2y ， 3y 的图象与 x 轴的交点个数分 别为 1M ， 2M ， 3M ， ( ) A．若 1 2M  ， 2 2M  ，则 3 0M  B．若 1 1M  ， 2 0M  ，则 3 0M  C．若 1 0M  ， 2 2M  ，则 3 0M  D．若 1 0M  ， 2 0M  ，则 3 0M  二、填空题：本大题有 6 个小题,每小題 4 分,共 24 分 11．（4 分）若分式 1 1x  的值等于 1，则 x  ． 12．（4 分）如图， / /AB CD ，EF 分别与 AB ，CD 交于点 B ，F ．若 30E   ， 130EFC  ， 则 A  ． 13．（4 分）设 M x y  ， N x y  ， P xy ．若 1M  ， 2N  ，则 P  ． 14．（4 分）如图，已知 AB 是 O 的直径， BC 与 O 相切于点 B ，连接 AC ， OC ．若 1sin 3BAC  ，则 tan BOC  ． 15．（4 分）一个仅装有球的不透明布袋里共有 4 个球（只有编号不同），编号分别为 1，2， 3，5．从中任意摸出一个球，记下编号后放回，搅匀，再任意摸出一个球，则两次摸出的球 的编号之和为偶数的概率是 ． 16．（4 分）如图是一张矩形纸片，点 E 在 AB 边上，把 BCE 沿直线 CE 对折，使点 B 落在 对角线 AC 上的点 F 处，连接 DF ．若点 E ，F ，D 在同一条直线上， 2AE  ，则 DF  ， BE  ． 三、解答题:本大题有 7 个小题,共 66 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（6 分）以下是圆圆解方程 1 3 12 3 x x   的解答过程． 解：去分母，得 3( 1) 2( 3) 1x x    ． 去括号，得 3 1 2 3 1x x    ． 移项，合并同类项，得 3x   ． 圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程． 18．（8 分）某工厂生产某种产品，3 月份的产量为 5000 件，4 月份的产量为 10000 件．用 简单随机抽样的方法分别抽取这两个月生产的该产品若干件进行检测，并将检测结果分别绘 制成如图所示的扇形统计图和频数直方图（每组不含前一个边界值，含后一个边界值）．已 知检测综合得分大于 70 分的产品为合格产品． （1）求 4 月份生产的该产品抽样检测的合格率； （2）在 3 月份和 4 月份生产的产品中，估计哪个月的不合格件数多？为什么？ 19．（8 分）如图，在 ABC 中，点 D ，E ，F 分别在 AB ，BC ，AC 边上， / /DE AC ， / /EF AB ． （1）求证： BDE EFC ∽ ． （2）设 1 2 AF FC  ， ①若 12BC  ，求线段 BE 的长； ②若 EFC 的面积是 20，求 ABC 的面积． 20．（10 分）设函数 1 ky x  ， 2 ( 0)ky kx    ． （1）当 2 3x„ „ 时，函数 1y 的最大值是 a ，函数 2y 的最小值是 4a  ，求 a 和 k 的值． （2）设 0m  ，且 1m   ，当 x m 时， 1y p ；当 1x m  时， 1y q ．圆圆说：“ p 一 定大于 q ”．你认为圆圆的说法正确吗？为什么？ 21．（10 分）如图，在正方形 ABCD 中，点 E 在 BC 边上，连接 AE ， DAE 的平分线 AG 与 CD 边交于点 G ，与 BC 的延长线交于点 F ．设 ( 0)CE EB    ． （1）若 2AB  ， 1  ，求线段 CF 的长． （2）连接 EG ，若 EG AF ， ①求证：点 G 为 CD 边的中点． ②求  的值． 22．（12 分）在平面直角坐标系中，设二次函数 2 1y x bx a   ， 2 2 1(y ax bx a   ，b 是实 数， 0)a  ． （1）若函数 1y 的对称轴为直线 3x  ，且函数 1y 的图象经过点 ( , )a b ，求函数 1y 的表达式． （2）若函数 1y 的图象经过点 ( ,0)r ，其中 0r  ，求证：函数 2y 的图象经过点 1(r ， 0) ． （3）设函数 1y 和函数 2y 的最小值分别为 m 和 n ，若 0m n  ，求 m ， n 的值． 23．（12 分）如图，已知 AC ， BD 为 O 的两条直径，连接 AB ， BC ，OE AB 于点 E ， 点 F 是半径 OC 的中点，连接 EF ． （1）设 O 的半径为 1，若 30BAC   ，求线段 EF 的长． （2）连接 BF ， DF ，设 OB 与 EF 交于点 P ， ①求证： PE PF ． ②若 DF EF ，求 BAC 的度数． 2020 年浙江省杭州市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题:本大题有 10 个小题,每小题 3 分,共 30 分。在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的。 1．（3 分） 2 3 (  ) A． 5 B． 6 C． 2 3 D． 3 2 【分析】根据二次根式的乘法运算法则进行运算即可． 【解答】解： 2 3 6  ， 故选： B ． 【点评】本题主要考查二次根式的乘法运算法则，关键在于熟练正确的运用运算法则，比较 简单． 2．（3 分） (1 )(1 ) (y y   ) A． 21 y B． 21 y  C． 21 y D． 21 y  【分析】直接利用平方差公式计算得出答案． 【解答】解： 2(1 )(1 ) 1y y y    ． 故选： C ． 【点评】此题主要考查了平方差公式，正确运用公式是解题关键． 3．（3 分）已知某快递公司的收费标准为：寄一件物品不超过 5 千克，收费 13 元；超过 5 千克的部分每千克加收 2 元．圆圆在该快递公司寄一件 8 千克的物品，需要付费 ( ) A．17 元 B．19 元 C．21 元 D．23 元 【分析】根据题意列出算式计算，即可得到结果． 【解答】解：根据题意得：13 (8 5) 2 13 6 19      （元 ) ． 则需要付费 19 元． 故选： B ． 【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 4．（3 分）如图，在 ABC 中， 90C  ，设 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ， 则 ( ) A． sinc b B B． sinb c B C． tana b B D． tanb c B 【分析】根据三角函数的定义进行判断，就可以解决问题． 【解答】解： Rt ABC 中， 90C  ， A 、 B 、 C 所对的边分别为 a、 b 、 c ， sin bB c   ，即 sinb c B ，故 A 选项不成立， B 选项成立； tan bB a  ，即 tanb a B ，故 C 选项不成立， D 选项不成立． 故选： B ． 【点评】本题主要考查了锐角三角函数的定义，根据锐角三角函数的定义求出对应三角函数 值即可． 5．（3 分）若 a b ，则 ( ) A． 1a b … B． 1b a … C． 1 1a b   D． 1 1a b   【分析】举出反例即可判断 A 、 B 、 D ，根据不等式的传递性即可判断 C ． 【解答】解： A 、 0.5a  ， 0.4b  ， a b ，但是 1a b  ，不符合题意； B 、 3a  ， 1b  ， a b ，但是 1b a  ，不符合题意； C 、 a b ， 1 1a b    ， 1 1b b   ， 1 1a b    ，符合题意； D 、 0.5a  ， 0.4b  ， a b ，但是 1 1a b   ，不符合题意． 故选： C ． 【点评】考查了不等式的性质，应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或 除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘（或除以）含有字母 的数时，一定要对字母是否大于 0 进行分类讨论．不等式的传递性：若 a b ，b c ，则 a c ． 6．（3 分）在平面直角坐标系中，已知函数 ( 0)y ax a a   的图象过点 (1,2)P ，则该函数的 图象可能是 ( ) A． B． C． D． 【分析】求得解析式即可判断． 【解答】解：函数 ( 0)y ax a a   的图象过点 (1,2)P ， 2 a a   ，解得 1a  ， 1y x   ， 直线交 y 轴的正半轴，且过点 (1,2) ， 故选： A ． 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标适合解析式． 7．（3 分）在某次演讲比赛中，五位评委给选手圆圆打分，得到互不相等的五个分数．若去 掉一个最高分，平均分为 x ；去掉一个最低分，平均分为 y ；同时去掉一个最高分和一个最 低分，平均分为 z ，则 ( ) A． y z x  B． x z y  C． y x z  D． z y x  【分析】根据题意，可以判断 x 、 y 、 z 的大小关系，从而可以解答本题． 【解答】解：由题意可得， y z x  ， 故选： A ． 【点评】本题考查算术平均数，解答本题的关键是明确算术平均数的含义． 8．（3 分）设函数 2( ) (y a x h k a   ，h ，k 是实数， 0)a  ，当 1x  时， 1y  ；当 8x  时， 8y  ， ( ) A．若 4h  ，则 0a  B．若 5h  ，则 0a  C．若 6h  ，则 0a  D．若 7h  ，则 0a  【分析】当 1x  时， 1y  ；当 8x  时， 8y  ；代入函数式整理得 (9 2 ) 1a h  ，将 h 的值 分别代入即可得出结果． 【解答】解：当 1x  时， 1y  ；当 8x  时， 8y  ；代入函数式得： 2 2 1 (1 ) 8 (8 ) a h k a h k         ， 2 2(8 ) (1 ) 7a h a h     ， 整理得： (9 2 ) 1a h  ， 若 4h  ，则 1a  ，故 A 错误； 若 5h  ，则 1a   ，故 B 错误； 若 6h  ，则 1 3a   ，故 C 正确； 若 7h  ，则 1 5a   ，故 D 错误； 故选： C ． 【点评】本题考查了待定系数法、二次函数的性质等知识；熟练掌握待定系数法是解题的关 键． 9．（3 分）如图，已知 BC 是 O 的直径，半径 OA BC ，点 D 在劣弧 AC 上（不与点 A ， 点 C 重合）， BD 与 OA 交于点 E ．设 AED   ， AOD   ，则 ( ) A． 3 180    B． 2 180    C．3 90    D． 2 90    【分析】根据直角三角形两锐角互余性质，用 表示 CBD ，进而由圆心角与圆周角关系， 用 表示 COD ，最后由角的和差关系得结果． 【解答】解： OA BC ， 90AOB AOC     ， 90 90 90DBC BEO AED             ， 2 180 2COD DBC       ， 90AOD COD     ， 180 2 90       ， 2 90     ， 故选： D ． 【点评】本题主要考查了圆的基本性质，直角三角形的性质，关键是用 表示 COD ． 10．（3 分）在平面直角坐标系中，已知函数 2 1 1y x ax   ， 2 2 2y x bx   ， 2 3 4y x cx   ， 其中 a ， b ， c 是正实数，且满足 2b ac ．设函数 1y ， 2y ， 3y 的图象与 x 轴的交点个数分 别为 1M ， 2M ， 3M ， ( ) A．若 1 2M  ， 2 2M  ，则 3 0M  B．若 1 1M  ， 2 0M  ，则 3 0M  C．若 1 0M  ， 2 2M  ，则 3 0M  D．若 1 0M  ， 2 0M  ，则 3 0M  【分析】选项 B 正确，利用判别式的性质证明即可． 【解答】解：选项 B 正确． 理由： 1 1M  ， 2 0M  ， 2 4 0a   ， 2 8 0b   ， a ， b ， c 是正实数， 2a  ， 2b ac ， 21 2c b  ， 对于 2 3 4y x cx   ， 则有△ 2 4 4 2 21 1 116 16 ( 64) ( 8)( 8) 04 4 4c b b b b          ， 3 0M  ， 选项 B 正确， 故选： B ． 【点评】本题考查抛物线与 x 轴的交点，一元二次方程的根的判别式等知识，解题的关键是 理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 二、填空题：本大题有 6 个小题,每小題 4 分,共 24 分 11．（4 分）若分式 1 1x  的值等于 1，则 x  0 ． 【分析】根据分式的值，可得分式方程，根据解分式方程，可得答案． 【解答】解：由分式 1 1x  的值等于 1，得 1 11x  ， 解得 0x  ， 经检验 0x  是分式方程的解． 故答案为：0． 【点评】本题考查了分式的值，解分式方程要检验方程的根． 12．（4 分）如图， / /AB CD ，EF 分别与 AB ，CD 交于点 B ，F ．若 30E   ， 130EFC  ， 则 A  20 ． 【分析】直接利用平行线的性质得出 50ABF   ，进而利用三角形外角的性质得出答案． 【解答】解： / /AB CD ， 180ABF EFC     ， 130EFC   ， 50ABF  ， 50A E ABF       ， 30E   ， 20A   ． 故答案为： 20． 【点评】此题主要考查了平行线的性质以及三角形的外角性质，正确得出 50ABF   是解 题关键． 13．（4 分）设 M x y  ， N x y  ， P xy ．若 1M  ， 2N  ，则 P  3 4  ． 【分析】根据完全平方公式得到 2 2 2( ) 2 1x y x xy y     ， 2 2 2( ) 2 4x y x xy y     ，两 式相减即可求解． 【解答】解： 2 2 2( ) 2 1x y x xy y     ， 2 2 2( ) 2 4x y x xy y     ， 两式相减得 4 3xy   ， 解得 3 4xy   ， 则 3 4P   ． 故答案为： 3 4  ． 【点评】本题考查了完全平方公式，完全平方公式： 2 2 2( ) 2a b a ab b    ． 14．（4 分）如图，已知 AB 是 O 的直径， BC 与 O 相切于点 B ，连接 AC ， OC ．若 1sin 3BAC  ，则 tan BOC  2 2 ． 【分析】根据切线的性质得到 AB BC ，设 BC x ， 3AC x ，根据勾股定理得到 2 2 2 2(3 ) 2 2AB AC BC x x x     ，于是得到结论． 【解答】解： AB 是 O 的直径， BC 与 O 相切于点 B ， AB BC  ， 90ABC  ， 1sin 3 BCBAC AC    ， 设 BC x ， 3AC x ， 2 2 2 2(3 ) 2 2AB AC BC x x x      ， 1 22OB AB x   ， 2tan 22 BC xBOC OB x      ， 故答案为： 2 2 ． 【点评】本题考查了切线的性质，解直角三角形，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键． 15．（4 分）一个仅装有球的不透明布袋里共有 4 个球（只有编号不同），编号分别为 1，2， 3，5．从中任意摸出一个球，记下编号后放回，搅匀，再任意摸出一个球，则两次摸出的球 的编号之和为偶数的概率是 5 8 ． 【分析】画树状图展示所有 16 种等可能的结果数，再找出两次摸出的球的编号之和为偶数 的结果数，然后根据概率公式求解． 【解答】解：根据题意画图如下： 共有 16 种等情况数，其中两次摸出的球的编号之和为偶数的有 10 种， 则两次摸出的球的编号之和为偶数的概率是 10 5 16 8  ． 故答案为： 5 8 ． 【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出 n ， 再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m ，求出概率． 16．（4 分）如图是一张矩形纸片，点 E 在 AB 边上，把 BCE 沿直线 CE 对折，使点 B 落在 对角线 AC 上的点 F 处，连接 DF ．若点 E ，F ，D 在同一条直线上， 2AE  ，则 DF  2 ， BE  ． 【分析】根据矩形的性质得到 AD BC ， 90ADC B DAE       ，根据折叠的性质得到 CF BC ， 90CFE B    ， EF BE ，根据全等三角形的性质得到 2DF AE  ；根据 相似三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：四边形 ABCD 是矩形， AD BC  ， 90ADC B DAE       ， 把 BCE 沿直线 CE 对折，使点 B 落在对角线 AC 上的点 F 处， CF BC  ， 90CFE B    ， EF BE ， CF AD  ， 90CFD   ， 90ADE CDF CDF DCF        ， ADF DCF   ， ( )ADE FCD ASA   ， 2DF AE   ； 90AFE CFD     ， 90AFE DAE     ， AEF DEA   ， AEF DEA ∽ ，  AE DE EF AE  ，  2 2 2 EF EF  ， 5 1EF   （负值舍去）， 5 1BE EF    ， 故答案为：2， 5 1 ． 【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定 和性质，矩形的性质，正确的识别图形是解题的关键． 三、解答题:本大题有 7 个小题,共 66 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（6 分）以下是圆圆解方程 1 3 12 3 x x   的解答过程． 解：去分母，得 3( 1) 2( 3) 1x x    ． 去括号，得 3 1 2 3 1x x    ． 移项，合并同类项，得 3x   ． 圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程． 【分析】直接利用一元一次方程的解法进而分析得出答案． 【解答】解：圆圆的解答过程有错误， 正确的解答过程如下： 3( 1) 2( 3) 6x x    ． 去括号，得 3 3 2 6 6x x    ． 移项，合并同类项，得 3x   ． 【点评】此题主要考查了解一元一次方程，正确掌握解方程的步骤是解题关键． 18．（8 分）某工厂生产某种产品，3 月份的产量为 5000 件，4 月份的产量为 10000 件．用 简单随机抽样的方法分别抽取这两个月生产的该产品若干件进行检测，并将检测结果分别绘 制成如图所示的扇形统计图和频数直方图（每组不含前一个边界值，含后一个边界值）．已 知检测综合得分大于 70 分的产品为合格产品． （1）求 4 月份生产的该产品抽样检测的合格率； （2）在 3 月份和 4 月份生产的产品中，估计哪个月的不合格件数多？为什么？ 【分析】（1）根据题意列式计算即可； （2）分别求得 3 月份生产的产品中，不合格的件数和 4 月份生产的产品中，不合格的件数 比较即可得到结论． 【解答】解：（1） (132 160 200) (8 132 160 200) 100% 98.4%        ， 答：4 月份生产的该产品抽样检测的合格率为 98.4% ； （2）估计 4 月份生产的产品中，不合格的件数多， 理由：3 月份生产的产品中，不合格的件数为 5000 2% 100  ， 4 月份生产的产品中，不合格的件数为10000 (1 98.4%) 160   ， 100 160 ， 估计 4 月份生产的产品中，不合格的件数多． 【点评】本题考查了频数分布直方图，扇形统计图，正确的理解题意是解题的关键． 19．（8 分）如图，在 ABC 中，点 D ，E ，F 分别在 AB ，BC ，AC 边上， / /DE AC ， / /EF AB ． （1）求证： BDE EFC ∽ ． （2）设 1 2 AF FC  ， ①若 12BC  ，求线段 BE 的长； ②若 EFC 的面积是 20，求 ABC 的面积． 【分析】（1）由平行线的性质得出 DEB FCE   ， DBE FEC   ，即可得出结论； （2）①由平行线的性质得出 1 2 BE AF EC FC   ，即可得出结果； ②先求出 2 3 FC AC  ，易证 EFC BAC ∽ ，由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得 出结果． 【解答】（1）证明： / /DE AC ， DEB FCE   ， / /EF AB ， DBE FEC   ， BDE EFC ∽ ； （2）解：① / /EF AB ，  1 2 BE AF EC FC   ， 12EC BC BE BE    ，  1 12 2 BE BE  ， 解得： 4BE  ； ② 1 2 AF FC  ，  2 3 FC AC  ， / /EF AB ， EFC BAC ∽ ，  2 22 4( ) ( )3 9 EFC ABC S FC S AC      ， 9 9 20 454 4ABC EFCS S      ． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；熟练掌握相似三角形 的判定与性质是解题的关键． 20．（10 分）设函数 1 ky x  ， 2 ( 0)ky kx    ． （1）当 2 3x„ „ 时，函数 1y 的最大值是 a ，函数 2y 的最小值是 4a  ，求 a 和 k 的值． （2）设 0m  ，且 1m   ，当 x m 时， 1y p ；当 1x m  时， 1y q ．圆圆说：“ p 一 定大于 q ”．你认为圆圆的说法正确吗？为什么？ 【分析】（1）由反比例函数的性质可得 2 k a ，①； 42 k a   ，②；可求 a 的值和 k 的值； （2）设 0m m ，且 01 0m   ，将 0x m ， 0 1x m  ，代入解析式，可求 p 和 q ，即可判 断． 【解答】解：（1） 0k  ， 2 3x„ „ ， 1y 随 x 的增大而减小， 2y 随 x 的增大而增大， 当 2x  时， 1y 最大值为 2 k a ，①； 当 2x  时， 2y 最小值为 42 k a   ，②； 由①，②得： 2a  ， 4k  ； （2）圆圆的说法不正确， 理由如下：设 0m m ，且 01 0m   ， 则 0 0m  ， 0 1 0m   ， 当 0x m 时， 1 0 0kp y m    ， 当 0 1x m  时， 1 0 01 kq y m    ， 0p q   ， 圆圆的说法不正确． 【点评】本题考查了反比例函数的性质，掌握反比例函数的性质是本题的关键． 21．（10 分）如图，在正方形 ABCD 中，点 E 在 BC 边上，连接 AE ， DAE 的平分线 AG 与 CD 边交于点 G ，与 BC 的延长线交于点 F ．设 ( 0)CE EB    ． （1）若 2AB  ， 1  ，求线段 CF 的长． （2）连接 EG ，若 EG AF ， ①求证：点 G 为 CD 边的中点． ②求  的值． 【分析】（1）根据 2AB  ， 1  ，可以得到 BE 、CE 的长，然后根据正方形的性质，可以 得到 AE 的长，再根据平行线的性质和角平分线的性质，可以得到 EF 的长，从而可以得到 线段 CF 的长； （2）①要证明点 G 为 CD 边的中点，只要证明 ADG FGC   即可，然后根据题目中的条 件，可以得到 ADG FGC   的条件，从而可以证明结论成立； ②根据题意和三角形相似，可以得到 CE 和 EB 的比值，从而可以得到  的值． 【解答】解：（1）在正方形 ABCD 中， / /AD BC ， DAG F   ， 又 AG 平分 DAE ， DAG EAG   ， EAG F   ， EA EF  ， 2AB  ， 90B  ，点 E 为 BC 的中点， 1BE EC   ， 2 2 5AE AB BE    ， 5EF  ， 5 1CF EF EC     ； （2）①证明： EA EF ， EG AF ， AG FG  ， 在 ADG 和 FCG 中 D GCF AGD FGC AG FG         ， ( )ADG FCG AAS   ， DG CG  ， 即点 G 为 CD的中点； ②设 2CD a ，则 CG a ， 由①知， 2CF DA a  ， EG AF ， 90GDF   ， 90EGC CGF     ， 90F CGF     ， 90ECG GCF     ， EGC F   ， EGC GFC ∽ ，  EC GC GC FC  ， GC a ， 2FC a ，  1 2 GC FC  ，  1 2 EC GC  ， 1 2EC a  ， 1 32 2 2BE BC EC a a a     ， 1 12 3 3 2 aCE EB a     ． 【点评】本题考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾 股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 22．（12 分）在平面直角坐标系中，设二次函数 2 1y x bx a   ， 2 2 1(y ax bx a   ，b 是实 数， 0)a  ． （1）若函数 1y 的对称轴为直线 3x  ，且函数 1y 的图象经过点 ( , )a b ，求函数 1y 的表达式． （2）若函数 1y 的图象经过点 ( ,0)r ，其中 0r  ，求证：函数 2y 的图象经过点 1(r ， 0) ． （3）设函数 1y 和函数 2y 的最小值分别为 m 和 n ，若 0m n  ，求 m ， n 的值． 【分析】（1）利用待定系数法解决问题即可． （2）函数 1y 的图象经过点 ( ,0)r ，其中 0r  ，可得 2 0r br a   ，推出 21 0b a r r    ，即 21 1( ) 1 0a br r    ，推出 1 r 是方程 2 1ax bx  的根，可得结论． （3）由题意 0a  ， 24 4 a bm   ， 24 4 a bn a  ，根据 0m n  ，构建方程可得结论． 【解答】解：（1）由题意，得到 32 b  ，解得 6b   ， 函数 1y 的图象经过 ( , 6)a  ， 2 6 6a a a     ， 解得 2a  或 3， 函数 2 1 6 2y x x   或 2 1 6 3y x x   ． （2）函数 1y 的图象经过点 ( ,0)r ，其中 0r  ， 2 0r br a    ， 21 0b a r r     ， 即 21 1( ) 1 0a br r    ，  1 r 是方程 2 1ax bx  的根， 即函数 2y 的图象经过点 1(r ， 0) ． （3）由题意 0a  ， 24 4 a bm   ， 24 4 a bn a  ， 0m n  ，  2 24 4 04 4 a b a b a    ， 2(4 )( 1) 0a b a    ， 1 0a   ， 24 0a b   ， 0m n   ． 【点评】本题考查二次函数的图象与系数的关系，二次函数的性质等知识，解题的关键是熟 练掌握待定系数法，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型． 23．（12 分）如图，已知 AC ， BD 为 O 的两条直径，连接 AB ， BC ，OE AB 于点 E ， 点 F 是半径 OC 的中点，连接 EF ． （1）设 O 的半径为 1，若 30BAC   ，求线段 EF 的长． （2）连接 BF ， DF ，设 OB 与 EF 交于点 P ， ①求证： PE PF ． ②若 DF EF ，求 BAC 的度数． 【分析】（1）解直角三角形求出 AB ，再证明 90AFB   ，利用直角三角形斜边中线的性 质即可解决问题． （2）①过点 F 作 FG AB 于 G ，交 OB 于 H ，连接 EH ．想办法证明四边形 OEHF 是平 行四边形可得结论． ②想办法证明 FD FB ，推出 FO BD ，推出 AOB 是等腰直角三角形即可解决问题． 【解答】（1）解： OE AB ， 30BAC   ， 1OA  ， 60AOE   ， 1 1 2 2OE OA  ， 33 2AE EB OE   ， AC 是直径， 90ABC  ， 60C   ， OC OB ， OCB 是等边三角形， OF FC ， BF AC  ， 90AFB  ， AE EB ， 1 3 2 2EF AB   ． （2）①证明：过点 F 作 FG AB 于 G ，交 OB 于 H ，连接 EH ． 90FGA ABC     ， / /FG BC ， OFH OCB ∽ ，  1 2 FH OF BC OC   ，同理 1 2 OE BC  ， FH OE  ， OE AB ． FH AB ， / /OE FH ， 四边形 OEHF 是平行四边形， PE PF  ． ② / / / /OE FG BC ，  1EG OF GB FC   ， EG GB  ， EF FB  ， DF EF ， DF BF  ， DO OB ， FO BD  ， 90AOB   ， OA OB ， AOB 是等腰直角三角形， 45BAC   ． 【点评】本题属于圆综合题，考查了等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质， 平行四边形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常 用辅助线，构造特殊四边形解决问题，属于中考压轴题．