2020年浙江省杭州市上城区中考数学一模试卷 解析版

2020年浙江省杭州市上城区中考数学一模试卷 解析版

‎2020年浙江省杭州市上城区中考数学一模试卷 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.‎ ‎1．（3分）数2020的相反数是（　　）‎ A． B．﹣ C．2020 D．﹣2020‎ ‎2．（3分）国家发展改革委3月2日宣布，包括普通口罩、医用口罩、医用N95口罩在内，全国口罩日产量达到116000000只．116000000用科学记数法可以表示为（　　）‎ A．1.16x108 B．1.16x109 C．11.6x107 D．0.116×109‎ ‎3．（3分）如图，在▱ABCD中，AB＝6，BC＝4，BE平分∠ABC，交CD于点E，则DE的长度是（　　）‎ A． B．2 C． D．3‎ ‎4．（3分）下列运算正确的是（　　）‎ A．2x2+x＝3x3 B．2x2﹣7x2＝﹣5 ‎ C．﹣8x3•4x2＝﹣32x6 D．＝x2‎ ‎5．（3分）某校开展了“空中云班会”的满意度调查，其中九年级各班满意的人数分别为27，28，28，29，29，30．下列关于这组数据描述正确的是（　　）‎ A．中位数是29 B．众数是28 ‎ C．平均数为28.5 D．方差是2‎ ‎6．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，BE⊥AC，D是AB的中点，且DE＝BE，则∠C的度数是（　　）‎ A．65° B．70° C．75° D．80°‎ ‎7．（3分）“杭州城市大脑”用大数据改善城市交通，实现了从治堵到治城的转变．数据表明，杭州上塘高架路上共22km的路程，利用城市大脑后，车辆通过速度平均提升了15%，节省时间5分钟，设提速前车辆平均速度为xkm/h，则下列方程正确的是（　　）‎ A．﹣＝5 B．﹣＝ ‎ C．﹣＝5 D．﹣＝‎ ‎8．（3分）一把5m长的梯子AB斜靠在墙上，梯子倾斜角α的正切值为，考虑安全问题，现要求将梯子的倾斜角改为30°，则梯子下滑的距离AA'的长度是（　　）‎ A．m B．m C．m D．m ‎9．（3分）已知a是方程x2﹣4x＝的实数根，则直线y＝ax+2﹣a的图象大致是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎10．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点P在对角线BD上（不与点B，D重合），PE∥BC，PF∥DC．设AB＝m，AP＝a，PF＝b，PE＝c，下列表述正确的是（　　）‎ A．c2+b2＝a2 B．a+b＝c+m ‎ C．c2+b2﹣bc＝a2 D．a+b+c≥2m 二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）‎ ‎11．（4分）分解因式：4x2﹣1＝　 　．‎ ‎12．（4分）如图，AB∥/CD，∠B＝78°，∠E＝27°，则∠D的度数为　 　．‎ ‎13．（4分）在国新办4月2日举行的疫情期间中国海外留学人员安全问题新闻发布会上，外交部副部长马朝旭透露，3月份全球疫情加速扩散后，中国已经安排A与B两种型号的包机9架次，从伊朗、意大利等国接回包括留学人员在内的中国公民1457人．其中A型包机每架次坐满158人，B型包机每架次坐满163人，则A型包机有　 　架，‎ B型包机有　 　架．‎ ‎14．（4分）如图，△ABC中，D，E两点分别在边AB，BC上，若AD：DB＝CE：EB＝3：4，记△DBE的面积为S1，△ADC的面积为S2，则S1：S2＝　 　．‎ ‎15．（4分）当﹣1≤a≤时，则抛物线y＝﹣x2+2ax+2﹣a的顶点到x轴距离的最小值　 　．‎ ‎16．（4分）已知点C在线段AB的中垂线上，连结BC，点D为BC的中点，以点A为圆心，AD长为半径作⊙A．设k＝，若⊙A与线段BC有两个交点（包括点B和点C），则k满足的条件是　 　．‎ 三、解答题：本大题有7个小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17．（6分）（1）计算：﹣4+3﹣；‎ ‎（2）化简；，并从0，1，2中选一个合适的数作为x的值代入求值．‎ ‎18．（8分）2020年春，因为新冠肺炎的影响，浙江省推行“停课不停学”的举措，师生进行网络教学．九年级的小陈同学在家收到了学校邮寄过来的语文、数学、英语、科学等四个学科的课本，求下列事件发生的概率．‎ ‎（1）事件A：小陈同学从快递包里随机取出一本，取出的课本是数学课本；‎ ‎（2）事件B：小陈同学从快递包里随机取出两本，取出的课本是语文课本和数学课本．‎ ‎19．（8分）如图，AB＝BC，以BC为直径作⊙O，AC交⊙O于点D，过D作DE⊥AB于点F，交CB的延长线于点E．‎ ‎（1）求证：ED是⊙O的切线；‎ ‎（2）若EF＝，EB＝2，求图中阴影的面积．‎ ‎20．（10分）已知x1，x2，x3是y＝图象上三个点的横坐标，且满足x3＞x2＞x1＞0．请比较+与的大小，并说明理由．‎ ‎21．（10分）黄金分割为“最美丽”的几何比率，广泛应用于图案设计．如图是一个包装盒的俯视图，线段AB是这个俯视图的中轴线．某公司想在中轴线AB上找到黄金分割点，安装视频播放器．‎ ‎（1）请你用尺规作图的方式找出这个点（作出一点即可，保留作图痕迹）‎ ‎（2）证明你找到的点是线段AB的黄金分割点．‎ ‎22．（12分）同学A在离学校正北30km处，骑车以15km/h的速度向学校方向出发，同时，B同学在学校的正东15km处，以15km/h的速度骑车向学校方向前进，假设2人的行驶方向和速度都不变，问：‎ ‎（1）当其中一人经过学校时，另一人与学校之间的距离为多少？‎ ‎（2）两人的最近距离是多少？‎ ‎（3）什么时候两人距离为30km？‎ ‎23．（12分）如图，在等边三角形ABC中，BC＝8，过BC边上一点P，作∠DPE＝60°，分别与边AB，AC相交于点D与点E．‎ ‎（1）在图中找出与∠EPC始终相等的角，并说明理由；‎ ‎（2）若△PDE为正三角形时，求BD+CE的值；‎ ‎（3）当DE∥BC时，请用BP表示BD，并求出BD的最大值．‎ ‎2020年浙江省杭州市上城区中考数学一模试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.‎ ‎1．（3分）数2020的相反数是（　　）‎ A． B．﹣ C．2020 D．﹣2020‎ ‎【分析】直接利用相反数的定义得出答案．‎ ‎【解答】解：2020的相反数是：﹣2020．‎ 故选：D．‎ ‎2．（3分）国家发展改革委3月2日宣布，包括普通口罩、医用口罩、医用N95口罩在内，全国口罩日产量达到116000000只．116000000用科学记数法可以表示为（　　）‎ A．1.16x108 B．1.16x109 C．11.6x107 D．0.116×109‎ ‎【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．‎ ‎【解答】解：116000000用科学记数法可以表示为1.16×108．‎ 故选：A．‎ ‎3．（3分）如图，在▱ABCD中，AB＝6，BC＝4，BE平分∠ABC，交CD于点E，则DE的长度是（　　）‎ A． B．2 C． D．3‎ ‎【分析】根据四边形ABCD为平行四边形可得AB∥CD，根据平行线的性质和角平分线的性质可得出∠CBE＝∠CEB，可得CE＝BC＝4，即可求得DE的长度 ‎【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，‎ ‎∴AB∥CD，CD＝AB＝6，‎ ‎∴∠ABE＝∠CEB，‎ ‎∵BE平分∠ABC，‎ ‎∴∠ABE＝∠CBE，‎ ‎∴∠CBE＝∠CEB，‎ ‎∴CE＝BC＝4，‎ ‎∴DE＝CD﹣CE＝6﹣4＝2．‎ 故选：B．‎ ‎4．（3分）下列运算正确的是（　　）‎ A．2x2+x＝3x3 B．2x2﹣7x2＝﹣5 ‎ C．﹣8x3•4x2＝﹣32x6 D．＝x2‎ ‎【分析】根据合并同类项法则、单项式乘以单项式计算法则，分式的约分进行计算即可．‎ ‎【解答】解：A、2x2和x不是同类项，不能合并，故原题计算错误；‎ B、2x2﹣7x2＝﹣5x2，故原题计算错误；‎ C、8x3•4x2＝﹣32x5，故原题计算错误；‎ D、＝＝x2，故原题计算正确；‎ 故选：D．‎ ‎5．（3分）某校开展了“空中云班会”的满意度调查，其中九年级各班满意的人数分别为27，28，28，29，29，30．下列关于这组数据描述正确的是（　　）‎ A．中位数是29 B．众数是28 ‎ C．平均数为28.5 D．方差是2‎ ‎【分析】排序后位于中间或中间两数的平均数即为中位数；一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．‎ ‎【解答】解：A、中位数是，选项错误；‎ B、众数是28和29，选项错误；‎ C、平均数为，选项正确；‎ D、方差为≈‎ ‎0.58，选项错误；‎ 故选：C．‎ ‎6．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，BE⊥AC，D是AB的中点，且DE＝BE，则∠C的度数是（　　）‎ A．65° B．70° C．75° D．80°‎ ‎【分析】根据直角三角形的性质得到DE＝AB＝BD＝AD，得到△BDE为等边三角形，根据等边三角形的性质得到∠ABE＝60°，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可．‎ ‎【解答】解：∵BE⊥AC，‎ ‎∴∠AEB＝90°，‎ ‎∵D是AB的中点，‎ ‎∴DE＝AB＝BD＝AD，‎ ‎∵DE＝BE，‎ ‎∴DE＝BE＝BD，‎ ‎∴△BDE为等边三角形，‎ ‎∴∠ABE＝60°，‎ ‎∴∠A＝90°﹣60°＝30°，‎ ‎∵AB＝AC，‎ ‎∴∠C＝×（180°﹣30°）＝75°，‎ 故选：C．‎ ‎7．（3分）“杭州城市大脑”用大数据改善城市交通，实现了从治堵到治城的转变．数据表明，杭州上塘高架路上共22km的路程，利用城市大脑后，车辆通过速度平均提升了15%，节省时间5分钟，设提速前车辆平均速度为xkm/h，则下列方程正确的是（　　）‎ A．﹣＝5 B．﹣＝ ‎ C．﹣＝5 D．﹣＝‎ ‎【分析】设提速前车辆平均速度为xkm/h，根据题意可得等量关系：提速前行驶22km所用时间﹣提速后行驶22km所用时间＝小时，然后列出方程即可．‎ ‎【解答】解：设提速前车辆平均速度为xkm/h，由题意得：‎ ‎﹣＝，‎ 故选：B．‎ ‎8．（3分）一把5m长的梯子AB斜靠在墙上，梯子倾斜角α的正切值为，考虑安全问题，现要求将梯子的倾斜角改为30°，则梯子下滑的距离AA'的长度是（　　）‎ A．m B．m C．m D．m ‎【分析】设AC＝3k，BC＝4k，根据勾股定理得到AB＝＝5k＝5，求得AC＝3米，BC＝4米，根据直角三角形的性质健康得到结论．‎ ‎【解答】解：如图，∵梯子倾斜角α的正切值为，‎ ‎∴设AC＝3k，BC＝4k，‎ ‎∴AB＝＝5k＝5，‎ ‎∴k＝1，‎ ‎∴AC＝3米，BC＝4米，‎ ‎∵A′B′＝AB＝5，∠A′B′C＝30°，‎ ‎∴A′C＝A′B′＝，‎ ‎∴AA′＝AC﹣A′C＝3﹣＝米，‎ 故梯子下滑的距离AA'的长度是米，‎ 故选：D．‎ ‎9．（3分）已知a是方程x2﹣4x＝的实数根，则直线y＝ax+2﹣a的图象大致是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【分析】方程x2﹣4x＝的实数根，实际就是抛物线y1＝x2﹣4x，与双曲线y2＝交点的横坐标，通过画两个函数的图象，确定a的取值范围，再根据a的取值范围确定直线所经过的象限，从而确定位置，做出选择．‎ ‎【解答】解：设y1＝x2﹣4x，y2＝，‎ 抛物线y1＝x2﹣4x，与双曲线y2＝的图象如图所示：‎ 方程x2﹣4x＝的实数根，实际就是抛物线y1＝x2﹣4x，与双曲线y2＝交点的横坐标，‎ 抛物线y1＝x2﹣4x，与x轴的交点为O（0，0），A（4，0），‎ 由两个图象可得，交点B的横坐标一定要大于4，即：a＞4，‎ 当a＞4时，2﹣a＜0，直线y＝ax+2﹣a的图象过一、三、四象限，‎ 故选：A．‎ ‎10．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点P在对角线BD上（不与点B，D重合），PE∥BC，PF∥DC．设AB＝m，AP＝a，PF＝b，PE＝c，下列表述正确的是（　　）‎ A．c2+b2＝a2 B．a+b＝c+m ‎ C．c2+b2﹣bc＝a2 D．a+b+c≥2m ‎【分析】过点P作PH⊥BC，交BC延长线于点H，由“SAS”可证△APD≌△CPD，可得AP＝CP＝a，通过证明四边形PECF是平行四边形，可得PE＝CF＝c，由直角三角形的性质可得FH＝，PH＝FH＝b，CH＝﹣c，由勾股定理可求解．‎ ‎【解答】解：如图，连接PC，过点P作PH⊥BC，交BC延长线于点H，‎ ‎∵四边形ABCD是菱形，‎ ‎∴AD＝CD，∠ADP＝∠CDP，且PD＝PD，‎ ‎∴△APD≌△CPD（SAS），‎ ‎∴AP＝CP＝a，‎ ‎∵PE∥BC，PF∥DC，‎ ‎∴四边形PECF是平行四边形，‎ ‎∴PE＝CF＝c，‎ ‎∵PF∥DC∥AB，‎ ‎∴∠PFC＝∠ABC＝60°，‎ ‎∵PH⊥BC，‎ ‎∴∠FPH＝30°，‎ ‎∴FH＝，PH＝FH＝b，‎ ‎∴CH＝﹣c，‎ ‎∵PC2＝CH2+PH2，‎ ‎∴a2＝（﹣c）2+（b）2，‎ ‎∴c2+b2﹣bc＝a2，‎ 故选：C．‎ 二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）‎ ‎11．（4分）分解因式：4x2﹣1＝　（2x+1）（2x﹣1）　．‎ ‎【分析】直接利用平方差公式分解因式即可．平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．‎ ‎【解答】解：4x2﹣1＝（2x+1）（2x﹣1）．‎ 故答案为：（2x+1）（2x﹣1）．‎ ‎12．（4分）如图，AB∥/CD，∠B＝78°，∠E＝27°，则∠D的度数为　51°　．‎ ‎【分析】将BE与CD交点记为点F，由两直线平行同位角相等得出∠EFC度数，再利用三角形外角的性质可得答案．‎ ‎【解答】解：如图所示，将BE与CD交点记为点F，‎ ‎∵AB∥CD，∠B＝78°，‎ ‎∴∠EFC＝∠B＝78°，‎ 又∵∠EFC＝∠D+∠E，且∠E＝27°，‎ ‎∴∠D＝∠EFC﹣∠E＝78°﹣27°＝51°．‎ 故答案为：51°．‎ ‎13．（4分）在国新办4月2日举行的疫情期间中国海外留学人员安全问题新闻发布会上，外交部副部长马朝旭透露，3月份全球疫情加速扩散后，中国已经安排A与B两种型号的包机9架次，从伊朗、意大利等国接回包括留学人员在内的中国公民1457人．其中A型包机每架次坐满158人，B型包机每架次坐满163人，则A型包机有　2　架，‎ B型包机有　7　架．‎ ‎【分析】设A型包机有x架，B型包机有y架，根据两种型号包机9架可乘坐1457人，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．‎ ‎【解答】解：设A型包机有x架，B型包机有y架，‎ 依题意，得：，‎ 解得：．‎ 故答案为：2；7．‎ ‎14．（4分）如图，△ABC中，D，E两点分别在边AB，BC上，若AD：DB＝CE：EB＝3：4，记△DBE的面积为S1，△ADC的面积为S2，则S1：S2＝　16：21　．‎ ‎【分析】过点E、C分别作EF⊥AB于点F，CG⊥AB于点G，根据相似三角形的性质与判定即可求出答案．‎ ‎【解答】解：过点E、C分别作EF⊥AB于点F，CG⊥AB于点G，‎ ‎∴EF∥CG，‎ ‎∴△BEF∽△BCG，‎ ‎∴，‎ ‎∵CE：EB＝3：4，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴＝＝，‎ ‎∴S1：S2＝16：21，‎ 故答案为：16：21．‎ ‎15．（4分）当﹣1≤a≤时，则抛物线y＝﹣x2+2ax+2﹣a的顶点到x轴距离的最小值　　．‎ ‎【分析】得出抛物线y＝﹣x2+2ax+2﹣a顶点的纵坐标表达式，把a的取值代入即可．‎ ‎【解答】解：∵抛物线y＝﹣x2+2ax+2﹣a的顶点纵坐标＝＝2﹣a+a2，‎ 当a＝﹣1时，2﹣a+a2＝2+1+1＝4；‎ 当a＝时，2﹣+＝，‎ ‎∵4＞，‎ ‎∴顶点到x轴距离的最小值是．‎ 故答案为：．‎ ‎16．（4分）已知点C在线段AB的中垂线上，连结BC，点D为BC的中点，以点A为圆心，AD长为半径作⊙A．设k＝，若⊙A与线段BC有两个交点（包括点B和点C），则k满足的条件是　且k≠1　．‎ ‎【分析】过A作AP⊥BC于点P，当时，⊙A与线段BC就有两个交点，当CP＝时和当BP＝BC（即CP＝BC）时，由勾股定理列出k的方程，求得k的值就分别是k的最大值和最小值．由此便可解决本题的问题．‎ ‎【解答】解：设BC＝4x，则AB＝k•BC＝4kx，‎ 过A作AP⊥BC于点P，‎ 当CP＝时，⊙A与线的另一个交点为点C，如图1，‎ 则CP＝x，BP＝3x，AC＝BC＝4x，‎ 由勾股定理得，（4kx）2﹣（3x）2＝AP2＝（4x）2﹣x2，‎ 解得，k＝，或k＝﹣（舍）；‎ 当BP＝BC时，⊙A与线的另一个交点为点B，如图2，‎ 则BP＝x，CP＝3x，AC＝BC＝4x，‎ 由勾股定理得，（4kx）2﹣x2＝AP2＝（4x）2﹣（3x）2，‎ 解得，k＝，或k＝﹣（舍）；‎ 当CP＝CD时，AD⊥BC，则BC与⊙A相切，AD垂直平分BC，‎ ‎∴AB＝AC＝BC，‎ ‎∴k＝1，‎ 于是，当k＝1时，⊙A与线段BC只有一个公共点，‎ ‎∵⊙A与线段BC有两个交点（包括点B和点C），‎ ‎∴，且CP≠CD ‎∴且k≠1，‎ 故答案为：且k≠1．‎ 三、解答题：本大题有7个小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17．（6分）（1）计算：﹣4+3﹣；‎ ‎（2）化简；，并从0，1，2中选一个合适的数作为x的值代入求值．‎ ‎【分析】（1）先化简，然后计算即可解答本题；‎ ‎（2）根据分式的加法可以化简题目中的式子，然后从0，1，2中选一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子即可解答本题．‎ ‎【解答】解：（1）﹣4+3﹣‎ ‎＝﹣4+3﹣4‎ ‎＝﹣5；‎ ‎（2）‎ ‎＝‎ ‎＝‎ ‎＝‎ ‎＝，‎ ‎∵x＝0，1时，原分式无意义，‎ ‎∴x＝2，‎ 当x＝2时，原式＝＝2．‎ ‎18．（8分）2020年春，因为新冠肺炎的影响，浙江省推行“停课不停学”的举措，师生进行网络教学．九年级的小陈同学在家收到了学校邮寄过来的语文、数学、英语、科学等四个学科的课本，求下列事件发生的概率．‎ ‎（1）事件A：小陈同学从快递包里随机取出一本，取出的课本是数学课本；‎ ‎（2）事件B：小陈同学从快递包里随机取出两本，取出的课本是语文课本和数学课本．‎ ‎【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；‎ ‎（2）根据题意画出树状图得出所有等情况数，找出取出的课本是语文课本和数学课本的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．‎ ‎【解答】解：（1）∵共有语文、数学、英语、科学等四个学科的课本，‎ ‎∴取出的课本是数学课本的概率是；‎ ‎（2）根据题意画图如下：‎ 共有12种等情况数，其中取出的课本是语文课本和数学课本有2种，‎ 则取出的课本是语文课本和数学课本的概率是＝．‎ ‎19．（8分）如图，AB＝BC，以BC为直径作⊙O，AC交⊙O于点D，过D作DE⊥AB于点F，交CB的延长线于点E．‎ ‎（1）求证：ED是⊙O的切线；‎ ‎（2）若EF＝，EB＝2，求图中阴影的面积．‎ ‎【分析】（1）连接OE．根据等腰三角形的性质和平行线的性质即可得到结论；‎ ‎（2）解直角三角形得到∠E＝30°，得到∠EBF＝60°，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．‎ ‎【解答】解：（1）∵AB＝BC，‎ ‎∴∠A＝∠C，‎ ‎∵OD＝OC，‎ ‎∴∠ODC＝∠C，‎ ‎∴∠A＝∠ODC，‎ ‎∴OD∥AB，‎ ‎∵BA⊥DE，‎ ‎∴OD⊥DG，且OD为半径，‎ ‎∴DE是⊙O的切线；‎ ‎（2）∵DE⊥AB，‎ ‎∴∠BFE＝90°，‎ ‎∵EF＝，EB＝2，‎ ‎∴cosE＝，‎ ‎∴∠E＝30°，‎ ‎∴∠EBF＝60°，‎ ‎∵OD∥AB，‎ ‎∴∠DOB＝∠EBF＝60°，‎ ‎∴OD＝OE，‎ ‎∴OD＝OB＝BE＝2，‎ ‎∴图中阴影的面积＝S扇形DOB﹣S△DOB＝﹣＝π﹣．‎ ‎20．（10分）已知x1，x2，x3是y＝图象上三个点的横坐标，且满足x3＞x2＞x1＞0．请比较+与的大小，并说明理由．‎ ‎【分析】先判断+与的大小，然后根据函数图象和题意，即可得到+与的大小关系．‎ ‎【解答】解：+＞，‎ 理由：∵x1，x2，x3是y＝图象上三个点的横坐标，且满足x3＞x2＞x1＞0，‎ ‎∴＞，＞，‎ ‎∴+＞+‎ 即+＞．‎ ‎21．（10分）黄金分割为“最美丽”的几何比率，广泛应用于图案设计．如图是一个包装盒的俯视图，线段AB是这个俯视图的中轴线．某公司想在中轴线AB上找到黄金分割点，安装视频播放器．‎ ‎（1）请你用尺规作图的方式找出这个点（作出一点即可，保留作图痕迹）‎ ‎（2）证明你找到的点是线段AB的黄金分割点．‎ ‎【分析】（1）过点B作AB的垂线，并用圆规在垂线上截取BC，使得BC＝AB，连接AC；以C为圆心，BC为半径画弧，交AC于点D；以A为圆心，以AD为半径画弧，交AB于点E，则点E即为线段AB的黄金分割点．‎ ‎（2）设BC＝a，则AB＝2a，AC＝＝a，通过计算证明AE2＝BE•AB即可解决问题．‎ ‎【解答】（1）解：如图，点E即为所求．‎ ‎（2）证明：设BC＝a，则AB＝2a，AC＝＝a，‎ ‎∵CD＝BC＝a，‎ ‎∴AD＝AE＝a﹣a，‎ ‎∵AE2＝（a﹣a）2＝6a2﹣2a2，AB•BE＝2a•（2a﹣a+a）＝6a2﹣2a2，‎ ‎∴AE2＝BE•AB，‎ ‎∴点E是AB的黄金分割点．‎ ‎22．（12分）同学A在离学校正北30km处，骑车以15km/h的速度向学校方向出发，同时，B同学在学校的正东15km处，以15km/h的速度骑车向学校方向前进，假设2人的行驶方向和速度都不变，问：‎ ‎（1）当其中一人经过学校时，另一人与学校之间的距离为多少？‎ ‎（2）两人的最近距离是多少？‎ ‎（3）什么时候两人距离为30km？‎ ‎【分析】（1）由题意知，同学B先到达学校，进而求解；‎ ‎（2）AB2＝（|30﹣15x|）2+（|15﹣15x|）2＝450（x﹣）2+，即可求解；‎ ‎（3）450（x﹣）2+＝900，即可求解．‎ ‎【解答】解：（1）B同学1小时时到达学校，而此时A同学前进了15公里，则A同学离学校15公里，‎ 即当其中一人经过学校时，另一人与学校之间的距离为15公里；‎ ‎（2）设x小时时，A、B所处的位置如下图所示，‎ x小时时，AC＝|30﹣15x|（km），BC＝|15﹣15x|（km），‎ 则AB2＝（|30﹣15x|）2+（|15﹣15x|）2＝450（x﹣）2+，‎ ‎∵450＞0，故AB2有最小值，‎ 当x＝（h），AB2的最小值为（km2），‎ 则AB的最小值为（km）；‎ ‎（3）当两人距离为30km时，即AB2＝900（km2），‎ 则450（x﹣）2+＝900，‎ 解得x＝，‎ 即经过或小时，两人距离为30km．‎ ‎23．（12分）如图，在等边三角形ABC中，BC＝8，过BC边上一点P，作∠DPE＝60°，分别与边AB，AC相交于点D与点E．‎ ‎（1）在图中找出与∠EPC始终相等的角，并说明理由；‎ ‎（2）若△PDE为正三角形时，求BD+CE的值；‎ ‎（3）当DE∥BC时，请用BP表示BD，并求出BD的最大值．‎ ‎【分析】（1）根据等边三角形的性质、三角形的外角性质解答；‎ ‎（2）证明△BDP≌△CPE，根据全等三角形的性质得到BD＝CP，BP＝CE，结合图形计算，得到答案；‎ ‎（3）证明△BDP∽△CPE，根据相似三角形的性质列式求出BP与BD的关系，根据二次函数的性质求出BD的最大值．‎ ‎【解答】解：（1）∠BDP＝∠EPC，‎ 理由如下：∵△ABC为等边三角形，‎ ‎∴∠B＝60°，‎ ‎∵∠DPE＝60°，‎ ‎∴∠DPE＝∠B，‎ ‎∵∠DPC是△BDP的外角，‎ ‎∴∠DPE+∠EPC＝∠B+∠BDP，‎ ‎∴∠EPC＝∠BDP；‎ ‎（2）∵△PDE为正三角形，‎ ‎∴PD＝PE，‎ 在△BDP和△CPE中，‎ ‎，‎ ‎∴△BDP≌△CPE（AAS），‎ ‎∴BD＝CP，BP＝CE，‎ ‎∴BD+CE＝CP+BP＝BC＝8；‎ ‎（3）∵DE∥BC，△ABC为等边三角形，‎ ‎∴△ADE为等边三角形，‎ ‎∴AD＝AE，‎ ‎∴BD＝CE，‎ ‎∵∠B＝∠C，∠EPC＝∠BDP，‎ ‎∴△BDP∽△CPE，‎ ‎∴＝，即＝，‎ 整理得，BD＝，‎ ‎﹣BP2+8BP＝﹣（BP﹣4）2+16，‎ ‎∴BD的最大值为4．‎