【精品】人教版 九年级下册数学 28

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第 1 页 共 7 页 第二十八章 锐角三角函数 28.2 解直角三角形及其应用 第 1 课时 解直角三角形的简单应用 学习目标： 1. 巩固解直角三角形相关知识. 2. 能从实际问题中构造直角三角形，从而把实际问题转化为解直角三角形的问题，并能灵 活选择三角函数解决问题. 重点：1.巩固解直角三角形相关知识. 2.能从实际问题中构造直角三角形，从而把实际问题转化为解直角三角形的问题，并能灵活 选择三角函数解决问题. 难点：能从实际问题中构造直角三角形，从而把实际问题转化为解直角三角形的问题，并能 灵活选择三角函数解决问题. 自主学习 一、知识链接 1.什么叫解直角三角形？ 2.解直角三角形的依据是什么？ 合作探究 一、要点探究 探究点 1：利用解直角三角形解决简单实际问题 合作探究 1.棋棋去景点游玩，乘坐登山缆车的吊箱经过点 A 到达点 B 时，它走过了 200m. 在这段路程中缆车行驶的路线与水平面的夹角为 30°，你知道缆车垂直上升的距离是多少 吗? 2.棋棋乘缆车继续从点 B 到达比点 B 高 200m 的点 C， 如果这段路程缆车的行驶路线与水 第 2 页 共 7 页 平面的夹角为 60°，缆车行进速度为 1m/s，棋棋需要多长时间才能到达目的地？ 【典例精析】 例 1 2012 年 6 月 18 日，“神州”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行器成功实现 交会对接. “神州”九号与“天宫”一号的组合体在离地球表面 343km 的圆形轨道上运行. 如图，当组合体运行到离地球表面 P 点的正上方时，（1）从飞船上能直接看到的地球表面 最远的点在什么位置？（2）最远点与 P 点的距离是多少（地球半径约为 6 400km，π取 3.142， 结果保留整数）？ 【方法归纳】 利用解直角三角形解决实际问题的一般过程： 1. 将实际问题抽象为数学问题；画出平面图形，转化为解直角三角形的问题； 2. 根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形； 3. 得到数学问题的答案； 4. 得到实际问题的答案. 练一练 “欲穷千里目，更上一层楼”是唐代诗人王之涣的不朽诗句. 如果我们想在地球上 看到距观测点 1000 里处景色，“更上一层楼”中的楼至少有多高呢？存在这样的楼房吗(设 第 3 页 共 7 页 AC 代表地面，O 为地球球心，C 是地面上一点， AC =500km，地球的半径为 6370 km， cos4.5°= 0.997)？ 【典例精析】 例 2 如图，秋千链子的长度为 3m，静止时的秋千踏板（大小忽略不计）距地面 0.5m．秋 千向两边摆动时，若最大摆角（摆角指秋千链子与铅垂线的夹角）约为 60°，则秋千踏板 与地面的最大距离为多少？ 分析：根据题意，可知秋千踏板与地面的最大距离为 CE 的长度.因此，本题可抽象为：已知 ： DE=0.5m，AD=AB=3m，∠DAB=60°，△ACB 为直角三角形，求 CE 的长度. 练一练 如图，在电线杆上的 C 处引拉线 CE，CF 固定电线杆. 拉线 CE 和地面成 60°角， 在离电线杆 6 米的 A 处测得 AC 与水平面的夹角为 30°，已知 A 与地面的距离为 1.5 米，求 拉线 CE 的长.（结果保留根号） 第 4 页 共 7 页 二、课堂小结 当堂检测 1. 课外活动小组测量学校旗杆的高度. 当太阳光线与地面成 30°角时，测得旗杆在地面上 的影长为 24 米，那么旗杆的高度约是 ( ) A.12 米 B. 8 3 米 C. 24 米 D. 24 3 米 2. 数学课外兴趣小组的同学们要测量被池塘相隔的两棵树 A，B 的距离，他们设计了如图 所示的测量方案：从树 A 沿着垂直于 AB 的方向走到 E，再从 E 沿着垂直于 AE 的方向走到 F，C 为 AE 上一点，其中 3 位同学分别测得三组数据：①AC，∠ACB；②EF，DE，AD； ③CD，∠ACB，∠ADB．其中能根据所测数据求得 A，B 两树距离的有 ( ) 第 5 页 共 7 页 A. 0 组 B. 1 组 C. 2 组 D. 3 组 3. 一次台风将一棵大树刮断，经测量，大树刮断一端的着地点 B 到树根部 C 的距离为 4 米， 倒下部分 AB 与地平面 BC 的夹角为 45°，则这棵大树高是 米. 4.如图，要测量 B 点到河岸 AD 的距离，在 A 点测得∠BAD=30°，在 C 点测得∠BCD=60°， 又测得 AC=100 米，则 B 点到河岸 AD 的距离为 （ ） A. 100 米 B.50 3 米 C. 200 3 3 米 D. 50 米 5.(1)小华去实验楼做实验, 两幢实验楼的高度 AB=CD=20m，两楼间的距离 BC=15m，已知 太阳光与水平线的夹角为 30°，求南楼的影子在北楼上有多高； (2) 小华想：若设计时要求北楼的采光，不受南楼的影响，请问楼间距 BC 长至少应为多少 米？ 参考答案 自主学习 一、知识链接 1.在直角三角形中，除直角外，由已知两元素 (必有一边) 求其余未知元素的过程叫解直角 三角形. 2.解直角三角形的依据： (1) 三边之间的关系：a2＋b2＝c2（勾股定理）； 第 6 页 共 7 页 (2) 两锐角之间的关系：∠ A＋ ∠ B＝ 90º； (3) 边角之间的关系：sin A＝ a c ，cos A＝ b c ， tan A＝ a b . 课堂探究 一、要点探究 探究点 1：已知两边解直角三角形 合作探究 1. 解：如图，BD=ABsin30°=100m. 2.解： = 231m.sin 60 CEBC  棋棋需要 231s 才能到达目的地. 【典例精析】 例 1 解：（1）从飞船上能直接看到的地球表面最远的点在点 Q 处. （1）设∠POQ= α，∵FQ 是☉O 的切线，∴△FOQ 是直角三角形. 6400cos 0.9491,6400 343 OQ OF     ∵ 18.36 .  ∴ PQ∴ 的长为18.36π 18.36 3.1426400 6400 2051(km).180 180     练一练 解：设登到 B 处，视线 BC 在 C 点与地球相切，也就是看 C 点，AB 就是“楼” 的高度，在 Rt△OCB 中，∠O  o o180 4.5π AC OC    ，OB= cos cos4. 6 5 370 6389OC O   （km）. ∴ AB=OB－OA=6389－6370=19(km). 即这层楼至少要高 19km，即 19 000m. 这是不存在的. 【典例精析】 例 2 解：∵∠CAB=60°，AD=AB=3m，∴AC=AB cos∠CAB=1.5m， ∴ CD=AD－AC=1.5m，∴ CE=CD+DE=2.0m. 即秋千踏板与地面的最大距离为 2.0m. 练一练 解：作 AG⊥CD 于点 G，则 AG=BD=6 米，DG=AB=1.5 米. ∴ tan30CG AG   36 2 33    (米).∴CD=CG+DG= ( 2 3 +1.5) (米)， ∴    32 3 1.5 4 32sin 60 CDCE       (米). 当堂检测 第 7 页 共 7 页 1. B 2. D 3. (4 4 2) 4. B 5. 解 ： （ 1 ） 设 与 北 楼 的 交 点 为 E, 过 点 E 作 EF ∥ BC ， ∴ ∠ AFE=90 ° ， FE=BC=15m. tan30 5 3m.AF FE   ∴ =(20 5 3)m.EC FB AB AF  － － 即南 楼的影子在北楼上的高度为 (20 5 3)m.－ （2）BC 至少为 20 3 m.