2021年中考数学专题复习 专题13 一元一次不等式（组）及其应用（教师版含解析）
专题 13 一元一次不等式(组)及其应用
1．不等式的定义：用不等号“＜”“＞”“≤”“≥”表示不相等关系的式子叫做不等式。
2．不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。一个含有未知数的不等式的所有解，组成
这个不等式的解集。
3．一元一次不等式的定义：不等式的左、右两边都是整式，只有一个未知数，并且未知数的最高次数是 1，
像这样的不等式，叫做一元一次不等式。
4.一元一次不等式组：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次
不等式组。
5．不等式的性质：
性质 1：不等式的两边都加上(或减去)同一个数，不等号的方向不变。
性质 2：不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。
性质 3：不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变。
6.一元一次不等式的解法的一般步骤：
(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)系数化为 1.
7．一元一次不等式组的解法
(1)分别求出不等式组中各个不等式的解集
(2)利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集。
8．求不等式组解集的规律：
不等式解集在数轴上的表示方法：含≥或≤，用实心圆点，含＞或＜用空心圆圈。
不等式组的解集有四种情况:
若 a>b，
(1)当 x a
x b
时,则不等式的公共解集为 x>a;
(2) x a
x b
时,不等式的公共解集为 b
6，由第 2
个不等式得 x≤8，它们的公共部分是 6＜x≤8 ，故选 B．
8.(2019•山东省德州市)不等式组 的所有非负整数解的和是( )
A．10 B．7 C．6 D．0
【答案】A
【解析】不等式组的非负整数解。分别求出每一个不等式的解集，即可确定不等式组的解集，继而可得知
不等式组的非负整数解．
，
解不等式①得：x＞﹣2.5，
解不等式②得：x≤4，
∴不等式组的解集为：﹣2.5＜x≤4，
∴不等式组的所有非负整数解是：0，1，2，3，4，
∴不等式组的所有非负整数解的和是 0+1+2+3+4＝10
9.(2019•江苏无锡)某工厂为了要在规定期限内完成 2160 个零件的任务，于是安排 15 名工人每人每天加工
a 个零件(a 为整数)，开工若干天后，其中 3 人外出培训，若剩下的工人每人每天多加工 2 个零件，则不能
按期完成这次任务，由此可知 a 的值至少为( )
A．10 B．9 C．8 D．7
【答案】B
【解析】根据 15 名工人的前期工作量+12 名工人的后期工作量＜2160 列出不等式并解答．
设原计划 n 天完成，开工 x 天后 3 人外出培训，
则 15an＝2160，
得到 an＝144．
所以 15ax+12(a+2)(n﹣x)＜2160．
整理，得 4x+4an+8n﹣8x＜720．
∵an＝144．
∴将其代入化简，得 ax+8n﹣8x＜144，即 ax+8n﹣8x＜an，
整理，得 8(n﹣x)＜a(n﹣x)．
∵n＞x，
∴n﹣x＞0，
∴a＞8．
∴a 至少为 9．
10．(2019•浙江宁波)不等式 ＞x 的解为( )
A．x＜1 B．x＜﹣1 C．x＞1 D．x＞﹣1
【答案】A
【解析】去分母、移项，合并同类项，系数化成 1 即可．
＞x，
3﹣x＞2x，
3＞3x，
x＜1
11.(2019 黑龙江绥化)不等式组 1 0
8 4 2
x
x x
的解集在数轴上表示正确的是( )
【答案】B
【解析】解不等式组,用数轴表示不等式组的解集
解①得,x≥1,
解②得,x<2,
∴原不等式组的解集为 1≤x<2,故选 B.
12．(2019•绵阳)红星商店计划用不超过 4200 元的资金，购进甲、乙两种单价分别为 60 元、100 元的商品
共 50 件，据市场行情，销售甲、乙商品各一件分别可获利 10 元、20 元，两种商品均售完．若所获利润大
于 750 元，则该店进货方案有( )
A．3 种 B．4 种 C．5 种 D．6 种
【答案】C
【解析】设该店购进甲种商品 x 件，则购进乙种商品(50﹣x)件，根据“购进甲乙商品不超过 4200 元的资
金、两种商品均售完所获利润大于 750 元”列出关于 x 的不等式组，解之求得整数 x 的值即可得出答案．
设该店购进甲种商品 x 件，则购进乙种商品(50﹣x)件，
根据题意，得： ，
解得：20≤x＜25，
∵x 为整数，
∴x＝20、21、22、23、24，
∴该店进货方案有 5 种。
二、填空题
13．(2020•黔西南州)不等式组
m t
＜
m
，
m인
t
mt
䁫 Ͳ
的解集为 ．
【答案】﹣6＜x≤13．
【解析】首先分别计算出两个不等式的解集，再确定不等式组的解集即可．
m t
＜
m
①
m인
t
mt
䁫 Ͳ
②，
解①得：x＞﹣6，
解②得：x≤13，
不等式组的解集为：﹣6＜x≤13
14．(2020•黔东南州)不等式组
m t
＞
ym 인
m t 䁫 t
m
的解集为 ．
【答案】2＜x≤6．
【解析】先根据解不等式的基本步骤求出每个不等式的解集，再根据“大小小大中间找”可确定不等式组
的解集．
解不等式 5x﹣1＞3(x+1)，得：x＞2，
解不等式
x﹣1≤4
t
x，得：x≤6，
则不等式组的解集为 2＜x≤6
15.(2020 广东模拟)不等式组 的解集是 ．
【答案】﹣1＜x≤2．
【解析】 ，
解不等式①得，x＞﹣1，
解不等式②得，x≤2，
所以不等式组的解集是﹣1＜x≤2．
16.(2020 四川内江模拟)任取不等式组 3 0,
2 5 0
k
k
≤
＞ 的一个整数解，则能使关于 x 的方程：2x＋k＝－1 的解
为非负数的概率为______．
【答案】 1
3
【解析】不等式组 3 0,
2 5 0
k
k
≤
＞ 的解集为－ 5
2 ＜k≤3，其整数解为 k＝－2，－1，0，1，2，3．
其中，当 k＝－2，－1 时，方程 2x＋k＝－1 的解为非负数．
所以所求概率 P＝ 2
6 ＝ 1
3 ．
17.(2019•河南)不等式组 的解集是 ．
【答案】x≤﹣2．
【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无
解了确定不等式组的解集．
解不等式 ≤﹣1，得：x≤﹣2，
解不等式﹣x+7＞4，得：x＜3，
则不等式组的解集为 x≤﹣2
18.(2019 内蒙古包头市)已知不等式组的解集为 x＞-1，则 k 的取值范围是_________.
【答案】k≤-2.
【解析】
不等式组
解不等式①得，x＞-1;
解不等式②得，x＞k+1;
∵原不等式组的解集为 x＞-1，
∴k+1≤-1
解得，k≤-2.
19.(2019 黑龙江大庆)已知 x＝4 是不等式 ax－3a－1<0 的解,x＝2 不是不等式 ax－3a－1<0 的解,则实数 a
的取值范围是______.
【答案】a≤－1
【解析】∵x＝4 是不等式 ax－3a－1<0 的解,所以 4a－3a－1<0,a<1,
因为 x＝2 不是不等式 ax－3a－1<0 的解,
所以 2a－3a－1≥0,所以 a≤－1,所以 a≤－1.
20.(2019•铜仁)如果不等式组 的解集是 x＜a﹣4，则 a 的取值范围是 ．
【答案】a≥﹣3．
【解析】解这个不等式组为 x＜a﹣4，
则 3a+2≥a﹣4，
解这个不等式得 a≥﹣3
故答案 a≥﹣3．
三、解答题
21．(2020•枣庄)解不等式组
䁫ym 인 m 인
，
m t 䁫
＜
mt
， 并求它的所有整数解的和．
【答案】见解析。
【解析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解，然后找出整数求和即可．
䁫ym 인 m 인
①
m t 䁫
＜
mt
② ，
由①得，x≥﹣3，
由②得，x＜2，
所以，不等式组的解集是﹣3≤x＜2，
所以，它的整数解为：﹣3，﹣2，﹣1，0，1，
所以，所有整数解的和为﹣5．
22．(2020•哈尔滨)昌云中学计划为地理兴趣小组购买大、小两种地球仪，若购买 1 个大地球仪和 3 个小地
球仪需用 136 元；若购买 2 个大地球仪和 1 个小地球仪需用 132 元．
(1)求每个大地球仪和每个小地球仪各多少元；
(2)昌云中学决定购买以上两种地球仪共 30 个，总费用不超过 960 元，那么昌云中学最多可以购买多少个
大地球仪？
【答案】见解析。
【分析】(1)设每个大地球仪 x 元，每个小地球仪 y 元，根据条件建立方程组求出其解即可；
(2)设大地球仪为 a 台，则每个小地球仪为(30﹣a)台，根据要求购买的总费用不超过 960 元，列出不等式
，
m 인 ͵ ݕͲ
m 인 ͵ Ͳ
依题意，得：
【解析】(1)设每本甲种词典的价格为 x 元，每本乙种词典的价格为 y 元，
元，即可得出关于 m 的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
(2)设学校购买甲种词典 m 本，则购买乙种词典(30﹣m)本，根据总价＝单价×数量结合总费用不超过 1600
程组，解之即可得出结论；
乙种词典共需 170 元，购买 2 本甲种词典和 3 本乙种词典共需 290 元”，即可得出关于 x，y 的二元一次方
【分析】(1)设每本甲种词典的价格为 x 元，每本乙种词典的价格为 y 元，根据“购买 1 本甲种词典和 2 本
【答案】见解析。
(2)学校计划购买甲种词典和乙种词典共 30 本，总费用不超过 1600 元，那么最多可购买甲种词典多少本？
(1)求每本甲种词典和每本乙种词典的价格分别为多少元？
购买 2 本甲种词典和 3 本乙种词典共需 290 元．
23．(2020•辽阳)某校计划为教师购买甲、乙两种词典．已知购买 1 本甲种词典和 2 本乙种词典共需 170 元，
答：最多可以购买 5 个大地球仪．
解得：a≤5，
52a+28(30﹣a)≤960，
(2)设大地球仪为 a 台，则每个小地球仪为(30﹣a)台，根据题意可得：
答：每个大地球仪 52 元，每个小地球仪 28 元；
，
͵
m
解得：
，
m 인 ͵
m 인 ͵
【解析】(1)设每个大地球仪 x 元，每个小地球仪 y 元，根据题意可得：
解答即可．
解得：
m Ͳ
͵ Ͳ
．
答：每本甲种词典的价格为 70 元，每本乙种词典的价格为 50 元．
(2)设学校购买甲种词典 m 本，则购买乙种词典(30﹣m)本，
依题意，得：70m+50(30﹣m)≤1600，
解得：m≤5．
答：学校最多可购买甲种词典 5 本．
24.(2020 福州模拟)某次知识竞赛共有 20 道题，每一题答对得 5 分，答错或不答都扣 3 分．
(1) 小明考了 68 分，那么小明答对了多少道题？
(2) 小亮获得二等奖(70～90 分)，请你算算小亮答对了几道题？
【答案】见解析。
【解析】(1) 设小明答对了 x 道题，
依题意得：5x－3(20－x)＝68．
解得：x＝16．
答：小明答对了 16 道题．
(2) 设小亮答对了 y 道题，
依题意得：
5y－3(20－y)≥70
5y－3(20－y)≤90．
因此不等式组的解集为 161
4
≤y≤183
4
．
∵ y 是正整数，
∴ y＝17 或 18．
答：小亮答对了 17 道题或 18 道题．
25.(2019 广西省贵港市)解不等式组：
6 2 2( 4)
2 3
3 2 3
x x
x x
，并在数轴上表示该不等式组的解集．
【答案】见解析。
【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无
解了确定不等式组的解集．
解不等式 6 2 2( 4)x x ，得： 3
2x ，
解不等式 2 3
3 2 3
x x ，得： 1x ，
则不等式组的解集为 3 12 x ，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
26.(2019 北京市)解不等式组：
4( 1) 2,
7 .3
x x
x x
【答案】 2x .
【解析】先求出每个不等式的解集，再取两个不等式解集的公共部分，就是不等式组的解集.取公共部分按
照“大大取大，小小取小，大小小大取中间，大大小小无处找”原则即可.
4( 1) 2
7
3
x x
x x
①
②
由①得 4 4 2x x
3 6x
2x
由②得 7 3x x
7 2x
7
2x
①和②的公共部分由“小小取小”得原不等式组解集为 2x .
27.(2019•江苏扬州)解不等式组 ，并写出它的所有负整数解．
【答案】﹣3≤x＜2，所有负整数解为﹣3、﹣2、﹣1．
【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无
解了确定不等式组的解集．
解不等式 4(x+1)≤7x+13，得：x≥﹣3，
解不等式 x﹣4＜ ，得：x＜2，
则不等式组的解集为﹣3≤x＜2，
所以不等式组的所有负整数解为﹣3、﹣2、﹣1．
28.(2019 贵州省安顺市)先化简(1+
3
2
x
)÷
96
1
2
2
xx
x ，再从不等式组
423
42
xx
x 的整数解中选一个合
适的 x 的值代入求值．
【答案】见解析。
【解析】首先进行分式的加减运算，进而利用分式的混合运算法则进而化简，再解不等式组，得出 x 的值，
把已知数据代入即可．
原式＝ 3 2
3
x
x
×
23
1 ( 1)
x
x x
＝ 3
1
x
x
解不等式组 2 4
3 2 4
x
x x
得﹣2＜x＜4，
∴其整数解为﹣1，0，1，2，3，
∵要使原分式有意义，
∴x 可取 0，2．∴当 x＝0 时，原式＝﹣3，
(或当 x＝2 时，原式＝﹣
3
1 )．
29．(2019•新疆)解不等式组： 并把解集在数轴上表示出来．
【答案】见解析。
【解析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，即可得出答案．
解不等式①得：x＜2，
解不等式②得：x＞1，
∴不等式组的解集为 1＜x＜2，
在数轴上表示不等式组的解集为：
．
30.(2019 四川巴中)在“扶贫攻坚”活动中，某单位计划选购甲、乙两种物品慰问贫困户．已知甲物品的单
价比乙物品的单价高 10 元，若用 500 元单独购买甲物品与 450 元单独购买乙物品的数量相同．
①请问甲、乙两种物品的单价各为多少？
②如果该单位计划购买甲、乙两种物品共 55 件，总费用不少于 5000 元且不超过 5050 元，通过计算得出共
有几种选购方案？
【答案】见解析。
【解析】①设乙种物品单价为 x 元，则甲种物品单价为(x+10)元，由题意得：
＝
解得 x＝90
经检验，x＝90 符合题意
∴甲种物品的单价为 100 元，乙种物品的单价为 90 元．
②设购买甲种物品 y 件，则乙种物品购进(55﹣y)件
由题意得：5000≤100y+90(55﹣y)≤5050
解得 5≤y≤10 ,∴共有 6 种选购方案．
31.(2019▪湖北黄石)若点 P 的坐标为( ，2x﹣9)，其中 x 满足不等式组 ，求点 P 所在
的象限．
【答案】点 P 在的第四象限．
【解析】先求出不等式组的解集，进而求得 P 点的坐标，即可求得点 P 所在的象限．
，
解①得：x≥4，
解②得：x≤4，
则不等式组的解是：x＝4，
∵ ＝1，2x﹣9＝﹣1，
∴点 P 的坐标为(1，﹣1)，∴点 P 在的第四象限．
32．(2019•遵义)某校计划组织 240 名师生到红色教育基地开展革命传统教育活动．旅游公司有 A，B 两种
客车可供租用，A 型客车每辆载客量 45 人，B 型客车每辆载客量 30 人．若租用 4 辆 A 型客车和 3 辆 B 型客
车共需费用 10700 元；若租用 3 辆 A 型客车和 4 辆 B 型客车共需费用 10300 元．
(1)求租用 A，B 两型客车，每辆费用分别是多少元；
(2)为使 240 名师生有车坐，且租车总费用不超过 1 万元，你有哪几种租车方案？哪种方案最省钱？
【答案】见解析。
【解析】(1)设租用 A，B 两型客车，每辆费用分别是 x 元、y 元，
，
解得， ，
答：租用 A，B 两型客车，每辆费用分别是 1700 元、1300 元；
(2)设租用 A 型客车 a 辆，租用 B 型客车 b 辆，
，
解得， ， ， ，
∴共有三种租车方案，
方案一：租用 A 型客车 2 辆，B 型客车 5 辆，费用为 9900 元，
方案二：租用 A 型客车 4 辆，B 型客车 2 辆，费用为 9400 元，
方案三：租用 A 型客车 5 辆，B 型客车 1 辆，费用为 9800 元，
由上可得，方案二：租用 A 型客车 4 辆，B 型客车 2 辆最省钱．
