2020年浙江省温州市中考数学试卷

2020年浙江省温州市中考数学试卷

2020 年浙江省温州市中考数学试卷 一、选择题（本题有 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．每小题只有一个选项是正确的，不 选、多选、错选，均不给分） 1．（4 分）数 1，0， 2 3  ， 2 中最大的是 ( ) A．1 B．0 C． 2 3  D． 2 2．（4 分）原子钟是以原子的规则振动为基础的各种守时装置的统称，其中氢脉泽钟的精度 达到了 1700000 年误差不超过 1 秒．数据 1700000 用科学记数法表示为 ( ) A． 517 10 B． 61.7 10 C． 70.17 10 D． 71.7 10 3．（4 分）某物体如图所示，它的主视图是 ( ) A． B． C． D． 4．（4 分）一个不透明的布袋里装有 7 个只有颜色不同的球，其中 4 个白球，2 个红球，1 个黄球．从布袋里任意摸出 1 个球，是红球的概率为 ( ) A． 4 7 B． 3 7 C． 2 7 D． 1 7 5．（4 分）如图，在 ABC 中， 40A  ， AB AC ，点 D 在 AC 边上，以 CB ， CD 为边 作 BCDE ，则 E 的度数为 ( ) A． 40 B．50 C． 60 D． 70 6．（4 分）山茶花是温州市的市花、品种多样，“金心大红”是其中的一种．某兴趣小组对 30 株“金心大红”的花径进行测量、记录，统计如下表： 株数（株 ) 7 9 12 2 花径 ( )cm 6.5 6.6 6.7 6.8 这批“金心大红”花径的众数为 ( ) A． 6.5cm B． 6.6cm C． 6.7cm D． 6.8cm 7．（4 分）如图，菱形 OABC 的顶点 A ， B ， C 在 O 上，过点 B 作 O 的切线交 OA 的 延长线于点 D ．若 O 的半径为 1，则 BD 的长为 ( ) A．1 B．2 C． 2 D． 3 8．（4 分）如图，在离铁塔 150 米的 A 处，用测倾仪测得塔顶的仰角为 ，测倾仪高 AD 为 1.5 米，则铁塔的高 BC 为 ( ) A． (1.5 150tan ) 米 B． 150(1.5 )tan 米 C． (1.5 150sin ) 米 D． 150(1.5 )sin 米 9．（4 分）已知 1( 3, )y ， 2( 2, )y ， 3(1, )y 是抛物线 23 12y x x m    上的点，则 ( ) A． 3 2 1y y y  B． 3 1 2y y y  C． 2 3 1y y y  D． 1 3 2y y y  10．（4 分）如图，在 Rt ABC 中， 90ACB   ，以其三边为边向外作正方形，过点 C 作 CR FG 于点 R ，再过点 C 作 PQ CR 分别交边 DE ， BH 于点 P ， Q ．若 2QH PE ， 15PQ  ，则 CR 的长为 ( ) A．14 B．15 C．8 3 D． 6 5 二、填空题（本题有 6 小题，每小题 5 分，共 30 分） 11．（5 分）分解因式： 2 25m   ． 12．（5 分）不等式组 3 0, 4 12 x x     … 的解为 ． 13．（5 分）若扇形的圆心角为 45，半径为 3，则该扇形的弧长为 ． 14．（5 分）某养猪场对 200 头生猪的质量进行统计，得到频数直方图（每一组含前一个边 界值，不含后一个边界值）如图所示，其中质量在 77.5kg 及以上的生猪有 头． 15．（5 分）点 P ，Q ， R 在反比例函数 ky x  （常数 0k  ， 0)x  图象上的位置如图所示， 分别过这三个点作 x 轴、y 轴的平行线．图中所构成的阴影部分面积从左到右依次为 1S ， 2S ， 3S ．若 OE ED DC  ， 1 3 27S S  ，则 2S 的 值为 ． 16．（5 分）如图，在河对岸有一矩形场地 ABCD ，为了估测场地大小，在笔直的河岸 l 上 依次取点 E ，F ，N ，使 AE l ，BF l ，点 N ， A ，B 在同一直线上．在 F 点观测 A 点 后，沿 FN 方向走到 M 点，观测 C 点发现 1 2   ．测得 15EF  米， 2FM  米， 8MN  米， 45ANE  ，则场地的边 AB 为 米， BC 为 米． 三、解答题（本题有 8 小题，共 80 分．解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程） 17．（10 分）（1）计算： 04 | 2 | ( 6) ( 1)     ． （2）化简： 2( 1) ( 7)x x x   ． 18．（8 分）如图，在 ABC 和 DCE 中， AC DE ， 90B DCE    ，点 A ，C ，D 依 次在同一直线上，且 / /AB DE ． （1）求证： ABC DCE   ． （2）连结 AE ，当 5BC  ， 12AC  时，求 AE 的长． 19．（8 分） A ， B 两家酒店规模相当，去年下半年的月盈利折线统计图如图所示． （1）要评价这两家酒店 7 ~12 月的月盈利的平均水平，你选择什么统计量？求出这个统计 量． （2）已知 A ， B 两家酒店 7 ~12 月的月盈利的方差分别为 1.073（平方万元），0.54（平方 万元）．根据所给的方差和你在（1）中所求的统计量，结合折线统计图，你认为去年下半年 哪家酒店经营状况较好？请简述理由． 20．（8 分）如图，在 6 4 的方格纸 ABCD 中，请按要求画格点线段（端点在格点上），且 线段的端点均不与点 A ， B ， C ， D 重合． （1）在图 1 中画格点线段 EF ，GH 各一条，使点 E ， F ，G ， H 分别落在边 AB ， BC ， CD ， DA 上，且 EF GH ， EF 不平行 GH ． （2）在图 2 中画格点线段 MN ，PQ 各一条，使点 M ， N ， P ，Q 分别落在边 AB ，BC ， CD ， DA 上，且 5PQ MN ． 21．（10 分）已知抛物线 2 1y ax bx   经过点 (1, 2) ， ( 2,13) ． （1）求 a ， b 的值． （2）若 1(5, )y ， 2( , )m y 是抛物线上不同的两点，且 2 112y y  ，求 m 的值． 22．（10 分）如图，C ，D 为 O 上两点，且在直径 AB 两侧，连结CD 交 AB 于点 E ，G 是 AC 上一点， ADC G   ． （1）求证： 1 2   ． （2）点 C 关于 DG 的对称点为 F ，连结 CF ．当点 F 落在直径 AB 上时， 10CF  ， 2tan 1 5   ， 求 O 的半径． 23．（12 分）某经销商 3 月份用 18000 元购进一批T 恤衫售完后，4 月份用 39000 元购进一 批相同的T 恤衫，数量是 3 月份的 2 倍，但每件进价涨了 10 元． （1）4 月份进了这批T 恤衫多少件？ （2）4 月份，经销商将这批T 恤衫平均分给甲、乙两家分店销售，每件标价 180 元．甲店 按标价卖出 a件以后，剩余的按标价八折全部售出；乙店同样按标价卖出 a 件，然后将 b 件 按标价九折售出，再将剩余的按标价七折全部售出，结果利润与甲店相同． ①用含 a的代数式表示 b ． ②已知乙店按标价售出的数量不超过九折售出的数量，请你求出乙店利润的最大值． 24．（14 分）如图，在四边形 ABCD 中， 90A C     ，DE ，BF 分别平分 ADC ， ABC ， 并交线段 AB ，CD 于点 E ，F（点 E ，B 不重合）．在线段 BF 上取点 M ，N（点 M 在 BN 之间），使 2BM FN ．当点 P 从点 D 匀速运动到点 E 时，点 Q 恰好从点 M 匀速运动到点 N ．记 QN x ， PD y ，已知 6 125y x   ，当 Q 为 BF 中点时， 24 5y  ． （1）判断 DE 与 BF 的位置关系，并说明理由． （2）求 DE ， BF 的长． （3）若 6AD  ． ①当 DP DF 时，通过计算比较 BE 与 BQ 的大小关系． ②连结 PQ ，当 PQ 所在直线经过四边形 ABCD 的一个顶点时，求所有满足条件的 x 的值． 2020 年浙江省温州市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本题有 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．每小题只有一个选项是正确的，不 选、多选、错选，均不给分） 1．（4 分）数 1，0， 2 3  ， 2 中最大的是 ( ) A．1 B．0 C． 2 3  D． 2 【分析】根据有理数大小比较的方法即可得出答案． 【解答】解： 22 0 13      ， 所以最大的是 1． 故选： A ． 【点评】本题考查了有理数大小比较的方法．（1）在数轴上表示的两点，右边的点表示的数 比左边的点表示的数大．（2）正数大于 0，负数小于 0，正数大于负数．（3）两个正数中绝 对值大的数大．（4）两个负数中绝对值大的反而小． 2．（4 分）原子钟是以原子的规则振动为基础的各种守时装置的统称，其中氢脉泽钟的精度 达到了 1700000 年误差不超过 1 秒．数据 1700000 用科学记数法表示为 ( ) A． 517 10 B． 61.7 10 C． 70.17 10 D． 71.7 10 【分析】科学记数法的表示形式为 10na  的形式，其中1 | | 10a „ ， n 为整数．确定 n 的值 时，要看把原数变成 a时，小数点移动了多少位， n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【解答】解： 61700000 1.7 10  ， 故选： B ． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要正确确定 a的值以及 n的值． 3．（4 分）某物体如图所示，它的主视图是 ( ) A． B． C． D． 【分析】根据主视图的意义和画法进行判断即可． 【解答】解：根据主视图就是从正面看物体所得到的图形可知：选项 A 所表示的图形符合 题意， 故选： A ． 【点评】考查简单几何体的三视图的画法，主视图就是从正面看物体所得到的图形． 4．（4 分）一个不透明的布袋里装有 7 个只有颜色不同的球，其中 4 个白球，2 个红球，1 个黄球．从布袋里任意摸出 1 个球，是红球的概率为 ( ) A． 4 7 B． 3 7 C． 2 7 D． 1 7 【分析】根据概率公式求解． 【解答】解：从布袋里任意摸出 1 个球，是红球的概率 2 7  ． 故选： C ． 【点评】本题考查了概率公式：随机事件 A 的概率 P （A）  事件 A 可能出现的结果数除 以所有可能出现的结果数． 5．（4 分）如图，在 ABC 中， 40A  ， AB AC ，点 D 在 AC 边上，以 CB ， CD 为边 作 BCDE ，则 E 的度数为 ( ) A． 40 B．50 C． 60 D． 70 【分析】根据等腰三角形的性质可求 C ，再根据平行四边形的性质可求 E ． 【解答】解：在 ABC 中， 40A  ， AB AC ， (180 40 ) 2 70C        ， 四边形 BCDE 是平行四边形， 70E  ． 故选： D ． 【点评】考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，关键是求出 C 的度数． 6．（4 分）山茶花是温州市的市花、品种多样，“金心大红”是其中的一种．某兴趣小组对 30 株“金心大红”的花径进行测量、记录，统计如下表： 株数（株 ) 7 9 12 2 花径 ( )cm 6.5 6.6 6.7 6.8 这批“金心大红”花径的众数为 ( ) A． 6.5cm B． 6.6cm C． 6.7cm D． 6.8cm 【分析】根据表格中的数据，可以得到这组数据的中位数，本题得以解决． 【解答】解：由表格中的数据可得， 这批“金心大红”花径的众数为 6.7， 故选： C ． 【点评】本题考查众数，解答本题的关键是明确众数的含义，会求一组数据的众数． 7．（4 分）如图，菱形 OABC 的顶点 A ， B ， C 在 O 上，过点 B 作 O 的切线交 OA 的 延长线于点 D ．若 O 的半径为 1，则 BD 的长为 ( ) A．1 B．2 C． 2 D． 3 【分析】连接 OB ，根据菱形的性质得到 OA AB ，求得 60AOB  ，根据切线的性质得 到 90DBO  ，解直角三角形即可得到结论． 【解答】解：连接 OB ， 四边形 OABC 是菱形， OA AB  ， OA OB ， OA AB OB   ， 60AOB   ， BD 是 O 的切线， 90DBO   ， 1OB  ， 3 3BD OB   ， 故选： D ． 【点评】本题考查了切线的性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形， 熟练正确切线的性质定理是解题的关键． 8．（4 分）如图，在离铁塔 150 米的 A 处，用测倾仪测得塔顶的仰角为 ，测倾仪高 AD 为 1.5 米，则铁塔的高 BC 为 ( ) A． (1.5 150tan ) 米 B． 150(1.5 )tan 米 C． (1.5 150sin ) 米 D． 150(1.5 )sin 米 【分析】过点 A 作 AE BC ， E 为垂足，再由锐角三角函数的定义求出 BE 的长，由 BC CE BE  即可得出结论． 【解答】解：过点 A 作 AE BC ， E 为垂足，如图所示： 则四边形 ADCE 为矩形， 150AE  ， 1.5CE AD   ， 在 ABE 中， tan 150 BE BE AE    ， 150tanBE   ， (1.5 150tan )( )BC CE BE m     ， 故选： A ． 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用  仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出 直角三角形是解答此题的关键． 9．（4 分）已知 1( 3, )y ， 2( 2, )y ， 3(1, )y 是抛物线 23 12y x x m    上的点，则 ( ) A． 3 2 1y y y  B． 3 1 2y y y  C． 2 3 1y y y  D． 1 3 2y y y  【分析】求出抛物线的对称轴为直线 2x   ，然后根据二次函数的增减性和对称性解答即可． 【解答】解：抛物线的对称轴为直线 12 22 ( 3)x      ， 3 0a    ， 2x   时，函数值最大， 又 3 到 2 的距离比 1 到 2 的距离小， 3 1 2y y y   ． 故选： B ． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的增减性和对称性， 求出对称轴是解题的关键． 10．（4 分）如图，在 Rt ABC 中， 90ACB   ，以其三边为边向外作正方形，过点 C 作 CR FG 于点 R ，再过点 C 作 PQ CR 分别交边 DE ， BH 于点 P ， Q ．若 2QH PE ， 15PQ  ，则 CR 的长为 ( ) A．14 B．15 C．8 3 D． 6 5 【 分 析 】 如 图 ， 连 接 EC ， CH ． 设 AB 交 CR 于 J ． 证 明 ECP HCQ ∽ ， 推 出 1 2 PC CE EP CQ CH HQ    ， 由 15PQ  ， 可 得 5PC  ， 10CQ  ， 由 : 1:2EC CH  ， 推 出 : 1:2AC BC  ，设 AC a ， 2BC a ，证明四边形 ABQC 是平行四边形，推出 10AB CQ  ， 根据 2 2 2AC BC AB  ，构建方程求出 a即可解决问题． 【解答】解：如图，连接 EC ， CH ．设 AB 交 CR 于 J ． 四边形 ACDE ，四边形 BCJHD 都是正方形， 45ACE BCH     ， 90ACB   ， 90BCI   ， 180ACE ACB BCH      ， 90ACB BCI     B ， C ， D 共线， A ， C ， I 共线， / / / /DE AI BH ， CEP CHQ   ， ECP QCH   ， ECP HCQ ∽ ，  1 2 PC CE EP CQ CH HQ    ， 15PQ  ， 5PC  ， 10CQ  ， : 1:2EC CH  ， : 1:2AC BC  ，设 AC a ， 2BC a ， PQ CR ， CR AB ， / /CQ AB ， / /AC BQ ， / /CQ AB ， 四边形 ABQC 是平行四边形， 10AB CQ   ， 2 2 2AC BC AB  ， 25 100a  ， 2 2a  （负根已经舍弃）， 2 5AC  ， 4 5BC  ，  1 1 2 2AC BC AB CJ    ， 2 5 4 5 410CJ    ， 10JR AF AB   ， 14CR CJ JR    ， 故选： A ． 【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，解直角三角形等知 识，解题的关键是学会踢脚线有辅助线，构造相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程 解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 二、填空题（本题有 6 小题，每小题 5 分，共 30 分） 11．（5 分）分解因式： 2 25m   ( 5)( 5)m m  ． 【分析】直接利用平方差进行分解即可． 【解答】解：原式 ( 5)( 5)m m   ， 故答案为： ( 5)( 5)m m  ． 【 点 评 】 此 题 主 要 考 查 了 运 用 公 式 法 分 解 因 式 ， 关 键 是 掌 握 平 方 差 公 式 ： 2 2 ( )( )a b a b a b    ． 12．（5 分）不等式组 3 0, 4 12 x x     … 的解为 2 3x „ ． 【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可求解． 【解答】解： 3 0 4 12 x x     ① ②… ， 解①得 3x  ； 解②得 2x … ． 故不等式组的解集为 2 3x „ ． 故答案为： 2 3x „ ． 【点评】考查了解一元一次不等式组，解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找； 大大小小找不到． 13．（5 分）若扇形的圆心角为 45，半径为 3，则该扇形的弧长为 3 4  ． 【分析】根据弧长公式 180 n rl  ，代入相应数值进行计算即可． 【解答】解：根据弧长公式： 45 3 3 180 4l    ， 故答案为： 3 4  ． 【点评】此题主要考查了弧长的计算，关键是掌握弧长公式． 14．（5 分）某养猪场对 200 头生猪的质量进行统计，得到频数直方图（每一组含前一个边 界值，不含后一个边界值）如图所示，其中质量在 77.5kg 及以上的生猪有 140 头． 【分析】根据题意和直方图中的数据可以求得质量在 77.5kg 及以上的生猪数，本题得以解 决． 【解答】解：由直方图可得， 质量在 77.5kg 及以上的生猪： 90 30 20 140   （头 ) ， 故答案为：140． 【点评】本题考查频数分布直方图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 15．（5 分）点 P ，Q ， R 在反比例函数 ky x  （常数 0k  ， 0)x  图象上的位置如图所示， 分别过这三个点作 x 轴、y 轴的平行线．图中所构成的阴影部分面积从左到右依次为 1S ， 2S ， 3S ．若 OE ED DC  ， 1 3 27S S  ，则 2S 的 值为 27 5 ． 【分析】设 CD DE OE a   ，则 (3 kP a ，3 )a ， (2 kQ a ， 2 )a ， (kR a ， )a ，推出 3 3 kCP a  ， 2 kDQ a  ， kER a  ，推出OG AG ， 2OF FG ， 2 3OF GA ，推出 1 3 2 2 23S S S  ，根据 1 3 27S S  ，求出 1S ， 3S ， 2S 即可． 【解答】解： CD DE OE  ， 可以假设 CD DE OE a   ， 则 (3 kP a ， 3 )a ， (2 kQ a ， 2 )a ， (kR a ， )a ， 3 kCP a   ， 2 kDQ a  ， kER a  ， OG AG  ， 2OF FG ， 2 3OF GA ， 1 3 2 2 23S S S   ， 1 3 27S S  ， 3 81 5S  ， 1 54 5S  ， 2 27 5S  ， 故答案为 27 5 ． 【点评】本题考查反比例函数系数 k 的几何意义，矩形的性质等知识，解题的关键是学会利 用参数解决问题，属于中考常考题型． 16．（5 分）如图，在河对岸有一矩形场地 ABCD ，为了估测场地大小，在笔直的河岸 l 上 依次取点 E ，F ，N ，使 AE l ，BF l ，点 N ， A ，B 在同一直线上．在 F 点观测 A 点 后，沿 FN 方向走到 M 点，观测 C 点发现 1 2   ．测得 15EF  米， 2FM  米， 8MN  米， 45ANE  ，则场地的边 AB 为 15 2 米， BC 为 米． 【 分 析 】 根 据 已 知 条 件 得 到 ANE 和 BNF 是 等 腰 直 角 三 角 形 ， 求 得 15 2 8 25AE EN     （米 ) ， 2 8 10BF FN    （米 ) ，于是得到 15 2AB AN BN   （米 ) ；过 C 作CH l 于 H ，过 B 作 / /PQ l 交 AE 于 P ，交 CH 于 Q ，根据矩形的性质得 到 10PE BF QH   ， 15PB EF  ， BQ FH ，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【解答】解： AE l ， BF l ， 45ANE   ， ANE 和 BNF 是等腰直角三角形， AE EN  ， BF FN ， 15EF  米， 2FM  米， 8MN  米， 15 2 8 25AE EN      （米 ) ， 2 8 10BF FN    （米 ) ， 25 2AN  ， 10 2BN  ， 15 2AB AN BN    （米 ) ； 过 C 作 CH l 于 H ，过 B 作 / /PQ l 交 AE 于 P ，交 CH 于 Q ， / /AE CH ， 四边形 PEHQ 和四边形 PEFB 是矩形， 10PE BF QH    ， 15PB EF  ， BQ FH ， 1 2   ， 90AEF CHM    ， AEF CHM ∽ ，  25 5 15 3 CH AE HM EF    ， 设 3MH x ， 5CH x ， 5 10CQ x   ， 3 2BQ FH x   ， 90APB ABC CQB       ， 90ABP PAB ABP CBQ         ， PAB CBQ   ， APB BQC ∽ ，  AP PB BQ CQ  ，  15 15 3 2 5 10x x   ， 6x  ， 20BQ CQ   ， 20 2BC  ， 故答案为：15 2 ， 20 2 ． 【点评】本题考查了相似三角形的应用，矩形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确 的识别图形是解题的关键． 三、解答题（本题有 8 小题，共 80 分．解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程） 17．（10 分）（1）计算： 04 | 2 | ( 6) ( 1)     ． （2）化简： 2( 1) ( 7)x x x   ． 【分析】（1）直接利用零指数幂的性质以及二次根式的性质、绝对值的性质分别化简得出答 案； （2）直接利用完全平方公式以及单项式乘以多项式运算法则计算得出答案． 【解答】解：（1）原式 2 2 1 1    2 ； （2） 2( 1) ( 7)x x x   2 22 1 7x x x x     9 1x   ． 【点评】此题主要考查了实数运算以及完全平方公式以及单项式乘以多项式运算，正确掌握 相关运算法则是解题关键． 18．（8 分）如图，在 ABC 和 DCE 中， AC DE ， 90B DCE    ，点 A ，C ，D 依 次在同一直线上，且 / /AB DE ． （1）求证： ABC DCE   ． （2）连结 AE ，当 5BC  ， 12AC  时，求 AE 的长． 【分析】（1）由“ AAS ”可证 ABC DCE   ； （2）由全等三角形的性质可得 5CE BC  ，由勾股定理可求解． 【解答】证明：（1） / /AB DE ， BAC D   ， 又 90B DCE     ， AC DE ， ( )ABC DCE AAS   ； （2） ABC DCE   ， 5CE BC   ， 90ACE   ， 2 2 25 144 13AE AC CE      ． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定方法 是本题的关键． 19．（8 分） A ， B 两家酒店规模相当，去年下半年的月盈利折线统计图如图所示． （1）要评价这两家酒店 7 ~12 月的月盈利的平均水平，你选择什么统计量？求出这个统计 量． （2）已知 A ， B 两家酒店 7 ~12 月的月盈利的方差分别为 1.073（平方万元），0.54（平方 万元）．根据所给的方差和你在（1）中所求的统计量，结合折线统计图，你认为去年下半年 哪家酒店经营状况较好？请简述理由． 【分析】（1）由要评价两家酒店月盈利的平均水平，即可得选择两家酒店月盈利的平均值， 然后利用求平均数的方法求解即可求得答案； （2）平均数，盈利的方差反映酒店的经营业绩， A 酒店的经营状况较好． 【解答】解：（1）选择两家酒店月盈利的平均值； 1 1.6 2.2 2.7 3.5 4 2.56Ax       ， 2 3 1.7 1.8 1.7 3.6 2.36Bx       ； （2）平均数，方差反映酒店的经营业绩， A 酒店的经营状况较好． 理由：A 酒店盈利的平均数为 2.5，B 酒店盈利的平均数为 2.3．A 酒店盈利的方差为 1.073， B 酒店盈利的方差为 0.54，无论是盈利的平均数还是盈利的方差，都是 A 酒店比较大，且 盈利折线 A 是持续上升的，故 A 酒店的经营状况较好． 【点评】此题考查了折线统计图的知识．此题难度适中，注意掌握折线统计图表达的实际意 义是解此题的关键． 20．（8 分）如图，在 6 4 的方格纸 ABCD 中，请按要求画格点线段（端点在格点上），且 线段的端点均不与点 A ， B ， C ， D 重合． （1）在图 1 中画格点线段 EF ，GH 各一条，使点 E ， F ，G ， H 分别落在边 AB ， BC ， CD ， DA 上，且 EF GH ， EF 不平行 GH ． （2）在图 2 中画格点线段 MN ，PQ 各一条，使点 M ， N ， P ，Q 分别落在边 AB ，BC ， CD ， DA 上，且 5PQ MN ． 【分析】（1）根据题意画出线段即可； （2）根据题意画出线段即可． 【解答】解：（1）如图 1，线段 EF 和线段 GH 即为所求； （2）如图 2，线段 MN 和线段 PQ 即为所求． 【点评】本题考查了作图  应用与设计作图，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 21．（10 分）已知抛物线 2 1y ax bx   经过点 (1, 2) ， ( 2,13) ． （1）求 a ， b 的值． （2）若 1(5, )y ， 2( , )m y 是抛物线上不同的两点，且 2 112y y  ，求 m 的值． 【分析】（1）把点 (1, 2) ， ( 2,13) 代入 2 1y ax bx   解方程组即可得到结论； （2）把 5x  代入 2 4 1y x x   得到 1 6y  ，于是得到 1 2y y ，即可得到结论． 【解答】解：（1）把点 (1, 2) ， ( 2,13) 代入 2 1y ax bx   得， 2 1 13 4 2 1 a b a b         ， 解得： 1 4 a b     ； （2）由（1）得函数解析式为 2 4 1y x x   ， 把 5x  代入 2 4 1y x x   得， 1 6y  ， 2 112 6y y    ， 1 2y y ， 对称轴为 2x  ， 4 5 1m     ． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解方程组，正确的理解题意是解题的关 键． 22．（10 分）如图，C ，D 为 O 上两点，且在直径 AB 两侧，连结CD 交 AB 于点 E ，G 是 AC 上一点， ADC G   ． （1）求证： 1 2   ． （2）点 C 关于 DG 的对称点为 F ，连结 CF ．当点 F 落在直径 AB 上时， 10CF  ， 2tan 1 5   ， 求 O 的半径． 【分析】（1）根据圆周角定理和 AB 为 O 的直径，即可证明 1 2   ； （2）连接 DF ，根据垂径定理可得 10FD FC  ，再根据对称性可得 DC DF ，进而可得 DE 的长，再根据锐角三角函数即可求出 O 的半径． 【解答】解：（1） ADC G   ，   AC AD ， AB 为 O 的直径，   BC BD ， 1 2   ； （2）如图，连接 DF ，   AC AD ， AB 是 O 的直径， AB CD  ， CE DE ， 10FD FC   ， 点 C ， F 关于 DG 对称， 10DC DF   ， 5DE  ， 2tan 1 5   ， tan 1 2EB DE    ， 1 2   ， 2tan 2 5    ， 25 tan 2 2 DEAE   ， 29 2AB AE EB    ， O 的半径为 29 4 ． 【点评】本题考查了圆周角定理、轴对称的性质、解直角三角形，解决本题的关键是掌握轴 对称的性质． 23．（12 分）某经销商 3 月份用 18000 元购进一批T 恤衫售完后，4 月份用 39000 元购进一 批相同的T 恤衫，数量是 3 月份的 2 倍，但每件进价涨了 10 元． （1）4 月份进了这批T 恤衫多少件？ （2）4 月份，经销商将这批T 恤衫平均分给甲、乙两家分店销售，每件标价 180 元．甲店 按标价卖出 a件以后，剩余的按标价八折全部售出；乙店同样按标价卖出 a 件，然后将 b 件 按标价九折售出，再将剩余的按标价七折全部售出，结果利润与甲店相同． ①用含 a的代数式表示 b ． ②已知乙店按标价售出的数量不超过九折售出的数量，请你求出乙店利润的最大值． 【分析】（1）根据 4 月份用 39000 元购进一批相同的T 恤衫，数量是 3 月份的 2 倍，可以得 到相应的分式方程，从而可以求得 4 月份进了这批T 恤衫多少件； （2）①根据甲乙两店的利润相同，可以得到关于 a 、 b 的方程，然后化简，即可用含 a 的 代数式表示 b ； ②根据题意，可以得到利润与 a 的函数关系式，再根据乙店按标价售出的数量不超过九折售 出的数量，可以得到 a的取值范围，从而可以求得乙店利润的最大值． 【解答】解：（1）设 3 月份购进 x 件T 恤衫， 18000 3900010 2x x   ， 解得， 150x  ， 经检验， 150x  是原分式方程的解， 则 2 300x  ， 答：4 月份进了这批T 恤衫 300 件； （2）①每件T 恤衫的进价为：39000 300 130  （元 ) ， (180 130) (180 0.8 130)(150 ) (180 130) (180 0.9 130) (180 0.7 130)(150 )a a a b a b               化简，得 150 2 ab  ； ②设乙店的利润为 w 元， 150(180 130) (180 0.9 130) (180 0.7 130)(150 ) 54 36 600 54 36 600 36 21002 aw a b a b a b a a                   ， 乙店按标价售出的数量不超过九折售出的数量， a b „ ， 即 150 2 aa  „ ， 解得， 50a„ ， 当 50a  时， w 取得最大值，此时 3900w  ， 答：乙店利润的最大值是 3900 元． 【点评】本题考查一次函数的应用、分式方程的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一 次函数的性质和分式方程的知识解答，注意分式方程要检验． 24．（14 分）如图，在四边形 ABCD 中， 90A C     ，DE ，BF 分别平分 ADC ， ABC ， 并交线段 AB ，CD 于点 E ，F（点 E ，B 不重合）．在线段 BF 上取点 M ，N（点 M 在 BN 之间），使 2BM FN ．当点 P 从点 D 匀速运动到点 E 时，点 Q 恰好从点 M 匀速运动到点 N ．记 QN x ， PD y ，已知 6 125y x   ，当 Q 为 BF 中点时， 24 5y  ． （1）判断 DE 与 BF 的位置关系，并说明理由． （2）求 DE ， BF 的长． （3）若 6AD  ． ①当 DP DF 时，通过计算比较 BE 与 BQ 的大小关系． ②连结 PQ ，当 PQ 所在直线经过四边形 ABCD 的一个顶点时，求所有满足条件的 x 的值． 【分析】（1）推出 AED ABF   ，即可得出 / /DE BF ； （2）求出 12DE  ， 10MN  ，把 24 5y  代入 6 125y x   ，解得 6x  ，即 6NQ  ，得出 4QM  ，由 FQ QB ， 2BM FN ，得出 2FN  ， 4BM  ，即可得出结果； （3）连接 EM 并延长交 BC 于点 H ，易证四边形 DFME 是平行四边形，得出 DF EM ， 求出 30DEA FBE FBC       ， 60ADE CDE FME      ， 30MEB FBE     ， 得出 90EHB   ， 4DF EM BM   ， 2MH  ， 6EH  ，由勾股定理得 2 3HB  ， 4 3BE  ，当 DP DF 时，求出 22 3BQ  ，即可得出 BQ BE ； ②（Ⅰ）当 PQ 经过点 D 时， 0y  ，则 10x  ； （Ⅱ）当 PQ 经过点 C 时，由 / /FQ DP ，得出 CFQ CDP ∽ ，则 FQ CF DP CD  ，即可求出 10 3x  ； （Ⅲ）当 PQ 经过点 A 时，由 / /PE BQ ，得出 APE AQB ∽ ，则 PE AE BQ AB  ，求出 6 3AE  ， 10 3AB  ，即可得出 14 3x  ，由图可知， PQ 不可能过点 B ． 【解答】解：（1） DE 与 BF 的位置关系为： / /DE BF ，理由如下： 如图 1 所示： 90A C     ， 360 ( ) 180ADC ABC A C           ， DE 、 BF 分别平分 ADC 、 ABC ， 1 2ADE ADC   ， 1 2ABF ABC   ， 1 180 902ADE ABF        ， 90ADE AED     ， AED ABF   ， / /DE BF ； （2）令 0x  ，得 12y  ， 12DE  ， 令 0y  ，得 10x  ， 10MN  ， 把 24 5y  代入 6 125y x   ， 解得： 6x  ，即 6NQ  ， 10 6 4QM    ， Q 是 BF 中点， FQ QB  ， 2BM FN ， 6 4 2FN FN    ， 解得： 2FN  ， 4BM  ， 16BF FN MN MB     ； （3）①连接 EM 并延长交 BC 于点 H ，如图 2 所示： 2 10 12FM DE    ， / /DE BF ， 四边形 DFME 是平行四边形， DF EM  ， 6AD  ， 12DE  ， 90A   ， 30DEA   ， 30DEA FBE FBC      ， 60ADE   ， 60ADE CDE FME       ， 120DFM DEM     ， 180 120 30 30MEB         ， 30MEB FBE     ， 180 30 30 30 90EHB          ， 4DF EM BM   ， 1 22MH BM   ， 4 2 6EH    ， 由勾股定理得： 2 2 2 24 2 2 3HB BM MH     ， 2 2 2 26 (2 3) 4 3BE EH HB      ， 当 DP DF 时， 6 12 45 x   ， 解得： 20 3x  ， 20 2214 14 3 3BQ x      ，  22 4 33  ， BQ BE  ； ②（Ⅰ）当 PQ 经过点 D 时，如图 3 所示： 0y  ， 则 10x  ； （Ⅱ）当 PQ 经过点 C 时，如图 4 所示： 16BF  ， 90FCB   ， 30CBF   ， 1 82CF BF   ， 8 4 12CD    ， / /FQ DP ， CFQ CDP ∽ ，  FQ CF DP CD  ，  2 8 6 12125 x x     ， 解得： 10 3x  ； （Ⅲ）当 PQ 经过点 A 时，如图 5 所示： / /PE BQ ， APE AQB ∽ ，  PE AE BQ AB  ， 由勾股定理得： 2 2 2 212 6 6 3AE DE AD     ， 6 3 4 3 10 3AB    ，  612 ( 12) 6 35 14 10 3 x x     ， 解得： 14 3x  ， 由图可知， PQ 不可能过点 B ； 综上所述，当 10x  或 10 3x  或 14 3x  时， PQ 所在的直线经过四边形 ABCD 的一个顶点． 【点评】本题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的的判定与性质、勾股定理、角平分 线的性质、平行线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、含30 角的直角三角形的性质 等知识；本题综合性强，难度较大，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．