2017年湖北省十堰市中考数学试卷

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文档介绍

2017年湖北省十堰市中考数学试卷

‎2017年湖北省十堰市中考数学试卷 ‎ ‎ 一、选择题:‎ ‎1.(3分)气温由﹣2℃上升3℃后是(  )℃.‎ A.1 B.3 C.5 D.﹣5‎ ‎2.(3分)如图的几何体,其左视图是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎3.(3分)如图,AB∥DE,FG⊥BC于F,∠CDE=40°,则∠FGB=(  )‎ A.40° B.50° C.60° D.70°‎ ‎4.(3分)下列运算正确的是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎5.(3分)某交警在一个路口统计的某时段来往车辆的车速情况如表:‎ 车速(km/h)‎ ‎48‎ ‎49‎ ‎50‎ ‎51‎ ‎52‎ 车辆数(辆)‎ ‎5‎ ‎4‎ ‎8‎ ‎2‎ ‎1‎ 则上述车速的中位数和众数分别是(  )‎ A.50,8 B.50,50 C.49,50 D.49,8‎ ‎6.(3分)下列命题错误的是(  )‎ A.对角线互相平分的四边形是平行四边形 B.对角线相等的平行四边形是矩形 C.一条对角线平分一组对角的四边形是菱形 D.对角线互相垂直的矩形是正方形 ‎7.(3分)甲、乙二人做某种机械零件,甲每小时比乙多做6个,甲做90个所用的时间与做60个所用的时间相等.设甲每小时做x个零件,下面所列方程正确的是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎8.(3分)如图,已知圆柱的底面直径BC=,高AB=3,小虫在圆柱表面爬行,从C点爬到A点,然后再沿另一面爬回C点,则小虫爬行的最短路程为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎9.(3分)如图,10个不同的正偶数按下图排列,箭头上方的每个数都等于其下方两数的和,如,表示a1=a2+a3,则a1的最小值为(  )‎ A.32 B.36 C.38 D.40‎ ‎10.(3分)如图,直线y=x﹣6分别交x轴,y轴于A,B,M是反比例函数y=(x>0)的图象上位于直线上方的一点,MC∥x轴交AB于C,MD⊥MC交AB于D,AC•BD=4,则k的值为(  )‎ A.﹣3 B.﹣4 C.﹣5 D.﹣6‎ ‎ ‎ 二、填空题 ‎11.(3分)某颗粒物的直径是0.0000025,把0.0000025用科学记数法表示为   .‎ ‎12.(3分)若a﹣b=1,则代数式2a﹣2b﹣1的值为   .‎ ‎13.(3分)如图,菱形ABCD中,AC交BD于O,DE⊥BC于E,连接OE,若∠ABC=140°,则∠OED=   .‎ ‎14.(3分)如图,△ABC内接于⊙O,∠ACB=90°,∠ACB的角平分线交⊙O于D.若AC=6,BD=5,则BC的长为   .‎ ‎15.(3分)如图,直线y=kx和y=ax+4交于A(1,k),则不等式kx﹣6<ax+4<kx的解集为   .‎ ‎16.(3分)如图,正方形ABCD中,BE=EF=FC,CG=2GD,BG分别交AE,AF于M,N.下列结论:①AF⊥BG;②BN=NF;③=;④S四边形CGNF=S四边形ANGD.其中正确的结论的序号是   .‎ ‎ ‎ 三、解答题(本大题共9小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)‎ ‎17.(5分)计算:|﹣2|+﹣(﹣1)2017.‎ ‎18.(6分)化简:(+)÷.‎ ‎19.(7分)如图,海中有一小岛A,它周围8海里内有暗礁,渔船跟踪鱼群由西向东航行,在B点测得小岛A在北偏东60°方向上,航行12海里到达D点,这时测得小岛A在北偏东30°方向上.如果渔船不改变航线继续向东航行,有没有触礁的危险?‎ ‎20.(9分)某中学艺术节期间,学校向学生征集书画作品,杨老师从全校30个班中随机抽取了4个班(用A,B,C,D表示),对征集到的作品的数量进行了分析统计,制作了两幅不完整的统计图.‎ 请根据以上信息,回答下列问题:‎ ‎(1)杨老师采用的调查方式是   (填“普查”或“抽样调查”);‎ ‎(2)请你将条形统计图补充完整,并估计全校共征集多少件作品?‎ ‎(3)如果全校征集的作品中有5件获得一等奖,其中有3名作者是男生,2名作者是女生,现要在获得一等奖的作者中选取两人参加表彰座谈会,请你用列表或树状图的方法,求恰好选取的两名学生性别相同的概率.‎ ‎21.(7分)已知关于x的方程x2+(2k﹣1)x+k2﹣1=0有两个实数根x1,x2.‎ ‎(1)求实数k的取值范围;‎ ‎(2)若x1,x2满足x12+x22=16+x1x2,求实数k的值.‎ ‎22.(8分)某超市销售一种牛奶,进价为每箱24元,规定售价不低于进价.现在的售价为每箱36元,每月可销售60箱.市场调查发现:若这种牛奶的售价每降价1元,则每月的销量将增加10箱,设每箱牛奶降价x元(x为正整数),每月的销量为y箱.‎ ‎(1)写出y与x中间的函数关系书和自变量x的取值范围;‎ ‎(2)超市如何定价,才能使每月销售牛奶的利润最大?最大利润是多少元?‎ ‎23.(8分)已知AB为⊙O的直径,BC⊥AB于B,且BC=AB,D为半圆⊙O上的一点,连接BD并延长交半圆⊙O的切线AE于E.‎ ‎(1)如图1,若CD=CB,求证:CD是⊙O的切线;‎ ‎(2)如图2,若F点在OB上,且CD⊥DF,求的值.‎ ‎24.(10分)已知O为直线MN上一点,OP⊥MN,在等腰Rt△ABO中,∠BAO=90°,AC∥OP交OM于C,D为OB的中点,DE⊥DC交MN于E.‎ ‎(1)如图1,若点B在OP上,则 ‎①AC   OE(填“<”,“=”或“>”);‎ ‎②线段CA、CO、CD满足的等量关系式是   ;‎ ‎(2)将图1中的等腰Rt△ABO绕O点顺时针旋转α(0°<α<45°),如图2,那么(1)中的结论②是否成立?请说明理由;‎ ‎(3)将图1中的等腰Rt△ABO绕O点顺时针旋转α(45°<α<90°),请你在图3中画出图形,并直接写出线段CA、CO、CD满足的等量关系式   .‎ ‎25.(12分)抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(1,0),B(m,0),与y轴交于C.‎ ‎(1)若m=﹣3,求抛物线的解析式,并写出抛物线的对称轴;‎ ‎(2)如图1,在(1)的条件下,设抛物线的对称轴交x轴于D,在对称轴左侧的抛物线上有一点E,使S△ACE=S△ACD,求点E的坐标;‎ ‎(3)如图2,设F(﹣1,﹣4),FG⊥y于G,在线段OG上是否存在点P,使∠OBP=∠FPG?若存在,求m的取值范围;若不存在,请说明理由.‎ ‎ ‎ ‎2017年湖北省十堰市中考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题:‎ ‎1.(3分)(2017•十堰)气温由﹣2℃上升3℃后是(  )℃.‎ A.1 B.3 C.5 D.﹣5‎ ‎【分析】根据有理数的加法,可得答案.‎ ‎【解答】解:由题意,得 ‎﹣2+3=+(3﹣2)=1,‎ 故选:A.‎ ‎【点评】本题考查了有理数的加法,异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减较小的绝对值.‎ ‎ ‎ ‎2.(3分)(2017•十堰)如图的几何体,其左视图是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【分析】根据从左边看得到的图象是左视图,可得答案.‎ ‎【解答】解:从左边看第一层是两个小正方形,第二层左边一个小正方形,‎ 故选:B.‎ ‎【点评】本题考查了简单组合体的三视图,从左边看得到的图象是左视图.‎ ‎ ‎ ‎3.(3分)(2017•十堰)如图,AB∥DE,FG⊥BC于F,∠CDE=40°,则∠FGB=(  )‎ A.40° B.50° C.60° D.70°‎ ‎【分析】先根据平行线的性质,得到∠B=∠CDE=40°,直观化FG⊥BC,即可得出∠FGB的度数.‎ ‎【解答】解:∵AB∥DE,∠CDE=40°,‎ ‎∴∠B=∠CDE=40°,‎ 又∵FG⊥BC,‎ ‎∴∠FGB=90°﹣∠B=50°,‎ 故选:B.‎ ‎【点评】本题主要考查了平行线的性质,解题时注意:两直线平行,同位角相等.‎ ‎ ‎ ‎4.(3分)(2017•十堰)下列运算正确的是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【分析】根据二次根式的加减法对A、D进行判断;根据二次根式的乘法法则对B进行判断;根据二次根式的除法法则对D进行判断.‎ ‎【解答】解:A、与不能合并,所以A选项错误;‎ B、原式=6×2=12,所以B选项错误;‎ C、原式==2,所以C选项准确;‎ D、原式=2,所以D选项错误.‎ 故选C.‎ ‎【点评】本题考查了二次根式的混合运算:先把二次根式化为最简二次根式,然后进行二次根式的乘除运算,再合并即可.在二次根式的混合运算中,如能结合题目特点,灵活运用二次根式的性质,选择恰当的解题途径,往往能事半功倍.‎ ‎ ‎ ‎5.(3分)(2017•十堰)某交警在一个路口统计的某时段来往车辆的车速情况如表:‎ 车速(km/h)‎ ‎48‎ ‎49‎ ‎50‎ ‎51‎ ‎52‎ 车辆数(辆)[来源:Z&xx&k.Com]‎ ‎5‎ ‎4‎ ‎8‎ ‎2‎ ‎1‎ 则上述车速的中位数和众数分别是(  )‎ A.50,8 B.50,50 C.49,50 D.49,8‎ ‎【分析】把这组数据按照从小到大的顺序排列,第10、11个数的平均数是中位数,在这组数据中出现次数最多的是50,得到这组数据的众数.‎ ‎【解答】解:要求一组数据的中位数,‎ 把这组数据按照从小到大的顺序排列,第10、11两个数的平均数是50,‎ 所以中位数是50,‎ 在这组数据中出现次数最多的是50,‎ 即众数是50.‎ 故选:B.‎ ‎【点评】本题考查一组数据的中位数和众数,在求中位数时,首先要把这列数字按照从小到大或从的大到小排列,找出中间一个数字或中间两个数字的平均数即为所求.‎ ‎ ‎ ‎6.(3分)(2017•十堰)下列命题错误的是(  )‎ A.对角线互相平分的四边形是平行四边形 B.对角线相等的平行四边形是矩形 C.一条对角线平分一组对角的四边形是菱形 D.对角线互相垂直的矩形是正方形 ‎【分析】利用平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定定理分别判断后即可确定正确的选项.‎ ‎【解答】解:A、对角线互相平分的四边形是平行四边形是正确的,不符合题意;‎ B、对角线相等的平行四边形是矩形是正确的,不符合题意;‎ C、一条对角线平分一组对角的四边形不一定是菱形,原来的说法错误,符合题意;‎ D、对角线互相垂直的矩形是正方形是正确的,不符合题意.‎ 故选C.‎ ‎【点评】本题考查了命题与定理的知识,解题的关键是了解平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定定理,难度不大.‎ ‎ ‎ ‎7.(3分)(2017•十堰)甲、乙二人做某种机械零件,甲每小时比乙多做6个,甲做90个所用的时间与做60个所用的时间相等.设甲每小时做x个零件,下面所列方程正确的是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【分析】设甲每小时做x个零件,根据题意可得,甲做90个所用的时间与乙做60个所用的时间相等,据此列方程.‎ ‎【解答】解:设甲每小时做x个零件,则乙每小时做(x﹣6)个零件,‎ 由题意得,=.‎ 故选A.‎ ‎【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程,解答本题的关键是读懂题意,设出未知数,找出合适的等量关系,列方程.‎ ‎ ‎ ‎8.(3分)(2017•十堰)如图,已知圆柱的底面直径BC=,高AB=3,小虫在圆柱表面爬行,从C点爬到A点,然后再沿另一面爬回C点,则小虫爬行的最短路程为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【分析】‎ 要求最短路径,首先要把圆柱的侧面展开,利用两点之间线段最短,然后利用勾股定理即可求解.‎ ‎【解答】解:把圆柱侧面展开,展开图如右图所示,点A、C的最短距离为线段AC的长.‎ 在RT△ADC中,∠ADC=90°,CD=AB=3,AD为底面半圆弧长,AD=3,‎ 所以AC=3,‎ ‎∴从C点爬到A点,然后再沿另一面爬回C点,则小虫爬行的最短路程为2AC=6,‎ 故选D.‎ ‎【点评】本题考查了平面展开﹣最短路径问题,解题的关键是会将圆柱的侧面展开,并利用勾股定理解答.‎ ‎ ‎ ‎9.(3分)(2017•十堰)如图,10个不同的正偶数按下图排列,箭头上方的每个数都等于其下方两数的和,如,表示a1=a2+a3,则a1的最小值为(  )‎ A.32 B.36 C.38 D.40‎ ‎【分析】由a1=a7+3(a8+a9)+a10知要使a1取得最小值,则a8+a9应尽可能的小,取a8=2、a9=4,根据a5=a8+a9=6,则a7、a10中不能有6,据此对于a7、a10,分别取8、10、12、14检验可得,从而得出答案.‎ ‎【解答】解:∵a1=a2+a3‎ ‎=a4+a5+a5+a6‎ ‎=a7+a8+a8+a9+a8+a9+a9+a10‎ ‎=a7+3(a8+a9)+a10,‎ ‎∴要使a1取得最小值,则a8+a9应尽可能的小,‎ 取a8=2、a9=4,‎ ‎∵a5=a8+a9=6,‎ 则a7、a10中不能有6,‎ 若a10=8,则a6=a9+a10=12,‎ ‎∴a7=14,则a4=14+2=16、a2=16+6=22、a3=6+12=18、a1=18+22=40;‎ 综上,a1的最小值为40,‎ 故选:D.‎ ‎【点评】本题主要考查数字的变化类,根据题目要求得出a1取得最小值的切入点是解题的关键.‎ ‎ ‎ ‎10.(3分)(2017•十堰)如图,直线y=x﹣6分别交x轴,y轴于A,B,M是反比例函数y=(x>0)的图象上位于直线上方的一点,MC∥x轴交AB于C,MD⊥MC交AB于D,AC•BD=4,则k的值为(  )‎ A.﹣3 B.﹣4 C.﹣5 D.﹣6‎ ‎【分析】过点D作DE⊥y轴于点E,过点C作CF⊥x轴于点F,然后求出OA与OB的长度,即可求出∠‎ OAB的正弦值与余弦值,再设M(x,y),从而可表示出BD与AC的长度,根据AC•BD=4列出即可求出k的值.‎ ‎【解答】解:过点D作DE⊥y轴于点E,过点C作CF⊥x轴于点F,‎ 令x=0代入y=x﹣6,‎ ‎∴y=﹣6,‎ ‎∴B(0,﹣6),‎ ‎∴OB=6,‎ 令y=0代入y=x﹣6,‎ ‎∴x=2,‎ ‎∴(2,0),‎ ‎∴OA=2,‎ ‎∴勾股定理可知:AB=4,[来源:学科网ZXXK]‎ ‎∴sin∠OAB==,cos∠OAB==‎ 设M(x,y),‎ ‎∴CF=﹣y,ED=x,‎ ‎∴sin∠OAB=,‎ ‎∴AC=﹣y,‎ ‎∵cos∠OAB=cos∠EDB=,‎ ‎∴BD=2x,‎ ‎∵AC•BD=4,‎ ‎∴﹣y×2x=4,‎ ‎∴xy=﹣3,‎ ‎∵M在反比例函数的图象上,‎ ‎∴k=xy=﹣3,‎ 故选(A)‎ ‎【点评】本题考查反比例函数与一次函数的综合问题,解题的关键是根据∠OAB的锐角三角函数值求出BD、AC,本题属于中等题型.‎ ‎ ‎ 二、填空题 ‎11.(3分)(2017•十堰)某颗粒物的直径是0.0000025,把0.0000025用科学记数法表示为 2.5×10﹣6 .‎ ‎【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示,一般形式为a×10﹣n,与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂,指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.‎ ‎【解答】解:0.0000025用科学记数法表示为2.5×10﹣6,‎ 故答案为:2.5×10﹣6.‎ ‎【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数,一般形式为a×10﹣n,其中1≤|a|<10,n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.‎ ‎ ‎ ‎12.(3分)(2017•十堰)若a﹣b=1,则代数式2a﹣2b﹣1的值为 1 .‎ ‎【分析】原式前两项提取2变形后,将a﹣b=1代入计算即可求出值.‎ ‎【解答】解:∵a﹣b=1,‎ ‎∴原式=2(a﹣b)﹣1=2﹣1=1.‎ 故答案为:1.‎ ‎【点评】此题考查了代数式求值,利用了整体代入的思想,熟练掌握运算法则是解本题的关键.‎ ‎ ‎ ‎13.(3分)(2017•十堰)如图,菱形ABCD中,AC交BD于O,DE⊥BC于E,连接OE,若∠ABC=140°,则∠OED= 20° .‎ ‎【分析】由菱形的性质可知O为BD中点,所以OE为直角三角形BED斜边上的中线,由此可得OE=OB,根据等腰三角形的性质和已知条件即可求出∠OED的度数.‎ ‎【解答】解:‎ ‎∵四边形ABCD是菱形,‎ ‎∴DO=OB,‎ ‎∵DE⊥BC于E,‎ ‎∴OE为直角三角形BED斜边上的中线,‎ ‎∴OE=BD,‎ ‎∴OB=OE,‎ ‎∴∠OBE=∠OEB,‎ ‎∵∠ABC=140°,‎ ‎∴∠OBE=70°,‎ ‎∴∠OED=90°﹣70°=20°,‎ 故答案为:20°.‎ ‎【点评】本题考查了菱形的性质、直角三角形斜边上中线的性质,得到OE为直角三角形BED斜边上的中线是解题的关键.‎ ‎ ‎ ‎14.(3分)(2017•十堰)如图,△ABC内接于⊙O,∠ACB=90°,∠ACB的角平分线交⊙O于D.若AC=6,BD=5,则BC的长为 8 .‎ ‎【分析】连接BD,根据CD是∠ACB的平分线可知∠ACD=∠BCD=45°,故可得出AD=BD,再由AB是⊙O的直径可知△ABD是等腰直角三角形,利用勾股定理求出AB的长,在Rt△ABC中,利用勾股定理可得出BC的长.‎ ‎【解答】解:连接BD,‎ ‎∵∠ACB=90°,‎ ‎∴AB是⊙O的直径.‎ ‎∵ACB的角平分线交⊙O于D,‎ ‎∴∠ACD=∠BCD=45°,‎ ‎∴AD=BD=5.‎ ‎∵AB是⊙O的直径,‎ ‎∴△ABD是等腰直角三角形,‎ ‎∴AB===10.‎ ‎∵AC=6,‎ ‎∴BC===8.‎ 故答案为:8.‎ ‎【点评】本题考查的是圆周角定理,熟知直径所对的圆周角是直角是解答此题的关键.‎ ‎ ‎ ‎15.(3分)(2017•十堰)如图,直线y=kx和y=ax+4交于A(1,k),则不等式kx﹣6<ax+4<kx的解集为 1<x< .‎ ‎【分析】根据题意得由OB=4,OC=6,根据直线y=kx平行于直线y=kx﹣6,得到===,分别过A,D作AM⊥x轴于M,DN⊥x轴于N,则AM∥DN∥y轴,根据平行线分线段成比例定理得到==,得到ON=,求得D点的横坐标是,于是得到结论.‎ ‎【解答】解:如图,由y=kx﹣6与y=ax+4得OB=4,OC=6,‎ ‎∵直线y=kx平行于直线y=kx﹣6,‎ ‎∴===,‎ 分别过A,D作AM⊥x轴于M,DN⊥x轴于N,‎ 则AM∥DN∥y轴,[来源:学科网ZXXK]‎ ‎∴==,‎ ‎∵A(1,k),‎ ‎∴OM=1,‎ ‎∴MN=,‎ ‎∴ON=,‎ ‎∴D点的横坐标是,‎ ‎∴1<x<时,kx﹣6<ax+4<kx,‎ 故答案为:1<x<.‎ ‎【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式,此类题目,利用数形结合的思想求解是解题的关键.‎ ‎ ‎ ‎16.(3分)(2017•十堰)如图,正方形ABCD中,BE=EF=FC,CG=2GD,BG分别交AE,AF于M,N.下列结论:①AF⊥BG;②BN=NF;③=;④S四边形CGNF=S四边形ANGD.其中正确的结论的序号是 ①③ .‎ ‎【分析】①易证△ABF≌△BCG,即可解题;‎ ‎②易证△BNF∽△BCG,即可求得的值,即可解题;‎ ‎③作EH⊥AF,令AB=3,即可求得MN,BM的值,即可解题;‎ ‎④连接AG,FG,根据③中结论即可求得S四边形CGNF和S四边形ANGD,即可解题.‎ ‎【解答】解:①∵四边形ABCD为正方形,‎ ‎∴AB=BC=CD,‎ ‎∵BE=EF=FC,CG=2GD,‎ ‎∴BF=CG,‎ ‎∵在△ABF和△BCG中,,‎ ‎∴△ABF≌△BCG,‎ ‎∴∠BAF=∠CBG,‎ ‎∵∠BAF+∠BFA=90°,‎ ‎∴∠CBG+∠BFA=90°,即AF⊥BG;①正确;‎ ‎②∵在△BNF和△BCG中,,‎ ‎∴△BNF∽△BCG,∴==,‎ ‎∴BN=NF;②错误;‎ ‎③作EH⊥AF,令AB=3,则BF=2,BE=EF=CF=1,‎ AF==,‎ ‎∵S△ABF=AF•BN=AB•BF,‎ ‎∴BN=,NF=BN=,‎ ‎∴AN=AF﹣NF=,‎ ‎∵E是BF中点,‎ ‎∴EH是△BFN的中位线,‎ ‎∴EH=,NH=,BN∥EH,‎ ‎∴AH=,=,解得:MN=,‎ ‎∴BM=BN﹣MN=,MG=BG﹣BM=,‎ ‎∴=;③正确;‎ ‎④连接AG,FG,根据③中结论,‎ 则NG=BG﹣BN=,‎ ‎∵S四边形CGNF=S△CFG+S△GNF=CG•CF+NF•NG=1+=,‎ S四边形ANGD=S△ANG+S△ADG=AN•GN+AD•DG=+=,‎ ‎∴S四边形CGNF≠S四边形ANGD,④错误;‎ 故答案为 ①③.‎ ‎【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质,考查了相似三角形的判定和对应边比例相等的性质,本题中令AB=3求得AN,BN,NG,NF的值是解题的关键.‎ ‎ ‎ 三、解答题(本大题共9小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)‎ ‎17.(5分)(2017•十堰)计算:|﹣2|+﹣(﹣1)2017.‎ ‎【分析】原式利用绝对值的代数意义,立方根定义,以及乘方的意义计算即可得到结果.‎ ‎【解答】解:原式=2﹣2+1=1.‎ ‎【点评】此题考查了实数的运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.‎ ‎ ‎ ‎18.(6分)(2017•十堰)化简:(+)÷.‎ ‎【分析】根据分式的加法和除法可以解答本题.‎ ‎【解答】解:(+)÷‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=.‎ ‎【点评】本题考查分式的混合运算,解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法.‎ ‎ ‎ ‎19.(7分)(2017•十堰)如图,海中有一小岛A,它周围8海里内有暗礁,渔船跟踪鱼群由西向东航行,在B点测得小岛A在北偏东60°方向上,航行12海里到达D点,这时测得小岛A在北偏东30°方向上.如果渔船不改变航线继续向东航行,有没有触礁的危险?‎ ‎【分析】过A作AC⊥BD于点C,求出∠CAD、∠CAB的度数,求出∠BAD和∠ABD,根据等边对等角得出AD=BD=12,根据含30度角的直角三角形性质求出CD,根据勾股定理求出AD即可.‎ ‎【解答】解:只要求出A到BD的最短距离是否在以A为圆心,以8海里的圆内或圆上即可,‎ 如图,过A作AC⊥BD于点C,则AC的长是A到BD的最短距离,‎ ‎∵∠CAD=30°,∠CAB=60°,‎ ‎∴∠BAD=60°﹣30°=30°,∠ABD=90°﹣60°=30°,‎ ‎∴∠ABD=∠BAD,‎ ‎∴BD=AD=12海里,‎ ‎∵∠CAD=30°,∠ACD=90°,‎ ‎∴CD=AD=6海里,‎ 由勾股定理得:AC==6≈10.392>8,‎ 即渔船继续向正东方向行驶,没有触礁的危险.‎ ‎【点评】考查了勾股定理的应用和解直角三角形,此题是一道方向角问题,结合航海中的实际问题,将解直角三角形的相关知识有机结合,体现了数学应用于实际生活的思想.‎ ‎ ‎ ‎20.(9分)(2017•十堰)某中学艺术节期间,学校向学生征集书画作品,杨老师从全校30个班中随机抽取了4个班(用A,B,C,D表示),对征集到的作品的数量进行了分析统计,制作了两幅不完整的统计图.‎ 请根据以上信息,回答下列问题:‎ ‎(1)杨老师采用的调查方式是 抽样调查 (填“普查”或“抽样调查”);‎ ‎(2)请你将条形统计图补充完整,并估计全校共征集多少件作品?‎ ‎(3)如果全校征集的作品中有5件获得一等奖,其中有3名作者是男生,2名作者是女生,现要在获得一等奖的作者中选取两人参加表彰座谈会,请你用列表或树状图的方法,求恰好选取的两名学生性别相同的概率.‎ ‎【分析】(1)杨老师从全校30个班中随机抽取了4个班,属于抽样调查.‎ ‎(2)由题意得:所调查的4个班征集到的作品数为:6÷=24(件),C班作品的件数为:24﹣4﹣6﹣4=10(件);继而可补全条形统计图;‎ ‎(3)首先根据题意画出树状图,然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好抽中一男一女的情况,再利用概率公式即可求得答案.‎ ‎【解答】解:(1)杨老师从全校30个班中随机抽取了4个班,属于抽样调查.‎ 故答案为抽样调查.‎ ‎(2)所调查的4个班征集到的作品数为:6÷=24件,‎ 平均每个班=6件,C班有10件,‎ ‎∴估计全校共征集作品6×30=180件.‎ 条形图如图所示,‎ ‎(3)画树状图得:‎ ‎∵共有20种等可能的结果,两名学生性别相同的有8种情况,‎ ‎∴恰好抽中一男一女的概率为:=.‎ ‎【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用,读懂统计图,从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据;扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.同时考查了概率公式.‎ ‎ ‎ ‎21.(7分)(2017•十堰)已知关于x的方程x2+(2k﹣1)x+k2﹣1=0有两个实数根x1,x2.‎ ‎(1)求实数k的取值范围;‎ ‎(2)若x1,x2满足x12+x22=16+x1x2,求实数k的值.‎ ‎【分析】(1)根据方程的系数结合根的判别式,即可得出△=﹣4k+5≥0,解之即可得出实数k的取值范围;‎ ‎(2)由根与系数的关系可得x1+x2=1﹣2k、x1•x2=k2﹣1,将其代入x12+x22=(x1+x2)2﹣2x1•x2=16+x1•x2中,解之即可得出k的值.‎ ‎【解答】解:(1)∵关于x的方程x2+(2k﹣1)x+k2﹣1=0有两个实数根x1,x2,‎ ‎∴△=(2k﹣1)2﹣4(k2﹣1)=﹣4k+5≥0,‎ 解得:k≤,‎ ‎∴实数k的取值范围为k≤.‎ ‎(2)∵关于x的方程x2+(2k﹣1)x+k2﹣1=0有两个实数根x1,x2,‎ ‎∴x1+x2=1﹣2k,x1•x2=k2﹣1.‎ ‎∵x12+x22=(x1+x2)2﹣2x1•x2=16+x1•x2,‎ ‎∴(1﹣2k)2﹣2×(k2﹣1)=16+(k2﹣1),即k2﹣4k﹣12=0,[来源:Zxxk.Com]‎ 解得:k=﹣2或k=6(不符合题意,舍去).‎ ‎∴实数k的值为﹣2.‎ ‎【点评】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式,解题的关键是:(1)根据方程的系数结合根的判别式,找出△=﹣4k+5≥0;(2)根据根与系数的关系结合x12+x22=16+x1x2,找出关于k的一元二次方程.‎ ‎ ‎ ‎22.(8分)(2017•十堰)某超市销售一种牛奶,进价为每箱24元,规定售价不低于进价.现在的售价为每箱36元,每月可销售60箱.市场调查发现:若这种牛奶的售价每降价1元,则每月的销量将增加10箱,设每箱牛奶降价x元(x为正整数),每月的销量为y箱.‎ ‎(1)写出y与x中间的函数关系书和自变量x的取值范围;‎ ‎(2)超市如何定价,才能使每月销售牛奶的利润最大?最大利润是多少元?‎ ‎【分析】(1)根据价格每降低1元,平均每天多销售10箱,由每箱降价x元,多卖10x,据此可以列出函数关系式;‎ ‎(2)由利润=(售价﹣成本)×销售量列出函数关系式,求出最大值.‎ ‎【解答】解:(1)根据题意,得:y=60+10x,‎ 由36﹣x≥24得x≤12,‎ ‎∴1≤x≤12,且x为整数;‎ ‎(2)设所获利润为W,‎ 则W=(36﹣x﹣24)(10x+60)‎ ‎=﹣10x2+60x+720‎ ‎=﹣10(x﹣3)2+810,‎ ‎∴当x=3时,W取得最大值,最大值为810,‎ 答:超市定价为33元时,才能使每月销售牛奶的利润最大,最大利润是810元.‎ ‎【点评】本题主要考查二次函数的应用,由利润=(售价﹣成本)×销售量列出函数关系式求最值,用二次函数解决实际问题是解题的关键.‎ ‎ ‎ ‎23.(8分)(2017•十堰)已知AB为⊙O的直径,BC⊥AB于B,且BC=AB,D为半圆⊙O上的一点,连接BD并延长交半圆⊙O的切线AE于E.‎ ‎(1)如图1,若CD=CB,求证:CD是⊙O的切线;‎ ‎(2)如图2,若F点在OB上,且CD⊥DF,求的值.‎ ‎【分析】(1)连接DO,CO,易证△CDO≌△CBO,即可解题;‎ ‎(2)连接AD,易证△ADF∽△BDC和△ADE∽△BDA,根据相似三角形对应边比例相等的性质即可解题.‎ ‎【解答】解:(1)连接DO,CO,‎ ‎∵BC⊥AB于B,‎ ‎∴∠ABC=90°,‎ 在△CDO与△CBO中,,‎ ‎∴△CDO≌△CBO,‎ ‎∴∠CDO=∠CBO=90°,‎ ‎∴OD⊥CD,‎ ‎∴CD是⊙O的切线;‎ ‎(2)连接AD,‎ ‎∵AB是直径,∴∠ADB=90°,‎ ‎∴∠ADF+∠BDF=90°,∠DAB+∠DBA=90°,‎ ‎∵∠BDF+∠BDC=90°,∠CBD+∠DBA=90°,‎ ‎∴∠ADF=∠BDC,∠DAB=∠CBD,‎ ‎∵在△ADF和△BDC中,,‎ ‎∴△ADF∽△BDC,‎ ‎∴=,‎ ‎∵∠DAE+∠DAB=90°,∠E+∠DAE=90°,‎ ‎∴∠E=∠DAB,‎ ‎∵在△ADE和△BDA中,,‎ ‎∴△ADE∽△BDA,‎ ‎∴=,[来源:学|科|网]‎ ‎∴=,即=,‎ ‎∵AB=BC,‎ ‎∴=1.‎ ‎【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质,考查了全等三角形的判定和性质,本题中求证△ADF∽△BDC和△ADE∽△BDA是解题的关键.‎ ‎ ‎ ‎24.(10分)(2017•十堰)已知O为直线MN上一点,OP⊥MN,在等腰Rt△ABO中,∠BAO=90°,AC∥OP交OM于C,D为OB的中点,DE⊥DC交MN于E.‎ ‎(1)如图1,若点B在OP上,则 ‎①AC = OE(填“<”,“=”或“>”);‎ ‎②线段CA、CO、CD满足的等量关系式是 AC2+CO2=CD2 ;‎ ‎(2)将图1中的等腰Rt△ABO绕O点顺时针旋转α(0°<α<45°),如图2,那么(1)中的结论②是否成立?请说明理由;‎ ‎(3)将图1中的等腰Rt△ABO绕O点顺时针旋转α(45°<α<90°),请你在图3中画出图形,并直接写出线段CA、CO、CD满足的等量关系式 CO﹣CA=CD .‎ ‎【分析】(1)①如图1,证明AC=OC和OC=OE可得结论;‎ ‎②根据勾股定理可得:AC2+CO2=CD2;‎ ‎(2)如图2,(1)中的结论②不成立,作辅助线,构建全等三角形,证明A、D、O、C四点共圆,得∠ACD=∠AOB,同理得:∠EFO=∠EDO,再证明△ACO≌△EOF,得OE=AC,AO=EF,根据勾股定理得:AC2+OC2=FO2+OE2=EF2,由直角三角形中最长边为斜边可得结论;‎ ‎(3)如图3,连接AD,则AD=OD证明△ACD≌△OED,根据△CDE是等腰直角三角形,得CE2=2CD2,等量代换可得结论(OC﹣OE)2=(OC﹣AC)2=2CD2,开方后是:OC﹣AC=CD.‎ ‎【解答】解:(1)①AC=OE,‎ 理由:如图1,∵在等腰Rt△ABO中,∠BAO=90°,‎ ‎∴∠ABO=∠AOB=45°,‎ ‎∵OP⊥MN,‎ ‎∴∠COP=90°,‎ ‎∴∠AOC=45°,‎ ‎∵AC∥OP,‎ ‎∴∠CAO=∠AOB=45°,∠ACO=∠POE=90°,‎ ‎∴AC=OC,‎ 连接AD,‎ ‎∵BD=OD,‎ ‎∴AD=OD,AD⊥OB,‎ ‎∴AD∥OC,‎ ‎∴四边形ADOC是正方形,‎ ‎∴∠DCO=45°,‎ ‎∴AC=OD,‎ ‎∴∠DEO=45°,‎ ‎∴CD=DE,‎ ‎∴OC=OE,‎ ‎∴AC=OE;‎ ‎②在Rt△CDO中,‎ ‎∵CD2=OC2+OD2,‎ ‎∴CD2=AC2+OC2;‎ 故答案为:AC2+CO2=CD2;‎ ‎(2)如图2,(1)中的结论②不成立,理由是:‎ 连接AD,延长CD交OP于F,连接EF,‎ ‎∵AB=AO,D为OB的中点,‎ ‎∴AD⊥OB,‎ ‎∴∠ADO=90°,‎ ‎∵∠CDE=90°,‎ ‎∴∠ADO=∠CDE,‎ ‎∴∠ADO﹣∠CDO=∠CDE﹣∠CDO,‎ 即∠ADC=∠EDO,‎ ‎∵∠ADO=∠ACO=90°,‎ ‎∴∠ADO+∠ACO=180°,‎ ‎∴A、D、O、C四点共圆,‎ ‎∴∠ACD=∠AOB,‎ 同理得:∠EFO=∠EDO,‎ ‎∴∠EFO=∠AOC,‎ ‎∵△ABO是等腰直角三角形,‎ ‎∴∠AOB=45°,‎ ‎∴∠DCO=45°,‎ ‎∴△COF和△CDE是等腰直角三角形,‎ ‎∴OC=OF,‎ ‎∵∠ACO=∠EOF=90°,‎ ‎∴△ACO≌△EOF,‎ ‎∴OE=AC,AO=EF,‎ ‎∴AC2+OC2=FO2+OE2=EF2,‎ Rt△DEF中,EF>DE=DC,‎ ‎∴AC2+OC2>DC2,‎ 所以(1)中的结论②不成立;‎ ‎(3)如图3,结论:OC﹣CA=CD,‎ 理由是:连接AD,则AD=OD,‎ 同理:∠ADC=∠EDO,‎ ‎∵∠CAB+∠CAO=∠CAO+∠AOC=90°,‎ ‎∴∠CAB=∠AOC,‎ ‎∵∠DAB=∠AOD=45°,‎ ‎∴∠DAB﹣∠CAB=∠AOD﹣∠AOC,‎ 即∠DAC=∠DOE,‎ ‎∴△ACD≌△OED,‎ ‎∴AC=OE,CD=DE,‎ ‎∴△CDE是等腰直角三角形,‎ ‎∴CE2=2CD2,‎ ‎∴(OC﹣OE)2=(OC﹣AC)2=2CD2,‎ ‎∴OC﹣AC=CD,‎ 故答案为:OC﹣AC=CD.‎ ‎【点评】本题是几何变换的综合题,考查了三角形全等的性质和判定、等腰直角三角形的性质和判定、旋转的性质、勾股定理、四点共圆的性质等知识,并运用了类比的思想解决问题,有难度,尤其是第二问,结论不成立,要注意辅助线的作法;本题的2、3问能标准作图是关键.‎ ‎ ‎ ‎25.(12分)(2017•十堰)抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(1,0),B(m,0),与y轴交于C.‎ ‎(1)若m=﹣3,求抛物线的解析式,并写出抛物线的对称轴;‎ ‎(2)如图1,在(1)的条件下,设抛物线的对称轴交x轴于D,在对称轴左侧的抛物线上有一点E,使S△ACE=S△ACD,求点E的坐标;‎ ‎(3)如图2,设F(﹣1,﹣4),FG⊥y于G,在线段OG上是否存在点P,使∠OBP=∠FPG?若存在,求m的取值范围;若不存在,请说明理由.‎ ‎【分析】(1)利用待定系数法求二次函数的解析式,并配方求对称轴;‎ ‎(2)如图1,设E(m,m2+2m﹣3),先根据已知条件求S△ACE=10,根据不规则三角形面积等于铅直高度与水平宽度的积列式可求得m的值,并根据在对称轴左侧的抛物线上有一点E,则点E的横坐标小于﹣1,对m的值进行取舍,得到E的坐标;‎ ‎(3)设点P(0,y).分两种情况:‎ ‎①当m<0时,如图2,△POB∽△FGP,根据对应线段成比例即可求出m的取值范围;‎ ‎②当m>0时,如图3,△POB∽△FGP,根据对应线段成比例即可求出m的取值范围.‎ ‎【解答】解:(1)当m=﹣3时,B(﹣3,0),‎ 把A(1,0),B(﹣3,0)代入到抛物线y=x2+bx+c中得:‎ ‎,解得,‎ ‎∴抛物线的解析式为:y=x2+2x﹣3=(x+1)2﹣4;‎ 对称轴是:直线x=﹣1;‎ ‎(2)如图1,设E(m,m2+2m﹣3),‎ 由题意得:AD=1+1=2,OC=3,‎ S△ACE=S△ACD=×AD•OC=×2×3=10,‎ 设直线AE的解析式为:y=kx+b,‎ 把A(1,0)和E(m,m2+2m﹣3)代入得,‎ ‎,‎ 解得:,‎ ‎∴直线AE的解析式为:y=(m+3)x﹣m﹣3,‎ ‎∴F(0,﹣m﹣3),‎ ‎∵C(0,﹣3),‎ ‎∴FC=﹣m﹣3+3=﹣m,‎ ‎∴S△ACE=FC•(1﹣m)=10,‎ ‎﹣m(1﹣m)=20,‎ m2﹣m﹣20=0,‎ ‎(m+4)(m﹣5)=0,‎ m1=﹣4,m2=5(舍),‎ ‎∴E(﹣4,5);‎ ‎(3)设点P(0,y).‎ ‎①当m<0时,‎ 如图2,△POB∽△FGP 得=‎ ‎∴m=y2+4y=(y+2)2﹣4‎ ‎∵﹣4<y<0,‎ ‎∴﹣4≤m<0.‎ ‎②当m>0时,‎ 如图3,△POB∽△FGP ‎∴=‎ ‎∴=‎ ‎∴m=﹣y2﹣4y=﹣(y+2)2+4‎ ‎∴﹣4<y<0‎ ‎∴0<m≤4‎ 综上所述,m的取值范围是﹣4≤m≤4且m≠0.‎ ‎【点评】本题是二次函数的综合题,考查了利用待定系数法求函数的解析式、配方法求对称轴、等腰直角三角形的性质和判定、三角形面积的求法,及三角形全等的判定与性质.‎
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