2013-2014学年上海市金山区2014年中考一模(即期末)数学试题及答案

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2013-2014学年上海市金山区2014年中考一模(即期末)数学试题及答案

2013 学年金山区第一学期期末质量检测 初三数学试卷 (测试时间:100 分钟,满分:150 分) 2014.01 考生注意: 1.本试卷含三个大题,共 25 题.答题时,考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答, 在草稿纸、本试卷上答题一律无效. 2.除第一、二大题外,其余各题如无特别说明,都必须在答题纸的相应位置上写出证明或 计算的主要步骤. 一、选择题:(本大题共 6 题,每题 4 分,满分 24 分) 1.两个相似三角形的面积比为 1∶4,那么这两个三角形的周长比为( ) (A)1∶2; (B)1∶4; (C)1∶8; (D)1∶16. 2.如果向量 a 与单位向量e 方向相反,且长度为 1 2 ,那么向量 用单位向量 表示为( ) (A) 1 2ae ; (B) 2ae ; (C) 1 2ae ; (D) 2ae . 3.将抛物线 2yx= 向右平移1个单位,所得新抛物线的函数解析式是( ) (A) 2( 1)yx=+; (B) 2( 1)yx; (C) 2 1yx=+; (D) 2 1yx. 4.在 Rt△ ABC 中,∠A=90°,如果把这个直角三角形的各边长都扩大 2 倍,那么所得到的 直角三角形中,∠B 的正切值( ) (A)扩大 2 倍; (B)缩小 2 倍; (C)扩大 4 倍; (D)大小不变 . 5.已知在 Rt△ ABC 中,∠C=90°,∠A=a ,BC=m,那么 AB 的长为( ) (A) sinm  ; (B) cosm  ; (C) sin m  ; (D) cos m  . 6.在平面直角坐标系中,抛物线  221yx    的顶点是点 P,对称轴与 x 轴相交于点 Q,以点 P 为圆心,PQ 长为半径画⊙P,那么下列判断正确的是( ) (A)x 轴与⊙P相离; (B)x 轴与⊙P相切; (C)y 轴与⊙P与相切; (D)y 轴与⊙P相交. 二、填空题:(本大题共 12 题,每题 4 分,满分 48 分) 7.如果 23xy ,那么 2 2 xy xy   = ▲ . 8.已知在△ ABC 中,点 D、E 分别在边 AB、AC 上,DE//BC, 3 5 DE BC  ,那么 CE AE 的值等 于 ▲ . 9.计算:  2 2 3a b b   ▲ . 10.抛物线 2 2y x x的对称轴是 ▲ . 11.二次函数 22y x t=+的图像向下平移 2 个单位后经过点(1,3),那么t  ▲ . 12.已知在△ ABC 中,∠C=90°,AB=12,点 G 为△ ABC 的重心,那么 CG= ▲ . 13.已知在 Rt△ ABC 中,∠C=90°,BC= 3 AC,那么∠A= ▲ 度. 14.已知在 Rt△ ABC 中,∠C=90°, 1cot 3B  ,BC=3,那么 AC= ▲ . 15.已知内切两圆的圆心距为 6,其中一个圆的半径为 4,那么另一个圆的半径为 ▲ . 16.如果正 n 边形的每一个内角都等于 144°,那么 n= ▲ . 17.正六边形的边长为 a ,面积为 S ,那么 关于 的函数关系式是 ▲ . 18.在 Rt△ ABC 中,∠C=90°, 3cos 5B  , 把这个直角三角形绕顶点 C 旋转后得到 Rt△ A'B'C,其中点 B' 正好落在 AB 上, A'B'与 AC 相交于点 D,那么 BD CD   ▲ . 三、解答题:(本大题共 7 题,满分 78 分) 19.(本题满分 10 分) 计算: 222sin 60 cos 45 tan 60 cos30 tan30 cot 45   20.(本题满分 10 分, 其中第(1)小题 6 分,第(2)小题 4 分) 已知一个二次函数 2y x b x c   的图像经过点(4,1)和( 1 ,6). (1)求这个二次函数的解析式; (2)求这个二次函数图像的顶点坐标和对称轴. 21.(本题满分 10 分) 如图,已知 AB 是⊙O 的弦,点 C 在线段 AB 上, OC=AC=4,CB=8. 求⊙O 的半径. 22.(本题满分 10 分) A C B B' A' D 第 18 题图 O C A B 如图,某超市从底楼到二楼有一自动扶梯,右图是侧面示意图。已知自动扶梯 AB 的坡度 为 1:2.4,AB 的长度是 13 米,MN 是二楼楼顶,MN∥PQ,C 是 MN 上处在自动扶梯顶 端 B 点正上方的一点,BC⊥MN,在自动扶梯底端 A 处测得 C 点的仰角为 42°,求二楼 的层高 BC(精确到 0.1 米). (参考数据:sin42°≈0.67,cos42°≈0.74,tan42°≈0.90) 23.(本题满分 12 分,每小题各 6 分) 如图,在□ABCD 中,E 是 AB 的中点,ED 和 AC 相交于点 F,过点 F 作 FG∥AB,交 AD 于点 G. (1)求证:AB=3FG; (2)若 AB : AC= 2 : 3 ,求证: 2DF DG DA. 24.(本题满分 12 分,每小题各 4 分) 已知,二次函数 2y = ax +bx的图像经过 点 ( 5, 0)A  和点 B,其中点 B 在第一 象限,且 OA=OB,cot∠BAO=2. (1)求点 B 的坐标; (2)求二次函数的解析式; (3)过点 B 作直线 BC 平行于 x 轴,直 线 BC 与二次函数图像的另一个交点 为 C,联结 AC,如果点 P 在 x 轴上, 且△ ABC 和△ PAB 相似,求点 P 的坐标. y x O 1 1 -1 -1 A B A B C D E F G M N A B C P Q 25.(本题满分 14 分,其中第(1)小题 8 分,第(2)小题 6 分) 如图,Rt△ ABC 中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,P 是斜边 AB 上的一个动点(点 P 与 点 A、B 不重合),以点 P 为圆心,PA 为半径的⊙P 与射线 AC 的另一个交点为 D,射线 PD 交射线 BC 于点 E. (1)如图 1,若点 E 在线段 BC 的延长线上,设 AP=x,CE=y, ① 求 y关于 x 的函数关系式,并写出 x 的取值范围; ② 当以 BE 为直径的圆和⊙P 外切时,求 AP 的长; (2)设线段 BE 的中点为 Q,射线 PQ 与⊙P 相交于点 I,若 CI=AP,求 AP 的长. A C B A P D C B E 图 1 参考答案和评分标准 一、选择题:(本大题共 6 题,每题 4 分,满分 24 分) 1.A; 2.C; 3.B; 4.D; 5.C; 6.B. 二.填空题:(本大题共 12 题,满分 48 分) 7.2; 8. 3 2 ; 9. 2ab ; 10.直线 1x  ; 11.3; 12.4; 13.60°; 14.9; 15.10; 16.10; 17. 233 2Sa ; 18. 7 20 . 三、(本大题共 7 题,第 19、20、21、22 题每题 10 分,第 23、24 题每题 12 分,第 25 题 14 分,满分 78 分) 19. 解:原式 22 322 223 133 23             ……………………………………(6 分) 6 3 3 .……………………………………………………………(4 分) 3 .……………………………………………………………(4 分) 20.解:(1)由题意,得     2 2 4 4 1 1 1 6 bc bc            . . ………………………………………………(2 分) 解这个方程组,得 4 1 b c    . .…………………………………………(3 分) ∴所求二次函数的解析式是 2 41y x x   .………………………(1 分) (2)顶点坐标是(2,-3).…………………………………………(2 分) 对称轴是直线 2x  .……………………………………………(2 分) 21.解:联结 OA, 过 点 O 作 OD⊥AB, 垂足为点 D.…………………(1 分) ∵AC=4,CB=8,∴AB=12. ∵OD⊥AB,∴AD=DB=6,…………………………………………(3 分) ∴CH=2.………………………………………………………………(1 分) 在 Rt CHO 中, 90CHO   ,OC=4 ,CH=2, ∴ 23OH  .…………………………………………………………(2 分) 在 Rt AHO 中, 90AHO  , 43OA  .……………………………………………………………(2 分) ∴⊙O 的半径是 .…………………………………………(1 分) 22.解:延长 CB 交 PQ 于点 D.…………………………………………………(1 分) ∵MN∥PQ, BC⊥MN,∴BC⊥PQ.……………………………………(1 分) ∵自动扶梯 AB 的坡度为 1:2.4,∴ 15 2.4 12 BD AD .…………………(1 分) 设 5BD k 米, 12AD k 米,则 13AB k 米. ∵AB=13 米,∴ 1k  ,∴ 5BD  米, 12AD  米.…………………(3 分) 在 Rt CHO 中, 90CHO   , 42CAD   , ∴ tan 12 0.90 10.8CD AD CAD      米,…………………………(3 分) ∴ 5.8BC  米.………………………………………………………………(1 分) 答:二楼的层高 BC 约为 5.8 米. 23.证明:(1)在□ ABCD 中,AB∥CD,AB=CD,AD∥BC, 又∵E 是 AB 的中点,∴ 1 2 AF EF FC ED,………………………………(2 分) ∵FG∥AB, ∴FG∥CD, ∴ 1 3 FG AF CD AC,……………………(2 分) ∴ 1 3 FG AB  , ∴AB=3FG.………………………………………………(2 分) (2)设 2AB k , 3AC k , 则 2 2AE k , 3 3AF k . ∴ 2 62 63 kAE AC k , 3 63 62 kAF AB k , ∴ 6 6 AE AF AC AB.…………………………………… ………………(1 分) 又∵∠EAF=∠CAB,∴△AEF∽△ACB,∴∠AEF=∠ACB.…………(2 分) ∵FG∥AB,AD∥BC;∴∠AEF=∠DFG,∠ACB=∠DAF, ∴∠DFG=∠DAF. ………………………………………………………(1 分) 又∵∠FDG=∠ADF, ∴△FDG∽△ADF, ∴ DF DG DA DF , ∴ 2DF DG DA.…………………………………(2 分) 24. 解:(1)过点 B 作 BD⊥x 轴,垂足为点 D 在 Rt ADB 中, 90ADB   , cot 2ADBAO BD?=. ………………………………………………………(1 分) 设 BD=x,AD=2x,由题意,得 OA=0B=5,∴OD=2x-5. 在 Rt ODB 中, 2 2 2OD BD OB,∴ 2 222 5 5xx   , 解得 1 4x  , 2 0x  (不合题意,舍去).…………………………………(2 分) ∴BD=4,OD=3, ∴点 B 的坐标是(3,4). ……………………………(1 分) (2)由题意,得 25 5 0, 9 3 4 ab ab    .,………………………………………………(2 分) 解这个方程组,得 1 ,6 5 6 a b     . …………………………………………(1 分) ∴二次函数的解析式是 215 66y x x.…………………………(1 分) (3)∵直线 BC 平行于 x 轴,∴C 点的纵坐标为 4,设 C 点的坐标为(m,4). 由题意,得 215466mm, 解得 1 3m  (不合题意,舍去), 2 8m  . ∴C 点的坐标为(-8,4), BC=11, AB= 45 .……………………………(1 分) ∵ ABC BAP   , ①如果 ABC ∽ BAP ,那么 AB AB BC AP , ∴AP=11,点 P 的坐标为(6,0).…………………………………………(1 分) ②如果 ∽ PAB ,那么 AB AP BC AB , ∴AP= 80 11 ,点 P 的坐标为( 25 11 ,0).……………………………………(1 分) 综上所述,点 P 的坐标为(6,0)或( ,0).………………………(1 分) 注:只写出答案没有解题过程得 2 分. 25.解:(1)①∵AP=DP,∴∠PAD=∠PDA. ∵∠PDA=∠CDE,∴∠PAD=∠CDE. ∵∠ACB=∠DCE=90°,∴△ABC∽△DEC.…………………………………(1 分) ∴∠ABC=∠DEC, BC DE CE AB . ∴PB=PE. Rt△ ABC 中,∠ABC=90°,AC=4,BC=3,∴AB=5. 又 AP=x,∴PB=PE=5-x,DE=5-2x, ∴ 35 52yx  ∴ 63 5yx ( 50 2x).……………………………………………………(3 分) 注:其中 x 取值范围 1 分. ②设 BE 的中点为 Q,联结 PQ. ∵PB=PE,∴PQ⊥BE,又∵∠ABC=90°,∴PQ∥AC, ∴ PQ PB BQ AC AB BC,∴ 5 4 5 4 PQ x BQ, ∴ 44 5PQ x , 33 5BQ x .……………………………………………(2 分) 当以 BE 为直径的圆和⊙P 外切时, 434355x x x    .……………(1 分) 解得 5 6x  ,即 AP 的长为 5 6 .……………………………………………(2 分) (2)如果点 E 在线段 BC 延长线上时, 由(1)②的结论可知 494455IQ PQ PI x x x       ,………(1 分) 333355CQ BC BQ x x      .…………………………………(1 分) 在 Rt△CQI 中, 22 2 2 23 9 18 724 165 5 5 5CI CQ QI x x x x                 .…(1 分) ∵CI=AP,∴ 218 72 1655x x x   , 解得 1 20 13x  , 2 4x  (不合题意,舍去). ∴AP 的长为 20 13 .…………………………………………………………(1 分) 同理,如果点 E 在线段 BC 上时, 494455IQ PI PQ x x x       , 333355CQ BC BQ x x      . 在 Rt△CQI 中, 22 2 2 23 9 18 724 165 5 5 5CI CQ QI x x x x                 . ∵CI=AP, ∴ ,解得 (不合题意,舍去), . ∴AP 的长为 4.……………………………………………………………(2 分) 综上所述,AP 的长为 20 13 或 4 . 注:1、只有答案没有过程时写出 得 1 分,写出 4 得 2 分. 2、有过程但没有进行分类讨论就得出 20 13 或 4 得 4 分.
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