中考数学第一轮复习导学案全等三角形

中考数学第一轮复习导学案全等三角形

- 1 - 全等三角形 ◆课前热身 1.已知图中的两个三角形全等，则∠ 度数是（ ） A.72° B.60° C.58° D.50° 2.一个等腰三角形的两边长分别为 2 和 5，则它的周长为（ ） A．7 B．9 C．12 D．9 或 12 3.如图，已知 AB AD ，那么添加下列一个条件后，仍无法判定 ABC ADC△ ≌△ 的是（ ） A．CB CD B． BAC DAC∠ ∠ C． BCA DCA∠ ∠ D． 90BD  ∠ ∠ 4.如图，在等腰梯形 ABCD 中，AB＝DC，AC、BD 交于点 O，则图中 全等三角形共有（ ） A．2 对 B．3 对 C．4 对 D．5 对 【参考答案】 1. D 2. C 分析：等腰三角形有两种情况：（1）2、2、5；（ 2）5、5、2；（ 1）不满足三角形三 边关系，所以只有 5、5、2；周长=12 3. C 4. B ◆考点聚焦 知识点 全等形，全等三角形及其性质，三角形全等判定 大纲要求 1.了解全等形，全等三角形的概念和性质，逆命题和逆定理的概念； 2.理解全等三角形的概念和性质。掌握全等三角形的判定公理及其推论，并能应用他们进行 简单的证明和计算。 A B C D O A B C D - 2 - 3.学会演绎推理的方法，提高逻辑推理能力和逻辑表达能力，掌握寓丁几何证明中的分析， 综合，转化等数学思想。 考查重点与常见题型 论证三角形全等，线段的倍分，常见的多为解答题 ◆备考兵法 1．证边角相等可转化为证三角形全等，即“要证边相等，转化证全等．•”全等三角形是证 明线段、角的数量关系的有力工具，若它们所在的三角形不全等，可找中间量或作辅助线构 造全等三角形证明．在选用 ASA 或 SAS 时，一定要看清是否有夹角和夹边；要结合图形挖 掘其中相等的边和角（如公共边、公共角和对顶角等），若题目中出现线段的和差问题，往 往选择截长或补短法． 2．本节内容的试题一改以往“由已知条件寻求结论”的模式，•而是在运动变化中（如平移、 旋转、折叠等）寻求全等．对全等三角形的考查一般不单纯证明两个三角形全等， 命题时 往往把需要证明的全等三角形置于其他图形（如特殊平行四边形）中，或与其他图形变换相 结合，有时也还与作图题相结合；解题时要善于从复杂的图形中分离出基本图形，寻找全等 的条件． ◆考点链接 1．全等三角形:____________、______________的三角形叫全等三角形. 2. 三角形全等的判定方法有:_______、______、_______、______.直角三角形全等的判定 除以上的方法还有________. 3. 全等三角形的性质：全等三角形___________，____________. 4. 全等三角形的面积_______、周长_____、对应高、______、_______相等. ◆典例精析 例 1（山西太原）如图， ACB A C B  △ ≌△ ， BCB=30°，则 ACA  的度数为 A．20° B．30° C．35° D．40° 【解析】本题考查全等三角形的性质， ， ∴∠ACB=∠A′CB′， ∴ = BCB=30°，故选 B． 【答案】B 例 2（河南）如图所示，∠BAC＝∠ABD,AC＝BD，点 O 是 AD、BC 的交点，点 E 是 AB 的中点. C A B B A - 3 - 试判断 OE 和 AB 的位置关系,并给出证明. 【分析】首先进行判断：OE⊥AB，由已知条件不难证明△BAC≌△ABD，得∠OBA＝∠OAB 再 利用等腰三角形“三线合一”的性质即可证得结论。解决此类问题，要熟练掌握三角形 全等的判定、等腰三角形的性质等知识。 答案：OE⊥AB． 证明：在△BAC 和△ABD 中，  AC=BD， ∠BAC=∠ABD， AB=BA． ∴△BAC≌△ABD． ∴∠OBA＝∠OAB, ∴OA＝OB． 又∵AE＝BE, ∴OE⊥AB． (注：若开始未给出判断“OE⊥AB”，但证明过程正确，不扣分) 例 3（山东临沂）数学课上，张老师出示了问题：如图 1，四边形 ABCD 是正方形，点 E 是边 BC 的中点． 90AEF，且 EF 交正方形外角 DCG 的平行线 CF 于点 F，求证：AE=EF． 经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取 AB 的中点 M，连接 ME，则 AM=EC，易证 AME ECF△ ≌△ ，所以 AE EF ． 在此基础上，同学们作了进一步的研究： （1）小颖提出：如图 2，如果把“点 E 是边 BC 的中点”改为“点 E 是边 BC 上（除 B，C 外） 的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为 小颖的观点正确吗？ 如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由； （2）小华提出：如图 3，点 E 是 BC 的延长线上（除 C 点外）的任意一点，其他条件不变， 结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正 确，请说明理由． - 4 - 【分析】构造全等三角形解题 解：（1）正确． 证明：在 AB 上取一点 M ，使 AM EC ，连接 ME ． BM BE． 45BME  °， 135AME  °． CF 是外角平分线， 45DCF  °， 135ECF  °． AME ECF   ． 90AEB BAE   °， 90AEB CEF   °，  BAE CEF   ． AME BCF△ ≌△ （ASA）． AE EF． （2）正确． 证明：在 BA 的延长线上取一点 N ． 使 AN CE ，连接 NE ． BN BE． A D F C G E B N A D F C G E B 图 1 A D F C G E B 图 2 A D F C G E B 图 3 - 5 - 45N PCE    °． 四边形 ABCD是正方形， AD BE ∥ ． DAE BEA   ． NAE CEF   ． ANE ECF△ ≌△ （ASA）． AE EF． ◆迎考精炼 一、选择题 1.（江苏省）如图，给出下列四组条件： ① AB DE BC EF AC DF  ， ， ； ② AB DE B E BC EF    ， ， ； ③ B E BC EF C F      ， ， ； ④ AB DE AC DF B E    ， ， ． 其中，能使 ABC DEF△ ≌△ 的条件共有（ ） A．1 组 B．2 组 C．3 组 D．4 组 2.（黑龙江牡丹江）尺规作图作 AOB 的平分线方法如下：以O 为 圆心，任意长为半径画弧交OA 、OB 于C 、 D ，再分别以点 、 为圆心，以大于 1 2 CD 长为半径画弧，两弧交于点 P ，作射线OP， 由作法得 OCP ODP△ ≌△ 的根据是（ ） A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS 3.（广西钦州）如图，AC＝AD，BC＝BD，则有（ ） A．AB 垂直平分 CD B．CD 垂直平分 AB C．AB 与 CD 互相垂直平分 D．CD 平分∠ACB O D P C A B A B C D - 6 - 4. (甘肃定西)如图，四边形 ABCD 中，AB=BC，∠ABC=∠CDA=90°，BE⊥AD 于点 E，且四边 形 ABCD 的面积为 8，则 BE=（ ） A．2 B．3 C． 22 D． 23 二、填空题 1. （ 广 东 清 远 ） 如 图 ， 若 1 1 1ABC A B C△ ≌△ ，且 110 40AB   °， ° ，则 1C = ． 2.（湖南邵阳）如图，点 E 是菱形 ABCD的对角线 BD 上的 任意一点，连结 AE CE、 ．请找出图中一对全等三角形为 ___________． 3.（湖南怀化）如图，已知 ADAB  ， DACBAE  ，要使 ABC△ ≌ ADE△ ，可补充的条件是 （写出一个即可）． 4.（福建龙岩）如图，点 B、E、F、C 在同一直线上． 已知∠A =∠D，∠B =∠C，要使△ ABF≌△DCE，需要补充的一个条件是 （写出一个即可）． 5.（四川遂宁）已知△ABC 中，AB=BC≠AC，作与△ABC 只有一条公共边，且与△ABC 全等的 三角形，这样的三角形一共能作出 个. 三、解答题 A B C C1 A1 B1 A B C D E A C E B D A B E F C D - 7 - 1.（四川宜宾）已知：如图，在四边形 ABCD 中，AB=CB,AD=CD. 求证：∠C=∠A. 2. (四川南充)如图，ABCD 是正方形，点 G 是 BC 上的任意一点，DE AG⊥ 于 E，BF DE∥ ， 交 AG 于 F． 求证： AF BF EF． 3.（浙江丽水）已知命题：如图，点 A，D，B，E 在同一条直线上，且 AD=BE，∠A=∠FDE， 则△ABC≌△DEF.判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明；如果是 假命题，请添加一个适当条件使它成为真命题,并加以证明. 4. (上海市)已知线段 AC 与 BD 相交于点O ，联结 AB DC、 ，E 为OB 的中点，F 为OC 的中点，联结 EF （如图所示）． （1）添加条件∠A=∠D， OEF OFE   ，求证：AB=DC． （2）分别将“ AD   ”记为①，“ ”记为②，“ AB DC ”记为③， O D C A B E F F EA B C D D C B A E F G - 8 - 添加条件①、③，以②为结论构成命题 1，添加条件②、③，以①为结论构成命题 2．命题 1 是 命题，命题 2 是 命题（选择“真”或“假”填入空格）． 5.（吉林省）如图， ,AB AC AD BC D于点 ，AD AE AB DAE， 平分 交 DE F于点 ，请你写出图中三对．．全等三角形，并选取其中一对加以证明． 6.（湖南省娄底市）如图，在△ABC 中，AB=AC，D 是 BC 的中点，连结 AD，在 AD 的延长线 上取一点 E，连结 BE，CE. （1）求证：△ABE≌△ACE （2）当 AE 与 AD 满足什么数量关系时，四边形 ABEC 是 菱形？并说明理由. 【参考答案】 一、选择题 1. C 2. D 3. A 4. C 二、填空题 1.300 2. ABD CDB△ ≌△ （或 ADE CDE△ ≌△ 或 ABE CBE△ ≌△ ） 3. AEAC  （或填 EC  或 DB  ） 4.AB = DC（填 AF=DE 或 BF=CE 或 BE=CF 也对） （第 5 题） B D C F A 郜 E - 9 - 5.7 三、解答题 1.连接 BD.在△ABD 和△CBD 中， ∵AB=CB,AD=CD，BD=BD， ∴△ABD≌△CBD.∴∠C=∠A. 2.证明： ABCD是正方形， 90AD AB BAD   ， °． DE AG⊥ ， 90DEG AED    °． 90ADE DAE   °． 又 90BAF DAE BAD     °， ADE BAF   ． BF DE∥ ， AFB DEG AED     ． 在 ABF△ 与 DAE△ 中， AFB AED ADE BAF AD AB         ， (AAS)ABF DAE△ ≌△ ． BF AE． AF AE EF， AF BF EF   ． 3.解：是假命题. 以下任一方法均可： ①添加条件：AC=DF. 证明：∵AD=BE, ∴AD+BD=BE+BD，即 AB=DE. - 10 - 在△ABC 和△DEF 中, AB=DE， ∠A=∠FDE， AC=DF， ∴△ABC≌△DEF(SAS). ②添加条件：∠CBA=∠E. 证明：∵AD=BE, ∴AD+BD=BE+BD,即 AB=DE. 在△ABC 和△DEF 中， ∠A=∠FDE， AB=DE， ∠CBA=∠E ， ∴△ABC≌△DEF(ASA). ③添加条件：∠C=∠F. 证明：∵AD=BE, ∴AD+BD=BE+BD,即 AB=DE. 在△ABC 和△DEF 中， ∠A=∠FDE， ∠C=∠F ， AB=DE， ∴△ABC≌△DEF(AAS) 4.（1）∵ OEF OFE   ∴OE=OF ∵ E 为OB 的中点， F 为OC 的中点， ∴OB=OC 又∵∠A=∠D，∠AOB=∠DOC， △AOB≌△DOC ∴AB=DC - 11 - （2）真，假 5. 解 ：（ 1 ） ADB ADC△ ≌△ 、 ABD ABE△ ≌△ 、 AFD AFE△ ≌△ 、 BFD BFE△ ≌△ 、 ABE ACD△ ≌△ （写出其中的三对即可） （2）以△ADB≌ADC 为例证明． 证明： , 90AD BC ADB ADC     ° . 在 Rt ADB△ 和 Rt ADC△ 中，  Rt ≌Rt . 6.（1）证明：∵AB=AC 点 D 为 BC 的中点 ∴∠BAE=∠CAE AE=AE ∴△ABE≌△ACE（SAS） （2）当 AE=2AD（或 AD=DE 或 DE= 1 2 AE）时，四边形 ABEC 是菱形 理由如下： ∵AE=2AD，∴AD=DE 又点 D 为 BC 中点，∴BD=CD ∴四边形 ABEC 为平行四形边 ∵AB=AC ∴四边形 ABEC 为菱形 ,,AB AC AD AD